PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT - Chuyên đề phương trình và h- 123docz.net

1. Dùng hằng đẳng thức :

 Từ những đánh giá bình phương : A2+B2 ≥0, phương trình dạng A2+B2 =0 ⇔ 0

0 A B

 =

 =

2. Dùng bất đẳng thức

 Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: A m B m

 ≥

 ≤ nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A B=

Ta có : 1+ +x 1− ≤x 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x=0 và 1

1 2

x 1

+ + x ≥

+ , dấu bằng

khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: 1

1 2008 1 2008 1

x x 1 x

− + + = x + +

Cung cấp bởi cbook.vn

–

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : ( )

( ) A f x B f x

 ≥

 ≤

 khi đó :

( ) ( )

A f x

A B B f x

 =

= ⇔  =

 Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được

Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2

1 x x 9

x + = +

+ Giải: Đk x≥0

Ta có :  2 2x+1+ x÷2 ≤( )2 2 2+ +x 1 x1+1+ xx+1÷2 = +x 9

     

Dấu bằng 2 2 1 1

1 1 x 7

x x

⇔ = ⇔ =

+ +

Bài 2. Giải phương trình : 13 x2−x4 +9 x2+x4 =16 Giải: Đk: 1− ≤ ≤x 1

Biến đổi pt ta có : x2(13 1−x2 +9 1+x2)2 =256

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

( 13. 13. 1−x2 +3. 3. 3 1+x2)2 ≤(13 27 13 13+ ) ( − x2+ +3 3x2) =40 16 10( − x2) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10x2(16 10− x2) ≤  ÷ 162 2 =64

Dấu bằng

2 2

1 2

1 3 2

10 16 10

5 x x

x x x

 − = +  =

 

⇔  ⇔

 = −  = −

 

Bài 3. giải phương trình: x3`−3x2−8x+40 8 4− 4 x+ =4 0

Ta chứng minh : 8 44 x+ ≤ +4 x 13 và x3−3x2−8x+40 0≥ ⇔(x−3) (2 x+ ≥ +3) x 13

Bài tập đề nghị .

Bài 1: Giải các phương trình sau

Cung cấp bởi cbook.vn

–

1) 1 2 1 2

1 2 1 2

x x

− +

− + + = +

+ −

2) 4 x+ 41− +x x− 1− =x 2+48 3) 2x4+ =8 4 4+x4 +4 x4−4

4) 16x4+ =5 6 43 x3+x

5) x3`−3x2−8x+40 8 4− 4 x+ =4 0 6) 8+x3 + 64−x3 =x4−8x2+28 7)

1 1

2 x 2 4 x

x x

 

− + − = − + ÷

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 3x2+6x+7+ 5x2+10x+14=4−2x−x2 2) 6 18 11

6 15

6 2

2 = − +

− +

− x x

x x

x x 3) x2−6x+11+ x2−6x+13+4 x2−4x+5=3+ 2 4)

( 2 2)( 4 5)

5 , 3

3 2 2

2 − x+ = x − x+ x − x+

5) 2x2−8x+12=3−4 3x2 −12x+13 6) x2 −2x+5+ x−1=2 7) 2( 1−x+ x) =41−x+4 x

8) x

x x

x 1 2

2 1 2 1

2 2 1

1 2

1 −

+ + +

= − + +

− 9) x−2+ 4−x =x2 −6x+11 (Đ11)

10) x2−2x+3= 2x2 −x+ 1+3x−3x2 11) x−2+ 10−x = x2 −12x+52

Cung cấp bởi cbook.vn

–

VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI

Để giải tốt phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối tôi yêu cầu học sinh cần phải nắm được những yêu cầu cơ bản sau :

+ Nắm được phép biến đổi tương đương các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 ≥

 =

 = −



= ⇔

x o

A A x

A x

+ Bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình hệ quả.

+ Nắm được các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương:

- Nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn ( có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai ).

- Chia hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn số ( có thể làm mất nghiệm của phương trình đầu).

- Cộng vào hai vế của phương trình đã cho với cùng một phân thức.

- Nâng hai vế của một phương trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: n > 1. Nếu n chẵn thì khi nâng hai vế của phương trình f1(x) = f2(x) lên cùng một luỹ thừa chẵn thì phương trình mới nhận thêm nghiệm của phương trình f1(x)= - f2(x).

+ Nắm vững định nghĩa A(x)

A(x)





= ≥

−

A(x) neáu A(x) 0

neáu A(x) < 0 và các tính chất của giá trị tuyệt đối:

A A

A B A B ; A B A B ; A . B A.B ;

B B

+ > + − < − = =

A + B = + ⇔A B A.B 0;≥

+ Phân biệt được sự khác nhau giữa phép biến đổi tương đương và phép biến đổi để đưa về

phương trình hệ quả.

Bên cạnh những yêu cầu trên, tôi đã chỉ cho học sinh nhận biết được những dạng cơ bản của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối được trình bày trong sách giáo khoa toán 10, đồng thời đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài, giúp các em so sánh được cách giải nào sáng tạo, ngắn hơn và hay hơn.

Cung cấp bởi cbook.vn

–

I)Dạng 1: A( )x = a a (1) (Trong đó a R ∈ ).

* Phương pháp giải:

- Nếu a < 0 ⇒ phương trình (1) vô nghiệm.

- Nếu a ≥ 0 ⇒ phương trình (1) ⇔ ( )

( )

 =

 = −



x x

A a

A a (2). Như vậy nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1).

