Chuyên đề phương trình và hệ phương trình ôn thi quốc gia 2015

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 1 Cung cấp bởicbook.vn ách Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 2 Cung cấp bởicbook.vn LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Phương trình và hệ phương trình” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 3 Cung cấp bởicbook.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................................... 2 MỤC LỤC................................................................................................................................ 3 PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA ............................................................ 5 VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ................................................................... 5 I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. ......................................................... 5 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ.................................................................................. 9 III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ .................................................................................. 20 IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ....................................................................................... 22 V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ..................................................................... 23 VI. PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT. ................................................................................. 27 VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI.................................. 30 a R A( )x   a I)Dạng 1: a (1) (Trong đó ). ................................................................. 31 A( )x  B x( ) II) Dạng 2: . .................................................................................................. 31 A B III) Dạng 3: (x) (x) ............................................................................................. 33 0 IV)Dạng 4 : A B( ) ( )x x  ....................................................................................... 34 VI) Dạng 5: A B C( ) ( ) ( )x x x  ................................................................................... 35 VẤN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT ............................................ 37 KIẾN THỨC CƠ BẢN. ................................................................................................ 37 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT............................................................................ 39 PHẦN B: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA ................................................... 64 VẤN ĐỀ 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.............................. 64 Phương pháp 1: Phương pháp thế. ................................................................................... 64 Phương pháp 2: Phương pháp cộng đại số. ...................................................................... 66 Phương pháp 3: Phương pháp biến đổi thành tích. .......................................................... 71 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 4 Cung cấp bởicbook.vn Phương pháp 4: Phương pháp đặt ẩn phụ. ....................................................................... 74 Phương pháp 5: Phương pháp hàm số.............................................................................. 80 Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức. .................................................... 85 VẤN ĐỀ 2: CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP ............. 87 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1. ....................................................................... 87 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2. ....................................................................... 95 Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp. ............................................................................... 100 Dạng 4: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực. ........................... 103 VẤN ĐỀ 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT ................................... 112 DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ............................................ 112 MŨ VÀ LOGARÍT MẪU MỰC ................................................................................... 112 DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ............................................ 116 MŨ VÀ LOGARÍT KHÔNG MẪU MỰC VÀ CHỨA THAM SỐ ............................. 116 PHẦN C: TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ............................................................................................................................................... 119 KẾT LUẬN.......................................................................................................................... 219 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 5 Cung cấp bởicbook.vn PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. 1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp A B C D    Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau 3 3 3 3A B C A B A B A B C      3 33 .    A B ABC C 3 3    A B C  3 . .3 và ta sử dụng phép thế : ta được phương trình : b) Ví dụ x x x x     3 3 1 2 2 2 Bài 1. Giải phương trình sau : x  0 Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta 1 3 3 1 2 2 1      x x x x x    đư  ợc: , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3 1 2 2 4 3x x x x      6 8 2 4 12 1x x x x x2 2      Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa f x g x h x k x           Nhận xét : Nếu phương trình : f x h x g x k x         Mà có :  , thì ta biến đổi phương trình về dạng : f x h x k x g x          sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : 3 1 2 1 1 3 3 x x x x x x          Giải: x  1 Điều kiện : Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 6 Cung cấp bởicbook.vn Ta có nhận xét : 3 1 2 . 3 1. 1 3 x x x x x x        , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : 3 1 2 (2) 3 1 1 3 x x x x x x           Bình phương 2 vế ta được: 3 1 2 2 1 3 1 2 2 0 3 1 3 x x x x x x x x                  x x   1 3, 1 3 Thử lại : l nghiệm f x g x h x k x         Qua l  ời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x h x k x g x f x h x k x g x        . .             Mà có : thì ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung a) Phương pháp x0 Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn  A x x x A x   0      0 0 đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng A x   0 minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể A x   0 đánh gía vô nghiệm b) Ví dụ 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x2 2 2 2           Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: 3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x2 2            Ta nhận thấy : v  x x x x2 2     2 3 4 3 2     Ta có thể trục căn thức 2 vế : 2 2  2 2 2 4 3 6 3 5 1 3 1 2 3 4 x x x x x x x x x              Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . x x x2 2    12 5 3 5 Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 304 đề nghị) : 2 212 5 3 5 0 5 Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 3 x x x x        Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng  x A x 2 0   , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 7 Cung cấp bởicbook.vn     2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 1 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x x x x x x x x x                                  Dễ dàng chứng minh được : 2 2 2 2 5 3 0, 12 4 5 3 3 x x x x x            3 x x x2 3   1 1 Bài 3. Giải phương trình : x  3 2 Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình     3 2 3    2  2 3 2 23 3 3 3 3 9 1 2 3 2 5 3 1 1 2 1 4 2 5 x x x x x x x x x x x                            Ta chứng minh : 3  2 2 2 2 3 3  2 3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x              2 3 3 9 2 5 x x x      Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp A B C A B C       Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : x ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : A B C A B A B        A B C 2 A C , khi đĩ ta có hệ: A B             b) Ví dụ 2 9 2 1 4x x x x x2 2       Bài 4. Giải phương trình sau : Giải:  2 9 2 1 2 4x x x x x2 2        

