Ứng dụng của bất đẳng thức Holder và Minkowski trong toán phổ thông

Khi còn học phổ thông , đối với bất đẳng thức là một vấn đề khó khăn lớn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KËJ Người thực hiện NGUYỄN PHÚC HẬU Lớp ĐH3A2 Đề Tài Nghiên Cứu Khoa Học ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER và MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Giáo viên hướng dẫn LÊ THÁI DUY An Giang, năm 2004 # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " LỜI CẢM ƠN Hoàn thành đề tài này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Thái Duy - người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Phương giáo viên trường PTTH Long Kiến đã luôn động viên tôi trong quá trình làm đề tài. Tôi chân thành cảm ơn trường Đại Học An Giang đã tạo điều kiện để tôi học tập và nghiên cứu đề tài này. # Trường Đại Học An Giang Trang 1 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " MỤC LỤC ------------------- Trang LỜI MỞ ĐẦU 3 CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ 4 §1. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN .5 1.1. Hàm lồi 5 1.2. Bất đẳng thức Jensen 5 §2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 7 2.1. Bất đẳng thức Cauchy .7 2.2. Bất đẳng thức Cauchy “suy rộng” 7 CHƯƠNG II. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI 9 §1. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER 10 1.1. Dạng đại số 10 1.2. Dạng giải tích .12 1.2.1.Định lý 12 1.2.2. Bổ đề .12 1.2.3. Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích 13 §2. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI 15 2.1. Dạng đại số 15 2.1.1. Bất đẳng thức Minkowski thứ I 15 2.1.2. Bất đẳng thức Minkowski thứ II .16 2.2. Dạng giải tích .17 CHƯƠNG III. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG .19 §1. ỨNG D ỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER .20 1.1.Ứng dụng trong giải tích .20 1.1.1. Bất đẳng thức tích phân 20 1.1.2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .22 1.2. Ứng dụng trong hình học .26 1.3. Ứng dụng trong lượng giác .30 1.4. Ứng dụng trong số học 33 1.5. Ứng dụng trong đại số .36 1.6. Ứng dụng trong hình học giải tích .39 1.7. Ứng dụng trong giải tích tổ hợp .40 §2. ỨNG DỤNG CỦA B ẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI .42 2.1. Ứng dụng trong lượng giác .42 2.2. Ứng dụng trong giải tích 44 2.3. Ứng dụng trong đại số .46 2.4. Ứng dụng trong số học 50 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 # Trường Đại Học An Giang Trang 2 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " LỜI MỞ ĐẦU Khi còn học phổ thông, đối với tôi bất đẳng thức là một vấn đề khó khăn lớn. Do đó, khi bước chân vào trường Đại Học tôi luôn ao ước có cơ hội nghiên cứu vấn đề này. Bất đẳng thức là chuyên đề khá phức tạp và có ứng dụng phong phú trong toán học. Nó liên quan đến nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, lượng giác, hình học …. Do đó, đây là lý thuyết rất quan trọng. Đã có rất nhi ều nhà toán học có những đóng góp quan trọng cho lý thuyết này như: Cauchy, Jensen, Hardy, … trong đó đặc biệt là Hölder và Minkowski. Các bất đẳng thức mang tên hai ông được ứng dụng rộng rãi trong giải toán cao cấp và toán sơ cấp, được vận dụng vào giải các bài toán hay và khó trong các kỳ thi quan trọng như: thi chọn học sinh giỏi, thi quốc gia hay thi Olympic quốc tế … Hơn nữa, đối với học sinh phổ thông, bất đẳng thức là chuyên đề phức tạp và không dễ. Phầ n đông các em đều không giải được bài toán bất đẳng thức và các bài toán có liên quan. Một phần do các em chưa biết cách vận dụng bất đẳng thức cơ bản, một phần các em chưa nắm được các bất đẳng thức này. Vì vậy, việc nghiên cứu hai bất đẳng thức Hölder và Minkowski có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó không những có ý nghĩa lớn trong việc khảo cứu các bất đẳng thức cơ b ản mà còn có tác dụng lớn trong việc giảng dạy sau này. Do từ lý do trên đây nên đề tài này tôi tập trung nghiên cứu hai đối tượng sau: một là hai bất đẳng thức Hölder và Minkowski, hai là ứng dụng của hai bất đẳng thức này vào toán phổ thông. Nhằm thực hiện hai nhiệm vụ: làm rõ các dạng của hai bất đẳng thức trên; vận dụng chúng vào bài toán phổ thông. Để làm được điều này, tôi đã tiến hành đọc một số tài liệu có nhắc đến các nội dung trên, từ đó phân tích, tổng hợp lại, hệ thống những gị làm được một cách hợp lý. Nội dung nghiên cứu gồm: Chương I. Kiến thức cơ sở Chương II. Bất đẳng thức Hölder và Minkowski Chương III. Ứng dụng của bất đẳng thức Hölder và Minkowski trong toán phổ thông Mặc dù đã cố gắng hoàn thành đề tài, nhưng do kiến thức còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thi ếu sót và sai lầm, rất mong sự góp ý của quý thầy cô để đề tại được hoàn chỉnh hơn, xin chân thành cảm ơn. # Trường Đại Học An Giang Trang 3 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu dưới dạng cơ sở phục vụ cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hölder và Minkowski. # Trường Đại Học An Giang Trang 4 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " §1. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN -------------- 1.1. Hàm lồi: 1) Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [ ] βα; . Hàm số f(x) được gọi là lồi trên đó, nếu thoả mãn điều kiện sau: ∀ x 1 , x 2 ∈ , () ba; ∀ α , 0 mà + β = 1 thì: β ≥ α f(α x 1 + x β 2 ) ≤ f(xα 1 ) + f(x β 2 ) (1) Về mặt hình học, bất đẳng thức (1) có ý nghĩa như sau: Nếu gọi A 1 (x 1 , f(x 1 )); B(x 2, f(x 2 )) là hai điểm nằm trên đường cong y = f(x), với a < x 1 < x < x 2 < b; thì mọi điểm của cung A 1 B 1 của đồ thị đều nằm dưới cát tuyến A 1 B 1 . Do đó C có toạ độ là C( xα 1 + β x 2 ; f(xα 1 ) + f(x β 2 )) và D có toạ độ là D( xα 1 + β x 2 ; f( xα 1 + x β 2 )). 2) Hàm số y = f(x) gọi là lõm trên đó, nếu như – f(x) lồi, tức là ∀ x 1 , x 2 ∈ ( ) ba; , ∀ α , 0 mà = 1 thì f( x β ≥ α +β α 1 + β x 2 ) ≥ α f(x 1 ) + β f(x 2 ). 3) Hàm f(x) liên tục đến đạo hàm cấp hai trên . Nếu như f’’(x) > 0 ( ba; ) ∀ x ∈ ( ) ba; thì f(x) là hàm lồi trên . () ba; x ∈ ( ) ba; thì f(x) là hàm lõm trên đó. ∀ Nếu như f’’(x) < 0 1.2. Bất đẳng thức Jensen: Cho f(x) là hàm lồi trên [ ] ba; . Giả sử x 1 , x 2 , …, x n và α ∈ [ ba; ] i > 0, ( ) n1,i = ; α 1 + α 2 + …. + α n = 1, ta luôn có: () ∑∑ == ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n 1i ii n 1i ii xfαxαf Chứng minh: - Với n = 2, thì bất đẳng thức Jensen đúng (theo định nghĩa hàm lồi). - Giả sử bất đẳng thức đã đúng đến n = k – 1. - Xét khi n = k. Giả sử x 1 , x 2 , …, x k ∈ [ ] ba; và α i > 0, i = 1, 2, …, k; α 1 + + α 2 + … + α k = 1. Ta có: (1) kk 2k 1i 1k1kii k 1i ii xαxαxαxα ++= ∑∑ − = −− = Đặt , vì thế từ (1) suy ra: 1α0αα 2k 1i i <<⇒= ∑ − = () ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − −+= − − − == ∑∑ k k 1k 1k 2k 1i ii k 1i ii x α1 α x α1 α α1xαxα Do 1= − + − − α1 α α1 α k1k , mà x k-1 , x k đều thuộc [ ] ba; , nên: # Trường Đại Học An Giang Trang 5 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " = * x k k 1k 1k x α1 α x α1 α − + − − − ∈ [ ] ba; Áp dụng giả thiết quy nạp với k - 1 điểm x 1 , x 2 , … , x k-2 , và bộ số * x α 1 , α 2 ,… , α k-2 , 1 - . (α α 1 + α 2 + …. + α k-2 + 1 - = 1) α (2) ⇒ ()( ) () * 2k 1i ii * 2k 1i ii k 1i ii xfα1xfαα)x(1xαfxαf −+≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑∑∑ − = − == Mặt khác lại theo định nghĩa hàm lồi, ta có: () () () k k 1k 1k k k 1k 1k * xf α1 α xf α1 α x α1 α x α1 α fxf − + − ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = − − − − (3) Thay (3) vào (2), ta được: ()( ) () () ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − −+≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − == ∑∑ k k 1k 1k i 2k 1i i k 1i ii xf α1 α xf α1 α α1xfαxαf Hay () ∑∑ == ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n 1i ii n 1i ii xfαxαf # Trường Đại Học An Giang Trang 6 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " § 2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY -------------------- 2.1. Bất đẳng thức Cauchy: Cho a 1 , a 2 , …, a n là các số không âm, chứng minh rằng: n n21 n21 aaa n a aa ≥ +++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = … = a n . Chứng minh: Xét hàm số f(x) = - lnx với x > 0. Ta có f’(x) = x 1 − và 0 x 1 )x(''f 2 >= . Vậy f(x) là hàm lồi khi x > 0. Theo bất đẳng thức Jensen, ta có: () () () [] n21 n21 xf .xfxf n 1 n x xx f +++≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++ n xln .xlnxln n x xx ln n21n21 +++ −≤ +++ −⇔ n n21 n21 xxxln n x xx ln ≥ +++ ⇔ Do tính đồng biến của hàm số y = lnx, suy ra n n21 n21 xxx n x xx ≥ +++ , 0x i >∀ Dấu bằng xảy ra x⇔ 1 = x 2 = … = x n . Xét n số a 1 , a 2 , …., a n ≥ 0. Có hai khả năng sau xảy ra 1. Nếu a i > 0 ∀ i = 1, 2, … , n, thì theo trên ta có: n n21 n21 aaa n a aa ≥ +++ (*) 2. Nếu tồn tại a k = 0 thì (*) hiển nhiên đúng. 2.2. Bất đẳng thức Cauchy “suy rộng”: Cho a 1 , a 2 , … , a n là các số hạng không âm. Cho α 1 , α 2 , . α n là các số hữu tỉ dương sao cho α 1 + α 2 + … + α n = 1. Chứng minh rằng: α 1 a 1 + α 2 a 2 +…+α n a n ≥ n21 α n α 2 α 1 .aaa Chứng minh: Vì là các số hữu tỉ dương và n21 α, .,α,α 1α αα n21 =+++ , nên có thể viết chúng dưới dạng sau (sau khi đã quy đồng mẫu số các phân số). N p α, , N p α, N p α n n 2 2 1 1 === . Trong đó p 1 , p 2 , , p n là các số nguyên dương và p 1 + p 2 + … + p n = N. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với p 1 số a 1 , …, p n số a n , ta được: n21 n21 p pp p n p 2 p 1 n21 nn2211 .aaa p pp a .a a .aa .a +++ ≥ +++ +++++++++ # Trường Đại Học An Giang Trang 7 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " N p 1 N p 1 N p 1n n 2 2 1 1 n21 .aaaa N p a N p a N p ≥+++⇔ ⇔α 1 a 1 + α 2 a 2 +……+α n a n ≥ n21 α n α 2 α 1 .aaa Dấu bằng xảy ra n21 a aa ===⇔ . # Trường Đại Học An Giang Trang 8 " # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " CHƯƠNG II BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI Trong chương này, chúng ta sẽ tìm thấy các dạng đại số và dạng giải tích của bất đẳng thức Hölder; dạng đại số của bất đẳng thức Minkowski thứ I, II và dạng giải tích của bất đẳng thức Minkowski. Đáng chú ý là các hệ quả của hai bất đẳng thức trên, chúng được vận dụng nhiều trong giải toán phổ thông. # Trường Đại Học An Giang Trang 9 " [...]... III ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Các ứng dụng toán phổ thông của bất đẳng thức Hölder và Minkowski được thể hiện trong chương này một cách khá đặc sắc ở nhiều lĩnh vực toán học: giải tích, giải tích tổ hợp, hình học, hình học giải tích, đại số, lượng giác và số học Trường Đại Học An Giang Trang 19 Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu §1 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG... suy ra bất đẳng thức cần chứng minh Theo bổ đề 1.2.2, (2) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi: f( x ) g( x ) , ∀ x ∈ [a; b] = 1 1 b b p q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p ⎜ ∫ g( x ) qdx ⎟ ⎜ ∫ f( x ) dx ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ ⎝a ⎠ Kết hợp với phần 1, ta được (1) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho: A |f(x)|p = B|g(x)|q, ∀x ∈ [a; b] Hệ quả: Khi p = q = 2, bất đẳng thức Hölder... ĐẲNG THỨC HÖLDER -1.1 Ứng dụng trong giải tích: 1.1.1 Bất đẳng thức tích phân: Bài 1: Giả sử f và g là hai hàm số liên tục, dương trên đoạn [a; b] và f(x)g(x) ≥ 1 với mọi x ∈ [a; b] Chứng minh rằng: b b a a ∫ f (x )dx.