Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi đại học lê xuân đại

Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán thường có trong các đề thi ĐHC Đ. Các thí sinh của chúng ta đều rất sợ và lúng túng khi gặp phải bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đơn giản là do các bài toán về BĐT thường là bài toán khó trong đề thi, nhằm phân loại và chọn được các học sinh khá giỏi. Thường thì các sĩ tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán về BĐT. Bài viết này muốn hệ thống cho các bạn các phương pháp cơ bản và một số dạng bài tập về BĐT. Hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi ĐH- CĐ sắp tới. Những lời khuyên bổ ích khi học về BĐT: 1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT 2. Nắm vững các phương pháp cơ bản chứng minh BĐT như: PP biến đổi tương đương; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm? 3. Đặc biệt chú trọng vào ôn tập các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng xảy ra khi nào; nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêm bớt như vậy? 4. Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều áp dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng được, chẳng hạn như:

Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp LÊ XUÂN ĐạI (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bất đẳng thức (BĐT) dạng toán th-ờng có đề thi ĐHCĐ Các thí sinh sợ lúng túng gặp phải toán chứng minh BĐT tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đơn giản toán BĐT th-ờng toán khó đề thi, nhằm phân loại chọn đ-ợc học sinh giỏi Th-ờng sĩ tử không để giải toán BĐT Bài viết muốn hệ thống cho bạn ph-ơng pháp số dạng tập BĐT Hy vọng giúp em học sinh lớp 12 đạt kết cao kì thi ĐH- CĐ tới Những lời khuyên bổ ích học BĐT: Nắm tính chất BĐT Nắm vững ph-ơng pháp chứng minh BĐT nh-: PP biến đổi t-ơng đ-ơng; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm Đặc biệt trọng vào ôn tập kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, biết đặt trả lời câu hỏi nh-: áp dụng; điều kiện cho biến gì; dấu xảy nào; áp dụng có xảy dấu không; lại thêm bớt nh- Luôn bắt đầu với BĐT (điều vô quan trọng); học thuộc số BĐT có nhiều áp dụng nh-ng phải ý điều kiện áp dụng đ-ợc, chẳng hạn nh-: * a  b  c  ab  bc  ca (1) víi mäi a,b,c * (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) (2) víi mäi a,b,c * (a  b  c)  3(a  b  c ) (3) víi mäi a,b,c * * * 1 1   ;    (4) víi mäi a,b,c d-¬ng a b ab a b c abc a  x  b  y  (a  b)  (x  y)2 (5) víi mäi a,b,x,y x y (x  y)   (6) víi a,b d-ơng x,y a b ab pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức * Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp x y z (x  y  z)   (7) với a,b,c d-ơng x,y,z a b c abc ……… DÊu b»ng x¶y ë BĐT (1), (2), (3) (4) a=b=c Dấu xảy BĐT (5) (6) x y x y z  ; ë (7) lµ   a b a b c (víi mÉu kh¸c 0) (Các em hÃy bắt tay vào việc chứng minh BĐT HÃy tìm cho cách giải quán, nhớ làm thi phải chứng minh lại, đ-ợc áp dụng) Tr-ớc hết xin đ-a ph-ơng pháp thông dụng để chứng minh BĐT I Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng: Ph-ơng pháp chung Để chứng minh A  B ta th-êng thùc hiÖn theo mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta chøng minh A B