(Ta có thể giải theo cách bình phương hai vế: A2( )x =a2 nhưng cách này thường dẫn tới một phương trình bậc cao hơn)

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a)3 x − = 5 3 b) − + = − x 3 5

Giải:

a) 3 x − = 5 3 ⇔

8 3 2 3

3x 5 3 3x 8 x

3x 5 3 3x 2 x



 ⇔ ⇔ 

 

  



− = = =

− = − = =

Kết luận phương trình 3 x − = 5 3có 1 nghiệm x = 38 và 2

= 3 x b) − + = − x 3 5

Vì vế trái là biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối do vậy không âm, vế phải bằng (-5) nên phương trình − + = − x 3 5 vô nghiệm.

II) Dạng 2: A( )x = B x ( ).

* Phương pháp giải:

Cách 1:

Cung cấp bởi cbook.vn

–

( ) 2 2

( ) ( )

( ) 0 ( ) 

 =

= ⇔ ≥

x x

A A

B x B x

B Cách 2:

( ) ( )

( )

( ) 0 ( ) ( )

( ) 0 ( )

 =



 = −



≥

= ⇔

≥

x x

A A

B x B x B x

B x

B x Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) x − = 3 2 x + 1(Ví dụ SGK đại số 10 ban cơ bản, trang 59) b) 2 x + = 5 x 2−4x + 5

Giải:

Cách 1:

( )

2 1 0

3 2 1 3 2 (2 1) 2





− = + ⇔ + ≥

− = +

x x x

x x

2 1

2 6 9 4 2 4 1





⇔ ≥ −

− + = + + x

x x x x

1 2 10 8

2 4 2

2 2 3

3 0



 

 

 

 + − 

 





≥ − ≥ −

⇔ ⇔ = − ⇔ =

= =

x x

(Nếu trình bày theo SGK toán 10 cơ bản thì ta phải thêm một bước thử nghiệm) Cách 2:

3 2 1

− = +

x x

2x 1 0 x 3 2x 1 2x 1 0

x 3 (2x 1)





⇔ 





+ ≥

− = + + ≥

− = − +

Cung cấp bởi cbook.vn

–

x 1 2x 1 2

x 4

x 4 0 1 x 2 3

2x 1 x

3x 2 0 x 2 2 3



 

 

 

⇔ ⇔ 





≥ − ≥ −

− − = = −

≥ − ≥ − ⇔ =

− = =

Vậy phương trình x − = 3 2 x + 1 có một nghiệm:x 2

= 3

+ Hai cách giải có cùng kết quả nghiệm nhưng cách giải thứ nhất ta chỉ giải một hệ còn cách thứ hai ta phải giải hai hệ

b) 2 x + = 5 x 2−4x + 5

2 x + = 5 x 2−4x + 5

4 4

6 4 4

2 2

x x 5 0 x x 4 1 0

2 2

2x 5 x 4x 5 x x 0

2 2

x 4x 5 0 x x 4 1 0

2 2

2x 5 (x x 5) x 2x 10 0

 −  −

 

  +

 

⇔ ⇔ −

 

 

 − 

 



+ ≥ + + ≥

+ = − + − =

− + ≥ + + ≥

+ = − + − + =

(x 2) 1 0 x R

x 0 x 0

x 6 x 6

(x 2) 1 0 x R x 2 2x 10 0







  

⇔ ⇔

 



− + ≥ ∀ ∈

= =

− + ≥ ∀ ∈

− + = (vo õnghieọm) Vậy phương trình 2 x + = 5 x 2−4x + 5 có hai nghiệm x = 0 và x = 6

+Nếu ta sử dụng cách 1 là bình phương hai vế ta sẽ phải giải một phương trình bậc 4 rất phức tạp.

III) Dạng 3: A (x) = B (x)

* Phương pháp giải:

Cách 1: 2 2

( ) = ( ) ⇔ ( ) = ( ) A x B x A x B x

Cung cấp bởi cbook.vn

–

Cách 2: ( ) ( )

( ) ( )





= ⇔ = = − A x B x A x B x A x B x Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) x − = 1 2 x − 5

b) x 2 + + = 6 x 9 4 x 2 − + 4 x 1

Giải:

a) x − = 1 2 x − 5 ⇔(x − 1)2 =(2 x − 5)2

⇔ x 2 − 2x 1 4x + = 2 − 20x 25 + ⇔ 3x 2 − 18x 24 + =0

x 4

x 2





⇔ =

Vậy phương trình x − = 1 2 x − 5có hai nghiệm: x = 2 và x = 4 b)

2 6 9 4 2 4 1 2 6 9 4 2 4 1

2 6 9 (4 2 4 1)



⇔



+ + = − +

+ + = − − +

x x x x

3 2 10 8 0 5 2 2 10 0



⇔

− + + = + + =

x x

4 2 3

5 2 2 10 0









= −

⇔

+ + = x

x x (vo õnghieọm) Vậy phương trình x 2 + + = 6 x 9 4 x 2 − + 4 x 1có hai nghiệm: 2

= −

x và x = 4

+ Nếu ta giải phương trình trên theo cách bình phương hai vế ta sẽ thu được phương trình bậc 4 phức tạp hơn.

