Chuyen de tich phan va ung dung (lan)

PHN I: C S Lí LUN 1) Nguyờn hm tha nhn 2) Tớnh cht ca tớch phõn 3) Phng phỏp tớnh tớch phõn 4) ng dng ca tớch phõn PHN 2: PHN DNG BI TP TCH PHN V NG DNG b A/ TCH PHN tớnh I = f ( x ) dx a Dng 1: Nu f ( x ) l a thc s dng cụng thc tha nhn a kt qu Vớ d 1: Tớnh I = x x + e x dx x Hng dn: Nhn thy cỏc hm s du tớch phõn cú th s dng cỏc tớch phõn tha nhn tớnh x 2x 3 e2x + ln x Ta cú, I = x x + e x dx = x 1 e2 2 e e2 = + 3.0 + + 3.0 = + 2 2e 4 Bi tng t: I = x + x + + cos x dx x g ( x) Dng 2: Nu f ( x ) = h( x) (tớch phõn phõn thc) TH1: Nu h( x ) = ax + b chia a thc g (x) cho h( x ) a v tớch phõn tha nhn 1 Chỳ ý: dx = d ( x ) = d ( x b ) = d ( b x ) = d ( ax b ) = d ( b ax ) a a 2 x 3x + x dx Vớ d 2: Tớnh I = x +1 Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú dng phõn thc cú t l mt a thc cũn mu s l nh thc nờn a v tớch phõn tha nhn thc hin chia t cho mu Ta cú, I = ( x 3x + 5x 13 dx = x x x + dx x +1 x + ) = x x x + dx 13 0 d ( x + 1) x +1 x 2x x = + x 13 ln x + 16 = + 13[ ln 0] = 13 ln 3 x 5x + x dx vit dx = d (1 x ) Bi tng t: I = 2x TH2: Nu h( x ) = ax + bx + c cú = b 4ac v g ( x ) = k l hm hng (1) Nu > : Ta cú, x1 > x2 a v Vớ d 3: Tớnh I = k k k = = vi ax + bx + c a ( x x1 )( x x ) a( x1 x ) x x1 x x du tớnh u dx x + x6 Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú dng phõn thc cú t l hng s v mu l tam thc bc hai cú hai nghim phõn bit, ta s dng ng dng ca nh lý viets phõn tớch tam thc thnh nhõn t chung sau ú tỏch thnh hai phõn thc cú mu l nh thc tớnh Ta cú, I = 1 1 dx = dx x x + x + x6 d ( x ) d ( x + 3) 1 = = ln x ln x + x2 x+3 5 1 1 [ ln 2] [ ln ln 3] = ln 5 1 dx Bi tng t: I = 3x + x + 10 = (2) Nu = k k du Ta cú ax + bx + c = a( x x ) a v = u u 0 Vớ d 4: Tớnh I = x 1 dx 2x + Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú dng phõn thc cú t l hng s v mu l tam thc bc hai cú nghim kộp, ta bin i tam thc v dng bỡnh phng ca mt biu thc tớnh d ( x 1) I= dx = = = = x 1 x x + 1 ( x 1) 0 Ta cú, dx 3x + 12 x 12 Bi tng t: I = (3) Nu < k k = ú, u = u ( x ) , d = hng s ax + bx + c u + d s dng phng phỏp i c s v t u = d tan t Ta cú, Vớ d 5: Tớnh I = dx x + x +1 Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú dng phõn thc cú t l hng s v mu l tam thc bc hai vụ nghim, ta bin i tam thc v dng bỡnh phng ca mt biu thc cng vi mt s khụng i tớnh 1 1 dx dx = 2 Ta cú, x + x +1 x+ + 3dt tan t dx = = tan t + dt t, x + = 2 2 cos t i c s: x = t = v x = t = tan t + dt 3 2 = dt = t = Khi ú, I = = 3 3 33 3 tan t + 6 4 dx Bi tng t: I = x + x + 12 I= ( ( ) ) TH3: Nu h( x ) = ax + bx + c cú v g ( x ) = mx + n ( ) A ax + bx + c '+ B mx + n = ng nht tỡm A, B a tớch phõn ó cho ax + bx + c ax + bx + c u' dx du = v s dng v TH2 u u x dx Vớ d 6: Tớnh I = x + x +1 Phõn tớch: Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú dng phõn thc cú t l nh thc v mu l tam thc bc hai, ta bin i ng nht a v trng hp tớnh A= A = x A( x + 1) + B Ax + A + B = = Ta cú, 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 A + B = B = ( ) ( x + 