Để làm đ-ợc điều ta th-ờng sử dụng đẳng thức để phân tích A B thành tổng tích biểu thức không âm Cách 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với cách th-ờng cho ta lời giải không đ-ợc tự nhiên cho th-ờng sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt Chú ý: Mét sè kÕt qu¶ hay sư dơng * x  víi mäi x   vµ x   x  * x  víi mäi x   vµ x   x  Mét sè vÝ dô VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi mäi a, b   ta cã: a  b  2ab (1) Gi¶i: Ta cã a  b  2ab  (a  b)2   a b 2ab (đpcm) Đẳng thức xảy a=b Thật đơn giản phải không bạn, tinh ý thêm chút bạn tìm kết tổng quát niềm tin để v-ợt qua BĐT đề thi ĐH hoàn toàn khả thi Cụ thể víi ba sè thùc a,b,c bÊt kú ta cã a  b  2ab ; b  c  2bc vµ a  c2  2ac Cộng vế BĐT ta đ-ợc kết qu¶ sau: a  b  c  ab  bc  ca (2) pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Có thể thấy có hai BĐT t-ơng đ-ơng với (2) quen thuộc (a b  c)2  3(ab  bc  ca) (3) víi mäi a,b,c (a  b  c)  3(a  b  c ) (4) víi mäi a,b,c Chóng ta sÏ nãi thªm øng dơng tut vời BĐT (2), (3) (4) phÇn sau VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c   ta cã: a  b  c  abc(a  b  c) Giải: áp dụng liên tiếp BĐT (2) ví dụ ta đ-ợc: a b c  (a )2  (b )2  (c )  a b  b c  c a  (ab)2  (bc)2  (ac)2  ab.bc  ab.ac  bc.ac  abc(a  b  c) Nh- vËy đề thi hỏi bạn nh- sau: “Cho sè a,b,c tho¶ m·n a  b  c  Chøng minh r»ng: a  b c abc bạn đà có hội cao để đạt điểm 10 rồi! (hÃy tự tin lên nào) Ví dụ 3: Chøng minh r»ng víi mäi a,b  ta cã: a  b3  a b  ab Giải: Ta biến đổi a b  a b  ab  (a  b) (a  b)  , suy đpcm Nhận xét: BĐT thật đơn giản nh-ng có nhiều ứng dụng với toán khó hơn, chẳng hạn ta xét toán sau: Bµi Cho a, b, c  Chøng minh r»ng: 1 1  3  3  a  b  abc b  c  abc a  c  abc abc H-íng gi¶i: Ta cã a  b3  a b  ab  ab(a  b)  a  b3  abc  ab(a  b  c) Suy 1  a  b  abc ab(a  b  c) Cùng hai BĐT t-ơng tự ta đ-ợc VT 1 1    ab(a  b  c) bc(a  b  c) ac(a  b c) abc (đpcm) Xin đ-a thêm hai hệ toán (coi nh- tập cho bạn luyện tập) * Cho a, b, c thoả mÃn abc=1 Khi đó: 1 3  3 1 a  b 1 b  c 1 a  c 1 pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp * Cho a, b, c thoả mÃn abc=1 Khi đó: 1   1 a  b 1 b  c a c (che dấu chất hơn) Bài Cho a,b,c không âm thoả mÃn a b c 2009 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P  4(a  b3 )  4(b3  c3 )  4(a c3 ) H-ớng giải: Mới nhìn BĐT ta cảm thấy khó khăn có bậc điều quan trọng phải sử lí đ-ợc biểu thức dấu Bất đẳng thức a  b3  a 2b  ab cho ta manh mối để giải toán, nh-ng áp dụng nguyên si ch-a ổn Ta biến đổi chút BĐT a b3 a b  ab  3(a  b3 )  3(a 2b  ab )  4(a  b3 )  (a  b)3 Nh- vËy ta có thu đ-ợc BĐT 4(a b3 ) (a b)3 Chắc bạn đồng ý với phép biến đổi tự nhiên Bây áp dụng BĐT vừa tìm đ-ợc ta cã P  4(a  b3 )  4(b3  c3 )  4(a  c3 )  (a  b)  (b  c)  (c  a)  2(a  b  c) 4018 Đẳng thức xảy a  b  c  2009 VËy GTNN P 4018 Bài toán tổng quát: Cho a,b,c không âm thoả mÃn a b c k Tìm giá trị nhỏ P  m(a  b3 )  m(b3  c3 )  m(a  c3 ) ( m, k số d-ơng cho tr-ớc) Bµi Gäi A,B,C lµ ba gãc cđa mét tam giác Tìm giá trị lớn P sin A  sin B  sin C A B C cos  cos  cos 2 H-ớng giải: Đây toán khó, ta hÃy mò mẫm theo ®Çu mèi nhá nhÐ * Thø nhÊt: Ta ®· cã đánh giá quen thuộc tam giác: C AB C sin A  sin B  2cos cos  2cos 2 pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer and thats it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp * Thứ hai: Các bậc gợi ý ta nghÜ tíi B§T: a  b  4(a  b ) Nh- vËy, ta cã T-¬ng tù ta cã sin A  sin B  4(sin A  sin B)  4.2cos sin B  sin C  2.3 cos A vµ C C  2.3 cos 2 sin A  sin C  cos B Cộng vế BĐT ta đ-ợc sin A  sin B  sin C  cos A B C  cos  cos 2 VËy P  Dấu xảy A=B=C, tức tam giác ABC Ví dụ 4: Chứng minh với a, b,c cạnh tam gi¸c bÊt kú ta cã: ab  bc  ca  a  b  c  2(ab bc ca) Giải: BĐT bên trái đà chứng minh, để chứng minh BĐT bên phải ta xuất phát từ BĐT tam giác b  c  a  b  c * NÕu sư dơng b  c  a th× ta biÕn ®ỉi nh- sau: a  b  c  a  (b  c)  b  c  2bc  a  b  c  2bc T-¬ng tù b  a  c2  2ac ; c  a  b  2ab Cộng theo vế ba BĐT ta đ-ợc đpcm * NÕu sư dơng a  b  c th× ta biÕn ®ỉi nh- sau: a  b  c  a  ab  ac , cïng hai B§T t-ơng tự ta có đpcm Ví dụ 5: Chứng minh r»ng víi mäi a, b, x, y   ta có BĐT sau (BĐT Mincôpxki) a x  b  y  (a  b)2 (x y) (1) Giải: Bình ph-ơng hai vế biến đổi t-ơng đ-ơng: a x  b  y  (a  x )(b  y )  a  x  b  y  2ab  2xy  (a  x )(b  y )  ab  xy (*) + NÕu ab  xy  hiển nhiên (*) + Nếu ab xy  th× (*)  (a  x )(b  y )  (ab  xy) (bx ay) (luôn đúng) Vậy toán đ-ợc chứng minh Đẳng thức xảy bx=ay pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and thats it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chú ý: Có thể chứng minh BĐT cách sử dụng BĐT véc tơ đơn giản nh- sau (khi làm thi ĐH bạn phải chứng minh BĐT muốn dùng nó, lúc bạn hÃy chọn ph-ơng án chứng minh mà bạn cho hay dễ nhớ OK) Đặt u  (a; x) vµ v  (b; y) , ®ã u  v  (a  b; x  y)     Tõ B§T vÐc tơ u v u v công thức độ dài véc tơ ta có đpcm Nhận xét: BĐT Mincôpxki có nhiều ứng dụng hay giải đ-ợc nhiều BĐT hóc búa Xin đ-ợc minh hoạ điều qua toán sau đây: Bài Cho a,b không âm thoả mÃn a  b  a) Chøng minh r»ng:  a   b  b) Tìm giá trị nhỏ P a  1  b2  b2 a H-íng gi¶i: a) Ta cã  a   b  (1  1)2  (a b) Đẳng thức xảy a  b  b) Ta cã P  a  2 1 1 1    b   (a  b)      (a  b)     17 b a a b ab Đẳng thức xảy a  b  VËy GTNN cđa P b»ng 17 Bµi Cho x,y,z d-ơng thoả mÃn x y z Chøng minh r»ng: x2  1  y   z   82 x y z H-ớng giải: áp dụng liên tiếp hai lần BĐT (1) ta đ-ợc: 1 1 1 x   y   z   (x  y  z)      x y z x y z 2    (x  y  z)2    82 xyz Bài Cho x,y,z d-ơng thoả mÃn x y z Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P  223  x  223  y  223  z pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp H-ớng giải: Vẫn nh- ta cã h-íng gi¶i qut nh- sau: P  ( 223)2  x  ( 223)  y  ( 223)  z  (3 223)  (x  y  z) 2009 Đẳng thức xảy x y  z  VËy GTNN cña P 2009 * Có lẽ nói thêm bạn đà thấy vẻ đẹp sức mạnh BĐT Mincôpxki Nh-ng nhắc lại phải chứng minh lại BĐT tr-ớc ¸p dơng nhÐ! Bµi tËp tù lun Bµi Chøng minh r»ng: a, b, c, d, e  R, ta cã: a) a2  b2  c2  d2  e2  a(b  c  d  e ) b) a3  b3  a  b      ( a  b  0) Bµi Chøng minh r»ng: a) ( a5  b5 )( a  b )  ( a4  b )( a2  b2 ), a, b : ab  b) 1   , a, b  2 1 a 1b  ab Bµi Cho  ABC Chøng minh r»ng: a) a(b  c)2  b( c  a)2  c( a  b )2  a3  b3  c3 b) a2  b2  c2  2( ab  bc  ca) Bµi Chøng minh r»ng: a) (a  c)(b  d)  ab  c d , a,b,c,d  b) (a  c)2  (b  d)2  a  b  c  d , a,b,c,d  R c) d)  1  1 b     (c  a)  (c  a)    c a b c a b a c  