chuyên đề bất đẳng thức tích phân

chuyên đề bất đẳng thức tích phân - TS nguyễn phú khánh

Chứng minh rằng :

3 4 4

3 4 1

2

6 0

π π

( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)

sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin

Đặt cos sincos

n n

lim

n

limxlim

Đặt f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2)

ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ

CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Chứng minh rằng :

+++

∏

1 0

2 1

121

dx

−

−+

1 0

( )

2

3 2

tg tt

x

dx

ex

4 0

( )

( )

2

2 2

1

1

dxx

11

x=tgt⇒dx= dt= +tg t dt

1 sin

tg tx

2

1 2

( )4

1

1

dxx

3 2 1

1

cos4

4

tgx

x tgx xx

x

=+

tg tt

Đẳng thức xảy ra khi :

Xem lại chú ý trên , đây là phần sai lầm thường mắc phải không ít người đã vội kết luận đẳng thức (*)

đúng Thật vô lý

Bài toán này có thể giải theo phương pháp nhị thức Newton

Chứng minh rằng : nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục và x xác định trên [a,b] , thì ta có :

i x

i n b

i x

i n

2 0

2 1

2sin cos

34

27

2 0

2 2

1

0 ; 1, 21

∏

∏

ց

4

Chứng minh rằng :

2 2

1 1 1 0 2 0

tg x dx

tgdxx

4

412

xx

Xét hàm số ( ) 1 ; 0,

2 0

2 4

x

n n

2 0

4 4

4

0 2 0

Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục trên [0,1] và f(1) – f(0) = 1

3
∫ fx dx<4Theo BĐT Bunhiacosky

dx

ff

1 0

2

x

x x

ff

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Chứng minh rằng :

1 2.

4003 2001

9 ln

1

dx x dx x dx x

dx

e x

x

dx e

x

dx x dx x n

3 0

1 0 1 0 3 4 4 1 1 1 0 1 0

0

1 0

x dx

dx

dx x x dx

∫

∫ +

−

∫ +

1 0

1 0

0 3 0 2 0

2 0 1 1 3 4

1 0

2 ln

2

2 1

sin( )

1 cos( )

1 36

e

x dx dx x

x dx tgx dx

dx x x

e nx dx x nx dx x

∫ +

1 2 1

1 2

x

n x

5 sin 2 3cos

48125

1

2

0

227

29

xx

2 1

2 0 1 1 1 0

0 1 2 0

11

12 13 14 15 16

1

1

xdxxdx

5 3

19

17 18

xx

dx

x

dxx

2 0

2 2 1 1 3 3

1 1

2 1 0

2 0

30

28 29

31 32 33

1

49

3 8

2 0

3 0

2 4 2 2 2 1 2 1

34 35

37 38 39 40

e

x

dxx

x

dxx

xdxx

xx

dxx

2 0

2 2 1 3 1

25 26 27

2

e

e e

x x

x

dxx

x

xxdxxxdxx

ee