Chuyên đề số phức năm 2016

Thư viện tài liệu trực tuyến 123cbook.com Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 5 TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA 5 I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 5 II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 6 III. MỘT SỐ VÍ DỤ. 8 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 16 VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 16 Dạng 1: Các phép tính về số phức. 16 Dạng 2: Các bài toán chứng minh. 18 Dạng 3: Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức. 20 VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC. 24 Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức: 24 Cho số phức w = a + bi . Tìm căn bậc hai của số phức này. 24 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai. 26 Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai 27 Dạng 4: Giải hệ phương trình phức. 31 VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 32 Dạng 1: Chuyển một số phức sang dạng lượng giác. 32 Dạng 2: Ứng dụng của dạng lượng giác. 35 CHƯƠNG III: CÁC ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI (NÂNG CAO) 40 VẤN ĐỀ 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN 40 ÁP DỤNG SỐ PHỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 40 VẤN ĐỀ 2: DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 45 2.1 Phương pháp giải toán 45 2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức 46 2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán 52 2.4 Ứng dụng số phức giải toán dựng hình 66 2.5 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích 70 VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG 76 MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 76 CHƯƠNG IV: BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 86 Dạng 1: Tính toán và Chứng minh 86 Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm 94 Dạng 3: Căn bậc hai và phương trình bậc hai 96 Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai 99 Dạng 5: Hệ phương trình phức. 101 Dạng 6: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác 102 Dạng 7: Vận dụng dạng lượng giác giải toán 105 CHƯƠNG V: KIẾN THỨC BỔ XUNG (THAM KHẢO) 107 Lịch sử hình thành khái niệm số phức. 107 Khái niệm số phức 111 Xây dựng trường số phức 111 KẾT LUẬN 112 LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Số phức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i2 = 1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi . i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. ) Một số lưu ý: Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. z = z’  3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: 5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: 6. Số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi. Số phức = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy = = a bi Chú ý: 10) = z  z và gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 20) z. = a2 + b2 ) Tính chất của số phức liên hợp: (1): (2): (3): (4): z. = (z = a + bi ) 7. Môđun của số phức. Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau: Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì = = Nếu z = a + bi, thì = = 8. Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z1 của số phức z ≠ 0 là số z1= Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 1. Cho số phức z  0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:  + 2k, k  Z. 2. Dạng lượng giác của số phức. Xét số phức z = a + bi  0 (a, b  R) Gọi r là môđun của z và  là một acgumen của z. Ta có: a = rcos , b = rsin z = r(cos +isin), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0. z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số của z. 3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(cos +isin) z = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.rcos( +’) +isin( +’) khi r > 0. 4. Công thức Moivre. z = r(cos +isin)n = rn(cos n +isin n) 5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0) Khi đó z có hai căn bậc hai là: và = 6. Công thức Moivre: Xét số phức , với mọi số nguyên dương n ta có: Chú ý: i, Với ta có ii, Căn bậc hai của số phức ( ) là hai số phức và iii, Từ công thức Moivre, ta cũng có thể chứng minh được căn bậc n của số phức gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng ; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến III. MỘT SỐ VÍ DỤ. Bài 1: Tìm môđun của số phức Lời giải: Vì Suy ra: Bài 2: Cho hai số phức: ; . Tính và Lời giải: Bài 3: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của biểu thức A = Lời giải: Ta có: = 12 10 = 9 = 9i2

Thư viện tài liệu trực tuyến

123cbook.com

Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 5

TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA 5

I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 5

II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 6

III MỘT SỐ VÍ DỤ 8

CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 16

VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 16

Dạng 1: Các phép tính về số phức 16

Dạng 2: Các bài toán chứng minh 18

Dạng 3: Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức 20

VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC 24

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức: 24

Cho số phức w = a + bi Tìm căn bậc hai của số phức này 24

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai 26

Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai 27

Dạng 4: Giải hệ phương trình phức 31

VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 32

Dạng 1: Chuyển một số phức sang dạng lượng giác 32

Dạng 2: Ứng dụng của dạng lượng giác 35

CHƯƠNG III: CÁC ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI (NÂNG CAO) .40 VẤN ĐỀ 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN 40

ÁP DỤNG SỐ PHỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 40

VẤN ĐỀ 2: DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 45

2.1 Phương pháp giải toán 45

2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức 46

2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán 52

2.4 Ứng dụng số phức giải toán dựng hình 66

2.5 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích 70

VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG 76

MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 76

CHƯƠNG IV: BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 86

Dạng 1: Tính toán và Chứng minh 86

Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm 94

Dạng 3: Căn bậc hai và phương trình bậc hai 96

Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai 99

Dạng 5: Hệ phương trình phức 101

Dạng 6: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác 102

Dạng 7: Vận dụng dạng lượng giác giải toán 105

CHƯƠNG V: KIẾN THỨC BỔ XUNG (THAM KHẢO) 107

*Lịch sử hình thành khái niệm số phức 107

*Khái niệm số phức 111

*Xây dựng trường số phức 111

KẾT LUẬN 112

LỜI NÓI ĐẦU

Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và

Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Số

phức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi

ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông

Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn họctương đương

Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập Đốivới người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn

Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh

Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảngdạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng

Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này

Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với

bộ tài liệu này

Các tác giả

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC

TRONG LUYỆN THI QUỐC GIA

I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1 Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả

mãn i 2 = -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

3 Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi

4 Phép cộng và phép trừ các số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

' ( ') ( ') ' ( ') ( ')

Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không

âm được xác định như sau:

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM

II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC.

1 Cho số phức z  0 Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo

(radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:

z = r(cos +isin), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0.

z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số của z.

Nếu z = r(cos +isin)

[z = r(cos +isin)]n = rn(cos n +isin n)

5 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0)

Khi đó z có hai căn bậc hai là: os isin

Xét số phức z r (cosisin ) , với mọi số nguyên dương n ta có:

z  r i  r ni n

*Chú ý: i, Với r 1 ta có (cosisin ) n cosnisinn 

ii, Căn bậc hai của số phức z r (cosisin ) (r 0) là hai số phức cos sin

Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z2  2z 10 0 

Tính giá trị của biểu thức A = z12 z2 2

a b a b

Giải phương trình sau (ẩn z): z 2z  1 5i2

Lời giải: Giả sử z a bi  ; z 2z  1 5i2

x x

Do đó ta giải được 2 căn bậc hai là:  1 6 ;1 6 i  i

nên phương trình có hai nghiệm:z1  3 4ivà z2  2 2i

Suy ra có hai căn bậc hai của  là 3 i và 3 i

x x

y

x x

Suy ra có hai căn bậc hai của  là  3 i và 3 i

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z i  z z2i

Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y  )

Ta có: 2 z i  z z2i

 2 xy 1i 2 2  y i

i z

Viết dạng lượng giác của số phức z 1 3i

i z

a) z2   z 2 b)  

2 21

CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Các phép tính về số phức.

Phương pháp giải.

Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức

Chú ý cho HS: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức

đáng nhớ như trong số thực Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức

Suy ra số phức liên hợp của z là: 53 9

Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

 35x y x x y 2y1

 

1747

x y

Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

Dạng 2: Các bài toán chứng minh.

Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về

1 1

z z

Cộng hai bất đẳng thức trên ta được: (a2 + b2)2 + (2a+1)2 < 0  vô lý  đpcm

Dạng 3: Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức.

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tậphợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường

là hệ thức liên quan đến môđun của số phức) Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y  R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểmM(x;y) Ta có: OM = x2y2 = z

Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểmM

Lưu ý:

- Với số thực dương R, tập hợp các số phức với z = R biểu diễn trên mặt phẳng phức

là đường tròn tâm O, bán kính R

- Các số phức z, z < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R)

- Các số phức z, z >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R)

Ví dụ 11 : Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp các

điểm M(z) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:

đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2

Vậy tập hợp tất cả các điểm M(z) chính là đường trung trực của AB

Chú ý: Ta có thể giải cách khác như sau:

Giả sử z = x + yi, khi đó:

-2 -1

1 2

x

y

A

B O

(2)  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2  4x + 2y + 3 = 0.

vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0

nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là phương trình đường trung trực của đoạn AB.3) Xét: 2z  z 2 (3)

Giả sử z = x + yi, khi đó:

Gọi A, B tương ứng là các điểm biểu diễn số thực -2 và 2, tức là A(-2;0), B(2;0)

Vậy (3)  M(z)A > M(z)B Mà A, B đối xứng nhau qua Oy

Từ đó suy ra tập hợp các điểm M(z) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung

Xét điểm A(-1;1) là điểm biểu diễn số phức -1 + i Khi đó 1≤ MA ≤ 2

Vậy tập hợp các điểm M(z) là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và nhỏlần lượt là 2 và 1

Cách 2: Giả sử z = x +yi khi đó (5)  1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2  1 ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ 4

Ví dụ 12: Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn

một trong các điều kiện sau đây:

x x

Đặt z = x + yi  z = x – yi Khi đó: (3)  |x+(y-1)i| = |(x+y)i|

Ta lại có: z 3i 1

z i





  |z-3i| = |z+i|  |x+yi-3i| = |x+yi+i|  x2 + (y – 3)2 = x2 + (y+1)2

 y = 1  x = 1 Vậy số phức phải tìm là z =1+i

Ví dụ 14: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = 3

I(2;-Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất 

M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường tròn

Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau:

Giả sử M1(x1;y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i

Giả sử M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i

Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1M2 bằng môđun của số phức z1 – z2

Vậy có hai số phức thoả mãn là: z3 = 3(1+i) và z3 = - 3(1-i)

VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC.

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức:

Cho số phức w = a + bi Tìm căn bậc hai của số phức này.

Phương pháp:

+) Nếu w = 0  w có một căn bậc hai là 0

+) Nếu w = a > 0 (a  R)  w có hai căn bậc hai là a và - a

+) Nếu w = a < 0 (a  R)  w có hai căn bậc hai là ai và - ai

Chú ý: Có rất nhiều cách để giải hệ này, sau đây là hai cách thường dùng để giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp thế: Rút x theo y từ phương trình (2) thế vào pt (1) rồi

biến đổi thành phương trình trùng phương để giải

Cách 2: Ta biến đổi hệ như sau:

Nhận xét: Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.

Ví dụ 16: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1) 4 + 6 5i

2) -1-2 6 i

Giải:

1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = 4 + 6 5i

Khi đó: z2 = w  (x+yi)2 = 4 + 6 5i

2 2

3 5

(1)4

Vậy số phức w = 4 + 6 5i có hai căn bậc hai là: z1 = 3 + 5i và z2 = -3 - 5i

2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2 6i

Khi đó: z2 = w  (x+yi)2 = -1-2 6i 

2 2

6(1)1

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai.

Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C  C, A  0)



 

(trong đó  là một căn bậc hai của )

*) Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 =

2

B A

Ta có:  = -4 = 4i2  phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i

2) Ta có:  = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i

Bây giờ ta phải tìm các căn bậc hai của 2i

1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = 2i



2 2

11

10

Vậy số phức 2i có hai căn bậc hai là: 1+i và -1 –i

 Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3 1 1 2

Nhận xét: Ngoài phương pháp tìm căn bậc hai như ở trên, đối với nhiều bài ta có thể phân

tích  thành bình phương của một số phức Chẳng hạn: 2i = i2 + 2i + 1 = (i+ 1)2 từ đó dễdàng suy ra hai căn bậc hai của 2i là 1 + i và -1 – i

Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai

Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặcbiệt có thể quy được về bậc hai.

Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất vàbậc hai

Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai

mà ta đã biết cách giải

3.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử.

Ví dụ 18: Cho phương trình sau:

z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1)

1) Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo

2) Giải phương trình (1)

Giải:

a) Đặt z = yi với y  R

Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0

 -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i

đồng nhất hoá hai vế ta được:

Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i

b) Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i

 vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:

z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  R)

đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5

 (1)  (z – 2i)(z2 = 2z + 5) = 0  2

22

3 3 3

2

z z

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

2) Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i

Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:

33

2

4 0

2

z z

z z

1 232

12

i z

z

z z





 



1 32

i y

i y

Ta có :  = (1+3i)2 + 16 = 8 +6i = (3+i)2

 phương trình (2) có 2 nghiệm: z1 = 1+i

z2 = 1

2

 + 1

2i+) Với y = 1 3

Ta có :  = (1-3i)2 + 16 = 8 -6i = (3-i)2

 phương trình (3) có 2 nghiệm: z3 = 1-i

z4 = 1

2

 - 1

2iVậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

Dạng 4: Giải hệ phương trình phức.

Vậy hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm (là hoán vị của bộ ba số 1, i và –i).

VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC.

Dạng 1: Chuyển một số phức sang dạng lượng giác.

Phương pháp: Dạng lượng giác có dạng: z = r(cos  + i sin  ) trong đó r > 0.

Để chuyển một số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r và ;

+ Ta có r = |z|

+  là số thực thoả mãn

ossin

a c

r b r

Chọn  là số thực thoả mãn

1os23sin

23sin

Nhận xét: Đây là một dạng bài tập rất phổ biến, cần chú ý cho học sinh cách chọn số  thỏa

mãn hệ phương trình lượng giác

ossin

a c

r b r

23sin

Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:

1) cosa - isin a = cos(2 - a) + isin(2 -a) khi a  [0;2)

2) z2 = sina +i(1+cosa) = 2sin

- Nếu a  z2 = 0(cos0 + isin0)

3) z3 = cosa + sina + i(sina – cosa) = 2(cos

sin5t = 16sin5t – 20sin3t +5sint

cos5t = 16cos5t – 20cos3t +5cost

Giải:

Dùng công thức Moivre và công thức khai triển nhị thức (cost + isint)5

Ta được:

cos5t + isin5t = cos5 t + 5icos4tsint + 10i2cos3tsin2t + 10i3 cos2t.sin3t +5i4 cost.sin4t + i5sin5t

 cos5t + isin5t = cos5 t -10cos3t(1-cos2t) + 5cost(1-sin2t)2 + i[5(1-sin2t)2sint – 10(1-sin2t)sin3t+sin5t]

Đồng nhất hai vế ta được điều phải chứng minh

Ngoài ứng dụng của công thức Moivre vào lượng giác, chúng ta có thể thấy nếu chuyển được một số phức về dạng lượng giác thì có thể tìm căn bậc hai một cách dễ dàng và nhanh chóng Sau đây là một số ứng dụng của dạng lượng giác để tìm căn bậc hai của một số phức và giải phương trình bậc hai.

Ví dụ 35: Cho z1 và z2 là hai số phứ xác định bởi z1 = 1+i 3 và z2 = 1 – i

a) Xác định dạng đại số và dạng lượng giác của 1

2

z z

b) Từ đó suy ra giá trị chính xác của: cos7

a) CMR z0 là nghiệm của phương trình z5 – 1 = 0

d) Giải phương trình ở câu c)

e) Từ đó suy ra giá trị của z0 và biểu thức giá trị của cos2

b) Khai triển đẳng thức này ta được z5 – 1 = 0

i z

i z

Z6 = -64  r6 (cos6  + isin6  )= 64(cos  + isin  )  r6 = 64  r = 2

Và cos6  + isin6  = cos  + isin   6  =  +2k  (k  Z)   = 2

CHƯƠNG III: CÁC ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI (NÂNG CAO)

VẤN ĐỀ 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN

ÁP DỤNG SỐ PHỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải.

1 Một phương trình ẩn phức f z =( ) 0 với z= +x yi có thể giải bằng

cách tách phần thực phần ảo Ta luôn đưa phương trình về dạng:

Như vậy việc giải phương trình ẩn phức quy về việc giải hệ phương trình

đại số (*)

2 Từ nhận định trên, ta có thể tiến hành quy trình ngược lại Giải hệ

phương trình đại số (*) quy về giải phương trình với ẩn phức Chú ý rằng cho số phức

Thường thì hầu hết các em học sinh lầm tưởng hệ trên là hệ đối xứng (Ta thường gọi là

hệ đối xứng loại 2) Nếu nhận dạng hệ có vế trái đẳng cấp bậc 3 thì cũng gặp nhiều khó khăn

vì phương trình bậc 3 thu được không có nghiệm hữu tỷ Để ý thấy vế phải của hệ phươngtrình là 1, 1, vế trái của hệ có bậc 3 nên ta xuất phát từ số phức 1 i+

Như vậy x, y là phần thực và phần ảo của số phức w

Ta nhận thấy vế trái của hệ phương trình đẳng cấp bậc 4, vế phải của hệ là

các hệ số 3,1 nếu ta nhân hai vế của phương trình hai trong hệ với 4

Bài giải Ta tìm số phức w= +x yi x y, ,( Î ¡ ) sao cho w4 = 3 + i