Chuyên đề khoảng cách và thể tích khối đa diện

Hình chóp có hai cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy 1 góc thì chân đường cao thuộc đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 giao điểm của hai cạnh bên nói trên với đáy.. Hình chóp đều[r]

(1)

Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện ÔN TẬP KIẾN THỨC

LỚP 8-9-10

A MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Cho tam giác ABC, BC=a: cạnh huyền, AB, AC cạnh góc vng, AB=c, AC=b Đường cao AH=h, BH=c’, CH=b’ Trung tuyến AM

1 Định lí Py-ta-go: BC2 AB2AC2

2 AB2 BH BC c a' , AC2 CH BC b a'

3 AB AC  AH BC

4 12 12 12

AH  AB  AC

5 BC=2AM

6 sinB AC, cosB AB, tanB AC, cotB AB

BC BC AB AC

   

7 ba.sin ,B ca sin , sinC BcosC

B MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

1 Định lý hàm số sin:

sin sin sin

a b c

R

A B  C 

2 Định lý hàm số cosin: a2 b2c22bc cosA C CÁC CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH

1 Tam giác thường: sin ( )( )( ),

2

abc a b c

S a h ab C p r p p a p b p c p

R

 

        

2 Tam giác vuông A:

S  AB AC, tam giác cạnh a:

2

3

a S 

8 Tứ giác thường ABCD: sin( , )

S AC BD AC BD Hình trịn: S .R2

3 Hình vng ABCD: S= AB.AD Hình chữ nhật ABCD: S= AB.AD Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2

(2)

Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện D CHÚ Ý

1 Đường cao tam giác, đường trung tuyến tam giác, đường phân giác, đường trung trực Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác

LỚP 11:

A QUAN HỆ SONG SONG

1 Đường thẳng song song với mặt phẳng: a/ /( )P a( )P  

a

( )

/ / / /( )

( )

d P

d a d P

a P        

, b

/ /( )

( ) / /

( ) ( )

a P

a Q d a

P Q d

        

, c

( ) ( )

/ /( ) / /

/ /( )

P Q d

a P a d

a Q        

2 Hai mặt phẳng song song: ( ) / /( )P Q ( )P ( )Q  

a

, ( )

( ) / /( ) / /( ), / /( )

a b P

a b I Q P

a Q b Q

        

, b ( ) / /( ) / /( ) ( ) P Q a Q a P     

, c

( ) / /( )

( ) ( ) / /

( ) ( )

P Q

R P a a b

R Q b

         

B QUAN HỆ VUÔNG GĨC

1 Đường thẳng vng góc mặt phẳng: a( )P ac, c ( )P

a

, ( )

( ) ,

a b P

a b I d P

d a d b

            ,

b ( ) ' ( )

d P

d a d a

a P         

,(ĐL đường vng góc- d’ hình chiếu d (P))

2 Hai mặt phẳng vng góc: ( )P ( )Q  ( , )P Q 90

a ( ) ( ) ( ) ( ) a P P Q a Q       

, b

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ),

P Q

P Q d a Q

a P a d

            , c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q A P a P A a a Q             

, d ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )

P Q a

a R

P Q R

(3)

Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện C KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng khoảng cách từ điểm đến hình chiếu đường thẳng, mặt phẳng

2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng

3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường chéo đoạn vng góc chung

D GĨC

1 Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm, a’//a, b’//b

2 Góc đường thẳng a mặt phẳng (P), a khơng vng góc với (P) góc a hình chiếu a’ a (P)

3 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc giao tuyến điểm

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích hình (H) mp(P), S’ diện tích hình chiếu (H’) hình (H) trên mp(P’) đó: S'S c os,  ( ,P P')

LỚP 12:

A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tích khối lăng trụ: V=B.h Thể tích khối hộp chữ nhật: V abc

3 Thể tích khối lập phương cạnh a: V a3

4 Thể tích khối chóp:

V  B h

5 Tỉ số thể tích: Tứ diện SABC, A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:

' ' '

VSABC SA SB SC VSA B C  SA SB SC

B CHÚ Ý:

1 Đường chéo hình vng cạnh a a 2

2 Đường chéo hình lập phương cạnh a a 3

(4)

Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện

4 Trong tam giác cạnh a đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác có độ dài

2

a

, đường xuất phát từ đỉnh trùng Nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác trùng nhau, (chú ý đường trung trực)

CÁC LOẠI BÀI TẬP

A- HÌNH VẼ TRONG KHƠNG GIAN

Quan trọng bậc việc vẽ hình khơng gian xác định đường cao (hay chân đường cao)

I Hình chóp

II Hình lăng trụ

1 Nếu lăng trụ đứng đường cao cạnh bên

2 Nếu lăng trụ xiên đường cao đường hạ từ đỉnh mặt đến mặt nên giống đường cao hình chóp

1 Hình chóp có cạnh vng góc đáy cạnh đường cao

2 Hình chóp có mặt bên vng góc đáy đường cao đường kẻ từ đỉnh hình chóp vng góc với giao tuyến mặt bên với mặt đáy

3 Hình chóp có mặt bên kề vng góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao

chính tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Trong trường hợp đáy tam giác tâm giao đường trung trực Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy Trong

trường hợp đáy tam giác tâm giao đường phân giác

6 Hình chóp có mặt bên kề tạo với đáy góc chân đường cao nằm đường phân giác góc tạo giao tuyến hai mặt bên với đáy

7 Hình chóp có hai cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao thuộc đường trung trực đoạn thẳng nối giao điểm hai cạnh bên nói với đáy

(5)

III Chú ý

B- KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Bài toán Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Các bước xác định khoảng cách từ điểm A đến (P):

Bước 1: Xác định mp(Q) chứa A, ( )Q ( )P , ( )Q ( )P d

Bước 2: Kẻ đường cao AHd, Hd  AH ( )P d( ,( ))A P AH

Bước 3: Tính AH

Nhận xét thấy tam giác SAK vuông A, AH đường cao nên ta có: 2 12 12

AH  AS  AK

SA có nên ta cần tính AK

Xét tam giác ABK vng K, sin sin sin 60

AK a

B AK AB B a

AB

    

Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy, SA=3a, AB=a, ABC60 Tính dA,SBC

Giải:

Trong tam giác ABC ta dựng đường cao AK, nối SK

Do AK hình chiếu vng góc SK lên (ABC) AKBC

theo định lý đường vng góc SK BCBC(SAK) Kẻ AH SK H (1)

Mà BC(SAK) BCAH (2)

Từ (1) (2)AH (SBC)  d ( A, SBC)AH

Tính AH?

1 Hình chóp hình chóp có cạnh bên đáy đa giác Hiển nhiên chân đường cao trùng tâm đường trịn ngoại tiếp đáy

2 Hình chóp có đáy đa giác đáy đa giác đều, cạnh bên chưa Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác cạnh bên

(6)

2

2 2 2

1 13 13

9 13 13

3 13

( , )

13

a a

AH AH

AH a a AH a

a d A SBC

        

 

Bài tương tự

KỸ THUẬT DỜI ĐIỂM

1 Dời điểm song song: Yêu cầu cần tính d(M P,( ))? Trong dA P,( ) k Ở MA//(P) d(M P,( ))d( ,( ))A P k

2 Dời điểm cắt nhau: u cầu cần tính d(M P,( ))? Trong dA P,( ) k.

Ở MA P I ( ,( ))

( ,( ))

d M P IM

d A P IA

  (Tự CM)

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc đáy, ABCD hình chữ nhật, SA=a, góc SB, SD mặt đáy 30, 60

a Tính khoảng cách từ D đến (SBC) b Tính khoảng cách từ B đến (SCD)

Giải

Ta có AB, AD hình chiếu SB, SD lên mặt đáy nên

 

   

 

   

, , 30

, , 60

SB ABCD SB AB SBA

SD ABCD SD AD SDA

     

 

a Tính khoảng cách từ D đến (SBC)

