Chuyên đề bất đẳng thức năm 2016

Thư viện tài liệu trực tuyến 123cbook.com Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH MỤC LỤC MỤC LỤC 2 LỜI NÓI ĐẦU 4 PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 5 I. Một số bất đẳng thức cần nhớ: 5 1. Bất đăng thức Cô – si: 5 2. Bất đẳng thức Bunhiacopski: 5 3. Bất đẳng thức Cauchy. 5 4. Bất đẳng thức Svacsơ. 5 5. Bất đẳng thức Trê bưsép: 6 II. Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng. 6 III. Các tính chất cơ bản. 6 IV. Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức. 7 V. Các kiến thức về toạ độ vec tơ. 7 PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 8 Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương tương đương. 8 Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ. 13 Phương pháp 3: Bất đẳng thức Cô sy. 17 Phương pháp 4: Bất đẳng thức Bunhiacopski cơ bản và mở rộng. 19 Phương pháp 5: Bất đẳng thức Trê bưsép. 21 Phương pháp 6: Bất đẳng thức Bernouli. 24 Phương pháp 7: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy. 26 Phương pháp 8: Chứng minh bằng phản chứng. 29 Phương pháp 9: Sử dụng tính chất bắc cầu. 32 Phương pháp 10: Dùng tính chất của tỷ số. 33 Phương pháp 11: Phương pháp làm trội. 34 Phương pháp 12: Phương pháp lượng giác. 36 Phương pháp 13: Phương pháp chứng minh qui nạp. 40 Phương pháp 14: Phương pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau. 47 Phương pháp 15: Dùng bất đẳng thức trong tam giác. 49 Phương pháp 16: Sử dụng hình học và tọa độ 49 Phương pháp 17: Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai. 50 Phương pháp 18: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu. 52 Phương pháp 19: Đổi biến số 55 Phương pháp 20: Phương pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác. 59 Phương pháp 21: Sử dụng khai triển nhị thức Newton. 63 Phương pháp 22: Sử dụng tích phân. 65 ) Một số bài tập nâng cao. 66 PHẦN 3: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC. 70 Dạng 1: Dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN. 70 Dạng 2: Dùng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình. 73 Dạng 3: Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên. 80 Dạng 4: Ứng dụng vectơ trong bài toán chứng minh bất đẳng thức. 82 PHẦN 4: TUYỂN TẬP 100 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 87 KẾT LUẬN 88 LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Bất Đẳng thức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Một số bất đẳng thức cần nhớ: 1. Bất đăng thức Cô – si: Cho n số không âm . Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Với , ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Với , ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2. Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho hai bộ Ta có: Dấu bằng xảy ra . 3. Bất đẳng thức Cauchy. Cho n số không âm Ta có: Dấu bằng xảy ra . 4. Bất đẳng thức Svacsơ. với Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 5. Bất đẳng thức Trê bưsép: Nếu Nếu Dấu bằng xảy ra khi II. Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng. o o dấu( = ) khi x = y = 0 o o o III. Các tính chất cơ bản. Tính chất 1: a > b b < a Tính chất 2: a > b và b > c => a > c Tính chất 3: a > b a + c > b + c Hệ quả : a > b a c > b – c a + c > b a > b – c Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a c > b – d Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c < 0 => ac < bd Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd a > b > 0 => an > bn a > b an > bn với n lẻ . IV. Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức. V. Các kiến thức về toạ độ vec tơ. Cho hai véctơ (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có Dấu “=” xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Tổng quát: Dấu “=” xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Dấu “=” thứ nhất xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Dấu “=” thứ hai xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng .

Trang 1

Thư viện tài liệu trực tuyến

123cbook.com

Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH

Trang 2

123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

LỜI NÓI ĐẦU 4

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 5

I Một số bất đẳng thức cần nhớ: a20; a 0;  b b b  5

1 Bất đăng thức Cô – si: 5

2 Bất đẳng thức Bunhiacopski: 5

3 Bất đẳng thức Cauchy 5

4 Bất đẳng thức Svac-sơ 5

5 Bất đẳng thức Trê- bư-sép: 6

II Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng 6

III Các tính chất cơ bản 6

IV Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức 7

V Các kiến thức về toạ độ vec tơ 7

PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 8

Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương tương đương 8

Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ 13

Phương pháp 3: Bất đẳng thức Cô sy 17

Phương pháp 4: Bất đẳng thức Bunhiacopski cơ bản và mở rộng 19

Phương pháp 5: Bất đẳng thức Trê- bư-sép 21

Phương pháp 6: Bất đẳng thức Bernouli 24

Phương pháp 7: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy 26

Phương pháp 8: Chứng minh bằng phản chứng 29

Phương pháp 9: Sử dụng tính chất bắc cầu 32

Phương pháp 10: Dùng tính chất của tỷ số 33

Phương pháp 11: Phương pháp làm trội 34

Phương pháp 12: Phương pháp lượng giác 36

Phương pháp 13: Phương pháp chứng minh qui nạp 40

Phương pháp 14: Phương pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau 47

