Thư viện tài liệu trực tuyến 123cbook.com Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 5 TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA 5 I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 5 II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 6 III. MỘT SỐ VÍ DỤ. 8 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 16 VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 16 Dạng 1: Các phép tính về số phức. 16 Dạng 2: Các bài toán chứng minh. 18 Dạng 3: Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức. 20 VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC. 24 Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức: 24 Cho số phức w = a + bi . Tìm căn bậc hai của số phức này. 24 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai. 26 Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai 27 Dạng 4: Giải hệ phương trình phức. 31 VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 32 Dạng 1: Chuyển một số phức sang dạng lượng giác. 32 Dạng 2: Ứng dụng của dạng lượng giác. 35 CHƯƠNG III: CÁC ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI (NÂNG CAO) 40 VẤN ĐỀ 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN 40 ÁP DỤNG SỐ PHỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 40 VẤN ĐỀ 2: DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 45 2.1 Phương pháp giải toán 45 2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức 46 2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán 52 2.4 Ứng dụng số phức giải toán dựng hình 66 2.5 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích 70 VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG 76 MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 76 CHƯƠNG IV: BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 86 Dạng 1: Tính toán và Chứng minh 86 Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm 94 Dạng 3: Căn bậc hai và phương trình bậc hai 96 Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai 99 Dạng 5: Hệ phương trình phức. 101 Dạng 6: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác 102 Dạng 7: Vận dụng dạng lượng giác giải toán 105 CHƯƠNG V: KIẾN THỨC BỔ XUNG (THAM KHẢO) 107 Lịch sử hình thành khái niệm số phức. 107 Khái niệm số phức 111 Xây dựng trường số phức 111 KẾT LUẬN 112 LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Số phức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i2 = 1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi . i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. ) Một số lưu ý: Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. z = z’ 3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: 5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: 6. Số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi. Số phức = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy = = a bi Chú ý: 10) = z z và gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 20) z. = a2 + b2 ) Tính chất của số phức liên hợp: (1): (2): (3): (4): z. = (z = a + bi ) 7. Môđun của số phức. Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau: Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì = = Nếu z = a + bi, thì = = 8. Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z1 của số phức z ≠ 0 là số z1= Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 1. Cho số phức z 0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Như vậy nếu là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng: + 2k, k Z. 2. Dạng lượng giác của số phức. Xét số phức z = a + bi 0 (a, b R) Gọi r là môđun của z và là một acgumen của z. Ta có: a = rcos , b = rsin z = r(cos +isin), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0. z = a + bi (a, b R) gọi là dạng đại số của z. 3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(cos +isin) z = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.rcos( +’) +isin( +’) khi r > 0. 4. Công thức Moivre. z = r(cos +isin)n = rn(cos n +isin n) 5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0) Khi đó z có hai căn bậc hai là: và = 6. Công thức Moivre: Xét số phức , với mọi số nguyên dương n ta có: Chú ý: i, Với ta có ii, Căn bậc hai của số phức ( ) là hai số phức và iii, Từ công thức Moivre, ta cũng có thể chứng minh được căn bậc n của số phức gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng ; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến III. MỘT SỐ VÍ DỤ. Bài 1: Tìm môđun của số phức Lời giải: Vì Suy ra: Bài 2: Cho hai số phức: ; . Tính và Lời giải: Bài 3: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của biểu thức A = Lời giải: Ta có: = 12 10 = 9 = 9i2
