IV Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1 Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = fx liên tục; x= a; x= b và[r]
(1)Trường THPT Nguyễn Huệ Chuyên đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2010 – 2011 Chuyên đề : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG Lop12.net (2) Trường THPT Nguyễn Huệ (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp kdx kx C dx x C x dx x 1 C 1 1 x a x dx ax C 0 a 1 ln a 1 a e ax b C 1 ax b e C a dx 1 dx tan ax b C a cos ax b 1 dx cot ax b C a sin ax b 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] b a a b f ( x)dx ; f ( x)dx f ( x)dx a b b k f ( x)dx k f ( x)dx a b u 1 C 1 1 du u ln u C u 0 e du e C u au C 0 a 1 ln a cos udu sin u C sin udu cos u C a u dx sinax bdx a cosax b C a u du u 1 dx tan x C cos x dx cot x C sin x Nguyên hàm hàm số hợp du u C cosax bdx a sinax b C cos xdx sin x C sin xdx cos x C ax b ax b dx 1 dx ax b a ln ax b C x 0 dx x ln x C x 0 e dx e C x Nguyên hàm hàm số hợp đơn giản ( k là số) a b b [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx a b c a b a a a c f ( x)dx f (c)dx f ( x)dx ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: Lop12.net cos u sin u du tan u C du cot u C (3) Trường THPT Nguyễn Huệ cos 2a cos 2a * cos2a = * sin2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * sin a.cos b sin(a b) sin(a b) * sin a.sin b cos(a b) cos(a b) * cos a.cos b cos(a b) cos(a b) 4) Các công thức lũy thừa và bậc n: Với điều kiện xác định a, b, m, n ta có : * n a a n và n a a m m n n a na n b b * a0 = 1; a1 = a ; a-n = n a * n a n b n a.b ; * a a a ; a a a * a.b a a a b ; b b * a a 5) Các đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * a b a 2ab b * a b3 (a b)(a a.b b ) * a b a 3a 2b 3ab b3 B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân bản: Tích phân là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp phần hay đổi biến Tuy các em học sinh cần lưu ý không nghĩa là dễ làm Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân a) I1 = (3x 1)3dx x2 e dx b)I2 = 0 Giải: 1 (3 x 1) a) I1 = (3x 1) dx = 1 (1) 12 0 3 Lop12.net c) I3 = 2 x 1dx 1 (4) Trường THPT Nguyễn Huệ b) I2 = e x dx = c) I3 = x2 = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 e 1 2 x 1dx = 2 ln 2 x 1 1 = (ln1 ln 3) = ln Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J1 = b) J2 = c) J3 = x 1 dx 2x dx 2 x x 26 x dx x Giải: a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + x5 206 x3 suy J1 = x 1 dx = ( x x 1)dx = x = 15 0 2x 2 b) Ta có : 2 x 2 x 1 2x suy J2 = dx = (2 )dx 2 x ln x = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 x 2 x 0 2 c) 2 x x x1/2 x1/6 x1/21/6 x1/3 1/6 x x 8 suy J3 = 101 4/3 4/3 1/3 1 x dx x x = ( 2) = = 25,25 Ví dụ 3: Tính các tích phân a) K1 = s in3x.cos xdx b) K2 = cos 2xdx c) K3 = e x 1 1dx Giải: a) Ta có: sin3x.cosx = s in4x s in2x suy K1 = (s in4x s in2x)dx 1 1 4 cos x cos x = 2 4 Lop12.net (5) Trường THPT Nguyễn Huệ b) K2 = cos 2xdx Ta có: cos22x = cos x e c) K3 = 1 4 x sin x (1 cos x ) dx = sin 0 2 8 suy K2 = 2 x 