1) dx dx d x2 + x +1 = Khi ú, I = 2 x + x + x + x + x + x + 23 1 (s dng kt qu qu vớ d 5) 1 I = ln x + x + = ln 2 2 2x + dx Bi tng t: I = x + 12 x 12 TH4: Nu h( x ) = ax + bx + c cú v g ( x ) cú bc ln hn hoc bng bc ca h( x ) Chia a thc g ( x ) cho h( x ) a v TH2 hoc TH1 2x3 4x + x dx x + x Vớ d 7: Tớnh I = Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú dng phõn thc cú t l a thc cú bc ln hn bc ca mu v mu l tam thc bc hai, ta thc hin phộp chia a thc a thc t cho a thc mu v a v TH v TH3 tớnh 3x + x + 3x + x = x + + Ta cú, x + x +1 x + x +1 ( x 1) dx 3x = + x + ln Khi ú, I = ( 3x + 5) dx + 2 2 0 x + x +1 1 (s dng kt qu ca TH3) = + + ln = + ln 2 TH5: Nu h( x ) phõn tớch cỏc bc nht thỡ ng nht thnh cỏc phõn thc cú mu l tng bc nht Nờu bc nht cú lu tha bc cao ng nht thnh cỏc phõn thc cú lu tha t bc cao gim dn xung bc Tng t, vi mu bc hai v thờm phõn thc o hm mu trờn mu (Khụng thi n) Vớ d 8: Tớnh I = dx x ( x + 1) Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú dng phõn tớch v tớch v lu tha ca cỏc nh thc nờn ng nht ta c B = 1 A B C ( A + C ) x + ( A + B) x + B = + + = A = Ta cú, 2 x +1 x ( x + 1) x x x ( x + 1) C = dx dx d ( x + 1) 1 dx = + + Khi ú, I = + + x x x + x 1x x +1 1 4 = ln x 4 4 + ln x + 1 = ln + ( ln ln ) = ln x1 Bi tng t: Tớnh I = x2 + 1 ( x 1) ( x + 3) dx Dng Tớch phõn cha cn thc b Tỡm tớch phõn I = f ( x ) dx ú f ( x ) khụng cha a x , a + x , x a a cú dx i cựng x cú lu tha bc chn S dng tớch phõn i c s v t u = cn thc C BIT Nu f ( x ) cha a x , a + x , x a cú dx i cựng x cú lu tha bc chn a cos t S dng phng phỏp i c s v t x = a tan t a cos t Nu f ( x ) cha cn biu thc di mu nờn nhõn liờn hp trc nhn dng s dng phộp t 1 0 15 8 Vớ d 9: Tớnh tớch phõn I = x + x dx = x + x x dx Hng dn, ta thy tớch phõn cú cha cn thc khụng phi tớch phõn c bit nờn ta s dng phng phỏp i c s tớnh v t u chớnh l cn thc du tớch phõn t u = + x u = + x udu = x dx x dx = udu v x = u i c s, x = u = v x = u = Khi ú, I= ( ) udu u u = 4 2 ( 2 1 u5 u3 2 = u u du = = + 3 30 15 ) Bi tng t: Tớnh I = x + dx Vớ d 10:Tớnh tớch phõn I = 3x + dx x 16 x = xdx x 16 x Hng dn, Ta thy tớch phõn ny cha cn c bit a x v cú dx i cựng x cú lu tha bc l nờn ta s dng phng phỏp i c s v t u = 16 x xdx = udu 2 t u = 16 x u = 16 x 2 x = 16 u i c s, x = u = 2, x = u = 0 Khi ú, I = 2 2 udu du du 1 = = = + du 2 ( u )( + u ) u + u 16 u u 16 u ( ) d ( + u) d ( u) 1 = [ ln + u ln u ] = ln + u 4u 8 = Vớ d 11: Tớnh tớch phõn I = dx 16 x Hng dn, ta thy tớch phõn ny cng cha cn c bit a x nh vớ d nhng li cú dx i cựng x cú lu tha bc chn nờn ta s dng phng phỏp i c s lm v t x = a cos t dx = sin t.dt t x = cos t 2 16 x = 16 16 cos t = sin t t = , x = cos t = t = i c s: x = cos t = Khi ú, I = sin t.dt sin t = dt = t 06 = 6 Vớ d 12: Tớnh tớch phõn I = x2 dx x2 Hng dn, ta thy tớch phõn ny cng cha cn c bit x cú dx i cựng x cú lu tha bc chn nờn ta s dng phng phỏp i c s lm v t x= a cos t sin tdt dx = cos t t x = cos t x = cos t = sin t cos t x2 3 cos t t= i c s: x = tan t = t = 0, x = tan t = t sin t cos t Khi ú, I = sin