∫ g(x )dx ≥ (b − a ) 2 Chứng minh: g là những hàm số liên tục và dương trên đoạn [a; b] Vì f(x)g(x) f và ≥ 1 với mọi x ∈ [a; b] nên f (x )g(x ) ≥ 1 với mọi x ∈ [a; b] Áp dụng. .. )dx ≤ ⎜ ∫ f 2 (x )dx ⎟ ⎜ ∫ g 2 (x )dx ⎟ ∫ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a ⎠ ⎠ ⎝a ⎝a (Bất đẳng thức Bouniakowski) b Trường Đại Học An Giang Trang 14 Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu §2 BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI -2.1 Dạng đại số: 2.1.1 Bất đẳng thức Minkowski thứ I: Cho hai dãy số không âm a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn Giả sử p > 1 là số hữu tỉ Chứng minh rằng: 1 p 1 p ⎡ ⎛ ⎛ p⎤ p⎞ p⎞ ⎢∑ (a k + b k ) ⎥ ≤ ⎜ ∑... quả: Nếu p = q = n = 2, thì bất đẳng thức Minkowski trở thành: (a1 + b1 ) + + (a n + b n ) ≤ a1 + b1 + + a n + b n Khi n =2, ta có: (a1 + b1 )2 + (a 2 +b2 )2 2 2 ≤ a1 + a 2 + b1 +b 2 2 2 r r r r r r ⇔ u + v ≤ u + v (Với u = (a 1, a 2 ), v = (b 1, b 2 ) ) (Bất đẳng thức tam giác) 2.1.2 Bất đẳng thức Minkowski thứ II: Cho 2 dãy số không âm a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn Chứng minh rằng: n (a + b )(a... = bn = 0, (*) trở thành đẳng thức, kết hợp hai kết quả trên ta được: (*) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi tồn q tại hai số A và B không đồng thời bằng không sao cho Aa p = Bb k , k = 1,2, , n k - Cách 2: Dùng bất đẳng thức Jensen Xét hàm số f(x) = xp khi x > 0 (p > 1) f’(x) = pxp-1 f’’(x) = p(p – 1)xp-2 > 0 (do p > 1, x > 0) Vậy f(x) là hàm lồi khi x > 0 Áp dụng bất đẳng thức Jensen với xk = a k... ⎟ ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ Vì (2) đúng ∀ k = 1, 2, …, n, nên cộng từng vế n bất đẳng thức trên ta được: 1 1 + ≥ p q akbk ⎛ ⎞ ⎜ ∑ ap ⎟ k ⎟ ⎜ ⎝ k =1 ⎠ n 1 p ⎛ q⎞ ⎜ ∑ bk ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ k =1 ⎠ n 1 q ≥0 (3) 1 1 + = 1, nên từ (3) suy ra đ.p.c.m p q Có đẳng thức khi và chỉ khi n bất đẳng thức trong (2) đều trở thành đẳng thức, theo (1), có điều này khi và chỉ khi: q ap bk k = q , k = 1, n p q a1 + a p + + a p b1 + b q +... §1 BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER -1.1 Dạng đại số: Cho hai dãy số không âm a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn; p, q là các số 1 1 hữu tỉ dương sao cho + = 1, ta luôn có: p q 1 1 n ⎛ n p ⎞p ⎛ n q ⎞q (*) ⎜ ∑ ak ⎟ ⎜ ∑ bk ⎟ ≥ ∑ ak bk k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ Có đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số A và B không đồng thời bằng q không sao cho Aa p = Bb k , k = 1,2, , n k Chứng minh: - Cách 1: Dùng bất đẳng thức. .. khi và chỉ khi: 5 + 10 5 + 2 10 x= ,y = 10 10 1.2 Ứng dụng trong hình học: Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác, ta có: 36 ⎛ 2 abc ⎞ ⎜p + ⎟ , ở đây p là nửa chu vi tam giác a2 + b2 + c 2 ≥ 35 ⎜ p ⎟ ⎝ ⎠ Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 36 ⎡ ⎛ a + b + c ⎞ 2abc ⎤ a2 + b2 + c 2 ≥ ⎟ + ⎢⎜ ⎥ 35 ⎢ ⎝ 2 ⎠ a+b+c⎥ ⎣ ⎦ 72abc 2 ⇔ 35 a2 + b2 + c 2 ≥ 9(a + b + c ) + a+b+c Theo hệ quả của bất. .. p ⎟ k ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ Bất đẳng thức Hölder được chứng minh xong n Trường Đại Học An Giang Trang 11 Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu Hệ quả: Nếu p = q = 2 thì bất đẳng thức Hölder trở thành: 2 2 2 2 2 a1 + a 2 + + a n b1 + b 2 + + b n ≥ (a1b1 + a 2b 2 + + a nb n ) 2 2 a a a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 = 2 = = n b1 b2 bn (Bất đẳng thức Bouniakowski) ( )( ) 1.2 Dạng giải . CHƯƠNG III ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Các ứng dụng toán phổ thông của bất đẳng thức Hölder và Minkowski được. I. Kiến thức cơ sở Chương II. Bất đẳng thức Hölder và Minkowski Chương III. Ứng dụng của bất đẳng thức Hölder và Minkowski trong toán phổ thông Mặc