123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Thư viện tài liệu trực tuyến 123cbook.com Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 1 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 5 TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA 5 I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 5 II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 6 III. MỘT SỐ VÍ DỤ 8 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 16 VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 16 Dạng 1: Các phép tính về số phức 16 Dạng 2: Các bài toán chứng minh 18 Dạng 3: Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức 19 VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC 24 Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức: 24 Cho số phức w = a + bi . Tìm căn bậc hai của số phức này 24 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai 26 Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai 26 Dạng 4: Giải hệ phương trình phức 31 VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 32 Dạng 1: Chuyển một số phức sang dạng lượng giác 32 Dạng 2: Ứng dụng của dạng lượng giác 35 CHƯƠNG III: CÁC ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI (NÂNG CAO) 39 VẤN ĐỀ 2: DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 45 2.1 Phương pháp giải toán 45 2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức 46 2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán 52 Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 2 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 CHƯƠNG IV: BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 87 Dạng 1: Tính toán và Chứng minh 87 Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm 95 Dạng 3: Căn bậc hai và phương trình bậc hai 97 Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai 100 Dạng 5: Hệ phương trình phức 102 Dạng 6: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác 103 Dạng 7: Vận dụng dạng lượng giác giải toán 106 CHƯƠNG V: KIẾN THỨC BỔ XUNG (THAM KHẢO) 108 *Lịch sử hình thành khái niệm số phức 108 *Khái niệm số phức 112 *Xây dựng trường số phức 112 KẾT LUẬN 113 Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 3 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Số phức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 4 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i 2 = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi . i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. z = z’ ⇔ ' ' a a b b = = 3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: ' ( ') ( ') ' ( ') ( ') z z a a b b i z z a a b b i + = + + + − = − + − 5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: ' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i = − + − 6. Số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z = a bi+ = a - bi Chú ý: 1 0 ) z = z ⇒ z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 2 0 ) z. z = a 2 + b 2 *) Tính chất của số phức liên hợp: Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 5 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 (1): z z= (2): ' 'z z z z+ = + (3): . ' . 'z z z z= (4): z. z = 2 2 a b+ (z = a + bi ) 7. Môđun của số phức. Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau: - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM uuuuuv = 2 2 a b+ - Nếu z = a + bi, thì z = .z z = 2 2 a b+ 8. Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a 2 +b 2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z -1 của số phức z ≠ 0 là số z -1 = 2 2 2 1 1 z z a b z = + Thương 'z z của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: 1 2 ' '. . z z z z z z z − = = Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 1. Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Như vậy nếu ϕ là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng: ϕ + 2kπ, k ∈ Z. 2. Dạng lượng giác của số phức. Xét số phức z = a + bi ≠ 0 (a, b ∈ R) Gọi r là môđun của z và ϕ là một acgumen của z. Ta có: a = rcosϕ , b = rsinϕ z = r(cos ϕ +isin ϕ ), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. z = a + bi (a, b ∈ R) gọi là dạng đại số của z. 3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác. Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 6 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Nếu z = r(cos ϕ +isin ϕ ) z' = r’(cos ϕ ’ +isin ϕ ’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.r[cos( ϕ + ϕ ’) +isin( ϕ + ϕ ’)] [ ] ' ' os( ' ) isin( ' ) z r c z r ϕ ϕ ϕ ϕ = − + − khi r > 0. 