t cos t sin dt = dt = dt = cos t dt cos t cos t cos t 0 cos t dt cos t d sin t d sin t d sin t = dt = = + Tớnh I = cos t cos t + sin t sin t 0 sin t d (1 + sin t ) d (1 sin t ) 1 [ ] = = ln + sin t ln sin t 06 = ln + sin t sin t 2 Tớnh I = cos tdt = sin t = 2 Vy, I = I1 I = ln 1 Bi tng t: Tớnh x2 dx , x 2+ dx , x x2 dx Chỳ ý: (1) i vi tớch phõn cha cn biu thc di mu nờn s dng nhõn liờn hp a v tớch phõn cú dng trờn tớnh (2) i vi tớch phõn cha cn bc hai m cn l mt tam thc bc hai a bin i a v dng a u , a + u , u a ú, u l mt biu thc ca x v a l mt s khụng i Sau ú nhn dng tớnh Vớ d 13: Tớnh tớch phõn I = dx 1+ x + 1+ x2 Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú cha cn biu thc di mu Do ú, ta s dng nhõn liờn hp a v tớch phõn cú cỏc dng nh cỏc trng hp trờn 1 1 1+ x 1+ x2 dx 1 1+ x2 = dx = + dx dx Ta cú, I = 2x x 2 x 1 + x + + x dx Tớnh I = dx = ln x x 1 =0 Tớnh I = dx = x = 1 Hng dn, sau liờn hp song, ta thy tớch phõn ó cho a v cỏc tớch phõn cú th tớnh c v xut hin c dng cha cn x + a nhng cú dx i vi lu tha bc l Do ú, tớnh ta li t c cn lm n ph 1 Tớnh I = 1+ x2 + x xdx dx = x x2 xdx = udu 2 t u = + x u = + x 2 x = u i c s: x = u = , x = u = 2 Khi ú, I = u du u2 = 2 Vy, I = I = = dx Vớ d 14: Tớnh tớch phõn I = x + 2x + Hng dn, ta thy tớch phõn ó cho cú cha cn v cn l tam thc bc hai Do ú, ta thc hin bin i dn bin x vo thnh bỡnh phng ca mt biu thc Ta cú, I = dx x + 2x + 1 = dx ( x + 1) +4 Hng dn, sau bin i ta thy tớch phõn a v dng u + a vi v cú dx i vi x cú lu tha bc chn Nờn ta s dng phng phỏp i c s v t u = a tan t lm 2dt dx = cos t t x + = tan t ( x + 1) + = tan t + = cos t i c s: x = t = 0, x = t = 2 Vỡ t 0; cos t > nờn cos t = cos t Khi ú, I = 2dt cos t = dt = [ ln + sin t ln sin t ] = ln + cos t 2 cos t ( ) (S dng kt qu ca vớ d 12) Vớ d 15: Tớnh tớch phõn I = x x + 5dx = ( x 2) dx Hng dn, sau bin i ta thy tớch phõn a v dng a u vi v cú dx i vi x cú lu tha bc chn Nờn ta s dng phng phỏp i c s v t u = a cos t lm dx = sin tdt x = cos t t 2 ( x ) = cos t = sin t i c s: x = t = , x = t = Vỡ t ; sin t > nờn sin t = sin t 2 9 Khi ú, I = sin t.( sin tdt ) = sin tdt = (1 cos 2t ) dt = t sin 2t = 2 2 Bi tng t: Dng 5: Nu f ( x ) = g ( x ).h( x ) ú, g ( x ) l hm i s cũn h( x ) l mt cỏc hm s lng giỏc, m (c s e) v lụgarit (lụgarit t nhiờn = ln) S dng phng phỏp tớch phõn tng phn g ( x) l sụ t h( x) l lg hoo mu TH1: Nu du = g ' ( x)dx u = g ( x) (tớnh kt qu ca o dv = h( x )dx v = h( x) dx hm g ' ( x) v nguyờn hm ca h(x) ) b b a a b Khi ú, I = udv = uv vdu a Vớ d 1: Tớnh tớch phõn I = ( x 3) sin xdx Hng dn: Ta thy, tớch phõn ó cho cú dng tớch ca mt hm i s v hm lng giỏc nờn ta s dng tớch phõn tng phn tớnh du = 2dx u = x t dv = sin xdx v = cos x Khi ú, I = ( x 3) cos x + cos xdx = ( 3) + sin x = 2 2 0 2x Vớ d 2: Tớnh tớch phõn I = ( x + x )e dx Hng dn ta thy tớch phõn ó cho cú dng tớch ca hm i s vi hm s m nờn ta s dng tớch phõn tng phn tớnh du = 2( x + 1) dx u = x + x t 2x dv = e x dx v = e 0 Khi ú, I = ( x + x )e x ( x + 1) e x dx = e I ' 2 Sau s dng cụng thc tớch