IV)Dạng 4 : A ( ) x + B ( ) x = 0

* Phương pháp giải:

Cung cấp bởi cbook.vn

–

0 0

0 ( ) ( ) ( )

( )

 =

 =

+ = ⇔A x

A x B x B x

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

a) x 2 + − + 3x 4 x 2 + 2x 3 0 − = b) 2x 1 x 2 0 − + − =

Giải:

a) x2+ − +3x 4 x2+2x 3 0− = x2 3x 4 0 x2 2x 3 0





+ − =

⇔ + − =

x 1

x 4

x 1 x 1

x 3









⇔ = − ⇔ =

= −

Vậy phương trình 2x + − +3x 4 x2+2x 3 0− = có 1 nghiệm: và x = 1

b) 2x 1 x 2 0 − + − = 2x 1 0 x 12

x 2 0 x 2

 

 

 

− = =

⇔ − = ⇔ = (Vô nghiệm)

Vậy phương trình 2x 1 x 2 0 − + − = vô nghiệm:

Ta còn có thể nhận xét ngay được 2x 1 x 2 0 − + − = khi 2x – 1 = x – 2 = 0(*) nên không có giá trị nào của x thỏa mãn (*) nên phương trình 2x 1 x 2 0 − + − = vô nghiệm

* Ngoài việc phân biệt cho học sinh các dạng toán cơ bản tôi còn đưa ra cho học sinh dạng bài toán cần vận dụng sự linh hoạt và sáng tạo khi giải.

VI) Dạng 5: A( )x + B( )x =C( )x

* Phương pháp giải:

+ Xét dấu các biểu trong dấu giá trị tuyệt đối, phân khoảng bỏ giá trị tuyệt đối để giải.

+ Ngoài ra một số trường hợp ta có thể sử dụng tính chất A + B = A B + ⇔ A.B 0 ≥

Cung cấp bởi cbook.vn

– để giải

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

a) x − + + = − 5 x 3 3 x 1 b) x − + − = 3 x 11 8

Giải:

a) x − + + = − 5 x 3 3 x 1(1)

+ Nếu x < -3 thì x − 5 = 5 – x và x 3 3 x − = − phương trình (1) trở thành:

(5 – x) + (3 – x) = 3x – 1

⇔-5x = - 3 x 3

⇔ = 5 (không thuộc khoảng đang xét nên ta loại)

+ Nếu − ≤ < 3 x 5 thì x − 5 = 5 – x và x 3 x 3 − = − phương trình (1) trở thành:

(5 – x) + (x – 3) = 3x – 1

⇔-3x = - 9

⇔ = x 3 ( thuộc khoảng đang xét nên ta nhận)

+ Nếu x 5 ≥ thì x − 5 = x – 5 và x 3 x 3 − = − phương trình (1) trở thành:

(x – 5) + (x – 3) = 3x – 1

⇔x = - 1(không thuộc khoảng đang xét nên ta loại) Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 3

b) x − + − = 3 x 11 8

+ Ngoài cách xét khoảng như trình bày ở ý a ta còn cách làm như sau:

- Ta thấy: x – 3 + x – 11 = 8 nên ta sử dụng tính chất A + B = A B + ⇔ A.B 0 ≥ - Vậy x − + − = 3 x 11 8 ⇔(x – 3)(11 – x) ≥ 0

⇔ 3 x 11 ≤ ≤

Nghiệm của phương trình x − + − = 3 x 11 8 là: x [3; 11] ∈

+ Nhận xét: Cách giải trên tuy nhanh nhưng chỉ sử dụng cho đối tượng khá, giỏi Ví dụ 6: Giải phương trình sau x 2 1 5 − − =

( Bài tập này mở rộng cho học sinh khá giỏi)

Cung cấp bởi cbook.vn

–

Giải Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

x 2 1 5 − − = ⇔ x 2 1 5(1) x 2 1 5(2)





− − =

− − = − Giải 1: x 2 1 5 − − = ⇔ x 2 6 − =

x 2 6 (1') x 2 6 (2')





⇔ − =

− = − Giải 1': x 2 6 − = ⇔ = x 8

x 8





⇔ = = −

Giải 2': x 2 − = − ⇔ = − 6 x 4

Không tồn tại giá trị của x để x = − 4 Giải 2: x 2 1 − − = − ⇔ 5 x 2 − = − 4 Không tồn tại giá trị của x để x 2 − = − 4

Vậy phương trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8 + Nếu bình phương hai vế thì ta phải thực hiệm 3 lần.

VẤN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT

* KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1.HÀM SỐ MŨ: y = a với a > 0 và a ≠ 1. (trong đó a gọi là cơ số, x gọi lại mũ ) _ Tập xác định R

_ Tập giá trị R

_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.

2.HÀM SỐ LOGARIT: y = log x với a > 0, a ≠ 1. ( trong đó a gọi cơ số ) _ Tập xác định R

_ Tập giá trị R

_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.

_ Logarit cũng có những dạng thông dụng như logarit thập phân và logarit tự nhiên → logarit thập phân: là logarit cơ số 10, thường được viết tắt là logb hoặc lgb

Cung cấp bởi cbook.vn

→ logarit tự nhiên: là logarit cơ số e (e ≈ 2,718 > 1), viết tắt là lna – ( đọc là log nepe a )

3. Các công thức về MŨ ( với a > 0 và a ≠ 1

♥ a. a = a ♥ a.b = (a.b) ♥ = a ♥ (a) = a

♥ = a ♥ = . ♥ = a ♥ =

♥ = ♥ a = 1 ♥ = ♥ =

4. Các công thức về LOGARIT ( với a,b,c > 0 và a ≠ 1 )

♫ log a = x (∀x ∈ R) ♫ log1 = 0 ♫ log a = 1 ♫ a = b

♫ log b + log c = log (bc) ♫ log b - log c = log ♫ a = x

♫ log b = α log b ♫ log b = log b (∀b > 0, α ∈ R) ♫ = log a ♫ log = log b = - log b ♫ log = log b = logb (∀b > 0, α ∈ R*)