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

LỜI NÓI ĐẦU

Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và

Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Phương trình và hệ phương trình” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích

ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông

Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn họctương đương

Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập Đốivới người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn

Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh

Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảngdạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng

Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này

Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với

bộ tài liệu này

Các tác giả

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2

MỤC LỤC 3

PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA 5

VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 5

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 5

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 9

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 20

IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 22

V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 23

VI PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT 27

VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI 30

I)Dạng 1: A( )x  a a (1) (Trong đó a R ) 31

II) Dạng 2: A( )x  B x ( ) 31

III) Dạng 3: A (x)  B (x) 33

IV)Dạng 4 : A ( ) x  B ( ) x  0 34

VI) Dạng 5: ( )A x B( )x C( )x 35

VẤN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT 37

* KIẾN THỨC CƠ BẢN 37

* PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT 39

PHẦN B: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA 64

VẤN ĐỀ 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 64

Phương pháp 1: Phương pháp thế 64

Phương pháp 2: Phương pháp cộng đại số 66

Phương pháp 3: Phương pháp biến đổi thành tích 71

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Phương pháp 5: Phương pháp hàm số 80

Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 85

VẤN ĐỀ 2: CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP 87

Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1 87

Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2 95

Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp 100

Dạng 4: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 103

VẤN ĐỀ 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT 112

DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 112

MŨ VÀ LOGARÍT MẪU MỰC 112

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 116

MŨ VÀ LOGARÍT KHÔNG MẪU MỰC VÀ CHỨA THAM SỐ 116

PHẦN C: TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 119

KẾT LUẬN 219

PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.

1 Bình phương 2 vế của phương trình

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:1 x3 3  x1  x 2 x x2 1

, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :

f x  h x  k x  g x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

Bài 2 Giải phương trình sau :

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x như vậy phương trình luôn0

đưa về được dạng tích x x A x 0   0 ta có thể giải phương trình A x  hoặc chứng   0minh A x  vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể   0

đánh gía A x  vô nghiệm   0

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x212 5 3  x x25

2.2 Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp

Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C  , mà : A BC

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=8

7

Bài 5 Giải phương trình : 2x2  x 1 x2 x 1 3x

Ta thấy : 2x2 x 1  x2 x1 x22x, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên

Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt t 1

+ x  , không phải là nghiệm 0

+ x  , ta chia hai vế cho x: 0 3 1 3 3 3 1 3 

Biến đổi phương trình về dạng :A k B k

Bài 1 Giải phương trình : 3 x x 3x

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x  và chú ý

điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ”

.Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t f x  thường là những

phương trình dễ

Bài 1 Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ơn thi Quốc Gia.

Nhận xét x x2 1 x x2 1 1

Đặt t  x x2 1 thì phương trình cĩ dạng: t 1 2 t 1

t

Thay vào tìm được x 1

Bài 2 Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 và x 2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2x2 6x 1 0

Ta được: x x2(  3)2 (x 1)2  , từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng.0

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y 3 4x và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ 5

đưa về hệ)

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

Điều kiện: 1 x 6

Đặt y x 1(y0) thì phương trình trở thnh: y2 y5 5  y4 10y2 y20 0( với y  5) (y2y 4)(y2 y 5) 0 1 21 1 17