1 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc đáy, SA=2a, AC=a, ACB120 Tính dA,SBC

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc đáy Góc SC mặt đáy 60 Tính dH,SCD biết H trung điểm AB

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, góc SB mặt đáy 30 góc SD mặt đáy 60 biết SAa Tính dA,SBC, dA,SDC, dA,SBD

4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, AD2AB2BC2a, SA vng góc đáy Tính khoảng cách từ A đến (SCD) biết góc SC đáy 60

(7)

Có AD/ /BCAD/ /SBCdD,SBC dA SBC, 

Do ABBCSBBC(định lí đường vng góc)

 

BC SAB

 

Kẻ AH vng góc SB H (1) Mà BCSABBCAH (2) Từ (1) (2) suy AHSBC

Xét tam giác AHS vng H có sinS sinS sin 60

AH a

AH AS a

AS

    

 

D,   , 

3

SBC A SBC

a

d d

  

b Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Có AB/ / DCAB/ /SDCdB,SDCdA SDC, 

Do ADDCSDDC(định lí đường vng góc) DCSAD

Kẻ AK vng góc SD K (3) Mà DCSADDCAK (4) Từ (3) (4) suy AKSDC

Xét tam giác AKS vng K có sinS sinS sin 30

AK a

AK AS a

AS

     B,   , 

2

SDC A SDC

a

d d

  

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, E trung điểm BC Góc SC mặt

Có AECD I AESCDI   

 

,

, E SCD

A SCD

d EI

d AI

 

Dễ dàng tính

2

EI AI 

Từ (1), (2) suy AH SCDdA SCD, AH

Tính AH= ?

đáy 60 Tính khoảng cách từ E đến (SCD)

Giải

Do AC hình chiếu SC mặt đáy nên

SC,ABCD SC, AC SCA60

Ta biết cách tính khoảng cách từ chân đường vng góc A đến mặt (SCD) Vậy ta rời điểm E A sau

Vấn đề cịn lại quen thuộc, tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Có AH CDSDCD(định lí đường vng góc)

CDSAD

Kẻ AH SD H (1)

(8)

Xét tam giác SAD vng A có 12 12 12

AH  AS AD (*)

Xét tam giác SAC vng A có tanC SA SA AC tanC a tan 60 a

AC

     

2

2 2

1 1 42

7

6

a a

AH AH

AH a a a

       

 

    

,

, ,

42

1 42

2 14

A SCD

E SCD A SCD

a d

a

d d

 

  

Ví dụ D-2011. Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác vuông B, AB=3a, BC=4a, (SBC) vuông góc mặt đáy Biết SB=  

 

3

,

2 , 30 , ?

B SAC

a SBC  d 

Giải:

Nhận xét: Ta thấy (SBC) (ABC) có giao tuyến BC nên ta kẻ SH vng góc BC

 SH(ABC) Nếu ycbt tính khoảng cách từ H đến (SAC) ta dễ dàng thực tương tự phần trước Vì ta sử dụng kĩ thuật rời điểm mà ta nói Rõ ràng BH cắt (SAC) C nên ta sử dụng kĩ thuật rời điểm cắt

Vậy ta có:   

 

,

d

B SAC BC

d HC

H SAC 

Trong tam giác vng SHB ta có:cosB BH BH SB cosB 2a os30c 3a SB

    

4

CH BC BH a a a

       CB 4

Lại có: SH SB2BH2  12a29a2 a 3, AC= BA2BC2  16a29a2 5a

~

5

CH MH AB CH a a a

CMH CBA MH

CA BA AC a

       

1 1 1 25 28

2 2 2 2 14

3 9

      HK  a

HK HS HM HK a a a

3 7

( , ) ( , )

14 14

d H SAC  a d B SAC  a  a

CH

Ta tính khoảng cách từ H đến (SAC)

Kẻ HMAC SMAC (Định lí đường vng góc)

AC(SHM) Kẻ HKSM K (1)

Do AC(SHM) nên ACHK (2)

(9)