Phương pháp 15: Dùng bất đẳng thức trong tam giác 49

Trang 3

Phương pháp 16: Sử dụng hình học và tọa độ 49

Phương pháp 17: Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai 50

Phương pháp 18: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu 52

Phương pháp 19: Đổi biến số 55

Phương pháp 20: Phương pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác 59

Phương pháp 21: Sử dụng khai triển nhị thức Newton 63

Phương pháp 22: Sử dụng tích phân 65

*) Một số bài tập nâng cao 66

PHẦN 3: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 70

Dạng 1: Dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN 70

Dạng 2: Dùng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình 73

Dạng 3: Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên 80

Dạng 4: Ứng dụng vectơ trong bài toán chứng minh bất đẳng thức 82

PHẦN 4: TUYỂN TẬP 100 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 87

KẾT LUẬN 88

Trang 4

LỜI NÓI ĐẦU

Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và

Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Bất

Đẳng thức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự

thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông

Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn họctương đương

Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập Đốivới người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn

Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh

Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảngdạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng

Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này

Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với

bộ tài liệu này

Các tác giả

Trang 5

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

I Một số bất đẳng thức cần nhớ: a2  0; a  0;  b   b b

1 Bất đăng thức Cô – si:

Cho n số không âm x x1, , ,2 xn Ta có:

  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2   xn

Với n 2, ta có: 1 2

1 22

x x



 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2

Với n 3, ta có: 1 2 3 3

1 2 33

x x x

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2  x3

Trang 6

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 2

c b a



3

.33

C B A c b a cC bB

c b a



3

.33

C B A c b a cC bB

c b a

II Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng.

Trang 7

V Các kiến thức về toạ độ vec tơ.

Cho hai véctơ a b   , (Trong mặt phẳng hoặc không gian) Khi đó ta có

Trang 8

PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương tương đương.

I Phương pháp giải:

Đây là phương pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản

để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng Ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức:

 Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh

 Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét dấu các thừa số đó

 Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để được điều phải chứng minh.

1 (x y)2 (xz)2 (y z)20đúng với mọi x;y;zR

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz

= ( x – y + z)2  0 đúng với mọi x;y;zR

Trang 9

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

2 2

2a2 b2 a2  abb2





= 2a 2b a b 2ab4

Vậy

2 2

1 2 2

a n

a a

44

4

2 2

22

2 2

m n

m

(luôn đúng)

Trang 10

Dấu bằng xảy ra khi

02

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a4 b4 c4 abc(abc)

) 2 (

0 2

2 2

2

0 2

2 2

2 2 2

0

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 4 4 4

2 2 2 4 4 4

bc bc ab a

c c b b a

ab a a c b a

ab c a c c b ac b c b b a a c c b b a

ab c ac b bc a

c a a

c c b c

b b a b

a

ab c ac b bc a c b a

Trang 11

Giải:

a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4 

12 8 4 4 8 12 12 10 2 2

a  a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0

 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0

Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 7: cho x.y =1 và xy Chứng minh

y x



 2

2

2 2 vì :xy nên x- y  0  x2+y2  2 2( x-y)  x2+y2- 2 2 x+2 2y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

 (x-y- 2)2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

z y x

11

x (vì1x 1y 1z< x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương

Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộcphải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

c c b

b b a a

Giải:

c b a

a b a

a c b a b a c b a b a

b c

c c

Trang 12

b b a

a

(*)

c b a

c a b a

a b a a

b a c b

b c a c

b b a

c c b

b b a

a

(đpcm)

III Bài tập áp dụng.

Bài 1: Cho a + b = 2 Chứng minh rằng: a4 b4 2

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

d d

c

c c

b

b b

a

2 2

3 2

2

3 2

2

3 2

Trang 13

Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ.

1 Phương pháp giải.

Đây là phương pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức Chúng ta dựa vào điều kiện đã cho ở đề bài để ta lựa chọn phương pháp cho thích hợp Ngoài ra, ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng các BĐT đã được chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để được BĐT cần chứng minh.

Trang 14

3(

33

Trang 15

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a2,b2 ta có:

Trang 16

Trang 17

b c ab

a

Phương pháp 3: Bất đẳng thức Cô sy.

1 Phương pháp.

a/ Với hai số không âm : a, b 0, ta có: ab 2 ab Dấu “=” xảy ra khi a=b

b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :

n n n

n

n n

n

a a

a a a

a

a a a n a a

1

2 1 2

1

Dấu “=” xảy ra khi a1 a2  a n

Chú ý: Ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm.