4. Công thức Moivre. [z = r(cos ϕ +isin ϕ )] n = r n (cos n ϕ +isin n ϕ ) 5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Cho số phức z = r(cos ϕ +isin ϕ ) (r>0) Khi đó z có hai căn bậc hai là: os isin 2 2 r c ϕ ϕ + ÷ và - os isin 2 2 r c ϕ ϕ + ÷ = os isin 2 2 r c ϕ ϕ π π + + + ÷ ÷ ÷ 6. Công thức Moivre: Xét số phức (cos sin )z r i ϕ ϕ = + , với mọi số nguyên dương n ta có: [ ] ( ) (cos sin ) cos sin n n n z r i r n i n ϕ ϕ ϕ ϕ = + = + *Chú ý: i, Với 1r = ta có ( ) (cos sin ) cos sin n i n i n ϕ ϕ ϕ ϕ + = + ii, Căn bậc hai của số phức (cos sin )z r i ϕ ϕ = + ( 0r > ) là hai số phức cos sin 2 2 r i ϕ ϕ + ÷ và cos sin cos sin 2 2 2 2 r i r i ϕ ϕ ϕ ϕ π π − + = + + + ÷ ÷ ÷ iii, Từ công thức Moivre, ta cũng có thể chứng minh được căn bậc n của số phức (cos sin )z r i ϕ ϕ = + gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng 2 2 cos sin n k k r i n n n n ϕ π ϕ π + + + ÷ ÷ ; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến 1n − Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 7 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 III. MỘT SỐ VÍ DỤ. Bài 1: Tìm môđun của số phức ( ) 3 1 4 1z i i = + + − Lời giải: Vì ( ) 3 3 2 3 1 1 3 3 1 3 3 2 2i i i i i i i − = − + − = − − + = − − Suy ra: ( ) 2 2 1 2 1 2 5z i z = − + ⇒ = − + = Bài 2: Cho hai số phức: 1 3 5z i = − ; 2 3z i = − . Tính 1 2 z z và 1 2 z z Lời giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 5 3 3 5 8 4 3 2 3 4 3 3 3 i i z i i i z i i i − − − − = = = = − − − + ( ) 2 2 1 2 2 3 7 z z = + − = Bài 3: Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2 2 10 0z z + + = . Tính giá trị của biểu thức A = 2 2 1 2 z z + Lời giải: Ta có: ∆ = 1 2 - 10 = -9 = 9i 2 Phương trình có các nghiệm: z 1 = - 1 - 3i; z 2 = - 1 + 3i Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 3 20z z + = − + − + − + = Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: ( ) 2 10z i − + = và . 25z z = Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b ∈ ¡ , ta có: ( ) . 25 2 10 z z z i = − + = ⇔ ( ) ( ) 2 2 25 2 1 10 a b a b i + = − + − = ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 25 2 1 10 a b a b + = − + − = ⇔ 2 2 25 2 10 a b a b + = + = ⇔ 3 4 5 0 a b a b = = = = Vậy có hai số phức cần tìm : z = 3 + 4i , z = 5 + 0i Bài 5: Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm 2 z z z + Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 8 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Lời giải: ( ) ( ) 2 2 4 3 4 3 11 27z z i i i + = − + + = − ( ) ( ) 2 2 2 11 27 4 3 11 27 37 141 4 3 4 3 25 i i z z i i i z − − + − − − ⇒ = = = + + Bài 6: Giải phương trình sau (ẩn z): ( ) 2 2 1 5z z i + = + Lời giải: Giả sử z a bi = + ; ( ) 2 2 1 5z z i + = + ( ) 2 (*) 2 1 10 25a bi a bi i i ⇒ ⇔ + + − = + + 3 24 8 3 24 10 8 10 10 10 a a a bi i z i b b = − = − ⇔ − = − + ⇔ ⇔ ⇒ = − − − = = − Bài 7: Tìm căn bậc hai của số phức sau: 3 2 3 3 2 2 z i = − + Lời giải: Ta có: 3 2 3 3 2 2 3 3 3 3 os isin 2 2 2 2 4 4 z i i c π π − = − + = + = + ÷ ÷ ÷ Suy ra z có hai căn bậc hai là: w = 3 2 3 2 3 os isin 8 2 8 2 k k c π π π π + + + ÷ ÷ ( ) 0;1k = + Khi 0k = ⇒ w = 3 3 3 os isin 8 8 c π π + ÷ + khi 1k = ⇒ w = 3 3 3 os isin 8 8 c π π π π + + + ÷ ÷ = 11 11 3 os isin 8 8 c π π + ÷ Bài 8: Tìm các căn bậc hai của số phức: 21 20z i = − Lời giải: Gọi x yi + ( ) ,x y ∈ ¡ là một căn bậc hai của z. Ta có: 2 2 21 2 20 x y xy − = = − (1) (2) (2) 10 y x ⇔ = − Thay 10 y x = − vào (1) ta được: 2 2 100 21x x − = 4 2 21 100 0x x ⇔ − − = 2 25 5x x ⇔ = ⇔ = ± 5 2; 5 2x y x y = ⇒ = − = − ⇒ = Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 9 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 2i− và 5 2i − + * Cách khác: ( ) ( ) 2 2 25 2.5.2 2 5 2z i i i = − + = − Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 2i− và 5 2i − + Bài 9: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 7 4 0z i z i − + + + = Lời giải: Ta có: ' 35 12i ∆ = − − . Ta tìm các căn bậc hai x yi + của ' ∆ : ( ) 2 2 2 35 35 12 2 12 x y x yi i xy − = − + = − − ⇔ = − Do đó ta giải được 2 căn bậc hai là: ( ) 1 6 ;1 6i i − − − nên phương trình có hai nghiệm: 1 3 4z i = − và 2 2 2z i = + Bài 10: Giải phương trình sau trên £ (ẩn z): 4 3 2 2 2 1 0z z z z + − + + = Lời giải: 4 3 2 2 2 1 1 2 2 1 0 2 1 0z z z z z z z z + − + + = ⇔ + + + − = ÷ (do z ≠ 0) Đặt w = 2 2 2 1 1 z+ w 2 z z z ⇒ + = − , ta được: 2 2 w=1 w 2 2 1 0 w 2 3 0 w=-3 w w − + − = ⇔ + − = ⇔ Do đó: 1 1z z + = (1) hay 1 3z z + = − (2) + Giải (1) 2 1 0z z ⇔ − + = Ta có: ( ) 2 1 4 3 3i∆ = − = − = Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 1 2 1 3 1 3 ; 2 2 i i z z + − = = + Giải (2) 2 3 1 0z z ⇔ + + = . Ta có: 9 4 5 ∆ = − = Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: 3 4 3 5 3 5 ; 2 2 z z − + − − = = Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm: 1 2 1 3 1 3 ; 2 2 i i z z + − = = ; 3 4 3 5 3 5 ; 2 2 z z − + − − = = Bài 11: Giải phương trình sau trên £ (ẩn z): 4 3 2 2 2 2 2 0z z z z − + + + = Lời giải: 4 3 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 2 2 1 0z z z z z z z z − + + + = ⇔ + − − + = ÷ ÷ Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 10 [...]