♫ log b = ♫ log c. log b = log b (∀b > 0, 0 < c ≠ 1)

5. Hệ quả từ định nghĩa hàm mũ và hàm logarit ( với a > 0 và a ≠ 1 ) ☼ Nếu a > 1 thì a < a ⇔ α < β

☼ Nếu 0 < a < 1 thì a < a ⇔ α > β

☼ Cho 0 < a < b và m là số nguyên ta có:

☼ Nếu a > 1 thì log b > log c ⇔ b > c ☼ Nếu 0 < a < 1 thì log b < log c ⇔ b < c ☼ Nếu a > 1 thì log b > 0 ⇔ b > 1 ☼ Nếu 0 < a < 1 thì log b > 0 ⇔ b < 1 ☼ Nếu a = a ⇔ m = n ☼ Nếu log m = log n ⇔ m = n

* PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT.

Với a > 0, a ≠ 1, ta có:

+ phương trình a = a ⇔ f(x) = g(x)

+ phương trình a = b (b > 0) ⇔ f(x) = log b + phương trình a = b ⇔ f(x) = g(x)logb (log hóa) + phương trình log f(x) = log g(x) ⇔ f(x) = g(x) + phương trình log f(x) = b ⇔ f(x) = a (mũ hóa)

Các phương pháp có thể dùng để giải phương trình mũ - logarit là:

Cung cấp bởi cbook.vn

→ Dạng 1: Chuyển phương trình về cùng một cơ số. –

→ Dạng 2: Chuyển về phương trình tích (đặt thừa số chung ).

→ Dạng 3: Đặt ẩn phụ - đổi biến.

→ Dạng 4: Mũ hóa - Logarit hóa.

→ Dạng 5: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số. (tính đồng biến - nghịch biến ) → Dạng 6: Tuyển tập các dạng bài tập nâng cao - đặc biệt

DẠNG 1: CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VỀ CÙNG MỘT CƠ SỐ.

→ PP: sử dụng các công thức biến đổi PT để đưa về dạng a = a hoặc log f(x) = log g(x) Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. 4. 5 = 5. 10

→ HD giải: Để ý vế phải có cơ số 10 = 2.5 nên ta biến đổi về trái:

Ta xét Vế trái = 4. 5 = 2. 5 = 2. 5.5 = 5.10 Khi đó phương trình ⇔ 5.10 = 5. 10 ⇔ 10 = 10

⇔ 4x + 2 = 2x + 3x - 78 ⇔ x = b. . 243 = 3 .9

→ HD giải: Điều kiện là ⇔

Nhận xét cả 2 vế phương trình đều có thể đưa về cơ số 3, nên ta biến đổi:

= 3 ; 9 = 3; 243 = 3; nên phương trình đã cho có dạng: 3. 3 = 3. 3 Khi đó phương trình ⇔ 3 = 3

⇔ + 5 = -2 + 2 (1)

Quy đồng và rút gọn có PT (1) trở thành 41x + 102x - 248 = 0 ⇔ x = - 4 v x = c. (x - 2) = (x - 2)

→ HD giải: PT ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 4 v x = 5

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a.log (3x - 1) + = 2 + log (x + 1) → HD giải: Điều kiện ⇔ x >

Vì = log a nên phương trình đã cho có dạng:

log (3x - 1) + log (x + 3) = log 2 + log (x + 1) ⇔ log [(3x - 1)(x + 3)] = log 4(x + 1)

⇔ (3x - 1)(x + 3) = 4(x + 1) (*)

Rút gọn và giải (*) ta được x = (loại), x = 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

b. 2log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3) → HD giải: Điều kiện⇔ ⇔ (*)

Cung cấp bởi cbook.vn

PT ⇔ 2 log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3) – ⇔ log [(x -2)(x - 3)] = log + log(x - 3)

⇔ (x -2)(x - 3) = .(x - 3) (do x ≠ 3 nên x - 3 ≠ 0) ⇔ (x -2) = (2)

Giải phương trình (2) ta được x = 3 (loại) và x = ( thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .

Chú ý: + Khi giải các bài toán về LOG, ta cần chú ý đến điều kiện tồn tại của log b đó là 0

< a ≠ 1 và b > 0. Đặc biệt nếu A > 0 ⇔ A ≠ 0.

c. log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6) → HD giải: Điều kiện ⇔

PT ⇔ 3log |x + 2| - 3 = 3log (4 - x) + 3log (x + 6) ⇔ log |x + 2| - 1 = log (4 - x) + log (x + 6) ⇔ log |x + 2| - log = log [(4 - x)(x + 6)]

⇔ log [4|x + 2|] = log [(4 - x)(x + 6)]

⇔ 4|x + 2| = - x - 2x + 24

⇔ . So điều kiện ta nhận x = 2 , x = 1 -

* BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Giải các phương trình sau:

1) 2.5 = 0,01.(10) 2) (0,6) = (0,216) 3) 2.3.5 = 12

4) 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 5) 2 = 4

7) 2 = 16 8) 32 = .128 9) 16 = 0,125.8

10) 5 + 6.5 - 3.5 = 52 11) 3 = 9 12) (x - 2x + 2) = 1

13) 2.3.5 = 200 14) 4.9 = 3 15) 3 =

16) log (x - 2) + log (x - 2) + log (x - 2) = 4 17) log = 2log (x - 1) - log (x + 1)