Bài 6 Giải phương trình : x2 3 x4 x2 2x1

Giải: x  không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 0 1 3 1

Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn

giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2uvv2 0 (1) bằng cách

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:4x2 2 2x 4 x41

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai

Đk x  Chuyển vế bình phương ta được: 5 2x2 5x 2 5 x2 x 20 x1

Nhận xét : không tồn tại số ,  để : 2x2 5x 2 x2 x 20 x1 vậy ta không thể đặt

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

x  x x  x x x  x x  x

Ta viết lại phương trình: 2x2 4x 53x4 5 (x2  4x 5)(x4) Đến đây bài toán được giải quyết

Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ta rt x 1 t2 thay vo thì được pt: 2    

3t  2 1x t4 1x  1 0Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t

2 1 x2 48 x 1 1

       không có dạng bình phương

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo  1 x 2, 1x2

Cụ thể như sau : 3x 1 x 2 1 x thay vào pt (1) ta được:

Bài 4 Giải phương trình: 2 2x4 4 2  x  9x216

Giải

Bình phương 2 vế phương trình: 4 2 x416 2 4  x2 16 2  x 9x216

Ta đặt : t  2 4  x2 0 Ta được: 2

9x  16t 32 8 x0

Ta phải tách 9x2 2 4  x2 9 2  x2 8 làm sao cho t có dạng chình phương

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục

đích

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô

tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

 Đặt u x v,  x và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đó tìm được hệ theou,v

Bài 1 Giải phương trình: x325 x x3 325 x3 30

( ; ) (2;3) (3;2)x y   Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}

Bài 2 Giải phương trình: 2 1 4 41

2

4

11

22

Đặt a x1,b 5 x 1(a0,b0) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II

 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :  

này thì đơn giản

Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt yf x  sao cho (2) luôn đúng ,

2 1

y x  , khi đó ta có phương trình : x12 ( x 2 1) 1  x2 2x x2Vậy để giải phương trình : x2 2x x ta đặt lại như trên và đưa về hệ 2

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng :

xn p a x b n '  ' v đặt y n ax b để đưa về hệ , chú ý về dấu của  ???

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Việc chọn ;  thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :xn p a x b n '  '

Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y )(  ) 0

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2 2

Bài 6 Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

Giải

4

x 

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x2 12x 2 2 4 x5 (2x 3)2 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta được hệ phương trình sau:

2 2

Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 2; 1 3}

Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ?

D ạng hệ gần đối xứng

Ta xt hệ sau :

2 2

đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng

ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :

Bài 1 Giải phương trình: 4x2 5 13x 3x 1 0

Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :

Để thu được hệ (1) ta đặt : y  3x1 , chọn  , sao cho hệ chúng ta có thể giải

được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )

2 2

Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay  ; bằng cách viết lại phương trình

ta viết lại phương trình như sau: (2x 3)2  3x  1 x 4

khi đó đặt 3x 1 2y , nếu đặt 3 2y 3 3x thì chúng ta không thu được hệ như 1mong muốn , ta thấy dấu của  cùng dấu với dấu trước căn

Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa

hệ phải giải được

Một số phương trình được xây dựng từ hệ

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này !

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Ta có : 1x 1 x Dấu bằng khi và chỉ khi 2 x  và 0 1 1 2

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :  

Bài 1 Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2 9

21

51

10 16 10

5

x x

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Giải các phương trình sau

3 Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học

3.1 Dùng tọa độ của véc tơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: ux y1; 1, vx y2; 2 khi đó ta có

 u v  u v  .cos u v  , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos  1 u  v

3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác

 Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA MB MC OA OB OC     với O là tâm của đường tròn Dấu bằng xẩy ra

khi và chỉ khi M O

 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì

MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 1200

Bài tập

2x  2x 1 2x  3 1 x 1 2x  3 1 x 1 32) x2 4x 5 x2 10x50 5

IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu

Dựa vào kết quả : “ Nếu yf t  là hàm đơn điệu thì f x f t   x t ” ta có thểxây dựng được những phương trình vô tỉ

Xuất phát từ hàm đơn điệu : yf x 2x3x21 mọi x  ta xây dựng phương trình :0

f x f x  x x   x  x  , Rút gọn ta được phươngtrình

Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?

Bài 1 Giải phương trình :    2   2 

3 3

Bài 3 Giải phương trình :36x 1 8x3 4x 1

V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

1 Một số kiến thức cơ bản:

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

  sao cho : xtant

 Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x2 y2 1, thì có một số t với 0 t 2 , sao chosin , cos

x t y t

Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :

 Nếu : x  thì đặt sin t x1  với ;

2 2

t  

  hoặc xcosy với y0;

 Nếu 0 x 1 thì đặt sin t x, với 0;

Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ?

Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện xf t  thì phải đảm bảo với mỗi x có duy

nhất một t , và điều kiện trên để đảm bào điều này (xem lại vòng tròn lượng giác )

2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?

Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cos3t sint, ta có thể tạo ra được

4x  12x 9x 1 2x x (3)

Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ?

Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác

3 Một số ví dụ

Bài 1 Giải phương trình sau :    

Bài 3 Giải phương trình sau: 36x 1 2x

Giải: Lập phương 2 vế ta được:8 3 6 1 4 3 3 1

trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình

Bài 4 Giải phương trình 2 1 12

2

t t

Bài 5 Giải phương trình :  

2 2 2

2

2

11

1

x x

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Khi đó pttt.2sin cos 2t tcos 2t1 0  sin 1 sint  t 2sin2t 0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 1

Ta có : 1x 1 x  Dấu bằng khi và chỉ khi 2 x  và 0 1 1 2

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :  

Bài 1 Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2 9

21

51

10 16 10

5

x x

x x

x x

x

2 1

2 1 2 1

2 1 2 1 2

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI

Để giải tốt phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối tôi yêu cầu học sinh cần phải nắm được những yêu cầu cơ bản sau :

+ Nắm được phép biến đổi tương đương các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

+ Bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình hệ quả

+ Nắm được các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương:

- Nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn ( có thể xuất hiệnnghiệm ngoại lai )

- Chia hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn số ( có thể làm mấtnghiệm của phương trình đầu)

- Cộng vào hai vế của phương trình đã cho với cùng một phân thức

- Nâng hai vế của một phương trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: n > 1 Nếu n chẵnthì khi nâng hai vế của phương trình f1(x) = f2(x) lên cùng một luỹ thừa chẵn thìphương trình mới nhận thêm nghiệm của phương trình f1(x)= - f2(x)

A(x) neáu A(x) 0

neáu A(x) < 0 và các tính chất của giá trị tuyệt đối:

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

( ) ( )

( ) 0 ( ) 

( )

( ) 0 ( ) ( )

x

A A

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) x  3 2  x  1(Ví dụ SGK đại số 10 ban cơ bản, trang 59)

1 2

2 4

x x

1 x 2

b) 2 x   5 x 2 4x  5

2 x   5 x 2 4x  5

644

+Nếu ta sử dụng cách 1 là bình phương hai vế ta sẽ phải giải một phương trình bậc 4 rấtphức tạp

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

( ) 0

Ta còn có thể nhận xét ngay được 2x 1 x 2 0     khi 2x – 1 = x – 2 = 0(*) nênkhông có giá trị nào của x thỏa mãn (*) nên phương trình 2x 1 x 2 0     vô nghiệm

* Ngoài việc phân biệt cho học sinh các dạng toán cơ bản tôi còn đưa ra cho học sinh dạng bài toán cần vận dụng sự linh hoạt và sáng tạo khi giải

VI) Dạng 5: ( )A x  B( )x C( )x

* Phương pháp giải:

+ Xét dấu các biểu trong dấu giá trị tuyệt đối, phân khoảng bỏ giá trị tuyệt đối để giải

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

 x = - 1(không thuộc khoảng đang xét nên ta loại)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 3

b) x  3  x  11 8 

+ Ngoài cách xét khoảng như trình bày ở ý a ta còn cách làm như sau:

- Ta thấy: x – 3 + x – 11 = 8 nên ta sử dụng tính chất A  B A B   A.B 0 

- Vậy x  3  x  11 8  (x – 3)(11 – x) 0

 3 x 11 Nghiệm của phương trình x  3  x  11 8  là: x [3; 11]

+ Nhận xét: Cách giải trên tuy nhanh nhưng chỉ sử dụng cho đối tượng khá, giỏi

Ví dụ 6: Giải phương trình sau x 2 1 5   

( Bài tập này mở rộng cho học sinh khá giỏi)

Không tồn tại giá trị của x để x 2   4

Vậy phương trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8

+ Nếu bình phương hai vế thì ta phải thực hiệm 3 lần

VẤN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT

* KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1.HÀM SỐ MŨ: y = a với a > 0 và a ≠ 1 (trong đó a gọi là cơ số, x gọi lại mũ )