... thi Quốc Gia năm 2016 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Phương pháp giải Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức Chú ý cho HS: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức Ví dụ 1: Cho số phức z = 3 1 −... về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức) Khi đó ta giải bài toán này như sau: Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 19 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài liệu... vị của bộ ba số 1, i và –i) Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 31 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Chuyển một số phức sang dạng lượng giác Phương pháp: Dạng lượng giác có dạng: z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) trong đó r > 0 Để chuyển một số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r và ϕ; a cosϕ = r + ϕ là số thực thoả... Gia năm 2016 Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y) Ta có: OM = x2 + y 2 = z Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M Lưu ý: - Với số thực dương R, tập hợp các số phức với z = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn tâm O, bán kính R Các số phức z, z < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R) - Các số. .. thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số 3 thực Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i )(3 − 2i) + 1 3+i Giải: Ta có : z = 5 + i + 3−i 3−i = 5+i + (3 + i )(3 − i ) 10 Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 16 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Suy ra số phức liên hợp của z là: z = 53 9 − i 10 10 Ví dụ 3: Tìm mô đun của số phức z = Giải: Ta có : z = (1 + i )(2... Do đó: phần thực bằng 0; phần ảo bằng -23012 Bài 21: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Hỏi các số sau đây là số thực hay số ảo: Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 14 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 a) z 2 − ( z ) 2 b) z2 + ( z ) 2 1 + zz Lời giải: a) z 2 − ( z ) = ( a + bi ) − ( a − bi ) = 4abi là số ảo b) z2 + ( z ) 1 + zz 2 2 2 ( a + bi ) + ( a − bi )... Vậy số phức cần tìm là: z = 26 − 3 13 78 − 9 13 + 13 26 Ví dụ 15: Cho z1 = 1+i; z2 = -1-i Tìm z3 ∈ C sao cho các điểm biểu diễn của z 1, z2, z3 tạo thành tam giác đều Giải: Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau: Giả sử M1(x1;y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i Giả sử M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 23 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài... bmtoan.123cbook@gmail.com 35 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Đồng nhất hai vế ta được điều phải chứng minh Ngoài ứng dụng của công thức Moivre vào lượng giác, chúng ta có thể thấy nếu chuyển được một số phức về dạng lượng giác thì có thể tìm căn bậc hai một cách dễ dàng và nhanh chóng Sau đây là một số ứng dụng của dạng lượng giác để tìm căn bậc hai của một số phức và giải phương trình... bmtoan.123cbook@gmail.com 33 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 3) 1 π 1 1 2 π π π = (1 − i) = 2 cos − ÷+ isin − ÷ = cos − 4 ÷+ isin − 4 ÷ 4 2 + 2i 4 2 4 4 Ví dụ 30: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 1) ( (1 − i )10 3 +i 2) cos ) 9 π π − i sin ÷i 5 (1 + 3i)7 3 3 1) Xét số phức: 10 (1 − i ) 10 ( 3 +i ) 9... i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 Ví dụ 6: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 17 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i 16 1+ i 1− i 8 Ví dụ 7: Tính số phức sau: z = ÷ + ÷ 1− i 1+ . 123cbook.com 4 123cbook.com – Chuyên đề Số phức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu. môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức 19 VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC 24 Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức: 24 Cho số phức w = a + bi . Tìm căn bậc hai của số phức này. hợp các số phức ký hiệu là C. *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa