CÁC CHUYÊN đề KHẢO sát hàm số 2010 (LUYỆN THI đại học)

CÁC CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2010 (LUYỆN THI ĐẠI HỌC) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một phần bài tập không thể thiếu trong các đề thi, tài liệu này đã lựa chọn một số bài toán điển hình liên quan đến hàm số, nhằm giúp các em học sinh cũng như các thầy cô có một nguồn tư liệu phục vụ ôn tập và giảng dạy, luyện thi đại học.

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

A ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Phương pháp chung:

Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu GTTĐ ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phá dấu GTTĐ

+ Xét dấu biểu thức chứa bên trong dấu GTTĐ

+ Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho bởi nhiều biểu thức) Bước 2: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên cùng một hệ trục toạ độ

2 Các kiến thức sử dụng:

• Đ/n GTTĐ:

A 0

A A < 0

A

=



neáu neáu

• Một số tính chất của đồ thị:

1 Đồ thị hàm số y = f(x) và y= - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành Ox

2 Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung Oy

3 Đồ thị hàm số y = f(x) và y = - f(-x) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O

3 Bài toán tổng quát:

Từ đồ thị (C): y = f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

( )

( )

1

2

3

:

C y f x

C y f x

C y f x



=





=



• Dạng 1: Từ đồ thị ( )C :y= f x( ) suy ra đồ thị ( )C1 :y= f x( )

1

f f 0 (1) :

-f f < 0 (2)

C y f x





neáu neáu B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C1) như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1)

- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (do 2)

- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox

Minh hoạ

• Dạng 2: Từ đồ thị ( )C :y= f x( ) suy ra đồ thị ( )C2 :y= f ( )x

B1: Ta có ( ) ( ) ( )

2

f x 0 (1) :

f x < 0 (2)

x

C y f x

x



−



neáu neáu B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C2) như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy (do 1)

- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung (do 2)

- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có)

Minh hoạ

• Dạng 3: Từ đồ thị ( )C :y= f x( ) suy ra đồ thị ( )C3 : y = f x( )

( )

2

( ) (2)

x

f x





−



 B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C3) như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1)

- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (do 2)

- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (nếu có)

Minh hoạ

3 Ví dụ:

VD1: Cho hàm số 3

3

y= −x + x (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

a) y= −x3+3x b) y= − x3 +3x c) y = −x3+3x

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

VD2: Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

− (1)

3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

4 Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

1

x y

x

+

=

− b)

1 1

x y x

+

=

− c)

1 1

x y x

+

=

− d)

1 1

x y x

+

=

− e)

1 1

x y x

+

=

−

4 Bài tập:

Bài tập 1: Cho hàm số 3 2

y= x − x + x− có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm m để phương trình 3 2

2 x −9x +12 x + =1 m có 6 nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình 3 2

2x −9x +12x+3 =m có nhiều hơn 2 nghiệm Đáp số: b) 5<m< c) 46 ≤m≤ 5

Bài tập 2 (Khối B - 2009) Cho hàm số 4 2

y= x − x có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm m để phương trình 2 2

2

x x − =m có đúng 6 nghiệm phân biệt

Đáp số: 0<m< 1

5 Bài tập tự luyện

Bài tập 1 (Khối A - 2006) Cho hàm số 3 2

y= x − x + x− có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm m để phương trình 3 2

2 x −9x +12 x − =4 m có 6 nghiệm phân biệt

Đáp số: 4<m< 5

Bài tập 2: Cho hàm số 4 2

y= −x + x − có đồ thị (C) c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

d) Tìm m để phương trình 4 2

− + − = có 8 nghiệm phân biệt

Đáp số: 0<m< 6

B CỰC TRỊ

Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị

1 Hàm bậc ba: y=f(x) = ax3

+ bx2 + cx + d (a≠0) y’ = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c

Hàm số có cực trị ⇔ Hàm số có CĐ và CT ⇔ f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

2 Hàm trùng phương: y=f(x) = ax4

+ bx2 + c (a≠0) y’ = f’(x) = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

Hàm số có đúng cực trị

0 0 0

a b a

a b

 ≠





=





⇔  ≠



>





; Hàm số có đúng 3 cực trị 0

a

a b

≠



⇔

<



Bài 1: Tìm mđể hàm số ( ) 3 2

y= m+ x + x +mx− có cực đại và cực tiểu

m m

≠ −





− < <



Bài 2 (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm số 3 2 ( )

y=mx + mx − m− x− không có cực trị

6

m

Bài 3 (ĐH cảnh sát-2000) Tìm mđể hàm số 1 4 2 3

y= x −mx + chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

Đáp số: m≤ 0

Bài 4 (ĐH kiến trúc-1999) Tìm mđể hàm số 4 ( ) 2 ( )

y=mx − m− x + − m có đúng một cực trị

4

m

Bài 5 (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm mđể hàm số y=(x−m)3−3x đạt cực tiểu tại điểm có hoành độx= 0

Đáp số: m= − 1

Bài 6 (ĐH khối B - 2002) Tìm m để hàm số 4 ( 2 ) 2

y=mx − m − x + có ba cực trị

Đáp số: m< hoặc 03 <m< 3

Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1 Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT của hàm bậc ba 3 2

( ) ax

y= f x = +bx +cx d+

* Chia f(x) cho f’(x) ta được: ( )f x =Q x f( ) '( )x +Ax+B

* Khi đó, giả sử (x y1; 1) (, x y2; 2) là các điểm cực trị thì: ( )

( )

Ax Ax







2 Tìm nhanh cực trị hàm đa thức f(x) bậc ba, bậc bốn

* Chia f(x) cho f’(x) ta được: ( )f x =Q x f( ) '( )x +Ax+B

* G/s x0 là hoành độ điểm cực trị khi đó tung độ điểm cực trị là y0 = f x( )0 =Ax0+B

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

y=x − x − x+ Đáp số: y= −6x+ 6

Bài 8 (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y= −x + mx + −m x+m −m

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

Đáp số: y=2x−m2+m

Bài 9: Tìm m để hàm số 3 ( ) 2 ( )

y= x + m− x + m− x− có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y= −4x+ 1

Bài 10: Tìm m để hàm số 3 ( ) 2 ( )

y= x + m− x + m − m x có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng 4

y= − x

Bài 11: Tìm m để hàm số 3 2 2

3

y=x − x +m x+m có các điểm cực cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua

y= x− Đáp số: m= 0

Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó

Bài 12: Tìm m để hàm số 3 ( ) 2 ( ) ( 3 )

y= x − m+ x + m+ x− m + có hai điểm cực trị nhỏ hơn 2

− < <

Bài 13 (ĐH khối B DB2 - 2006) Tìm m để hàm số 3 ( ) 2 ( )

y=x + − m x + −m x+m+ có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

m< − <m<

Bài 14 (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số 3 ( ) 2 ( )

y=x − m− x + −m x+ có cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của hàm số có hoành độ dương

− < < ≠

Bài 15 (HV quan hệ quốc tế 1996) Tìm m để hàm số 4 2 4

y=x − mx + m+m có các điểm cực trị lập thành một tam giác đều

Đáp số: 3

3

m=

Bài 16 Tìm m để đồ thị hàm số y=x4−2mx2+m− có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều 1

Đáp số: 3

3

m=

Bài 17 (ĐH khối A BD1 - 2004) Tìm m để hàm số y=x4−2m x2 2+ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của 1 một tam giác vuông cân

Bài 18 Chứng minh rằng hàm số 3 ( ) 2 ( )

y=x − m+ x + m m+ x+ luôn có cực đại, cực tiểu Xác định

m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương

Đáp số: m> 0

Bài 19 (Khối B - 2007) Tìm m để hàm số 3 2 ( 2 ) 2

y= −x + x + m − x− m − có cực đại và cực tiểu và

các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O Đáp số: 1

2

m= ±

y=x + m− x +m − m+ có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Đáp số: m = 1

y=x + m− x + m − m+ x− m + đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn

1 2

C- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG GIAO

1 Phương pháp chung:

• Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:

( ) ( ) 1( )

f x =g x

• Khảo sát nghiệm của phương trình (1) Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C1) và (C2)

• Chú ý: * (1) vơ nghiệm ⇔ (C1) và (C2) khơng cĩ điểm chung

* (1) Cĩ n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) cĩ n điểm chung

* Nghiệm x0 của (1) chính là hồnh độ điểm chung của (C1) và (C2) Khi đĩ tung độ điểm chung y0 = f x( )0 hoặc y0 =g x( )0

2 Xét phương trình ( ) 3 2

f x = +bx +cx+d= (1)

a) Đ/k để (1) cĩ 1, 2, 3 nghiệm

• (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  ( )

<



( ) có cực đại, cực tiểu

1

y CĐ CT 0

f x y

• (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  ( )

=



( ) có cực đại, cực tiểu

2

y CĐ CT 0

f x y











 >



( ) không có cực đại, cực tiểu

3 ( ) có cực đại, cực tiểu

y CĐ CT 0

f x

f x y

b Đ/k để (1) cĩ 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng, cấp số nhân

* Đ/k (1) cĩ 3 nghiệm lập thành CSC:

Đ/k cần: G/s (1) cĩ 3 nghiệm x x x1, 2, 3 lập thành CSC khi đĩ 2

3

b x

a

= − thế vào (1)
giá trị của tham số

Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nĩ cĩ 3 nghiệm lập thành

CSC hay khơng

* Đ/k (1) cĩ 3 nghiệm lập thành CSN:

Đ/k cần: G/s (1) cĩ 3 nghiệm x x x1, 2, 3 lập thành CSN khi đĩ 3

2

d x

a

= − thế vào (1)
giá trị của tham số

Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nĩ cĩ 3 nghiệm lập thành

CSN hay khơng

Chú ý: Nếu a = 1 3 ( ) 3 3 ( )

3 Xét phương trình ( ) 4 2

Đặt t =x2 đ/k t ≥0 ta được phương g t( )=at2+bt c+ = 0 (*)

a) Đ/k để (2) vơ nghiệm, cĩ 1,2, 3,4 nghiệm

* (2) vơ nghiệm khi và chỉ khi (*) vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm t1 ≤t2 <0

* (2) cĩ 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) cĩ nghiệm 1

2

0 0

t t

 =





<



Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

* (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm t1 <0<t2

* (2) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1

2

0 0

t t

 =





>



* (2) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 0<t1 <t2

b) Đ/k để (2) có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng

(2) có 3 nghiệm lập thành CSC ⇔ (*) có 2 nghiệm 1 2 2 1

1 2

1 2

0 9 0

9

0

t t

t t

t t

 ∆ >



=

 < <

⇔

>

=

 + >



4 Xét phương trình ax+ = + 3( )

+

b

mx n

c

  (**) (3) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phận biệt

0

0

d

d f c

c

∆ >



≠ − ⇔  





Chú ý: Trên đây chỉ là điều kiện trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhầm nghiệm để phân tích phương trình về dạng tích khi đó điều kiện sẽ đơn giản hơn

5 Bài tập:

a) Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại k điểm phân biệt

Bài 1 (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm m để đồ thị hàm số y =x4 −mx2+m− cắt trục hoành tại 4 điểm 1 phân biệt

Đáp số: 1<m≠ 2

Bài 2 (DB1 ĐH Khối B -2003) Tìm m để đồ thị hàm số y =( x −1) ( x2 +mx m+ ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

2

m> <m≠ −

Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số y =x3−3x2+3 1( −m x) + +1 3m cắt trục hoành

a) tại 1 điểm

b) tại 2 điểm

c) tại 3 điểm

Đáp số: )a m<1 b)m=1 c)m>1

Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số y =x3+(m+1)x2+2mx m+ 2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

4

m

< <

Bài 6:Tìm m để đồ thị hàm số y =x3−2mx2 +(2m2−1)x m+ (1−m2) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

Đáp số: 2

1

3

m

< <

Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y =(x −1) (x2−2mx m− −1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1

Đáp số:

Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số y =x3−x2+18mx−2m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn

1 0 2 3

x < <x <x

Đáp số:m< 0

b) Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại k điểm phân biệt

Bài 9 (CĐ -2008) Tìm m để đồ thị hàm số

1

x y x

=

− cắt đường thẳng d y: = − +x m tại hai điểm phân biệt

4

m m

 <



>



Bài 10: Cho hàm số 2 3 2 8

4

y = x −x − x + Tìm m để đường thẳng 8

3

y =mx + cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt

− < ≠ −

Bài 11 (DB2 ĐH Khối D -2003) Cho hàm số y =2x3−3x2 − có đồ thị (C), gọi 1 dklà đường thẳng đi qua điểm M (0; 1− )và có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

− < ≠

Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số y =x3−3x2+ có đồ thị (C), gọi 2 d là đường thẳng đi qua điểm

(3;20)

A và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Đáp số:

Bài 13 (ĐH Khối D -2009) Tìm m để đường thẳng y = − cắt đồ thị 1 (Cm)của hàm số

4 3 2 2 3

y =x − m+ x + m tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

Đáp số: 1

− < < ≠

Bài 14: Tìm để đường thẳng :d y =x+2m cắt đồ thị hàm số 3 1

4

x y x

+

=

− tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn nhất

Đáp số:

Bài 15: Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

− có đồ thị (C)

a) Chứng minh rằng đường thẳng : 2d x y m− + = luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 0 hai nhánh của (C)

b) Tìm m để độ dài AB ngắn nhất

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 c) Dạng 3: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại các điểm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y =x3−3mx2+2m m( −4)x+9m2−m cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng

Đáp số:m= 1

Bài 17: Tìm m để đồ thị hàm số y =x3−(3m+1)x2+(5m+4)x− cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 8 cấp số cộng

Đáp số:m= 2

Bài 18: Tìm m để đồ thị hàm số y =x4−2(m+1)x2+2m+ cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số 1 cộng

4;

9

m = m = −

Bài 19: (ĐH Khối D -2008) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I ( )1;2 với hệ số góc

( 3)

k k > − đều cắt đồ thị hàm số y =x3−3x2+ tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm 4 của đoạn thẳng AB

D- TIẾP TUYÊN

1 Viết pt tiếp tuyến của (C) tại M0(x0; y0)

(y0 = f(x0))

2 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k

- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: f’(x) = 0 (*)

- Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm ⇒ tung độ tiếp điểm ⇒ bài toán trở về dạng 1

3 Chú ý :

a) Đ/k để hai đường cong y= f x( ) và y=g x( ) tiếp xúc nhau là hệ ( ) ( )

f x g x

f x g x





=

b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1

c) Hệ số góc của tiếp tuyến k= f x'( ),0 k =tanϕ (ϕ là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành)

Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài 1: Tìm m a,b để đồ thị hàm số ax

1

b y

x

+

=

− cắt Oy tại A(0; 1− ) đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng 3

Đáp số: a= −4,b= 1

Bài 2: Cho hàm số ( ) 3 2

y= f x =x + x +mx+ có đồ thị (Cm)

a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y= tại 3 điểm phân biệt 1 C(0;1 , ,) D E

b) Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

a ≠m< b m= ±

Bài 3 (ĐH huế khối D-1998) cho hàm số 4 2

y= −x + mx − m+ có đồ thị (C) Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(1; 0 ,) B(−1; 0) vuông góc với nhau

m= m=

Bài 4 (ĐH khối B-2004) Cho hàm số 1 3 2

3

y= x − x + x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

3

y= − +x

Bài 5 (HV Quân Y 1997) Cho hàm số 3

y=x + −m x+ có đồ thị (Cm)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tai các giao điểm của (Cm) với Oy

b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8

Đáp số: )a y= −mx+ −1 m b)m=9 4 5;± m= − ±7 4 3

Bài 6: Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− có đồ thị (C) Cho M bất kì trên (C) có x M =m Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi

Đáp số:

y = f’(x0) (x - x0 ) + y0