18) log (x - 2) - 2 = 6log 19) log (x + x) - 2 + log (2x + 2) = 0

20) log (x + 4x - 4) = 3 21) log (x - 1) = 2log (x + x + 1)

22) log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = 3 + log3 23) log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)

Cung cấp bởi cbook.vn

–

24) log(x + 1) + 2 = log + log (4 + x) 25) log - log (3 - x) - log (x - 1) = 0

26) log (x + 3x + 2) - log (x + 7x + 12) = 2 + log 27) log (2x + 2x - 3x + 1) = 3

DẠNG 2: CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH (Đặt thừa số chung)

→ PP: thường sử dụng đối với các bài toán có nhiều cơ số hoặc có x ở ngoài số mũ.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. 25 = 9 + 2.5 + 2.3

→ HD giải: PT ⇔ 5 = 3 + 2.5 + 2.3 ⇔ (5 - 3) - 2(5 + 3) = 0

⇔ (5 - 3)(5 + 3) - 2(5 + 3) = 0 ⇔ (5 + 3)(5 - 3 - 2) = 0

⇔

b. 4 + 4 = 4 + 1

→ HD giải: Nhận xét 2x + 3x + 7 = (x - 3x + 2) + (x + 6x + 5) Do đó phương trình ⇔ 4 + 4 = 4 + 1

⇔ (4 - 1) + 4 - 4 = 0 ⇔ (4 - 1) + 4 - 4.4 = 0 ⇔ (4 - 1) + 4.(1 - 4) = 0 ⇔ (4 - 1).(1 - 4 ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔

c. 12.3 + 3.15 - 5 = 20

→ HD giải: PT ⇔ (12.3 + 3.15) - 5.5 - 20 = 0 ⇔ 3.3(4 + 5) - 5(5 + 4) = 0 ⇔ (4 + 5)(3.3 - 5) = 0 ⇔ ⇔ x = log

d. 9 + 2(x - 2)3 + 2x - 5 = 0

→ HD giải: PT ⇔ 3 + 2x.3 - 4.3 + 2x - 5 = 0

⇔ (3 - 4.3 - 5) + 2x(3 + 1) = 0 ( để tạo ra thừa chung ta sử dụng công thức Vi-et)

⇔ (3 + 1)(3 - 5) + 2x(3 + 1) = 0 ⇔ (3 + 1)(3 - 5 + 2x) = 0

⇔ Ví dụ 2: Giải phương trình:

a. logx + logx = 1 + logx.logx → HD giải: Điều kiện x > 0

Cung cấp bởi cbook.vn

PT ⇔ (log x - 1) + log x - logx.log x = 0 – ⇔ (log x - 1) + (1 - log x).log x. = 0 ⇔ (log x - 1)(1 - log x) = 0

⇔ ⇔ (thỏa x > 0)

b. (x + 1)[logx] + (2x + 5)log x + 6 = 0 → HD giải: Điều kiện x > 0

So với VD1 câu d thì bài toán này cũng tương tự nhưng chúng ta sẽ thử làm theo cách "

xét ∆ "

Nếu xem log x là biến số và x là tham số, ta có phương trình bậc 2.

Xét ∆ = (2x + 5) - 24(x + 1) = 4x - 4x + 1 = (2x - 1) ( ∆ có dạng số chính phương ) Khi đó log x = = hay log x = = - 2

Vậy ta có log x = -2 ⇔ x = 2 =

Và log x = ( Dùng dạng 5 để giải tiếp ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:

1) 2 + 2 = 2.2 + 1 2) x.2 + 6x + 12 = 6x + x.2 + 2

3) 2 + 3 = 6 + 2 4) 4+ x.3 + 3 = 2x.3 + 2x + 6 5) x.2 = x(3 - x) + 2(2 - 1) 6) 2[log x] + xlog x + 2x - 8 = 0 7) 3.25 + (3x - 10).5 + 3 - x = 0

8) (x + 2)[log (x + 1)] + 4(x + 1)log (x + 1) - 16 = 0 9) 8 - x.2 + 2 - x = 0

10) x.3 + 3 (12 - 7x) = - x + 8x - 19x + 12

11) 25 - 2(3 - x).5 + 2x - 7 = 0 12) log x + (x - 1)log x = 6 - 2x 13) x + (2 - 3)x + 2(1 - 2) = 0 14) lg (x + 1) + (x - 5)lg(x + 1) - 5x = 0

15) log x. log 5 - 1 = log x - log 5 16) log x + 5log x = 5 + log x.log x

DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ - ĐỔI BIẾN → PP: Phương trình tồn tại a , a , a , a , v.v.. ⇒ ta đặt t = a > 0

Hoặc PT có a và b với a.b = 1 ⇒ ta đặt t = a > 0 và khi đó b = = Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. 2 + 2 = 9

→ HD giải: PT ⇔ 2 + = 9 ⇔ 2 + = 9. ( Đặt t = 2 > 0 )

Cung cấp bởi cbook.vn

PT thành t + = 9 ⇔ t - 9t + 8 = 0 ⇔ ( Nhận vì thỏa t > 0 ) – Khi đó với t = 1 ⇔ 2 = 1 = 2 ⇔ x = 0

Và t = 8 ⇔ 2 = 8 = 2 ⇔ x = 3.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = 3 b. + = 12