2 Một số ví dụ mẫu.

Ví dụ 1 : Giải phương trình :

2

3 4 2

2 1 2

4 1 4

x x

x

Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt , , 0

4 2

a

Vế trái của phương trình:

Trang 18

3

1 1 3 2

Vậy phương trình tương đương với :

0 1

4 2 1 1

y x

1 1

1

2 2

a bc a bc a bc

2

1 1 2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC :  3

b a

c b

a

(*)

Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :

) 1 ( ) )(

)(

(

3 3

c b a b a c a c b

abc c

b a

c b

a c

b a

c b

2

1 ) )(

(bc a ca b  bc aca b c

Trang 19

Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được

) 3 ( 1 ) )(

)(

(

) )(

abc

abc c

b a b a c a c b

Từ (1),(3) suy ra (*) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều

c b a

, , 0 0

Chứng minh rằng:    2  2

c a c

z b

y a

x cz

y a

x ac zc yb xa

z c a y c a x c a c

z ac zc b

y ac yb a

x ac xa

y c a b

y ac yb c a b

ac b

( ) (

2

2 2

đpcm z

y x ac

c a c

z b

y a

x ac zc

yb

xa

z y x c a c

z b

y a

x ac zc yb

xa

z y x c a c

z b

y a

x ac zc yb

)(

( )

2

2 1 2 2

2

2 1

2 2

2 1

a b

b a

2

2 1

2 2

2

2 1

b b

a a

 Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng

 Nếu a,b > 0:

Trang 20

Đặt: i n

b

b a

i  

Suy ra:

b a b a b

a b

n n

.

1 )

( 2

1 )

( 2

1

2 2 1 1

2 2

2 2 1 2

2 2 2 1 2

2 1 1

2

2 1

2 2

2 1

n

i i

b

a b

a dáu cùng

n i

2

2 1

1 1

B B

1

2

1

m m

m m m m

m m m

m m

i i

3 2 2

2

2 1

n Z n

a a

2 1

Giải:

Trang 21

4 1

1 1

2 2

k k k

2 3

1

3

1 2

1

2 2 1 2

a a n

a a

a

n n

 a2 b2 c2 abbcac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Phương pháp 5: Bất đẳng thức Trê- bư-sép.

b b

b

a a

a

2 1 2 1

thì

n

b a b

a b a n

b b

b n

a a

b

a a

a

2 1

b b

b

a a

a

2 1 2 1

thì

n

b a b

a b a n

b b

b n

a a

b

a a

a

2 1 2 1

Trang 22

2 Một số ví dụ.

Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và

3

2 sin

sin sin

2 sin sin 2

sin sin 2 sin

C B

A

C C

B B

a A

S là diện tích tan giác chứng minh rằng ABC là tam giác đều

Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư .

a

C B

A

2 sin 2

sin 2

sin

sin sin

sin 2 (sin 3

1 sin

sin sin

2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin

2 sin sin 2

sin sin 2

sin sin

3

2 sin 2 sin 2 sin sin sin

sin

C B

A C

B A

C C

B B

A A

C C

B B A

A

C B

A C

B A

A

C B

sin 2

sin

sin sin

sin

Mặt khác:

) 2 ( 2 sin sin ).

sin 2 )(

sin 2

(

sin sin sin 4 sin sin 2 sin

2

) cos(

sin 2 cos ) cos(

sin

2

2 sin ) cos(

).

sin(

2 2 sin 2

sin 2

sin

S C b a C B R A R

C B A B

A C

B A B

A C C

B A C

C B

A B

A C

B A

2 sin

sin sin

2 sin sin 2

sin sin 2 sin

C B

A

C C

B B

a A

c c a

b c b

2 2 2

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

2 2 2 2

2

3.3

1

=

21

Vậy

2

1

3 3

b c b

a

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

31

Ví dụ 3: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

2 2 2 2

Trang 23

ab c

ac ab

a

b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z4(1 x)(1 y)(1 z)

c/ Cho a>0 , b>0, c>0 Chứng minh rằng:

b c b a

d) Cho x 0,y 0 thỏa mãn 2 x y 1 CMR: x+y

Trang 24

- Nếu a  1 hay b 1 thì BĐT luôn đúng

c c

b a

b c

b a a

Áp dụng BĐT Bernouli:

c b a

a c b c

b a

a c b c

1 2 1

(2)Chứng minh tương tự ta đuợc:

c b a

b a c c

c b a c

1

(4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có

5

c b a

c c

b a

b c

b

a

(đpcm)Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:

“Cho a1 ,a2 , a n  0 ;r  1 Chứng minh rằng

r n r

n r

r

n

a a

a n

a a

2 2 2 2

2 3

0 2 1 2

a

a a a

Chứng minh tương tự:

Trang 25

) 3 ( 3 2

) 2 ( 3 2

8

81

11122

11129

đpcm c

b a c b a

c b a c b a c

b a c b

b a x

x x x x

x

c

c c n c

c c c c

2

2 1 2

1

Phương pháp 7: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

1 Phương pháp:

Đây là phương pháp chứng minh BĐT mà các học sinh dễ nhận dạng để chứng minh đó là

sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng các BĐT đã được chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để được BĐT cần chứng minh.