phõn tng phõn cho tớch phõn ó cho ta a n mt tớch phõn mi cú dng tớch ca hm i s vi hm s m nờn ta tip tc s dng tớch phõn tng phn tớnh phõn mi xut hin Khi s dng hai tớch phõn tng phn mt bi khụng c s dng u v dv cho hai ln t ú 2x Xột I ' = ( x + 1) e dx du1 = dx u1 = x + t 2x 2x dv1 = e dx v1 = e 1 2x 1 2x e 2x ( ) Khi ú, I ' = x + e e dx = e 20 Vy, I = 2 2 3e e = e = 4 4 3e 3e 3e 3e I'= + = + 2 4 4 g ( x) l sụ t h( x) l ln TH2: Nu du = h' ( x)dx u = h( x) (tớnh kt qu ca o dv = g ( x )dx v = g ( x )dx hm h' ( x) v nguyờn hm ca g (x) ) b b a a b Khi ú, I = udv = uv vdu a ( ) Vớ d 1: Tớnh tớch phõn I = 3x x + ln( x + 1) dx Hng dn ta thy tớch phõn ó cho cú dng tớch ca hm i s vi hm s lụgarit nờn ta s dng tớch phõn tng phn tớnh dx u = ln ( x + 1) du = x +1 t dv = x x + dx v = x x + x 1 x3 x2 + x dx Khi ú, I = x x + x ln( x + 1) x +1 ( ( ) ) x3 = [ ln 0] x x + dx = ln x + x ln( x + 1) = ln ln = + ln x +1 3 0 Dng 6: Tớch phõn lng giỏc TH1: Bin i lng giỏc a v tha nhn (Khụng thi vo) TH2: Bin i lng giỏc a biu thc du tớch phõn biu din theo sinx v cosx Khi ú, f ( x ) = f ( sin x, cos x ) 2dt dx = + t x 2t S dng phng phỏp i c s tớnh v t t = tan sin x = a v tớch 1+ t2 t2 cos x = 1+ t2 phõn i s lm C BIT Nu f ( sin x, cos x ) = f ( sin x, cos x ) t t = cos x Nu f ( sin x, cos x ) = f ( sin x, cos x ) t t = sin x Nu f ( sin x, cos x ) = f ( sin x, cos x ) t t = tan x Vớ d: Tớch tớch phõn 1) I = dx cos x + sin x + 2) I = cos x + sin x dx sin x + cos x 3) I = sin x + sin x dx 4) I = + cos x sin x dx cos x sin x 4) I = sin xdx sin x Dng 6: Tớch phõn cha tr tuyt i Bc 1: Phỏ du giỏ tr tuyt i Bc 2: a du ca biu thc [ a; b] Bc 3: Tỏch tớch phõn ó cho thnh cỏc tớch phõn theo du bc Vớ d: Tớnh tớch phõn 1) I = x x dx 2) I = x 2x dx x 3) I = x x x + dx 2 Bi tng t: I = x x dx Dng 7: Mt s dng tớch phõn khỏc TH 1: Tớch phõn ca hm s m v biu din theo mt hm s m ( e x ) S dng phng phỏp i c s lm v t u = e x ln Vớ d 1: Tớnh tớch phõn I = e x ln ln Vớ d 2: Tớnh tớch phõn I = dx + 2e x e x dx (e x ) +1 ln e x x + e x + 2x 2e x I= dx Bi tng t: I = x dx + 2e x e +1 dx TH 2: Tớch phõn cha ln x v x S dng phng phỏp i c s v t u = ln x sin ( ln x ) dx x e Vớ d 1: Tớnh tớch phõn I = e Vớ d 2: Tớnh tớch phõn I = e ln x dx 2 + ln x ( ) ln x + ln x dx Bi tng t: I = x e 2 ln x ln( x + 1) I = dx I = x + ln xdx I= dx , , x x x2 e e B/ NG DNG CA TCH PHN I/ ng dng vt lý II/ ng dng toỏn hc e x D-2010 x ln xdx Dng 1: Hỡnh phng c gii hn bi th hm s y = f ( x ) , hai ng thng b x = a, x = b v trc honh din tớch S = f ( x ) dx a Chỳ ý: Nu bi yờu cu tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi mt th hm s v trc honh thỡ cn a, b l nghim ca phng trỡnh f ( x ) = Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi th hm s y = x x + x v hai ng thng x = 1.x = , trc honh Vớ d 2:(D-2012) Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi th hm s y= 3x v hai trc to x Chỳ ý: Nu bi yờu cu tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi mt th hm s v trc honh m khụng cú hai ng thng x = a, x = b i gii phng trỡnh f ( x) = v hai ng thng x = a, x = b chớnh l nghim ca phng trỡnh Dng 2: Hỡnh phng c gii hn bi hai th hm s y = f ( x ) , y = g ( x ) v hai b ng thng x = a, x = b din tớch S = f ( x ) g ( x ) dx a Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi hai th hm s y = x , y = x v hai ng thng x = 0, x = Vớ d 2: (A-2014)Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi ng cong y = x x + v ng thng y = x + Chỳ ý: Nu bi yờu cu tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi hai th hm s m khụng cú hai ng thng x = a, x = b i gii phng trỡnh f ( x) = g ( x) v hai ng thng x = a, x = b chớnh l nghim ca phng trỡnh Vớ d 3:(A-2007) Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi cỏc ng thng ( ) y = ( e + 1) x, y = + e x x Vớ d 4:(B-2002) Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi th hm s y = x2 x2 ,y= 4 Vớ d 5: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi th hm s y = v y = 7x x3 ( x 8x + ) Cỏch khỏc: V th hm s y = f ( x), y = g ( x) Da vo s tng giao ca hai th a tớch phõn Thng s dng vic gii phng trỡnh f ( x) = g ( x) khú khn v phỏ du tr tuyt i khú khn Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi th hm s y = x x + v y = x + Vớ d 2: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi cỏc th hm s y = x2 , y = x2 27 ,y= 27 x Vớ d 3: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi cỏc th hm s y = x2 , y = x2 ,y = ,y = x x Chú ý: Tơng tự( cách coi x hàm, y biến) Khi đó, diện tích S hình phẳng giới hạn đờng cong x = g(x) x = h(x) liên tục đoạn [c; d] là: d S = | g ( y ) h( y ) | dy c Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi ng cong y y + x = v ng thng x + y = Vớ d 2: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi ng cong y = x v ng thng x y + = , trc honh Dng 3: Khi quay hỡnh hỡnh phng c gii hn bi th hm s y = f ( x ) , hai ng thng x = a, x = b v trc honh quanh Ox ta c trũn xoay cú th tớch l: b V = f ( x ) dx a Vớ d 1:(B-2007) Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi cỏc ng y = x ln x, y = 0, x = e Tớnh th tớch ca trũn xoay to thnh quay (H) quanh trc Ox Vớ d 2: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = ln x, Ox, x = Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay (H) quanh Ox Vớ d 3: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = x ln (1 + x ) , y = 0, x = Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay (H) quanh Ox Tơng tự( cách coi x hàm, y biến) Khi đó, hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y), trục tung, hai đờng thẳng y = c y = d quay quanh trục tung tạo thành khối trò xoay Vớ d 1: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y= , x = 0, x = 1, y = Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay (H) quanh 1+ x2 Oy Vớ d 2: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = x x , y = Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay (H) quanh a) Ox b) Oy Vớ d 3: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = x , y = 3x + 10, y = Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay (H) quanh Oy