1 1 1 = 2 4 1dx Ta có : e2x–1 – = e2x–1 = = e0 2x – = x = Suy 0;1 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 (e 1)dx 1 (e 1)dx = e x e x K3 = 2 1 1 1 1 1 1 1 = e0 e 1 + e 1 e0 = e 1 + e 1 2 2 2 2 2 2 2 Vậy K3 = 1 e e 1 2 Các bài tập tự luyện: Tính các tích phân: 1) L = ( x x 2)dx KQ: L = 2) I = sin2 x dx KQ: I = sin x 3) J = x2 KQ: J = 10 ln 3x dx 4) K = 2x 5x 1 x dx KQ: K = – 12 sin x sin xdx 5) M = KQ: M = KQ: N = 6) N = x dx 7) P = sin 3xdx KQ: P = Lop12.net (6) Trường THPT Nguyễn Huệ 8) Q = tan xdx KQ: /4 9) R = sin dx x.cos x /6 KQ: 3 b II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = f ( x)dx a 1) Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt + Tìm Đổi cận: cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai Đổi cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Ví dụ 4: Tính tích phân a) I1 = x dx 9 x b) I2 = dx Giải: a) I1 = x dx + Đặt x = 2sint , t ; (u(t) = 2sint) dx = 2costdt 2 x= 2sint = sint = t = x = 2sint = sint = t = + Đổi cận: 2 + I1 = x dx = 2 2 0 0 4sin t cot dt = sin t cot dt = cos t cost dt =4 cos tdt 2 I1 = (1 cos 2t )dt = t s in2t = 0 Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh thu kết gần đúng số là 3,141592654 + Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể a ghi nhớ cần tính a x dx , đặt x = asint , t ; (u(t) = asint) dx = acostdt thực 2 các bước tiếp sau tương tự ví dụ b) I2 = 9 x dx Lop12.net (7) Trường THPT Nguyễn Huệ + Đặt x = 3tant, t ; dx = 3(1 +tan2t)dt 2 + Đổi cận: x = 3tant = tant = t = x = 3tant = tant = t = + I2 = dx = x2 3(1 tan t ) 0 tan t dt = 3(1 tan t ) 4 dt dt = = t0 = = 0 9(1 tan t ) 3 12 4 Chú ý: Học sinh cần xem thêm ví dụ trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ a cần tính 2 dx , đặt x = atant , t ; dx = a(1 + tan2t)dt thực các bước tiếp a x 2 tương tự 2) Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) suy du = u’(x)dx + Tìm Đổi cận: Nếu hai Đổi cận là và thì =u(a) = u(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, tính Ví dụ 5: Tính các tích phân xe a) J1 = x2 dx e b) J2 = ln x dx x 1 c) J3 = x (x 1)5 dx d) J4 = x xdx cos x dx (1 sin x) /2 e) J5 = Giải: xe a) J1 = x2 dx 1 du + Đổi cận: x = u = 12 = 1; x = u = 22 = ( = 1, = 4) + Đặt u = x2 du = 2xdx xdx = + J1 = xe x2 dx = 1 e du = e u u = ( e – e1) = ( e4 – e) 2 Lop12.net (8) Trường THPT Nguyễn Huệ + Vậy J1 = e b) J2 = 1 ( e – e) ln x dx x dx x + Đổi cận: x = u = ln1 = 1; x = e u = ln e = + Đặt u = ln x u2 = + lnx 2udu = 2 e 2 2 ln x dx = u.2udu = u = ( 2)3 13 ) = (2 1) + J2 = 3 x 1 + Vậy J2 = (2 1) Ghi nhớ: Học sinh có thể đặt: u = + lnx du = dx x ln1 = và lne = 1 c) J3 = x (x 1)5 dx du + Đổi cận: x = u = – = –1; x = u = 14 – = + Đặt u = x4 – du = 4x3dx x3dx = 1 u du = + J3 = x ( x 1) dx = u = 4 1 24 1 + Vậy J3 = 5 24 d) J4 = x xdx x u2 = – x 2udu = – 2xdx xdx = –udu + Đặt u = + Đổi cận: x = u = + J4 = 0 2 22 = x xdx = u.( u )du = u du = u = + Vậy J4 = /2 e) J5 = 02 = 2; x = u = 3 cos x dx (1 sin x) + Đặt u = + sinx du = cosxdx + Đổi cận: x = u = +sin0 = 1; x = u = + sin Lop12.net =2 (9) Trường THPT Nguyễn Huệ /2 + J5 = du 4 cos x 3 dx = u = = u du = u (1 sin x) 3 24 1 24 + Vậy J5 = Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: a) I = 3 1 sin x cos xdx KQ: I = x 8.x dx KQ: J = –4 b) J = x e x.dx c) K = KQ: K = e 1 2e KQ: L = 13 e d) L = (3 ln x)dx x 21 e) M = dx x2 x e dx 2e g) N = KQ: M = KQ: N = ln x h) P = x( x 1) 2010 dx KQ: P = 2e 4046132 (Kết P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10-7) 2) Tính các tích phân: a) I1 = (2sin x 3) cos xdx KQ: b) J1 = x x 3dx 1 7 8 4x dx x 1 KQ: 2ln3 tan x 0 cos2 x dx KQ: 16/3 x c) P = KQ: d) Q= e e) L1 = 1 3ln x ln xdx x KQ: 116/135 Lop12.net (10) Trường THPT Nguyễn Huệ g) N1 = e e x x 1 KQ: ln(e+1) dx III) Phương pháp tích phân phần: b Công thức: udv uv a b a b vdu a b Các dạng bản: Giả sử cần tính I P( x).Q( x)dx a Dạng hàm Cách đặt P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx * u = P(x) * dv là Phần còn lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x):ekx * u = P(x) * dv là Phần còn lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx P(x): Đa thức Q(x): * u = P(x) * dv là Phần còn lại biểu thức dấu tích phân Ví dụ 6: Tính các tích phân /4 x cos xdx a) I1 = b) I2 = ( x 1)e x dx c) I3 = x ln( x 1)dx Giải: /4 x cos xdx a) I1 = Đặt: u = 2x du = 2dx; dv = cos2xdx v = I1 = /4 sin2x /4 x cos xdx = x.s in2x 0 /4 – sin 2xdx (cos cos 0) = 2 Vậy: I1 = = b) I2 = ( x 1)e x dx Đặt: u = x +1 du = dx; dv = e2xdx v = 2x e 10 Lop12.net = sin 1 hay sin x cos x /4 cos x 2 (11) Trường THPT Nguyễn Huệ I2 = ( x 1)e x dx = ( x 1)e x – 1 1 2x e dx = [(1 1)e (0 1)e0 ] e x 20 3e 4 = (2e 1) (e 1) = Vậy: I2 = 3e c) I3 = x ln( x 1)dx Đặt: u = ln(x – 1) du = dx; x 1 dv = 2xdx v = x2 I3 = x ln( x 1)dx = x ln( x 1) – 3 x2 2 x dx = 9ln2 – – 2 ( x x 1)dx x2 = 9ln2 – ( x ln x 1) = 8ln2 – 2 Vậy: I3 = 8ln2 – Ghi chú: bước giải bài này ít khó khăn Đặt: u = ln(x – 1) du = dx; x 1 dv = 2xdx v = x2 – = ( x + 1)( x – 1) Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy v =…tức là tìm nguyên hàm thích hợp 2x Như đã biết 2xdx x c , đa số các trường hợp phương pháp phần ta chọn c = Trong bài tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp Ví dụ 7: Tính các tích phân a) J1 = xdx cos x b) J2 = ln xdx x2 Giải: a) J1 = xdx cos x Đặt: u = x du = dx; dv = dx v = tanx cos x /4 xdx J1 = = x.tan x – cos x /4 tan xdx = tan 11 Lop12.net /4 ln cos x = ln = ln 2 (12) Trường THPT Nguyễn Huệ b) J2 = ln xdx x2 dx x 1 dv = dx dx v = x x Đặt: u = lnx du = ln xdx = ln x + x x 1 J2 = 1 x x 1 (HD: 12 x 2 nên có nguyên hàm là x ) x 1 1 dx = ln ln1 = ln ( 1) = (1 ln 2) 2 2 x1 Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: x ( x 3)e dx a) I 1= KQ: I = 1 e b) I2 = (1 x) ln xdx KQ: 3e e 1 e2 c) I3 = xdx cos e KQ: M = x ln x dx x2 d) I4 = – ln KQ: N = 2(1 – ) e 2) Tính các tích phân: a) K1= x.cos x.sin xdx KQ: b) K2 = ln x dx x KQ: ln 16 x c) K3 = e dx KQ: J = e d) K4 = x ln xdx KQ: 2e3 IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và b y = (trục hoành) tính bởi: S = f ( x) dx (1) a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; b x= b tính bởi: S = f ( x) g ( x) dx (2) a 12 Lop12.net (13) Trường THPT Nguyễn Huệ Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = b f ( x) dx x thì S = a 1dx Phương trình: x2 -1= x = , nghiệm x = [0;2] 1 2 x3 x3 Vậy S = ( x 1)dx + ( x 1)dx = ( x) + ( x) = (đvdt) 3 1 2 Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = – x2 và y = x Giải: Cận a,b là nghiệm phương trình: – x2 = x x2 + x – = x = và x = -2 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = b f ( x) g ( x) dx thì S = Vậy S = x x dx = (x x 2)dx = 2 2 x x dx 2 a x x 2x = (đvdt) 2 2 * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ngoài tích phân biểu thức dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b] tức là biểu thức dấu tích phân không có nghiệm trên ( a; b) 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn các đường y = f(x); x = a; x = b; y = xoay b quanh trục Ox tính bởi: V = f ( x)dx (3) a Ví dụ 10: a) Cho hình phẳng giới hạn các đường y = 2x – x2 và y = Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng đó nó quay quanh trục Ox Giải: Phương trình 2x – x2 = x = và x = b Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = f ( x)dx a 0 Ta có V = (2 x x ) dx (4 x x3 x )dx = ( x3 x x5 16 ) = (đvtt) 15 b) Cho hình phẳng giới hạn các đường y = – x2 và y = x3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng đó nó quay quanh trục Ox Giải: Phương trình – x2 = x3 x = và x = –1 Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox hình phẳng đó quay quanh Ox: V1 = ( x ) dx = 1 Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: V2 = ( x3 ) dx = 1 13 Lop12.net (14) Trường THPT Nguyễn Huệ Vậy thể tích V cần tính là: V = V1 V2 = (đvtt) 35 Các bài tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = – x2 + 4x và trục hoành 32 ñvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường (P): y = – x2 và y = – x – KQ: S = ñvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3] KQs: S = 200 ñvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh các hình phẳng giới hạn các đường sau đây quay quanh truïc Ox: a) (P): y = 8x vaø x = KQ: 16 ñvtt 162 b) y = x2 vaø y = 3x KQ: ñvtt KQ: S = V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2002 ) x 3x 3x Bài 2: 1.Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = , bieát F(1) = x 2x 2x 10x 12 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= và trục hoành Ox x2 (TNTHPT năm 2003 ) Bài 3: Cho hàm số y = x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) và các đường y = 0, x =0, x = quay quanh trục Ox (TNTHPT năm 2004 ) Bài 4: Tính tích phaân: I = /2 ( x sin (TNTHPT năm 2005 ) x) cos x.dx Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số : y = ex, y = và đường thẳng x = /2 b Tính tích phaân: I = sin x dx cos x (TNTHPT năm 2006) e ln x dx Bài 6: Tính tích phân J = x (TNTHPT năm 2007) Bài 7: Tính tích phân I x (1 x3 ) dx (TNTHPT năm 2008) 1 Bài 8: Tính tích phân I = x(1 cos x)dx (TNTHPT năm 2009) Bài 9: Tính tích phân I x (x 1) dx ( TNTHPT năm 2010 14 Lop12.net (15)