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, SA vng góc đáy, AB=BC=a, AD=2a góc SC với mặt đáy 60 Tính

a Khoảng cách từ A đến (SCD) b Khoảng cách từ B đến (SCD)

Giải

Có AC hình chiếu SC mặt đáy nên

 

SC ABCD,  SC AC,  SCA 60

      

a Khoảng cách từ A đến (SCD)

Gọi I trung điểm AD nên ta có IA=ID=IC=a Vậy tam giác ACD nội tiếp đường trịn tâm I đường kính AD Vậy ACCDSCCD(định lí …)

 

CD SAC

 

Kẻ AH vng góc SC H (1) Mà CDSACCDAH (2)

Từ (1) (2) suy AHSCDdA SCD,  AH

Xét tam giác AHC vuông H có

sinC AH AH AC.sin 60 a a

AC

     dA SCD,  a

b Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Có     

 

,

, B SCD

A SCD

d BE

BA CD E BA SCD E

d AE

      

Ta có EBC~EAD

2

EB BC

EA AD

    ,   , 

B SCD A SCD

BE a

d d

AE

  

 

SC ABC,  SC AC,  SCA 45

      

Vậy tam giác SAC vuông cân A

Gọi N trung điểm SBAGSBCN  

 

,( )

,

1

G SBC

A SBC

d GN

d AN

  

Từ (1) (2) suy AH(SBC)dA SBC,  AH

Lại có tam giác SAK vng A, tam giác ABC vuông A nên

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2

AH  AS AK  AS  AB  AC  a a  a a

2

a a

AH AH

   

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA đường cao, tam giác ABC vng A, AB=a, ACa 2, góc SC đáy 45 độ G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến (SBC)

Giải

Do AC hình chiếu SC (ABC) nên ta có

Ta tính khoảng cách từ A đến (SBC)

Kẻ AK vng góc BC K suy SK vng góc BC (Định lý )

BCSAK

(10)

Gọi IAGd AGSCDI   

 

,

, G SCD

A SCD

d GI

d AI

 

Có GAN ~GIS g g , N trung điểm AB

2

GI GS

GA GN

   2

3

GI

GI GA

AI

   

Từ (1) (2) suy AH(SCD)dA SCD,  AH

Lại có tam giác SAK vng A suy ta có: 12 12 12

AH  AS AK

Xét tam giác AKC vuông

K sin sin 30

2

AK a

C AK AC

AC

     12 12 12 12 22 72 21

7

3

a AH

AH AS AK a a a

       

 

 ,   , 

2 21

3 21

G SCD A SCD

a

d d

  

Cách Rời điểm lần

Gọi N trung điểm AB, có     

 

       

,

, ,

,

2

3

G SCD

G SCD N SCD

N SCD d

GS

NG SCD S d d

d NS

      

Lại có AN//(SCD)  ,   ,  21

7

N SCD A SCD

a

d d AH

    , (Tương tự cách 1)

 

 ,   , 

2 21

3 21

G SCD A SCD

a

d d

  

Bài toán khoảng cách hai đường thẳng chéo

Bước 2: Lấy A thuộc a cho dễ tính khoảng cách từ A đến (P) d( , )a b d( ,( ))a P d( ,( ))A P

1 Đoạn vng góc chung: Cho hai đường thẳng a, b chéo M thuộc a, N thuộc b, MN vng góc với a b nên MN được gọi đoạn vng góc chung a b.

2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung. 3 Cách xác định khoảng cách hai đương thẳng chéo a b:

Bước 1: Xác định (P) chứa b (P)//a.