→ HD giải: Nhận xét . = = 1 = 1 Nên ta đặt t = > 0 thì =

Khi đó, PT thành + t = 12 ⇔ t - 12t + 1 = 0 ⇔ ( thỏa mãn vì t > 0 ) Với t = 6 + ⇔ = 6 + ⇔ (6 + ) = (6 + ) ⇔ = 1

⇔ x = 2

Với t = 6 - ⇔ = 6 - ⇔ (6 + ) = (6 + ) ⇔ = -1 ⇔ x = - 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = -2.

c. 3 - 28.3 + 9 = 0

→ HD giải: PT ⇔ 3.3 - 28.3 + 9 = 0 ( Đặt t = 3 > 0) ⇔ 3t - 28t + 9 = 0

⇔ ( Nhận vì thỏa t > 0 )

Với t = 9 ⇔ 3 = 9 = 3 ⇔ x + x = 2 ⇔ x + x - 2 = 0 ⇔

Với t = ⇔ 3 = = 3 ⇔ x + x = -1 ⇔ x + x + 1 = 0 ( vô nghiệm ) Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x = -2.

d. (3 - ) + (3 + ) = 6.2

→ HD giải: Đối với PT trên, ta thấy rằng không thể xét (3 - )(3 + ) ≠ 1

Trong khi đó PT vừa khác mũ ? vừa khác cơ số ? ⇒ ta biến đổi phương trình để đưa về cùng mũ.

PT ⇔ (3 - ) + (3 + ) = 3.2.2 ⇔ (3 - ) + (3 + ) = 3.2 (*)

Đến đây PT đã cùng mũ nhưng lại khác cơ số ? Rõ ràng (3 - ) và (3 + ) hoàn toàn có

"bà con"

Ta chia 2 vế phương trình (*) cho 2 và được:

(*) ⇔ + = 3 ⇔ + = 3

Nhận xét .= = 1 = 1. ( đến đây ta đã biến đổi thành công !) Nên ta đặt t = > 0 và khi đó =

PT thành + t = 3 ⇔ t - 3t + 1 = 0 ⇔ ( Nhận vì thỏa t > 0 ) Với t = ⇔ = ⇔ 2x + 1 = 1 ⇔ x = 0

Với t = ⇔ = ⇔ 2x + 1 = -1 ⇔ x = -1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = -1

Cung cấp bởi cbook.vn

–

e. 125 - 4.50 + 20 + 6.8 = 0

→ HD giải: Đối với câu e này, ta thấy rằng các PT cùng mũ nhưng cả 4 cơ số đều khác nhau. Nên ta quyết định sẽ chia bớt cho một cơ số để tìm mối quan hệ giữa các cơ số còn lại. Kinh nghiệm là ta sẽ chia cho cơ số lớn nhất hoặc cơ số nhỏ nhất.

Cách 1: Chia cho cơ số lớn nhất 125 PT ⇔ 1 - 4.+ + 6. = 0

⇔ 1 - 4.+ + 6. = 0 ( Đặt t = > 0 ) PT thành 1 - 4t + t + 6t = 0 ⇔

Với t = ⇔ = ⇔ x = log (Chú ý: a = b ⇔ x = log b) Với t = ⇔ = ⇔ x = log

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Cách 2: Chia cho cơ số nhỏ nhất 8

PT ⇔ - 4.+ + 6 = 0 ⇔ - 4.+ + 6 = 0 (HS tự làm tiếp)

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a. log (4 + 4).log (4 + 1) = 3

→ HD giải: Điều kiện:(luôn đúng) PT ⇔ log (4.4 + 4).log (4 + 1) = 3

⇔ log [4.(4 + 1)].log (4 + 1) = 3 ( Ta có log b + log c = log bc ) ⇔ [log 4 + log(4 + 1)].log (4 + 1) = 3 ⇔ [2 + log(4 + 1)].log(4 + 1) = 3 ( đặt t = log(4 + 1)

PT thành (2 + t).t = 3 ⇔ t + 2t - 3 = 0 ⇔

Với t = 1 ⇔ log(4 + 1) = 1 ⇔ 4 + 1 = 2 ⇔ 4 = 1 = 4 ⇔ x = 0

Với t = -3 ⇔ log(4 + 1) = -3 ⇔ 4 + 1 = 2 ⇔ 4 = - 1 = < 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0

b. 1 + log (x - 1) = log 4 → HD giải: Điều kiện: ⇔

PT ⇔ 1 + log (x - 1) = log 2 (ta có log b = α log b) ⇔ 1 + log (x - 1) = 2log 2 (ta có log b = )

⇔ 1 + log (x - 1) = 2 ( Đặt t = log (x - 1) ) PT thành 1 + t = ⇔ t + t - 2 = 0 ⇔

Với t = 1 ⇔ log (x - 1) = 1 ⇔ x - 1 = 2 ⇔ x = 3 (nhận) Với t = -2 ⇔ log (x - 1) = -2 ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = (nhận) Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3, x = .

c. log (x - 1) - 5log (x - 1) + 1 = 0

Cung cấp bởi cbook.vn

→ HD giải: Điều kiện: (x - 1) > 0 ⇔ x - 1 ≠ 0 – PT ⇔ [log (x - 1)] - 10.log (x - 1) + 1 = 0

⇔ [4log (x - 1)] -10.log (x - 1) + 1 = 0

⇔ 16[log (x - 1)] - 10.log (x - 1) + 1 = 0 ( đặt t = log (x - 1)) PT thành 16t - 10t + 1 = 0 ⇔

Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = 1 + Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = 1 + Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 + , x = 1 + Chú ý: Cần phân biệt log b ≠ log b

d. log + log = log(x + 2)

→ HD giải: Điều kiện:⇔ x > 2

Ta có 7 - 4 = (2 - ) và (2 - )(2 + ) = 4 - 3 = 1 Nên ta đặt t = 2 - ⇒ 2 + =

Ta có PT ⇔ - log + log = log(x + 2) ⇔ - log + log = log

⇔ - ( log + log ) + log = log ⇔ log + log = 0

⇔ log = 0 ⇔ = t = 1 ⇔ x - 4 = 1 ⇔ x = 5 ⇔ x = ± Do x > 2 ⇒ nhận x =

e. log (4x + 12x + 9) = 4 - log (6x + 23x + 21) → HD giải: Điều kiện:⇔ (*)

PT ⇔ log (2x + 3) = 4 - log [(3x + 7)(2x + 3)]

⇔ 2log (2x + 3) = 4 - [log (3x + 7) + log(2x + 3)]

⇔ 2log (2x + 3) = 3 - log (3x + 7) Đặt t = log (2x + 3) ⇒ = log (3x + 7)

PT ⇔ 2t = 3 - ⇔ 2t - 3t + 1 = 0 ⇔ t=1 v t =

Với t = 1 ⇔ log (2x + 3) = 1 ⇔ 2x + 3 = 3x + 7 ⇔ x = - 4 ( loại vì không thỏa (*)) Với t = ⇔ log (2x + 3) = ⇔ 2x + 3 = (3x + 7) ⇔ (2x + 3) = 3x + 7

⇔ 4x + 9x + 2 = 0 ⇔ .Vậy phương trình có nghiệm x = BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:

1) 3 + 3 = 30 2) 2 + 2 - 17 = 0 3) 9 - 10.3 + 1 = 0

4) 64.9 - 84.12 + 27.16 = 0 5) 4 - 9.2 + 2 = 0

Cung cấp bởi cbook.vn

–

6) 4x+ x2−2 −5.2x− +1 x2−2 − =6 0 7) 3.3 - 10.3 + 3 = 0

8) 3.2 - 8.2 + 4 = 0 9) 2 - 9.2 + 2 = 0 10) 25 = 25 + 24.5

11) (2 - ) + (2 + ) = 14 12) ( 4− 15) (x+ 4+ 15)x=8

13) 8 - 3.4 - 3.2 + 8 = 0

14) 2 - 6.2 - + = 1 15) ( + 1) + 2( - 1) = 3.2 16) + 5-2= 10 17) (5 - ) + 7(5 + ) = 2

18) + = 6

19) 3.4 + 2.9 = 5.6

20) (7 + 5) + ( - 5)(3 + 2) + 3(1 + ) + 1 - = 0 21) (2 + ) + (2 - ) =

22) (2 + ) + (7 + 4)(2 - ) = 4(2 + ) 23) ( - 1) + ( + 1) - 2 = 0

24) 3.8 + 4.12 - 18 - 2.27 = 0 25) 3 - 2.3 + 3 = 0

26) (7 + 4) - 3(2 - ) + 2 = 0 27) log 2 + log x =

28) - 4log = 1 29) - log = 0

30) log (x - 8x + 16) + log (-x + 5x - 4) = 3 31) 1 + = log

32) log .log x - log = + log

33) log (-x) - 2logx + 4 = 0 34) log x - log x = log 3 - 1 35) log (5 - 1).log(2.5 - 2) = 2

36) 5log x + log x + 8log x = 2 37) log (4 + 15.2 + 27) + 2log = 0 38) log + log 5x - 2,25 = log 39) 3log 6 - 4log x = 2log x

40) log 2.log 2 = log 2

41) log (lgx + 2 + 1) - 2log ( + 1) = 1 42) + = 1 43) lg x - lgx + 2 = 0

44) log x + 40log x = 14.log x 45) log (x - 1) - 5log (x - 1) - 3376 = 0 46) log (2 + x) + log x = 2

47) log (2x - 9x + 9) + log (4x - 12x + 9) = 4 48) log(9 + 7) = 2 + log (3 + 1)

49) lg (x - 1) + lg (x - 1) = 25 50) 3 + = log 9x -

51) log (2x + x - 1) + log(2x - 1) = 4 52) 4 + 2 = 4 + 2

Cung cấp bởi cbook.vn

– 53) 4 - 3.2 - 4 = 0

54) log (x + 1) - 6log + 2 = 0 55) (3 + 2) = ( - 1) + 3 56) = 2(0,3) + 3 57) = 6.(0,7) + 7 58) 3.16 + 2.81 = 5.36

59) 3 - 8.3 - 9.9 = 0 60) 5.3 - 7.3 + = 0 61) 8.3 + 9 = 9

62) (26 + 15) + 2(7 + 4) - 2(2 - ) = 1

63) 4 + 2 = 2 + 1 64) lg x - 20lg + = 0 65) 3 + = 5

66) 9 - 3 = 3- 1 67) 2 - = 6 68) 2 + 2 = 1 + 2

68) log 27 - log 3 + log 243 = 0

69) 8 + 1 = 2. 70) 2 - 2 - 6(2 - 2.2) = 1

DẠNG 4: MŨ HÓA - LOGARIT HÓA

→ PP: giúp ta chuyển một PT mũ - log về một PT log - mũ mà ta đã biết cách giải.