_ Tập xác định R

_ Tập giá trị R

_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1

2.HÀM SỐ LOGARIT: y = log x với a > 0, a ≠ 1 ( trong đó a gọi cơ số )

_ Tập xác định R

_ Tập giá trị R

_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1

_ Logarit cũng có những dạng thông dụng như logarit thập phân và logarit tự nhiên  logarit thập phân: là logarit cơ số 10, thường được viết tắt là logb hoặc lgb

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia  logarit tự nhiên: là logarit cơ số e (e  2,718 > 1), viết tắt là lna

4 Các công thức về LOGARIT ( với a,b,c > 0 và a ≠ 1 )

♫ log a = x (x  R) ♫ log1 = 0 ♫ log a = 1

♫ a = b

♫ log b + log c = log (bc) ♫ log b - log c = log

♫ a = x

♫ log b =  log b ♫ log b = log b (b > 0,   R) ♫ = log a

♫ log = log b = - log b ♫ log = log b = logb (b > 0,   R*)

♫ log b = ♫ log c log b = log b (b > 0, 0 < c ≠ 1)

☼ Nếu a > 1 thì log b > log c  b > c

☼ Nếu 0 < a < 1 thì log b < log c  b < c

+ phương trình a = b  f(x) = g(x)logb (log hóa)

+ phương trình log f(x) = log g(x)  f(x) = g(x)

+ phương trình log f(x) = b  f(x) = a (mũ hóa)

Các phương pháp có thể dùng để giải phương trình mũ - logarit là:

 Dạng 1: Chuyển phương trình về cùng một cơ số.

 Dạng 2: Chuyển về phương trình tích (đặt thừa số chung ).

 Dạng 3: Đặt ẩn phụ - đổi biến.

 Dạng 4: Mũ hóa - Logarit hóa.

 Dạng 5: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số (tính đồng biến - nghịch biến )

 Dạng 6: Tuyển tập các dạng bài tập nâng cao - đặc biệt

DẠNG 1: CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VỀ CÙNG MỘT CƠ SỐ.

 PP: sử dụng các công thức biến đổi PT để đưa về dạng a = a hoặc log f(x) = log g(x)

 HD giải: Điều kiện là 

Nhận xét cả 2 vế phương trình đều có thể đưa về cơ số 3, nên ta biến đổi:

= 3 ; 9 = 3; 243 = 3; nên phương trình đã cho có dạng: 3 3 = 3 3

 HD giải: Điều kiện  x >

Vì = log a nên phương trình đã cho có dạng:

log (3x - 1) + log (x + 3) = log 2 + log (x + 1)

 log [(3x - 1)(x + 3)] = log 4(x + 1)

 (3x - 1)(x + 3) = 4(x + 1) (*)

Rút gọn và giải (*) ta được x = (loại), x = 1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

b 2log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3)

 HD giải: Điều kiện  (*)

PT  2 log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3)

 log [(x -2)(x - 3)] = log + log(x - 3)

cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia.

 (x -2)(x - 3) = (x - 3) (do x ≠ 3 nên x - 3 ≠ 0)

 (x -2) = (2)

Giải phương trình (2) ta được x = 3 (loại) và x = ( thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

Chú ý: + Khi giải các bài toán về LOG, ta cần chú ý đến điều kiện tồn tại của log b đó là 0

< a ≠ 1 và b > 0 Đặc biệt nếu A > 0  A ≠ 0.

c log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)

 HD giải: Điều kiện 

PT  3log |x + 2| - 3 = 3log (4 - x) + 3log (x + 6)

 log |x + 2| - 1 = log (4 - x) + log (x + 6)

 log |x + 2| - log = log [(4 - x)(x + 6)]

16) log (x - 2) + log (x - 2) + log (x - 2) = 4

17) log = 2log (x - 1) - log (x + 1)

18) log (x - 2) - 2 = 6log

19) log (x + x) - 2 + log (2x + 2) = 0

20) log (x + 4x - 4) = 3

21) log (x - 1) = 2log (x + x + 1)

22) log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = 3 + log3

23) log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)

24) log(x + 1) + 2 = log + log (4 + x)

25) log - log (3 - x) - log (x - 1) = 0