Cịn lại ta tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Kẻ AK vng góc CD K suy SK vng góc CD (Định lý ) CDSAK

Kẻ AH vng góc SK H (1) Mà CDSAKCDAH (2)

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SA đường cao, SAa 3 ACD30, ACa 2 Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến (SCD)

Giải

Cách Rời điểm lần

(11)

Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo vng góc

KTCB Cho hai đường thẳng chéo a b, a vng góc b ta xác định kc sau

Bước 1. Chứng minh a vng góc mp (P) chứa b H

Bước 2. Từ H kẻ HK vng góc b K Suy HK đoạn vng góc chung

Thật vậy, ta có HK vng góc b mà HK nằm (P) Nên HK vng góc a

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Tính khoảng cách

a SH CD với H trung điểm AB b AD SB

Giải

Do tam giác ABC nên SH AB Lại có (SAB) vng góc đáy nên

 

SH  ABCD

a Có SH ABCD H mà (ABCD) chứa CD nên từ H ta kẻ đường thẳng vuông góc CD I suy I trung điểm CD (Do ABCD hình vng) Vậy ta có

 

HI CD

HI SH vi SH ABCD

   

 



  

, SH CD

d HI a

  

b Ta có

 

AD AB

AD SH vi SH ABCD

   

 

 

 

AD SAB

  A Mà (SAB) chứa SB nên từ A ta kẻ AK vng góc SB K suy K Là trung điểm SB (Do SAB tam giác đều)

Vậy ta có

 

   , 

3

AD AD SB

AK SB a

d AK

AK AD vi SAB

  

  



 

 

Ví dụ A-2010. Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, M, N trung điểm AB, AD H giao

 

MD SH

MD SCN

MD CN

 

  

 

H

Mà (SCN) chứa SC nên từ H kẻ HK vng góc SC K

 

  MD, 

SC

HK SC

d HK

HK MD vi MD SCN

  

  

 

 

điểm cuả MD NC, biết SH vng góc đáy, SH=a 3 d(MD,SC) ?

Giải:

Trước tiên ta chứng minh MDCN Thật vậy, DAM  CDN

nên C1 D2 màD1 D2 90 D1 C190

(12)

Lại có tam giác SHC vng H(gt) 12 12 12

HK HS HC

   (1) Trong tam giác vng CDN có

2

2 2 5

2

a a a

CN  CD DN  a     

 

Mà

2

~

5

CH CD CD a a

CHD CDN CH

CD CN CN a

       

2 2

1 19 57

(1)

3 12 19

a HK

HK a a a

     

Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo khơng vng góc

KTCB Tìm mặt phẳng (P) chứa b (P)//a da b, da P, 

Do HC hình chiếu SC nên ta có SC ABCD,  SC HC,  SCH60

Dễ thấy SCSCD/ /ABd

 

H SCD, 

d HI

 

Xét tam giác SHK vng H có 12 12 12

HI  HS HK (*)

Xét tam giác SHC vuông H, 2 65

4

a

HC HB BC  tan tan 60 195

4

SH a

C SH HC

HC

     

Vậy (*)

2

2 2

1 211 780 780

211 211

195 780

a

HI HI a

HI a a a

       

 ,SC  ,   , 

780 211

AB AB SCD H SCD

d d d HI a

    

Ví dụ A-2011. Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác vuông B, AB=BC=2a (SAB), (SAC) vng góc với đáy, M

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD=2AB=2a Hình chiếu vng góc H S nằm AB cho HA=3HB, góc SC mặt đáy 60 độ Tính khoảng cách AB SC

Giải

AB,SCdAB,SCDdH ,SCD

Lấy K thuộc cạnh CD cho KD=3KCHKCDSKCD(Định lý…)

CD(SHK )

Kẻ HI vng góc SK I (1) Mà CD(SHK )CDHI (2) Từ (1) (2) suy HI(SCD)

là trung điểm AB Mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N, (SBC, ABC)60 d(SN , AB) ?

Giải:

Do (SAB), (SAC) vng góc với mặt đáy nên SA(ABC), mặt phẳng qua SM, //BC cắt AC N mà M trung điểm AB nên N trung điểm AC.Qua N dựng đường thẳng Nx//ABAB//(SNx)

d ( AB, SN )d ( A, SNx)

Qua A kẻ AKNx (K thuộc Nx), tam giác SAK kẻ đường cao AH

(13)

Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện AHSK, AHNxAH(SNx)

( , )

AH d A SNx

 

Ta có tam giác SAK vng A nên: 12 12 12

AH AS AK

  (1)

,

BC

AK MN  a SAB vng A nên ta có: tanB SA SA AB tanB tan 60a 2a

AB

    

2 2

1 1 13 39 39

(1) ( , )

12 12 13 13

a a

AH d AB SN

AH a a a

       

Ví dụ 3: A-2012. Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác cạnh a H thuộc AB cho HA=2HB, hình chiếu S lên (ABC) trùng với H, (SC ABC, )60  d(SA BC, )?

Giải:

Qua A dựng đường thẳng Ax//BC, ta có mặt phẳng (SAx)

( , ) ( , ) ( , )

d SA BC d BC SAx d B SAx

  

Mà ta thấy H chân đường cao hình chóp nên tính khoảng cách đến mặt dễ hơn, ta sử dụng quy tắc rời điểm từ B sang H

( , )

( )

( , )

d B SAx AB

BH SAx A

d H SAx AH

     (*)

Do SH(ABC) nên tam giác SHF vuông H 12 12 12

HJ HF HS

   (1) Ta tính HF HS

Trong tam giác AHF có AF//BC nên A1 B160,

2

sin 1 sin 1 sin 60

3 3

a FH a a

AH A FH AH A

AH

      

Trong tam giác AHC có:

2

2 2 2

2 cos ( ) os60 =

3

a a a

HC AH AC  AH AC A a  a c 

7

a HC

  mà tam giác SHC vuông H nên ta có: tan tan 60 21

SH a

C SH HC

HC

    

2 2

1 3 24 42

(1)

7 12

a HJ

HJ a a a

     

42

(*) ( , )

8

a d B SAx

  ( , ) 42

8

a d BC SA

 

Bài tổng hợp

Ta tính d (H , SAx)=?

Kẻ HFAx, tam giác SHF kẻ đường cao HJ Ta có AFHF, AFSH (gt) AF(SHF)

AFHJ

(14)

C -BÀI TỐN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài toán Đường cao khối đa diện

1 Đường cao khối chóp đều

a Khối chóp S.ABC => SA=SB=SC=b, ABC tam giác cạnh a.

- SH (ABC)Hlà tâm đáy.

-

2

2 2

3

a SH h SA AH  b  

 

- Chú ý: 2 3

3 3

a a

AH AM

    ,

3

2 sin sin 60

BC a a

AH R

A

     

If a b SABC

   tứ diện

2

, sin

3

a a a

h a S ABC AB AC A

      

b Khối chóp S.ABCD =>SA=SB=SC=SD=b, ABCD hình vuông cạnh a.

- SI (ABCD) I tâm đáy, I ACBD

-

2

a SI h b  

 

2 Đường cao khối chóp khơng đều.

1 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, góc SC mặt đáy 60 độ, SAB tam giác cân S

nằm mp vng góc đáy

a Chứng minh SB vng góc AD, DK vng góc SC biết K trung điểm BC b ác định góc SD mặt đáy, góc SB (SHC), góc SD (SHC) c Tính khoảng cách từ H đến (SCD)

d Tính khoảng cách từ A đến (SCD) e nh khoảng cách từ H đến (SDK) f Tính khoảng cách từ A đến (SDK)

g ính khoảng cách SH CD, CD SB, DA SB h nh khoảng cách DK SH

i Tính khoảng cách SA BD

2 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O cạnh a, SA vng góc đáy, Góc ABC 60 độ, góc hai mặt phẳng (SCD) mặt đáy 60 độ Tính khoảng cách

a Từ điểm A đến mặt (SBD), (SCD) b Từ O đến (SCD)

(15)

a Nếu khối chóp S.ABC… có cạnh bên SA=SB=SC=b SH(ABC )HAHBHCR R, bán kính đường trịn

(ABC)

Hệ quả: Nếu đường xiên hình chóp hình chiếu chúng

2 2

2

, cos

2 sin

sin cos sin

BC AB AC BC

R A

A AB AC

A A A

 

 

   

2 2

hSH  SA HA  b R

b Nếu khối chóp S.ABC… có mặt bên vng góc với đáy, giả sử (SAB)(ABC…)

2 2

2

( )

S sin , cos

2

sin cos

SH AB SH ABC

A AB SB

SH h SA A A

AS AB

A A

   

 

   

  

c Nếu khối chóp S.ABC… có hai mặt bên cắt vng góc đáy, giả sử (SAB), (SAC)(ABC…)

=>SA(ABC…) => SA=h

3 Đường cao khối lăng trụ, khối hộp.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi cạnh a SA=a, SAB SAD BAD60 V S ABCD. ?

Giải:

Ta có: , 2 3

a

BDa AC AO a



2

1

2

a SABCD  AC BD

Xét BAD có

3

a AH  AO

Xét tam giác SHA có

2

2 2

3

6

a a

SH SA AH a  

 

    

a Nếu hình lăng trụ đứng, hình hộp đứng, hình lăng trụ => đường cao độ dài cạnh bên.

b Nếu hình lăng trụ, hình hộp khơng đứng ta tìm đường cao giống hình chóp khơng (các TH tương tự) Đó là, ta tính chiều cao từ đỉnh mặt đáy đến mặt (chú ý chọn đỉnh cho tính dễ nhất).

=> Vậy, tính chiều cao hình chóp để ta tính chiều cao hình lăng trụ.☺

Do SAB SAD60SASBSD

Vậy nên chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm tâm tam giác BAD Mà BAD cạnh a, nên tâm BAD

(16)

2

1

3 3 3 2 6

a a a

VS ABCD SH SABCD

   

Ví dụ 2: D-2008 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng A, B AB=BC=a, AD=2a, (SAD) vng góc với mặt đáy, tam giác SAD vng S, SA=a Tính VS ABCD. ?

Giải:

Do ABCD hình thang vuông nên:  

2

1

2

a SABCD  ADBC AB

Tam giác SAD vuông S mà

2

SA AD, suy SAD30

Ta có: SD AD2SA2  4a2a2 a

Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH

2

1

2

1 3

3 3 2 2 4

a

SH SD

a a a

VS ABCD SH SABCD

  

   

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', đáy hình vng cạnh a Các mặt bên hình thoi, biết

2

2 2

2

' ' '

2

a

a a

A H AH AA A H a  

 

       , SA B C D' ' ' ' a2

3

2

' ' ' ' ' ' ' ' 2 2

a a

VABCD A B C D AH SA B C D a

   

Bài tốn Tỉ số thể tích Mà AA ' B ' AA ' D60

 A ' AB ',A ' AD ' tam giác cạnh a Vậy AA’=AB’=AD’=a suy chân đường cao hạ từ đỉnh A hình lăng trụ tâm tam giác A’B’D’

Mà tam giác A’B’D’ vuông A’ nên tâm tam giác A’B’D’ trung điểm H H

của B’D’ Có:

AA ' B ' AA ' D60 Tính VABCD.A'B'C 'D' ?

Giải:

(17)

Định lý Simson: Cho tứ diện SABC, A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:

' ' '

VSABC SA SB SC VSA B C  SA SB SC

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, SA=a, SB=b, SC=c, BSA BSC CSA60 Tính VS ABC =?

Giải:

Giả sử a <b <c Trên SB, SC lấy điểm B’, C’ cho: SB’=SC’=SA=a, lại có BSA BSC CSA60

S.AB’C’ hình chóp cạnh a Gọi H trọng tâm tam giác AB’C’ nên SH đường cao hình chóp S.AB’C’

2

2 2

3

6

a a

SH SA AH a  

 

     

2

1

' ' 3 ' ' 3 3 4 12

a a a

VS AB C SH SAB C

   

Lại có:

2

' '

' ' .

' '

12

VS AB C SA SB SC a bc abc

VS ABC VS AB C

VS ABC  SA SB SC  bc   a 

Bài tốn Phân chia khối đa diện (Trình bày sau)

Ví dụ áp dụng Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AD=2AB=2a, SA vng góc đáy, Góc SB mặt đáy 60 độ Trên cạnh SA lấy M cho

3

a

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	1,3 MB