4-NGUYÊN HÀM ,TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường gặp để tính 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta

I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ

1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm

các hàm số thường gặp để tính

2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng

I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x

*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành

tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số :

= q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.Hàm số y = nếu có thể được thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn

Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I =

Bậc r(x) , bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) p(x) là hằng số

*2 Tính các nguyên hàm I = Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số

+ Dạng I: với a (Đổi biến số - đặt U = ax+b) I1 = = = ln + C

Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C

+ Dạng II: với a ( đặt U = ax+b ) I2 = = = + C

+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số

I3 = .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax2+bx+c Ta chỉ cần xét với a = 1 Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích

phân.Có I3 = = Với b1 = , c1 =

Xét I3 =

a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao

Do đó : I3 = = A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C

= - ( - ) = ln - ln + C

b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)2 (x0 là nghiệm kép của mẫu thức )

Hai trường hợp :

* Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 = = = - + C

(Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ)

*Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0)

I3 = = + (q - ) = + ( - q) + C

c -Nếu x2+bx+c = 0 vô nghiệm

= + C + (q - )

Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a =

Nguyên hàm I = Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có:

+ Dạng IV : I4 = Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng

số

a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x3

+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

= + + Do đó :

b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)2 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn) Thì bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +

c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x2+px + q) , trong đó x2

+px+q = 0 vô nghiệm Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

= +

= A.ln + .ln + (C - ) + D

d-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x – x0)3 Bằng phương pháp hệ số bất định tìm các số A B,

C sao cho : = + + Do đó ta có :

Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi =

Bài tập: Tính nguyên hàm

1 I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =

2 I = ; I = ; I = ; I = ; I =

3 I = ; I = ; I = ; I = ; ; I =

4 I = ; I = ; I = I = ;

5 I = ; I = ; I = I =

6 a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)

b/ I =

2

1

3

x x

dx

; Chú ý:

7 a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4)

d/ I = Chú ý : = (x+1)(x2-x+1)

12.I = I = I = = - 3 +

14 I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 )

15 I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 )

16 I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 )

CHÚ Ý :

Tích phân các hàm hữu tỷ có vai trò quan trọng Nhiều bài toán Tích phân hàm số Lượng giác , tích phân hàm số có chứa căn thức – bằng cách đổi biến số ,đưa về tích phân của hàm hữu tỷ

Khi học cũng như ôn tập ,nên theo tuần tự từ dễ đến khó Tôi đã biên soạn theo tuần tự khoa học Những dạng bài tập trình bày sau vận dụng các kiến thức của dạng bài tập trình bày trước để giải – có trật tự logic ,khoa học

Sắp tới có

Phần II : Nguyên hàm các hàm số lượng giác

Phần III : Nguyên hàm các hàm số có chứa căn thức (Hàm vô tỷ)

Các bạn đón đọc trên trang http://violet.vn/ducngoct

Chúc các bạn thành công

Tân kỳ ,Giáng sinh 2009

TRẦN ĐỨC NGỌC