Trang 26

Trang 28

vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những điều trái ngược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Một số hình thức chứng minh bằng phản chứng:

 Dùng mệnh đề đảo.

 Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.

 Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.

 Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau.

Trang 29

Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng

Ví dụ 2: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất

Trang 30

Ví dụ 3: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108 Chứng minh rằng có thể chọn được 3 trong

6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ca, c<ab

Giải

Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là 1 a  1  a2  a  6  108

Rõ ràng a2  2; a3  3 Với 3 số x,y,z thoã mãn 1 x y z  

Ta luôn có x<yz và y<xz Nếu trong các số a1, a2 ,…, a6 không có 3 số nào thoã mãn a<b<c

Trái với giả thiết a6 <108 Vậy phải có 3 số a,b,c thoã mãn a<bc; b<ca; c<ab

Ví dụ 4: Cho các số thực a,b,c thoã mãn điều kiện:

a b c 0 (1)ab+bc+ca>0 (2)abc>0 (3)

Trang 31

Vì : (a2 ac c  2  0 a,b,c R)  

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy 3 sô a,b,c đều là số dương

Kết quả này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đã nêu ra ở trên

Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai

d c a

 (a-c)(b-d) > cd  ab-ad-bc+cd >cd  ab> ad+bc (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn

3

5

2 2 2

1 1 1 1





 Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0

Trang 32

 ac+bc-ab 

2

1

( a2+b2+c2)  ac+bc-ab

6

5

  1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có

c b a

111

Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)

Do c <1 nên 1- c >0 ta có  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 Chứng minh rằng: 2a3 2b3 2c3 3a2bb2cc2a

Phương pháp 10: Dùng tính chất của tỷ số.

1 Phương pháp:

1) Cho a, b ,c là các số dương thì

Trang 33

c a b

a d

c b

d a

d c

c d

c b

b c

b a

a

Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

d c b a

d a c

b a

a c

b a

a



 <

d c b a

d a

d c b a

a b d

c b

b d

c b

c b a

d c

c d

c b

c d b

a d

d d

c b

d a

d c

c d

c b

b c

b a

cd ab





2 2

cd d b

cd ab b

cd ab





2

2 điều phải chứng minh

Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000

tìm giá trị lớn nhất của

d

b c a



Trang 34

Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử :

c

a d

b

 Từ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

a

  999b/Nếu: b=998 thì a=1 

d

b c

a

d c

9991

 Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999Vậy giá trị lớn nhất của

d

b c

(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1u2 u n

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:

u k a k  a k 1

Khi đó :S = a1 a2  a2 a3 a n  a n1a1 a n1

(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 u n

Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k=

2 2

n

a

a a

a a a

2

11

12

n

Giải: Ta có

n n n k

111

1

2

12

1

2

11

n n

k     2 1

1

22

21

Trang 35

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

11

1



Trang 36

Một số phương pháp lượng giác thường gặp:

sin x

sin a x

;0

 Nếu |x|  m hoặc bài toán có chứa biểu thức x 2 m2

thì đặt x =

 cos

;0

 Nếu x  R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tg với   

, 2

 Nếu x  R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với   

Trang 37

Và b  d 1 c  2  cos 1 cos b  2a  cos sin b a

a b cos sin cos sin

Trang 38

2

2 2

sin

cos(cos sin )sina 2sin cos cosa

cos sin cos2 sina sin2 cosa

aa

Trang 39

Đặt a=cos với [0,]       ; 1 a sin

2cos2a1

;2sin2a

(1)

2

cos2sin22222

sin2cos22.2

cos2sin2

sin2

cos2

sin2

cos2

sin2

cos2

sin2

cos2

5    9 a 1

Bài 6:

)a1)(

c1(

|ac

|)

c1)(

b1(

|cb

|)

b1)(

a1(

|ba

|

2 2 2

2 2

Trang 40

a1(

)ab1)(

ba(

 Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT đúng với điều kiện nhỏ nhất.

 Giả sử BĐT đúng với một số nguyên dương k bất kỳ

Điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2

Ta có:

Định dạng
Số trang	142
Dung lượng	5,75 MB