www.facebook.com/hocthemtoan
Bài số 5: TÍCH PHÂN ( TIẾT ) I Khái niệm tích phân Diện tích hình thang cong • Giới thiệu cho học sinh cách tính diện tích hình thang cong • Từ suy công thức : xlim →x S ( x ) − S ( x0 ) = f ( x0 ) x − x0 Định nghĩa tích phân • Cho hàm f liên túc khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số : F(b)-F(a) gọi tích phân b f từ a đến b , ký hiệu : ∫ f ( x)dx a b • Có nghĩa : ∫ f ( x)dx = F ( b ) − F ( a ) a b • Gọi F(x) nguyên hàm f(x) F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) : b b ∫ f ( x)dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) a • Trong : - a : cận , b cận - f(x) gọi hàm số dấu tích phân - dx : gọi vi phân đối số -f(x)dx : Gọi biểu thức dấu tích phân II Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f g liên tục K , a,b,c ba số thuộc K Khi ta có : a ∫ f ( x)dx = a b a ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx ( Gọi tích chất đổi cận ) a b ∫ a b ∫[ a b c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a c b b a a f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx ( Tích phân củ tổng hiệu hai tích phân tổng hiệu hai tích phân ) b a b a ∫ kf ( x)dx = k.∫ f ( x)dx ( Hằng số k dấu tích phân , đưa ngồi dấu tích phân ) Ngồi tính chất , người ta cịn chứng minh số tính chất khác : Nếu f(x) ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] : b ∫ f ( x)dx ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] a Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) b b a a Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] : f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx ( Bất đẳng thức tích phân ) Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] với hai số M,N ta ln có : M ≤ f ( x) ≤ N Thì : b M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ N ( b − a ) ( Tính chất giá trị trung bình tích phân ) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp , cẩn : • Kỹ : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương nhiều hàm số khác , mà ta sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm chúng • Kiến thức : Như trình bày phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc kiến thức Vi phân , cơng thức phép tốn lũy thừa , phép toán bậc n số biểu diễn chúng dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ ∫ x +1 c/ ∫ a/ ∫ ( b/ ( x 1+ x ( ) dx = x x4 −1 + x2 ∫ ( x + 1) dx x x − x + ln + x Giải ) dx ( x x4 −1 + ) ) dx ∫ d/ x3 + x − x + dx x4 − 2x2 + x x2 −1 x2 + x x + ÷dx = ∫ x x − + ÷dx ∫ 2 2 x +1 x +1 x +1 ÷ x +1 1 1 2 2 x − 1d x − + ∫ d x + = x2 −1 + x2 + = + − 1 2 1 ) ( ⇒∫ ) ( ( ) b/ ( x + − 1) dx = ( x + 1) − x + + dx = − + dx dx = ∫ ∫ ( x + 1) ∫ ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ∫ x + ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 0 1 1 d ( x + 1) d ( x + 1) d ( x + 1) 1 1 ⇒I =∫ − 2∫ +∫ = ln x + + − = ln + x +1 x + ( x + 1) 0 ( x + 1) ( x + 1) c/ ∫ x2 ( x x − x + ln + x ( x 1+ x ⇒I =∫ ( ) dx = ( ln + x ) ln + x x −1 + dx = ∫ 1+ x ∫ 1+ x x 1 ( ) ( ( ) d 1+ x = x ) ( ) 3 ( ) 1+ x ( + ) − ln x − dx + ∫ = − + ln Trang ) ) ( ( Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ) dx x −1 + 1+ x x ) ) 3 − x + ln + x = 1 ( ( ln + x ) Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) ∫ d/ 2 = ( x − x ) dx ∫ x4 − x2 + + 2 x3 + x − x + dx = x4 − 2x2 + ∫ d ( x − x + 1) + ( x − x + 1) = ln ( x − 1) 2 ∫ ( x − 1) dx + 2 ∫ (x 2dx − 1) 2 1 1 ∫ x − − x + ÷dx + ∫ x − − x + ÷ dx 2 2 x −1 1 x −1 + ln + − − − ln = x +1 2 x +1 2 x −1 x +1 Ví dụ Tính tích phân sau a/ π ∫ 2sin x ( sin x − 1) + cosx c/ ∫ 4− x −1 b/ dx π ∫ 2sin π 2+ x ln ÷dx 2− x sin x dx x + 3cos x d/ ∫ s inx+ 1+tanx dx cos x Ví dụ Tính tích phân sau x2 −1 b/ ∫ x x + dx ( ) e2 ln x + dx a/ ∫ x ln x e π π + sin x dx c/ ∫ sin 2 x π d/ ∫ sin x.cosxdx B PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Phương pháp đổi biến số dạng Để tính tích phân dạng , ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc : • Bước 1: Đặt x=v(t) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận • Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt v (b ) b • Bước 4: Tính ∫ f ( x)dx = ∫ a g (t )dt = G (t ) v (a) v(b) v(a ) v (b) • Bước 5: Kết luận : I= G (t ) v(a) 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường : Dấu hiệu Cách chọn a −x π π x = a sin t ↔ − ≤ t ≤ x = a cost ↔ ≤ t ≤ π 2 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) x2 − a2 a π π ↔ t ∈ − ; x = sin t 2 a π ↔ t ∈ [ 0; π ] \ x = cost 2 a2 + x2 π π x = a tan t ↔ t ∈ − ; ÷ x = a cot t ↔ t ∈ ( 0; π ) a+x a−x ∨ a−x a+x x=a.cos2t x=a+ ( b − a ) sin t ( x − a) ( b − x) b Quan trọng em phải nhận dạng : - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ : β β β 1 1 dx = ∫ du ∫ ax + bx + c dx ( ∆ < ) = α ∫ 2 aα u +k b −∆ *α a x+ ÷ + ÷ 2a 2a b −∆ , du = dx ÷ Với : u = x+ , k = ÷ 2a 2a β dx ∫ 2 2k +1 ( k ∈ Z ) * áp dụng để giải toán tổng quát : α (a +x ) β * β ∫ + 2x − x2 α dx = ∫ α ( 3) − ( x − 1) dx Từ suy cách đặt : x − = sin t 3/ Một số ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ ∫ − x dx b/ ∫ Giải 1 − 2x c/ dx ∫ π π a/ Đặt x=sint với : t ∈ − ; 2 x = ↔ sin t = → t = π • Suy : dx=costdt : x = ↔ sin t = → t = 2 2 • Do : f(x)dx= − x dx = − sin tcostdt=cos tdt = ( + cos2t ) dt b/ Đặt : x = Trang π • Vậy : ∫ f ( x)dx = ∫ π π π −1 ÷ = − ÷= 2 2 ( + cos2t ) dt = t + sin 2t 2 π π sin t t ∈ − ; 2 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 + x − x2 dx Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) x=0 ↔ sint=0 → t=0 • Suy : dx = costdt ⇒ x= ↔ = sin t → t = π 2 2 • Do : 2 ∫ − 2x2 dx = ∫ ÷− x 2 dx = π π π 1 π costdt = ∫ dt = t = 2 20 − sin t ∫ c/ Vì : + x − x = − ( x − 1) Cho nên : π π x −1 • Đặt : x − = 2sin t t ∈ − ; ↔ sin t = ( *) −1 x = ↔ sin t = = → t = π ⇒ t ∈ 0; → cost>0 • Suy : dx= costdt : 6 x = ↔ sin t = − = → t = π 2 1 dx = dx = cos tdt = dt • Do : f(x)dx= + x − x ( − sin t ) − ( x − 1) • Vậy : ∫ π π π f ( x)dx = ∫ dt = t = 0 Ví dụ 2: Tính tích phân sau a/ ∫ b a − x2 b/ ∫ x + x + dx 12 x − x − 5dx dx c/ ∫ x − 4x + d/ * Chú ý : Để tính tích phân dạng có chứa ( ∫ ( a + x2 ) dx ) x + a , a − x , ta sử dụng phương pháp đổi biến số : u(x)=g(x,t) Ví dụ : Tính tích phân sau ∫ x2 + dx Giải : • Đặt : x + = x − t ⇒ x = t −1 2t x = → t = −1; x = → t = − • Khi : t2 +1 dx = 2t • Do : ∫ x2 + dx = 1− ∫ −1 −2t t + dt = t + 2t 1− ∫ −1 dt 1− = ln t = − ln t −1 ( ) −1 2 Ví dụ 2: Tính tích phân : I = ∫ x − x dx Giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) π − cos4t 2 2 2 • Do : f(x)dx= x − x dx = sin t − sin tcostdt=sin t cos tdt = ÷dt π π 12 1 1π π = • Vậy : I= ∫ f ( x)dx = ∫ ( − cos4t ) dt = t − sin 4t ÷ = 80 8 16 • Đặt : t=sinx , suy dt=cosxdx x=0,t=0 ; Khi x=1 , t= II Đổi biến số dạng Quy tắc : ( Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u'(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt u (b ) b • Bước 4: Tính ∫ f ( x)dx = a ∫ g (t ) dt = G (t ) u(a) u (b) u (a ) u (b) • Kết luận : I= G (t ) u (a) Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ β A DẠNG : I= ∫ α P ( x) dx ax+b ( a ≠ 0) β * Chú ý đến công thức : β m m dx = ln ax+b Và bậc P(x) cao hoắc ∫ α a α ax+b ta chia tử cho mẫu dẫn đến β β β β P ( x) m ∫ ax+b dx = α Q( x) + ax+b dx = α Q( x)dx + mα ax+b dx ∫ ∫ ∫ α x3 dx Ví dụ : Tính tích phân : I= ∫ 2x + Giải Ta có : f ( x) = Do : x 27 = x2 − x + − 2x + 8 2x + 2 x3 27 27 13 27 1 1 3 2 dx = ∫ x − x + − ∫ x + 8 x + ÷dx = x − x + x − 16 ln x + ÷ = − − 16 ln 35 Ví dụ 2: Tính tích phân : I= ∫ x2 − dx x +1 Giải Ta có : f(x)= Trang x −5 = x −1− x +1 x +1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) ∫ Do : x2 − dx = x +1 β B DẠNG : ∫ ax α 1 ∫ x − − x + ÷dx = x +1 − x − ln x + ÷ = − + ln ÷ ÷ P( x) dx + bx + c Tam thức : f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm phân biệt β Công thức cần lưu ý : β u '( x ) ∫ u ( x) dx = ln u( x) α α Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) x + 11 Ví dụ 3: Tính tích phân : I= ∫ x + x + dx Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 3) + B ( x + ) x + 11 x + 11 A B = = + = x + x + ( x + 2)( x + 3) x + x + ( x + 2)( x + 3) Ta có : f(x)= Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy B=1 + x+2 x+3 1 x + 11 dx = ∫ + Vậy : ∫ x + x + ÷dx = ( 3ln x + + ln x + ) = ln − ln x+2 x+3 0 Do : f(x)= Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) ( x + 5) + 2x + 2x + 1 Ta có : f(x)= x + x + = x + x + + x + x + = x + x + + x + − x + ( )( ) Do : I= ∫ 2x + 1 x+2 f ( x)dx = ∫ 2 + − ÷dx = ln x + x + + ln x + 5x + x + x + x+3 0 1 ÷ = ln − ln Tam thức : f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm kép β Cơng thức cần ý : β u '( x )dx = ln ( u ( x) ) ∫ u ( x) α α Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t x3 Ví dụ : Tính tích phân sau : I= ∫ x + x + dx Giải x 3 x dx Ta có : ∫ x + x + dx = ∫ 0 ( x + 1) Đặt : t=x+1 suy : dx=dt ; x=t-1 : x=0 t=1 ; x=3 t=4 Do : ∫ ( x + 1) x3 dx = ∫ ( t − 1) t2 1 1 1 dt = ∫ t − + − ÷dt = t − 3t + ln t + ÷ = ln − t t t1 2 1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 4x Ví dụ 5: Tính tích phân sau : I= ∫ x − x + dx Giải 4x 4x Ta có : x − x + = x − ( ) x = ↔ t = −1 x = ↔ t = 1 1 ( t + 1) 4x 4x 1 1 Do : ∫ dx = ∫ dx = ∫ 2 dt = ∫ + ÷dt = ln t − ÷ = −2 4x − 4x +1 t t t t −1 0 ( x − 1) −1 −1 Đặt : t= 2x-1 suy : dt = 2dx → dx = dt ; Tam thức : f ( x) = ax + bx + c vô nghiệm : b u = x + 2a P( x) P ( x) = ; 2 2 Ta viết : f(x)= b −∆ a ( u + k ) k = −∆ a x + ÷ + ÷ 2a 2a 2a Khi : Đặt u= ktant x Ví dụ 6: Tính tích phân : I= ∫ x + x + dx Giải x x • Ta có : ∫ x + x + dx = ∫ x + 2 + dx ) 0 ( x = ↔ tan t = • Đặt : x+2=tant , suy : dx= cos 2t dt ; ⇒ x = ↔ tan t = t2 t tan t − dt sin t dx = ∫ = ∫ − ÷dt = ( − ln cost − 2t ) ( 1) • Do : ∫ 2 t1 + tan t cos t t1 cost ( x + 2) + t1 x t2 1 2 tan t = ↔ + tan t = ↔ cos t = → cost1 = Từ : 1 tan t = ↔ + tan t = 17 ↔ cos 2t = → cost = 17 17 t2 cost • Vậy : ( − ln cost − 2t ) t = − ( ln cost − 2t2 ) − ( ln cos t1 − 2t1 ) = − ln cost2 + ( t2 − t1 ) 1 cost 1 = ( arctan4-arctan2 ) − ln • ⇔ − ln cost2 + ( t2 − t1 ) = ( arctan4-arctan2 ) − ln 17 17 Ví dụ 7: Tính tích phân sau : I= x3 + x + x + dx ∫ x2 + Giải x + 2x + 4x + = x+2+ 2 x +4 x +4 2 x + 2x + 4x + dx 1 2 dx = ∫ x + + = + J (1) ã Do ú : ữdx = x + x ÷ + ∫ 2 x +4 x +4 x +4 2 0 • Ta có : Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) Tính tích phân J= ∫ x + dx x = → t = π π ↔ t ∈ 0; → cost>0 • Đặt : x=2tant suy : dx = cos 2t dt ; 4 x = → t = π π π 1 14 π dt = ∫ dt = t = • Khi : ∫ dx = ∫ 2 x +4 + tan t cos t 20 0 π • Thay vào (1) : I = + β P( x) dx C DẠNG : ∫ α ax + bx + cx + d Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có nghiệm bội ba β Cơng thức cần ý : ∫x m dx = α 1 β m −1 1− m x α Ví dụ 8: Tính tích phân : I= x ∫ ( x + 1) dx Giải Cách 1: • Đặt : x+1=t , suy x=t-1 : x=0 t=1 ; x=1 t=2 • Do : x ∫ ( x + 1) 2 t −1 1 1 1 12 dt = ∫ − ÷dt = − + ÷ = t t t t 2t 1 1 dx = ∫ Cách 2: ( x + 1) − x 1 • Ta có : x + = x + = x + − x + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 dx = ∫ − dx = − + = • Do : ∫ 3 2 ( x + 1) ( x + 1) x + ( x + 1) ( x + 1) 0 x dx Ví dụ : Tính tích phân : I= ∫ −1 ( x − 1) x Giải • Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 : x=-1 t=-2 x=0 t=-1 • Do : x4 ∫ ( x − 1) −1 dx = −1 ∫ −2 ( t + 1) t3 −1 −1 t + 4t + 6t + 4t + 1 dt = ∫ dt = ∫ t + + + + ÷dt t t t t −2 −2 −1 1 1 −1 33 1 ⇔ ∫ t + + + + ÷dt = t + 4t + ln t − − ÷ = − ln • t t t t t −2 2 −2 2 Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ 10 : Tính tích phân sau : I= ∫ ( x − 1) ( x + 1) dx Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định ) • Ta có : A ( x + 1) + B ( x − 1) ( x + 1) + C ( x − 1) A B C = + + = x − ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) A = 1 = A • Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số : 1 = −2C ⇔ Khi (1) C = − 2 ( A + B) x + ( A + C ) x + A − B − C ⇒ A − B − C = ⇔ B = A − C −1 = + −1 = − ⇔ 4 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 1 dx = ∫ + − ÷dx ∫ ( x − 1) ( x + 1) x − ( x + 1) ( x + 1) ÷ 2 1 1 3 ⇔ I = ln ( x − 1) ( x + 1) + = ln = ln 2 ( x + 1) 4 4 3 • Do : Cách 2: • Đặt : t=x+1, suy : x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4 • Khi : I= ∫ 4 dt t − ( t − 2) 1 1 = ∫ dt = ∫ dt − ∫ dt ÷ t ( t − 2) t ( t − 2) t ( t − 2) t ÷ 3 ( x − 1) ( x + 1) dx = ∫ 4 11 1 1 t−2 4 ⇔ I = ∫ − ÷dt − ∫ dt ÷ = ln − ln t ÷ = ln 22 2t −2 t t 4 t 3 ( 3t − 4t ) − 3t − 4t − = 3t − 4t − ( 3t + ) = 3t − 4t − + = Hoặc : ÷ ÷ t − 2t t − 2t t − 2t t − 2t t t − 2t t t 3t − 4t 1 3 • Do : I= ∫ t − 2t − t + t ÷÷dt = ln t − 2t − 3ln t − t ÷÷ = ln 3 2 1 t − ( t − 4) = Hoặc : t ( t − 2) t ( t − 2) • Do : I= 1 t+2 1 1 2 ÷= − ÷= − − 2÷ ÷ 4t −2 t 4t −2 t t 1 2 1 t −2 2 1 1 2 1 1 ∫ t − − t − t ÷dt = ln t + t ÷ = ln + − ln − ÷ = ln − ln − ÷ 3 Ví dụ 11: Tính tích phân sau : I= x2 ∫ ( x − 1) ( x + ) dx 2 Giải Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 , dx=dt : x=2 t=1 ; x=3 t=2 ( t + 1) dt = t + 2t + dt dx = ∫ Do : ∫ ∫ t ( t + 3) t ( t + 3) ( x − 1) ( x + ) 1 x2 Cách 1; ( Hệ số bất định ) ( At + B ) ( t + 3) + Ct = ( A + C ) t + ( A + B ) t + 3B t + 2t + At + B C = + = Ta có : 2 t ( t + 3) t t +3 t ( t + 3) t ( t + 3) Trang 10 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 3 1 xdx 1 3 Do : ∫ x x − dx = ∫ x − − ∫ x dx = ln ( x − 1) − ln x ÷ = ln − ln ( ) 2 x +1 Ví dụ 13: Tính tích phân sau : I= ∫ x x − dx ( ) Cách 1: A ( x − ) + Bx ( x + ) + Cx ( x − ) x +1 x +1 A B C = = + + = Ta có : x ( x2 − 4) x ( x − 2) ( x + 2) x x − x + x ( x2 − 4) Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Khi x=0 : 1= -4A suy : A=-1/4 Khi x=-2 : -1= 8C suy C=-1/8 Khi x=2 : 3= 8B suy : B=3/8 Do : f(x) = − ÷− ÷+ ÷ 4 x 8 x−2 8 x+2 Vậy : 1 1 3 x +1 1 1 1 3 dx = − ∫ dx − ∫ dx + ∫ dx = − ln x − ln x − + ln x + ÷ = ∫ x ( x2 − 4) 42x x−2 x+2 8 2 = ln − ln − ln 8 Cách 2: Ta có : 2 x +1 1 1 1 x − ( x − 4) = + = − ÷+ x ( x2 − 4) ( x2 − 4) x ( x2 − 4) x − x + x ( x2 − ) 1 1 2x 1 ÷= − + − ÷ ÷ 4 x−2 x+2 x −4 x 4 x +1 1 2x 1 1 x − 4 Do : ∫ x x − dx = ∫ x − − x + + x − − x ÷dx = ln x + + ln ( x − ) − ln x ( ) 3 x2 Ví dụ 14: Tính tích phân sau : ∫ x − x + dx )( ) ( Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 1) ( x + ) + B ( x − 1) ( x + ) + C ( x − 1) x2 x2 A B C = = + + = ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) x − x + x + ( x − 1) ( x + ) Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy : A=1/2 Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy : B=-1/2 Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy : C=-5/4 Do : 3 x2 1 x −1 3 1 dx = ∫ − − dx − ln x + = ln ÷ = ln I= ∫ x − x + 2 x −1 x +1 x + )( ) x +1 2 2 ( 2 Cách 2.( Nhẩy tầng lầu ) Trang 12 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) Ta có : x2 x2 −1 + 1 1 x ( x + 1) − ( x − 1) ( x + ) = = + = + ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) x + ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) x + 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) 1 x 1 1 1 + − + 1 + − = ÷− x + 2 ( x − 1) ( x + ) x + x + 2 x − x + x + = Từ suy kết β D DẠNG ∫ ax α R ( x) dx + bx + c Những dạng , gần đề thi đại học cho ( Nhưng khơng khơng cho ) , đưa số đề thi thi năm trường đề thi riêng , mong em học sinh ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho thân Sau tơi lấy số ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân sau : a 1 ∫ ( x + 3x + ) + x2 b ∫ + x3 dx dx Giải 1 a ∫ ( x + 3x + ) dx Ta có : 1 x + x + = ( x + 1) ( x + ) ⇒ f ( x) = = = − 2 ( x + 3x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) 1 1 = + − = + − 2 − ÷ Vậy : 2 2 x +1 x + ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ∫ (x + 3x + ) 2 1 1 x +1 dx = ∫ + − 2 − − − ln ÷ dx = − 2 x+2 x + x + x +1 x + ( x + 2) ( x + 1) 1 1 ÷0 = + ln 1 + x2 b ∫ + x3 dx + x2 − x + x2 + x − x + x2 x f ( x) = = = + Ta có : 1+ x ( + x ) ( − x + x2 ) ( + x ) ( − x + x2 ) ( + x ) ( − x + x2 ) ⇔ f ( x) = x 2x + ⇒ ∫ + dx ÷ 1+ x 1+ x + x3 x +1 Ví dụ Tính tích phân sau a ∫ 1 x2 −1 dx x4 − x2 + x4 + b ∫ x + dx Giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 13 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) a ∫ x2 −1 dx Chia tử mẫu cho x ≠ , ta có : x − x +1 x2 ⇒ f ( x) = x2 + −1 x 1− ∫ f ( x)dx = ∫ 1 1 − ÷dx x x + ÷− x ( 1) x =1 → t = 1 2 Đặt : t = x + ⇒ x + = t − 2, dt = 1 − ÷dx ↔ x = → t = x x x Vậy : 3 ∫ ∫t f ( x)dx = dt = −3 ∫ ( t − 3) ( t + 3) dt = ∫ t− − ÷dt t+ 3 7−4 3= ln − ln ÷= ÷ ln + ) 3 t− I= ln t+ ( 1 x4 + b ∫ x + dx Vì : ) x − = ( x ) − = ( x − 1) ( x + x + 1) 2 x − = ( x ) − = t − 1( t = x ) Cho nên : 1 x4 + x4 − x2 + x2 − 3x dx f ( x) = = − ⇒ f ( x)dx = ∫ x + ( x3 ) + 1 x + ( x + 1) ( x − x + 1) ( x ) + ∫ 0 1 1 Vậy : I = arctan x − arctan ( 3x ) = arctan1- arctan3 = π − arctan3 Ví dụ Tính tích phân sau 1 x2 + x2 −1 a ∫ x + dx ∨ ∫ x + 1dx 0 b ∫x 1 dx +1 Giải 1 x +1 x −1 a ∫ x + dx ∨ ∫ x + 1dx Ta có : 0 1 1− 2 x +1 x , g ( x) = x − = x f ( x) = = Cho nên x + x2 + x + x2 + x2 x2 1 2 t = x + x ⇒ dt = − x ÷dx, x + x = t − 2, x = → t = 2, x = → t = Đặt : 1 2 t = x − ⇒ dt = + ÷dx, x + = t + 2, x = → t = 0, x = → t = x x x 1+ 2 ⇔∫ 5 5 Vậy : 1 1 t− dt f ( x) dx = ∫ dt = − ln ÷= ÷dt = t −2 ∫ t− t+ 2 ∫ t − t + 2 t+ 2 2 2 Trang 14 ( )( ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 2 dt t +2 ⇔ ∫ g ( x)dx = ∫ ( 1) 3 du ↔ t = → u = 0, t = → u = arctan = u1 cos u u1 u1 2du 2 u1 Do (1) ⇔ ∫ cos 2u + tan u = ∫ du = u = u1 ( ) 0 Đặt : t = tan u → dt = 2 1 b ∫ dx Ta có : F ( x) = = x +1 x +1 1 + x2 + − x2 ÷= 2 x4 +1 x2 + x2 −1 − ÷ = ( f ( x) − g ( x) ) x4 +1 x4 +1 Đã tính ( phần a) Ví dụ Tính tích phân sau a ∫(x c 1− ∫ x −1 dx − x + 1) ( x − x + 1) b ∫x dx − 4x2 + x7 dx d I = ∫ + x − 2x x2 + dx x4 − x2 + Giải a ∫(x x −1 dx Ta có : − x + 1) ( x − x + 1) 2 − ÷dx x −1 x x f ( x) = = ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫ 1 ( x − 5x + 1) ( x − 3x + 1) x + − x + 1 x+ − ÷ x + − ÷ ÷ ÷ x x −3 x x 1 Đặt : t = x + → dt = 1 − ÷dx , x = → t = 2, x = → t = x x 1− ( 1) Vậy (1) trở thành : 5 2 1 t −5 1 ∫ ( t − 5) ( t − 3) = ∫ t − − t − ÷dt = ln t − = ( ln − ln 3) = ln 2 dt b ∫x 1 1 1 dx Ta có : f ( x) = x − x + = x − x − = x − − x − ÷ − 4x + ( )( ) Do : ∫ f ( x)dx = ∫ x 3 2 1 − ÷dx = I − J − x −1 ( 1) Với : 5 1 2 1 x− 37 − 20 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ x − − x + ÷dx = ln x + 3 = ln 65 − 3 3 x+ x −3 x− 2 2 ( )( ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ( ) Trang 15 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 5 1 1 2 1 x −1 15 J =∫ dx = ∫ dx = ∫ − = ln − ln ÷ = ln ÷dx = ln x −1 x − 1) ( x + 1) x −1 x +1 x +1 5 0 ( 2 c 1− ∫ x2 + dx x − x +1 x Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a Chỉ khác đặt : t = x − , kết x7 x4 x 3dx d I = ∫ + x − 2x dx = ∫ 2 x −1 ( ) ( 1) dt = 3x dx, x = → t = 15; x = → t = 80 Đặt : t = x − ⇒ f ( x)dx = x 3x3dx = ( t + 1) dt = + dt ÷ ( x − 1) t2 t t2 80 1 1 80 16 13 I = ∫ + ÷dt = ln t − ÷ = ln + Vậy : t t 3 t 15 3 720 15 β E TRƯỜNG HỢP : R ( x) ∫ Q( x) dx ( Với Q(x) có bậc cao ) α Ở lưu ý : Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp bậc mẫu tới hai bậc tinh ý nhận tính chất đặc biệt hàm số dấu tích phân mà có cách giải ngắn gọn Phương pháp chung , khéo léo cách giải hay Sau đay minh họa số ví dụ Ví dụ Tính tích phân sau dx a ∫ x x + ( ) b x2 + ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Giải dx a ∫ x x + Nếu theo cách phân tích đồng hệ số hai tử số ta có : ( ) A Bx + Cx + Dx + E A ( x + 