b a  c a  b b  c c  a  abc0  abc0 Bµi Cho a, b > 0: a + b = Chøng minh r»ng ab  a a b b Bµi Cho hai sè thùc a ,b tho¶ m·n a + b ≥ Chøng minh r»ng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Bài Cho ba số a ,b ,c  [0;1] Chøng minh r»ng : a + b + c – ab – bc – ca  Bài Cho a,b,c thoả mÃn a b  c  Chøng minh r»ng: 1 a b c  b  c  3 a  b  c  a 3 3 3 Bài Cho a,b,c d-ơng Chứng minh r»ng: a  ab  b  b  bc  c  a  ac  c  a  b  c pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp II Ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức cô si Bất đẳng thức C«si a) Cho a  0, b  Khi ab ab Đẳng thức xảy a=b b) Cho a  0, b  0, c  Khi ®ã abc  abc Đẳng thức xảy a=b=c ab Các dạng t-ơng đ-ơng là: a b ab ; ab      abc a  b  c  abc ; abc      3 c) Tổng quát: Cho n số thực không âm a1 , a , , a n ( n  2) Khi ®ã ta cã a1  a   a n  n n a1a a n (1) Đẳng thức xảy a1  a   a n Chú ý: Với thi ĐH- CĐ thông th-ờng cần áp dụng BĐT Côsi với sè Mét sè vÝ dô VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: a) a b   a, b  b a b) a b   a, b b a Giải a) áp dụng BĐT Côsi cho hai số d-ơng ta có: a b a b    (®pcm) b a b a DÊu b»ng x¶y a=b b) Ta áp dụng BĐT Côsi cã ®iỊu kiƯn a, b  BiÕn ®ỉi t-ơng đ-ơng BĐT cách bình ph-ơng hai vế: a b a b2 a b  2   4  2 b a b a b a Đến theo BĐT côsi BĐT sau đúng, ta có đpcm Chú ý dấu b»ng x¶y a  b VÝ dơ 2: Cho a,b,c d-¬ng Chøng minh r»ng: pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân §¹i cvp a) 1 (1)   a b ab b) 1    a b c a bc (2) 1  1 Gi¶i a) Nếu viết lại BĐT cần chứng minh d-ới dạng (a  b)     th× h-íng giải a b rõ ràng Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi cho hai số d-ơng ta đ-ợc a b ab 1 Suy (a  b)     ab a b  1  2 a b ab  DÊu “=” xảy a=b ab b) Hoàn toàn t-ơng tự với phần a) cách áp dụng BĐT Côsi với số Nhận xét: Hai BĐT vÝ dơ cã rÊt nhiỊu øng dơng vµ cịng đ-ờng sáng tạo BĐT hay Có thể nói phần lớn BĐT đề thi ĐH- CĐ có gốc tích hai BĐT Nói áp dụng hay hai BĐT nhiều tốn bao giấy mực, xin dẫn chứng vài toán điển hình: Bài Cho a,b,c d-ơng Chứng minh r»ng: 1 1      2    (3) a b c ab bc ac H-ớng giải: áp dụng ba lần BĐT (1) ta đ-ợc 1 1 1   ;   ;   a b ab b c bc a c ac Cộng vế BĐT ta đ-ợc điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c Có lẽ bạn đà cảm thấy ấn t-ợng với lời giải toán, kiến thức sử dụng đơn giản nh-ng hiệu Nếu tiếp tục áp dụng lần BĐT (3) ta đ-ợc BĐT sau: 1 1 1      2    (4) ab bc ac  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  Từ (3) (4) ta đ-ợc BĐT: pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! 10 of your original documents Compatible across Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now! ... it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp II Ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức cô si Bất đẳng thức Côsi a) Cho a  0, b  Khi ®ã ab ab Đẳng thức xảy a=b b) Cho... now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp H-ớng giải: Vẫn nh- ta có h-íng gi¶i qut nh- sau: P  ( 223)2  x  ( 223)  y  ( 223)  z  (3 223)  (x  y  z)  2009 Đẳng thức. .. thats it! Get yours now! Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 1 1 1      4    (5) a b c  2a  b  c a  2b  c a b 2c Đến bạn có nhớ tới đề thi ĐH khối A năm 2004