Cần chú ý:

a) a = b ⇔ log a = log b

⇔ f(x) = g(x).log b ( hoặc log a = log b ⇔ f(x).log a = g(x) ) b) log f(x) = log g(x). Đặt t = log f(x) = log g(x)

Khi đó: a = f(x) và b = g(x) ⇒ chuyển về phương trình mũ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. 5.8 = 500

→ HD giải: Điều kiện x ≠ 0

Nhận xét ta không để đưa PT trên về cùng một cơ số và đồng thời số mũ của chúng cũng khác nhau hoàn toàn. Do vậy ta thử LOG HÓA PT mũ trên. Để thực hiện ta cần chọn cơ số cho Logarit. Việc chọn " cơ số " sẽ giúp bạn giải hoặc nhanh hoặc chậm bài toán đi nhưng cuối cùng đích đến vẫn là tìm được đáp số.

Cách 1: Lấy log 2 vế với cơ số 5.

PT ⇔ log (5.8) = log 500

⇔ log 5 + log 8 = log (5.2) (Để phân tích 500 = 5.2 ta chia nó cho các số nguyên tố) ⇔ x + 3 .log 2 = 3 + 2log2

⇔ (x - 3) + log 2 3 - 2 = 0 ⇔ (x - 3) + log 2 = 0

Cung cấp bởi cbook.vn

⇔ (x - 3)1 + = 0 ⇔ x=3 v 1 + = 0 – Với 1 + = 0 ⇔ x + log 2 = 0 ⇔ x = -log 2 Vậy PT có 2 nghiệm x = 3 v x = -log 2 Cách 2: Lấy log 2 vế với cơ số 2. ( vì 8 = 2 ) PT ⇔ log (5.8) = log (5.2)

⇔ log 5 + log 2= 3log 5 + 2 ⇔ x.log 5 + = 3log 5 + 2 ⇔ (x - 3).log 5 + - 2 = 0

⇔ (x - 3).log 5 + = 0 ⇔ (x - 3)log 5 + ⇔ x = 3 v x = = - log 2 b. x = 1000x

→ HD giải: Điều kiện x > 0 PT ⇔ lgx = lg1000x

⇔ lgx.lgx = lg1000 + lgx

⇔ lg x = 3 + 2lgx ( Đặt t = lgx ) PT thành t - 2t - 3 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a. log (log x + + 9) = 2x → HD giải: Điều kiện x > 0 PT ⇔ log x + + 9 = 3

⇔ log x = ⇔ x = 9 = (nhận) b. log log x = log log x → HD giải: Điều kiện: ⇔ x > 1 Đặt t = log log x ⇔ log x = 5 (1) Mặt khác t = log log x ⇔ log x = 2 (2)

Lại có log x = log 5.log x nên từ (1) và (2) ta có 5 = 2.log 5 Hay = log 5 ⇔ t = log (log 5). Thay vào (2) ta được:

log x = 2 ⇔ x = 5 c. 3log (1 + + ) = 2log

→ HD giải: Điều kiện: x > 0

Khác biệt giữa câu c này và câu b nằm ở chỗ dạng PT ở câu b là log = log. còn với bài toán ta đang gặp phải là m.log = n.log. Kinh nghiệm là ta sẽ chọn k là bội số chung nhỏ nhất của cả 2 số m và n đó.

Đặt 6t = 3log (1 + + ) = 2log Ta có: ⇔

Do đó 1 + 2 + 2 = 3 ⇔ 1 + 8 + 4 = 9 ( Giải tiếp bằng cách chia bớt cơ số và dùng dạng 5 ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:

1) 3. 2 = 72 2) 2 = 3 3) 2 = x

Cung cấp bởi cbook.vn

– 4) 8 = 36.3

5) 5 = 2 6) 3 .8 = 36 7) 5.2 = 50 8) 3 = 2

9) x = 8 10) 5.3 = 4 11) 2 .3 = 12) x = 10

13) 2 = x 14) log (x - 3x - 13) = log x 15) log (1 + ) = log x

16) 2log ( + ) = log x 17) log (x + 2) = log x 18) log (x + 2x + 1) = log (x + 2x)

19) log (log x) = log (log x) 20) 3log (x + 2) = 2log (x + 1) 21) log (76 + ) = log x

22) log (1 + ) = log x 23) log (x + 1) + log (2x + 1) = 2 24) 2 . 3 = 1,5

25) log [2log (1 + 3log x)] = 26) log (x + 2) = log 5 27) 3.2 = 8.4 DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

→ PP: xét PT mũ - logarit f(x) = 0 (*) với x∈ D

*Nếu f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì PT (*) có không quá một nghiệm. Nghĩa là nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.

* Nếu y = f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v với mọi u, v ∈ D.

* Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời f (x) có đúng m nghiệm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 sẽ có không quá m + 1 nghiệm.

Chú ý: đạo hàm của (a )' = u'. a .lna và đạm hàm của (log u)' =

Hầu hết các phương pháp ở các dạng trên sau nhiều phép tính toán, biến đổi rất dễ đưa về dạng toán này. Cho nên các bạn cần chú ý học và tìm hiểu kỹ dạng này. Đó cũng là tiền đề để bạn sử dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. 2 = 3 - x

→ HD giải: PT ⇔ 2 - 3 + x = 0 Xét f(x) = 2 - 3 + x với mọi x ∈ R

Ta có f'(x) = 2 ln2 + 1 > 0 ∀x ∈ R ( do 2 > 0 và ln2 > 0 )

⇒ f(x) luôn đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1.

Cung cấp bởi cbook.vn