1) + x ( Bx + Cx + Dx + E ) f ( x) = = + = = x4 + x ( x + 1) x x ( x + 1) A + B = A =1 C = 0, D = B = −1 ( A + B ) x + Cx + Dx + Ex+A ⇒ x3 ⇔ f ( x) = ⇔ ⇒ f ( x) = − x x +1 x ( x + 1) E = C = 0, D = 0, A =1 E = Nhưng ta tinh ý cách làm sau hay Vì x x3 cách bậc , mặt khác x ∈ [ 1; 2] ⇒ x ≠ Cho nên ta nhân tử mẫu với x ≠ Khi f ( x ) = Trang 16 x3 3 Mặt khác d ( x ) = x dx ⇔ dt = x dx 4 x ( x + 1) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ( t = x ) , : Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) f ( x) dx = x 3dx dt 1 = = − ÷ = f (t ) Bài toán trở nên đơn giản 4 x ( x + 1) t ( t + 1) t t + nhiều ( Các em giải tiếp ) b x2 ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Nhận xét : * Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm sau : - f ( x) = x2 + A = ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) 3 + B ( x − 1) + C D + x −1 x + 3 - Sau quy đồng mẫu số , đồng hệ số hai tử số , ta có : A = , B = , C = − D = Do : I = ∫ ( x − 1) + ( x − 1) + 5 − 32 ( x − 1) 32 ( x + 3) 32 ÷dx ÷ 1 5 = − − + ln x − − ln x + = ln ( x − 1) 32 32 ( x − 1) 32 28 Ví dụ Tính tích phân sau : d ∫ x2 + b ∫ dx x +1 1 x3 (1+ x ) 2 x4 − a ∫ dx x −1 dx e ∫ x + 3x + ( 1+ x ) dx c ∫ x + x ( ) dx f ∫ 3 ( x−x ) x4 dx Giải a 3 x4 − x4 + x2 + x2 + ÷ x2 1 ÷ ∫ x6 − dx = ∫ ( x − 1) ( x + x + 1) − ÷dx = ∫ x − dx + ∫ + x3 − − x3 + ÷dx 1 2 ( x ) −1 ÷ ( x ) − 1 ÷ Tính J : J= artanx = artan3-artan2 2 dt = x dx, x = → t = 8; x = → t = 27 Tính K Đặt t = x ⇒ g ( x)dx = x dx = dt = 1 − dt ÷ x3 − ( t − 1) t − t + 27 27 t − 27 117 1 − = ln Do : K= ∫ g ( x)dx = ∫ ÷dt = ( ln t − − ln t + ) = ln t −1 t +1 6 t + 98 3 1 Tính E= ∫ x3 − dx = ∫ x − x + x + dx )( ) 2 ( Ta có : h( x) = x − ( x − 1) x2 x2 − = = − ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) x − ( x − 1) ( x + x + 1) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 17 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) = ( x − 1) ( x + 1) = x − x + = x − x + + x2 − ÷ x − ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − x + x + x3 − x + x + x + x + 3x ( x + 1) I = ∫ dx − ∫ dx − ∫ dx 2 x −1 2 x + x +1 Vậy : 1 3 ÷ x+ ÷ + 2 3 1 28 13 = ln ( x − 1) − ln ( x + x + 1) − F = ln − ln − F ( ) 2 3 3 dt dx = cos 2t Tính F : Đặt : x + = tan t ⇒ 2 x = → tan t = → t = a; x = → tan t = 10 → t = b 3 b Do F= ∫ a dt b b 5 10 cos 2t = ∫ dt = t = b − a t ant= → t = a = artan ; b = artan ÷ a 3 3 + tan t ) a ( Thay vào (2) ta có kết 2 x2 + x2 + 1 b ∫ x + dx = ∫ ( x + 1) ( x − x + 1) dx = ∫ 2 dx = ∫ ( x + x + 1) ( x − x + 1) dx 1 ( x − 1) − x 1 Ax+B Cx + D Ta có : ( x + x + 1) ( x − x + 1) = x + x + + x − x + ( A + C ) x3 + ( B − A + C + D ) x + ( A − B + C + D ) x + ( B + D ) = x4 − x2 + 1 A = − A + C = A = −C C = B − A + C + D = 1 − 2C = ⇔ ⇔ Đồng hệ số hai tử số ta có hệ : A − B + C + D = − B + D = D = B + D = B + D = B = 2 1 1− x x +1 dx + ∫ dx ÷ = ( J + K ) ( 1) Vậy : I = ∫ 2 x + x +1 x − x +1 Tính J= 2 2 −x +1 2x +1− 2x +1 1 dx = − ln x + x + + E ∫ x + x + dx = − ∫ x2 + x + dx = − ∫ x + x + dx + ∫ 2 1 1 1 3 x+ ÷ + ÷ 2 dx ∫ Tính E = , học sinh tự tính cách đặt : x + = tan t ÷ 2 x+ ÷ + 2 Tính K Trang 18 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ( 2) Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) K =∫ 2 x +1 2x −1+ 2x −1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = ln x − x + + F 2 x − x +1 x − x +1 x − x +1 20 1 3 x− ÷ + ÷ 2 ( 2) dx ∫ 21 3 Tính F= , học sinh tự tính cách đặt : x − = tan t 1 ÷ 2 x− ÷ + 2 4 2 dx 3x d ( x ) d ( x ) x 32 ÷ = ln = ∫ dx = ∫ − c ∫ ÷ = ln x ( + x4 ) 31 x + x ÷ + x 17 x (1+ x ) 1 2 x x dx = ∫ xdx ( 1) Đặt : t = + x ⇒ x = t − 1; dt = xdx 3 d ∫ 2 ( + x2 ) (1+ x ) x = → t = 1, x = → t = 2 t −1 1 1 1 13 Do I = ∫ dt = ∫ − ÷dt = − + ÷ = t t t t 4t 16 1 e ∫ x + 3x2 + (1+ x ) ( + x2 ) 1 x2 ÷ x2 dx = ∫ + dx = ∫ dx + ∫ dx = J + K ( 1) ( + x2 ) ( + x2 ) ÷ + x2 0 ( 1+ x ) Tính J : Bằng cách đặt x = tan t ⇒ J = π 1 ÷dx = E + F ( ) − Tính K= ∫ 2 ÷ ( 1+ x ) (1+ x ) dx = cos 2t dt x = tan t ↔ Tính E : Bằng cách đặt x = → t = 0; x = → t = π 1 π π π Vậy : E = ∫ + x ÷ dx = ∫ + tan t ÷ cos 2t dt = ∫ cos 2t dt = ∫ cos tdt 0 0 0 1 1 1 1 cos 4t π = ∫ ( + cos2t ) dt = 40 π 1 1π 1 π +2 t + sin 2t ÷ = + ÷ = 4 16 4 2 Tính F Tương tự tính E ; dx = cos 2t dt x = tan t ↔ Bằng cách đặt x = → t = 0; x = → t = π π π π Vậy : F = ∫ + x ÷ dx = ∫ + tan t ÷ cos2t dt = ∫ cos 2t dt = ∫ cos tdt 0 0 0 1 1 1 1 cos 6t Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 19 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) π π π 1 + cos4t = ∫ ( + cos2t ) dt = ∫ + 2cos2t + dt ÷ 4= 80 0 π π 1 1 π 3π + ÷ ∫ ( + cos 2t + cos4t ) dt = 16 3t + 2sin 2t + sin 4t ÷ = 16 + = 64 16 f ∫ 3 ( x−x ) x4 1 x − x3 dx dx = ∫ ÷ dx = ∫ − 1÷ x x x x 1 1 x 3 dx dt = − x 1 Đặt : t = − 1÷⇒ t + = ⇔ x x x = → t = 8; x = → t = 3 48 3 24 468 I = − ∫ t ( t + 1) dt = ∫ t + t ÷dt = t + t ÷ = 27 + = 16 + ÷ = Khi 0 7 4 7 0 * Chú ý : Cịn có cách khác 1 3 − 3÷ 1 x ∈ ;1 → x ≠ Đặt x = ⇒ dx = − dt ; f ( x )dx = t t Vì : 3 t t2 1 ÷ t = −t ( t − t ) 3 1 1 3 dt = dt = −t − ÷ dt (2) Đặt : u = − ⇔ = − u; du = dt t t t t Ví dụ Tính tích phân sau a ∫ 1 a p e p +2 x2 x p+2 +1 ∫ b dx x dx ( x2 + a2 ) 2a x+e c ∫ e dx x d ∫x 2ax − x dx Giải p a e p +2 ∫ x x p p+2 +1 dx ( ĐHTNguyên-98) : Ta có : f ( x )dx = x dx + p2 x ÷ +1 p e dt = x dx dt t=x =x ⇒ ⇔I= ∫ - Đặt : t +1 x = → t = 1; x = e p + → t = e du u1 u1 dt = cos 2u du π ⇔I=∫ = ∫ du = − u1 - Đặt : t = tan u ⇒ 2 π π cos u ( + tan u ) π t = → u = , t = e → u = u1 4 π - Từ : tan u = e ⇒ u = u1 = artan e ⇔ I = − artan e p+2 Trang 20 t ( t −t) 1 dt − ÷dt = − t t p +1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) a b ∫ x dx (x +a 2 ) a Vậy : I = ∫ dt π dx=a cos 2t ; x = → t = 0, x = a → t = 3 Đặt : x = atant ⇒ f ( x) = x dx = a tan t a dt = a cos t.tan tdt cos 2t x2 + a2 ) a3 ( ÷ cos t π π π π ( − cos t ) sin t dt = sin t sin t f ( x)dx = ∫ a cos t.tan tdt = ∫ a cos t dt = ∫ a dt =a ∫ cos t cos t cos 2t 0 0 3 π du = − s intdt;t= → u = ; t = → u = - Đặt : cost=u ⇒ f (t )dt = ( − u ) − du = 1 − du ( ) 2÷ u2 u Vậy : I = 2 ∫ 1 2 3 −4 + −2= −2= −2= − ÷du = u + ÷ = u 2 2 u 1 dt = e x dx; x = → t = 1; x = → t = e x x e x + e dx = ∫ e x e e dx Đặt : t = e x ⇒ c ∫ x ex t 0 f ( x)dx = e e dx = e dt e e I = ∫ f ( x)dx = ∫ et dt = et = ee − e Vậy : 1 2a d 2a ∫x 2ax − x dx = ∫x a − ( x − a ) dx π π dx = a.costdt,x=0 → t=- ;x=2a → t= Đặt : x − a = a.sin t ⇒ f ( x)dx = ( a + a.sin t ) a 2cos 2t a.costdt Vậy : π π π π 2 2 + cos2t 3 2 I = a ∫ ( + sin t ) cos tdt = a ∫ cos tdt + ∫ cos t sin tdt = a ∫ dt − ∫ cos td ( cost ) π π π − − − −π −π 2 2 π π 1 π π π = a t + sin 2t ÷ − cos3t = a + ÷ = a π 2 −π 2 − 2 π Ví dụ Tính tích phân sau dx a ∫ x −x c ∫ b x3 − x (x + 1) ∫ dx d ∫ x dx (1+ x ) + x3 dx x4 Giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 21 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) 3 dx a ∫ x5 − x = ∫ x x − x + x + dx ( )( ) 2 ( 1) A B Cx + D E Xét : f ( x) = x ( x − 1) ( x + x + 1) = x + x + x + x + + x − = A ( x + x + 1) ( x − 1) + Bx ( x − 1) ( x + x + 1) + ( Cx + D ) x ( x − 1) + E ( x + x + 1) x x ( x − 1) ( x + x + 1) ( B + C + E ) x + ( A + D − C + E ) x + ( E − D ) x − Bx − A = x ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng hệ số hai tử số ta có hệ : D = B + C + E = C = − E A + D −C + E = E + E + E = C = − 1 − x+ 3+ ⇔ B = ⇔ B = ⇒ f ( x) = − + 23 E − D = x x + x +1 x −1 B = E = D E = A = −1 A = −1 A = −1 1 3 −3x+3 ÷dx = − − x − + 1 dx + Vậy : I = ∫ − + ÷ ∫ x x + x + ÷ ( x − 1) ÷ ÷ x x + x +1 x −1 ÷ 2 2 1 ( x − 1) + arctan 2x+1 dx 1 3 = − ln x + x + + ln x − ÷ − ∫ = + ln ÷ 2 3 ÷2 x 2 2 x x + x +1 ÷ x+ ÷ + 2 1 + − arctan arctan ÷ 3 3 1 x dx x4 = ∫ 3x dx ( 1) 2 b ∫ ( + x4 ) (1+ x ) = dt = 3x dx, x = → t = 1; x = → t = Đặt : t = + x ⇒ t −1 1 f ( x) dx = t ÷dt = t − t ÷dt 1 1 1 1 Vậy : I = ∫ t − t ÷dt = ln t + t ÷ = ln − ÷ 1 ( x − 2) c ∫ 2 dx = ∫ 2 xdx ( x + 1) ( x + 1) x3 − x Trang 22 ( 1) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) dt = xdx; x = → t = 1; x = → t = Đặt : t = + x ⇔ x − = t − ⇒ f ( x)dx = t − dt = − dt ÷ ÷ t2 t t2 1 1 3 1 3 I = ∫ − ÷dt = ln t + ÷ = ln − ÷ Vậy : 2t t 2 t 2 2 2 d ∫ 2 + x3 + x3 dx = ∫ x dx x4 x6 ( 1) 2tdt = x dx; x = → t = 2, x = → t = 3 Đặt : t = + x ↔ t = + x ↔ f ( x)dx = 1 + x3 3x dx = t 2tdt = t dt x6 ( t − 1) ( t − 1) Vậy : I= = 2 1 1 2 1 1 ∫ t + + t − − t + ÷÷ dt = ∫ t + − t − ÷ = 2 1 + − − ÷÷ ∫ ( t + 1) ( t − 1) t − t + ÷dt 2 1 1 t − −2t t −1 − ÷ − − − ln = − ln = + ln 2 − t +1 t −1 t + ( t − 1) t +1 ÷ 24 ( Ví dụ Tính tích phân sau : ∫x a ∫ c dx x2 + x5 − x3 x2 + ∫ b d dx (x ) − x ) dx x2 + ∫ (1− x ) dx Giải a ∫x dx x +9 = ∫x xdx x2 + ( 1) 5 t = x + ↔ tdt = xdx, x = t − dt dt Đặt : t = x + ⇒ Do : I = ∫ t t − = ∫ t ( t − 3) ( t + 3) ) 4 ( x = → t = 4, x = → t = A ( t − ) + Bt ( t + 3) + C ( t − 3) t A B C = + + = Ta có : f (t ) = t ( t − 3) ( t + 3) t t − t + t ( t − 9) Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm vào hai tử số ta có : - Với x=0 : -9A=1 → A = − 9 - Với x=3 : 9B=1 → B = 5 t − 144 1 1 I = ∫ − + + dt = ln ( t − ) − ln t = ln = ln Vậy : ÷ 4 9 4 t t −3 t +3 t 35 - Với x=-3 : 9C=1 → C = * Chú ý : Nếu theo phương pháp chung đặt : x = 3sin t → dx = 3cos tdt Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 23 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) x = → = 3sin t ↔ sin t = Khi : Như ta không sử dụng phương pháp x = → = 3sin t ↔ sin t = > b ∫ (x − x ) dx x +1 1 x2 =∫ x +1 dx − ∫ x x +1 dx = J − K ( 1) * Để tính J : π dx = cos 2t dt , x = → t = 0; x = → t = Đặt : x = tan t ⇒ Tính tích phân khơng đơn tan t dt tan t cos t = dt f ( x)dx = cost + tan t giản , ta phải có cách khác x2 - Từ : g ( x) = x2 + = x2 + −1 x2 + = x2 + − 1 x2 + 1 ⇒ ∫ g ( x)dx = ∫ x + 1dx − ∫ 0 x2 + - Hai tích phân tính 1 1 x2 +/ Tính : E = ∫ x + 1dx =x x + − ∫ dx = − ∫ x + 1dx − ∫ dx ÷ 0 x +1 x +1 0 0 = − E + ln x + x + ⇒ E = + ln + ⇔ E = + ln + 2 1 1 x dx = x + = − ; ∫ dx = ln x + x + = ln + * Tính K= ∫ 0 x +1 x2 + 0 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 2 + ln + + ln + = + ln + 2 2 3 x − x3 x5 x3 c ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx = J − K ( 1) x +1 x +1 x +1 0 2 x = t − 1; xdx = tdt ; x = → t = 1, x = → t = 2 - Tính J: Đặt t = x + ⇒ x xdx ( t − 1) tdt = = ( t − 2t + 1) dt f ( x)dx = t x +1 Do : I= 2 1 Suy : J= ∫ ( t − 2t + 1) dt = t − t + t ÷ = 1 5 38 15 x = t − 1; xdx = tdt ; x = → t = 1, x = → t = 2 - Tính K: Đặt t = x + ⇒ x xdx ( t − 1) tdt = = ( t − 1) dt f ( x)dx = t x +1 1 Suy : K= ∫ ( t − 1) dt = t − t ÷ = 3 1 28 48 16 Vậy : I= + = = 15 15 Trang 24 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ) dx Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) d ∫ (1− x ) π dx = costdt x=0 → t=0;x=1 → t= dx Đặt : x = sin t → f ( x )dx = ( − x ) dx = cos 6tcostdt=cos 4tdt π 2 π π Do I= ∫ − cos2t dt = ∫ 1 − cos 2t + + cos4t dt = ∫ − cos2t+ cos4t dt ÷ ÷ ÷ 0 4 π 3π 3 = t − sin 2t + sin 4t ÷ = 32 4 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 25 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 ) Trang 26 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 ... trung bình tích phân ) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp , cẩn : • Kỹ : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương nhiều hàm số khác... mà ta sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm chúng • Kiến thức : Như trình bày phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc kiến thức Vi phân , cơng thức phép tốn lũy thừa , phép toán bậc... Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u''(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx