cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com1 Cung cấp bởicbook.vnThư viện tài liệu trực tuyếncbook.vnTµi liÖu lý thuyÕt + bµi tËp c¬ b¶nTh.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNHcbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com2 Cung cấp bởicbook.vnMỤC LỤCLỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................................................... 4KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG .............................................................................. 5VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ........................... 5VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC ....................... 9VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ...................... 14Dạng 1: Phương pháp giải bài toán: ......................................................................................... 14Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D. ................................................................ 14Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xácđịnh của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước) .................................................................... 14Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏamãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y. ................................................................. 17Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau: .................................................... 19Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìmGTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian. .................................... 20VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ......................................................................................... 22Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ..................................................................................... 22Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ............................................................. 24VẤN ĐỀ 5: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ................................................ 31DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ ............................... 31A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ........................................................................................................... 31B. MỘT SỐ VÍ DỤ ......................................................................................................................... 31DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ .............................................. 33A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 33B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 35DẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ XÉT PHƯƠNG TRÌNH ......... 38A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 38B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 38VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC............................................................................. 44Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm .................................................... 44A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 44B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 45Dạng 2: Điều kiện tồn tại tiếp tuyến............................................................................................ 46A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 46B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 46Dạng 3: Hệ số góc của tiếp tuyến................................................................................................ 49A. Giới thiệu ................................................................................................................................... 49y f x f x x 0 0 Ta biết rằng là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ .Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến. ............................ 49B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 49Dạng 4: Một số tính chất hình học của tiếp tuyến....................................................................... 51A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 51B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 51Dạng 5: Điều kiện tiếp xúc.......................................................................................................... 55A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 55B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 55VẤN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG ............................... 58cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com3 Cung cấp bởicbook.vnVẤN ĐỀ 8: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH................................................................. 62DẠNG ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ....................................................................... 62VẤN ĐỀ 9: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG ................................................................................. 84DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG....................................... 84DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ (C) CÓ TÂM ĐỐI XỨNG ................................................ 85C x y0 0; ) m ) DẠNG 3: Tìm tham số m để ( : y=f(x;m) nhận điểm I( là tâm đối xứng . ................ 87DẠNG 4: TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ ............................................. 88DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNGCONG QUA MỘT ĐIỂM HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ........................................... 94VẤN ĐỀ 11: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ................................................... 100y f x y f x Dạng 1: Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của ...... 100y f x y f x Dạng 2: . Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của .... 101y f x y f x Dạng 3. Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (K) của ...... 102 Dạng 4. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (L) của u xyv x ........ 102 Dạng 5. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (M) của u xyv x . ...... 103 Dạng 6. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (N) của u xyv x ........ 104 Dạng 7. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của u xyv x . ...... 106 Dạng 8. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (R) của u xyv x ...... 107VẤN ĐỀ 12: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH (ÁP DỤNG TRONG THI TỐT NGHIỆP)............ 119B. 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN ................................................................. 120KẾT LUẬN ...................................................................................................................................... 230cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com4 Cung cấp bởicbook.vnLỜI NÓI ĐẦUChương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục vàĐào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảosát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thíchứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khốitrường phổ thông.Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm nhữngvấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn họctương đương.Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đốivới người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phươngpháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trìnhlàm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn.Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà ThịThúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh.Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảngdạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhàgiáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng.Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tìnhphát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này.Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối vớibộ tài liệu này. Các tác giảcbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com5 Cung cấp bởicbook.vnKIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNGVẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐI. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.x0 (a; b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm nếu tồn tại giới hạn(Hữu hạn):0( ) ( 0 )lim0 x xf x f xx xthì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0. Ký hiệu:0( ) ( 0 ) lim0 x xf x f xyx x2. Các quy tắc tính đạo hàm.2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x)) ( C ) = 0 ( C là hằng số ) ( x ) = 1 2 (xn) = nxn 1 với (n ; n N)21 1x x x 0 với 1 2xx với (x > 0) (un) = nun – 1u 21 uu u với u 0 u 2uu =2 x1 với (x > 0)2.2. Các qui tắc tính đạo hàm :u v u v uv u v v u v ku. à ku 2, . .vu v v uuv 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = fu(x)g x f u u x . 3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm sốy f(x) Định lý: Cho hàm số : có đạo hàm trên KLÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁCCÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐcbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com6 Cung cấp bởicbook.vnx f f ( x ( ) x K ) 0 a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên K.x f f ( ( x) x K ) 0 b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên K.f f ( ( x x ) ) (Chú ý: dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó;âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.) Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số: Tìm tập xác định.x y 1 ; x2 ;......; f (x x ) n Tính đạo hàm tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0hoặc không xác định.x1 ; x2 ;......; xn Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.4. Phương pháp tìm cực trị của hàm số.K y ( x0 f h; x ( 0 x h ) ) Định lý. Giả sử hàm số : liên tục trên khoảng và cóK h x0 0 đạo hàm trên K hoặc , với .( ( f f x x 0 0 ( ( ; x x x ) 0 ) h; x h 0 0 0 ) ) a) Nếu trên khoảng và trên khoảngthìf x (x 0 ) là một điểm cực đại của hàm số .( f f x 0 ( ( x x ) ) h; x0 0 0 ) b) Nếu trên khoảng và trên khoảng(x f x 0 ; ( x0 x 0 ) h) thì là một điểm cực tiểu của hàm số .K x (x0 h 0 ; x0 h) (Chú ý: Nếu gọi là một lân cận của điểm thì ta phát biểuđịnh lý trên bằng lời như sau:f x x ( 0 0 x) a. Nếu đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm thì là mộtf(x) điểm cực đại của hàm số .f x x ( 0 0 x) b. Nếu đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm thì là mộtf(x) điểm cực tiểu của hàm số .) Bảng biến thiên minh họa định lý a)x x0h x0 x0+hf’(x) + f(x) fCĐb)x x0h x0 x0+hf’(x) +f(x) fCT Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số Tìm tập xác định.cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com7 Cung cấp bởicbook.vnx y 1 ; x2 ;......; f (x x ) n Tính đạo hàm tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0hoặc không xác định.x1 ; x2 ;......; xn Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số.5. Phương pháp tìm đường tiệm cận.5.1 Đường tiệm cận ngang.Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn(a;),(; b), (;) ( là khoảng dạng: )y y0 Đường thẳng: được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ítnhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:lim f(x) y0x;lim f(x) y0x5.2 Đường tiệm cận đứng.Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn(a;),(; b), (;) ( là khoảng dạng: )x x0 Đường thẳng: được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ítnhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim ( )0f xx x ;lim ( )0f xx x lim ( )0f xx x ;lim ( )0f xx x;6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. 6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a 0) Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0bax Bảng xét dấu:f(x) ax2 bx c (a 0 6.2 D ) ấu của tam thức bậc hai:
cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 Thư viện tài liệu trực tuyến Tµi liƯu lý thut + bµi tËp Th.S H TH THY HNG (Ch biờn) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp cbook.vn cbook.vn cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ơn thi năm 2015 LỜI NĨI ĐẦU KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 14 Dạng 1: Phương pháp giải toán: 14 Tìm GTNN, GTLN hàm số y = f(x) tập số D 14 Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định hàm số thuộc tập số cho trước) 14 Dạng 3: Tìm GTLN, NN biểu thức M đối xứng với biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn đẳng thức đối xứng với x y 17 Dạng 4: Tìm GTLN, NN biểu thức M có tính chất sau: 19 Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến, quy việc tìm GTNN, GTLN cách đổi biến số biểu thức trung gian 20 VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 22 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 22 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ 24 VẤN ĐỀ 5: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 31 DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ 31 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 31 B MỘT SỐ VÍ DỤ 31 DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ 33 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 33 B MỘT SỐ VÍ DỤ 35 DẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ XÉT PHƯƠNG TRÌNH 38 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 38 B MỘT SỐ VÍ DỤ 38 VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC 44 Dạng 1: Tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm 44 A Tóm tắt lý thuyết 44 B Các ví dụ 45 Dạng 2: Điều kiện tồn tiếp tuyến 46 A Tóm tắt lý thuyết 46 B Các ví dụ 46 Dạng 3: Hệ số góc tiếp tuyến 49 A Giới thiệu 49 Ta biết f ' x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ x0 Trong học này, quan tâm nhiều đến hệ số góc tiếp tuyến 49 B Các ví dụ 49 Dạng 4: Một số tính chất hình học tiếp tuyến 51 A Tóm tắt lý thuyết 51 B Một số ví dụ 51 Dạng 5: Điều kiện tiếp xúc 55 A Tóm tắt lý thuyết 55 B Một số ví dụ 55 VẤN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG 58 Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp cbook.vn MỤC LỤC cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 VẤN ĐỀ 8: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH 62 DẠNG ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ 62 VẤN ĐỀ 9: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG 84 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG 84 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ (C) CÓ TÂM ĐỐI XỨNG 85 DẠNG 3: Tìm tham số m để ( Cm ) : y=f(x;m) nhận điểm I( x0 ; y0 ) tâm đối xứng 87 DẠNG 4: TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ 88 DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG 94 VẤN ĐỀ 11: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 100 Dạng 1: Từ đồ thị (C) hàm số y f x , suy cách vẽ đồ thị (G) y f x 100 f x 102 Dạng 2: Từ đồ thị (C) hàm số y f x , suy cách vẽ đồ thị (H) y f x 101 Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y f x , suy cách vẽ đồ thị (K) y Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y u x u x , suy cách vẽ đồ thị (L) y 102 v x v x Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y u x u x , suy cách vẽ đồ thị (M) y 103 v x v x Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y u x u x , suy cách vẽ đồ thị (N) y 104 v x v x Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y u x u x , suy cách vẽ đồ thị (Q) y 106 v x v x u x u x , suy cách vẽ đồ thị (R) y 107 v x v x Cung cấp cbook.vn VẤN ĐỀ 12: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH (ÁP DỤNG TRONG THI TỐT NGHIỆP) 119 B 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN 120 KẾT LUẬN 230 Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ơn thi năm 2015 LỜI NĨI ĐẦU Chương trình mơn Tốn trường THPT có nhiều thay đổi từ Bộ Giáo Dục Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo sát hàm số toán liên quan” dùng cho khối trường THPT viết nhằm thích ứng với thay đổi trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy khối trường phổ thơng Tốn mơn khó mà học sinh khối trường THPT phải trải qua, bao gồm vấn đề chuyên ngành, đóng vai trị then chốt q trình tư môn học tương đương Khi viết tài liệu ý đến mối quan hệ lý thuyết tập Đối với người học mơn Tốn, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng thành thạo phương pháp bản, kết sở lý thuyết giải toán, làm tập trình làm tập người học phải hiểu sâu sắc lý thuyết Bộ tài liệu cơng trình tập thể nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú Ông Vũ Khắc Mạnh Viết tài liệu này, tham khảo kinh nghiệm nhiều đồng nghiệp giảng dạy mơn Tốn nhiều năm khối trường THPT Chúng xin chân thành cám ơn nhà giáo, nhà khoa học đọc thảo đóng góp ý kiến xác đáng Cung cấp cbook.vn Chúng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị trang cbook.vn tận tình phát triển khẩn trương việc phát hành tài liệu Chúng mong nhận ý kiến đóng góp nhận xét bạn đọc tài liệu Các tác giả Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) điểm x0 (a; b) tồn giới hạn f ( x) f ( x0 ) giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0 x x0 f ( x) f ( x0 ) lim Ký hiệu: y' xx x x0 lim (Hữu hạn): x x Các quy tắc tính đạo hàm 2.1 Đạo hàm hàm số thường gặp : (u = u(x)) ( C )/ = ( C số ) (un)/ = nun – 1u/ / ( x )/ = u/ 1 với u (xn)/ = nxn - với (n ; nN) u u / 1 với x x x x / x u với (x > 0) / u/ = x u với (x > 0) 2.2 Các qui tắc tính đạo hàm : u v u / v/ / u.v u/ v v/ u ku ku / / / u u'.v v'.u v v 2.3 Đạo hàm hàm số hợp (g(x) = f[u(x)] g / x f / u u / x Phương pháp xét tính đơn điệu hàm số * Định lý: Cho hàm số : y f (x) có đạo hàm K Liên hệ mơn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp cbook.vn , cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 x K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f ' ( x) với x K hàm số f (x) nghịch biến K (Chú ý: f ' ( x) dương khoảng hàm số đồng biến khoảng đó; f ' ( x) a) Nếu f ' ( x) với âm khoảng hàm số nghịch biến khoảng đó.) * Phương pháp xét tính đơn điệu hàm số: - Tìm tập xác định - Tính đạo hàm y' f ' ( x) tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn mà đạo hàm không xác định - Sắp xếp điểm x1 ; x2 ; ; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên - Áp dụng định lý đưa khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Phương pháp tìm cực trị hàm số * Định lý Giả sử hàm số : y f (x) liên tục khoảng K ( x0 h; x0 h) có đạo hàm K K \ x0 , với h a) Nếu f ' ( x) khoảng ( x0 h; x0 ) f ' ( x) khoảng ( x0 ; x0 h) x0 điểm cực đại hàm số f (x) b) Nếu f ' ( x) khoảng ( x0 h; x0 ) f ' ( x) khoảng ( x0 ; x0 h) x0 điểm cực tiểu hàm số f (x) (Chú ý: Nếu gọi K ( x0 h; x0 h) lân cận điểm x0 ta phát biểu định lý lời sau: a Nếu f ' ( x) đổi dấu từ dương sang âm lân cận điểm x0 x0 điểm cực đại hàm số f (x) b Nếu f ' ( x) đổi dấu từ âm sang dương lân cận điểm x0 x0 f (x) ) * Bảng biến thiên minh họa định lý a) x x0-h x0 x0+h f’(x) + fCĐ f(x) b) x x0-h f’(x) f(x) x0 + fCT * Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu hàm số - Tìm tập xác định Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com x0+h Cung cấp cbook.vn điểm cực tiểu hàm số cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 - Tính đạo hàm y' f ' ( x) tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn mà đạo hàm không xác định - Sắp xếp điểm x1 ; x2 ; ; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên - Áp dụng định lý đưa điểm cực đại, cục tiểu hàm số Phương pháp tìm đường tiệm cận 5.1 Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng vô hạn ( khoảng dạng: (a;),(; b),(;) ) Đường thẳng: y y0 gọi đường tiệm cận ngang hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x) y0 ; lim f (x) y0 x x 5.2 Đường tiệm cận đứng Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng vô hạn ( khoảng dạng: (a;),(; b),(;) ) Đường thẳng: x x0 gọi đường tiệm cận đứng hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) ; lim f ( x) lim f ( x) ; lim f ( x) ; xx0 xx0 xx0 xx0 Dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai 6.1 Dấu nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a 0) b - Tìm nghiệm phương trình ax + b = x a - Bảng xét dấu: x b a f(x) Trái dấu a Cùng dấu a f ( x) ax bx c (a 0) ax bx c (*) - Giải phương trình: + Nếu phương trình (*) vơ nghiệm ( 0) f(x) ln dấu a + Nếu phương trình (*) có nghiệm kép ( 0) x1 x2 dấu a f ( b ) 2a Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com b f(x) ln 2a Cung cấp cbook.vn 6.2 Dấu tam thức bậc hai: cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ơn thi năm 2015 + Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( 0) giả sử hai nghiệm x1 ; x2 x1 x2 ta có bảng xét dấu: x f(x) Cùng dấu a x1 x2 Trái dấu a Cùng dấu a Sơ đồ khảo sát hàm số * Tìm tập xác định hàm số * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y' f ' ( x) tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn mà đạo hàm không xác định Xét dấu đạo hàm y' f ' ( x) +) Tính đạo hàm +) Từ bảng xét dấu suy chiều biến thiên hàm số - Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu y ' ) Tính giới hạn ( Tính giới hạn vô cực điểm không xác định hàm số; tìm đường tiệm cận có) - Lập bảng biến thiên hàm số * Đồ thị: - Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định vẽ đồ thị hàm số - Tìm giao điểm đồ thị với trục tung - Tìm giao điểm đồ thị với trục hồnh - Tính thêm số điểm đặc biệt - Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng đồ thị Tính tuần hồn hàm số Cung cấp cbook.vn - Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax3 +bx2 + cx +d (a 0) ) 1.1 Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax3 +bx2 + cx +d (a 0) * Tập xác định: D R * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: Tính y ' Giải phương trình: y' xét dấu y ' đưa chiều biến thiên hàm số - Đưa giá trị cực đại, cực tiểu hàm số ( dựa vào bảng dấu y ' ) - Tính giới hạn: lim y lim y x x Chú ý lim y lim (ax3 bx2 cx d ) * Nếu a > x x lim y lim (ax3 bx cx d ) x x lim y lim (ax bx cx d ) * Nếu a < x lim y lim (ax bx cx d ) x - x x Lập bảng biến thiên: * Đồ thị: - Xác định yếu tố biết trục tọa độ Oxy - Tìm giao điểm đồ thị với trục tung: cho x = tìm y - Tìm giao điểm đồ thị vơi trục hoành: Cho y = Giải phương trình ax3 bx2 cx d Tìm x ( Nếu giải phương trình khó q ta khơng cần thực bước này) tính y I f ( xI ) điểm I ( xI ; y I ) tâm đối xứng đồ thị - Lấy thêm vài điểm (nếu cần) - Vẽ đồ thị Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp cbook.vn - Tìm tâm đối xứng đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = tìm nghiệm xI cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 1.3 Các dạng đồ thị hàm số bậc ba: y = ax3 +bx2 + cx +d (a 0) Nếu a>0 Nếu a AB2 = 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2 -2x1x2 ] = 2(m-1)2 +10 10, m Hay ABmin = 10 m * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1 x2 (C ) có I giao tiệm cận, (d) tiếp tuyến x 1 (C ) Tìm giá trị lớn khoảng cách từ I đến đường thẳng (d) Bài 182: Cho đồ thị hàm số: y Giải y' 1 ( x 1) (C ) có giao tiệm cận là: I(-1; 1) x 2 Giả sử M(x0; ) thuộc (C) ( x0 1 ), tiếp tuyến (C) M có phương trình: x0 x 2 1 ( x x0 ) x ( x0 1) y ( x0 1)( x0 2) (d) x0 ( x0 1) Khoảng cách từ M đến (d): x 2 x0 ( x0 1) ( x0 1)( x0 2) x0 x0 d(M; d)= 12 ( x0 1) ( x0 1) Mà: ( x0 1) 2, x0 1 d (M ; d ) 2 ( x0 1) Dấu = xảy x ( x0 1) ( x0 1) ( x0 1) x0 2 Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com ( x0 1) 2 ( x0 1) Cung cấp cbook.vn y 220 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 Vậy khoảng cách lớn từ M tới tiếp tuyến (d) là: d(M; d)max = Bài 183: Cho hàm số: y=x3 -3x2 +mx+1 (C) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu Gọi () đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điểm cố định mà () 11 qua với m tìm được.Tìm giá trị lớn khoảng cách từ điểm I( ; ) đến đường thẳng () Giải y'=3x -6x+m y'=0 3x2 -6x+m= (1) Hàm số có CĐ, CT (1) có nghiệm phân biệt ' 3m m (*) Với m t/m (*), (1) có nghiệm: x1; x2 đồ thị hàm số có điểm cực đại, cựctiểu là: A(x1; y(x1)); B(x2; y(x2)) x 2m m Lấy y chia cho y' được: y=y' 2x 3 1 2 x0 x0 m(2 x0 1) (3 y0 x0 ) 0, m 3 y0 x0 y0 1 2m Vậy () qua điểm cố định M( ;2) có vtcp u (1; 2) 3 IM (1; ) IM 4 2m N/ x: d(I; () ) IM Dấu = xảy IM IM u 1 ( 2) m Hay d(I; () )max = IM= 5/4 m=1 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1 * N/x: 1- Với tốn dạng này, khơng phát điểm cố định M mà () ln qua, ta áp dụng cơng thức tính khoảng cách theo toạ độ có: Liên hệ mơn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp cbook.vn m 2m y( x1 ) x1 => y( x ) 2m x m 3 Do phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: 2m m y= x m(2x 1) (3 y 6x) ( ) Giả sử () qua M(x0; y0) cố định 221 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 d(I; () )= 2m 11 2m 1 2 2m 11 2m 1 2 f (m) Từ khảo sát hàm f(m) với m3 -8 -8 -10 Bài 186: Cho hàm số C : y x x2 x 1 -10 a Khảo sát hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x2 m 4 x m (2) Giải f(x)=(4x-x^2)/(x-1) y y x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) 2 x -8 -6 -4 -14 -2 -12 -10 -8 x -6 -2 -4 -2 -2 x x2 x x2 m Vậy số nghiệm (2) số giao điểm đồ thị (C'): y= (2) -4 -4 x 1 x 1 đường thẳng (d): y=m -6 Dựa vào đồ thị ta có: Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com -8 -6 -8 Cung cấp cbook.vn f(x)=-x+3 223 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết tập _Ôn thi năm 2015 + Nếu m< 0: (2) có nghiệm phân biệt + Nếu m=0: (2) có nghiệm phân biệt Nếu m>0 : (2) có nghiệm phân biệt Bài 187: : Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C): y x x 1 điểm phân biệt Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): x x m f ( x) x (m 2) x m 0, x 1 (1) x 1 (d) cắt (C) điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt (m 2) m 2 f (1) 1 * Đ/s: Giá trị m cần tìm: m -2 Bài 188: (ĐH-A-2010): Tìm m để đồ thị hàm số y= x3-2x2+ (1-m)x+m (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2; x3 thoả mãn: x12+ x22+ x32 ) Giả sử (C ) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng =>(1) có nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng theo thứ tự => x1+x3 =2x2 => x1 +x2+x3 =3x2 =3 => x2 =1 Liên hệ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp cbook.vn Với m thoả mãn (*), (1) có nghiệm: x1, x2 ,x3=1 x12+ x22+ x32