Phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm khách quan về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác

Với mục đích giúp học sinh phân loại được mức độ câu hỏi để phân bố thời gian, định hướng tư duy tìm phương án tối ưu, kết hợp với việc sử dụng hợp lý công cụ MTCT để giải quyết các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác, tôi lựa chọn chuyên đề Phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm khách quan về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác

Phân tích, định hướng tư giúp học sinh giải câu hỏi TNKQ nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ hàm lượng giác I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong đề tham khảo, đề minh họa, đề thử nghiệm đề thi THPT quốc gia môn tốn năm gần Bộ GD&ĐT ln có tốn ngun hàm, tích phân Trong ngun hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, hàm số lượng giác xuất nhiều, với mức độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng, đặc biệt, mức độ vận dụng MTCT giúp học sinh kiểm tra lại kết thực phép tính thơng thường Với mục đích giúp học sinh phân loại mức độ câu hỏi để phân bố thời gian, định hướng tư tìm phương án tối ưu, kết hợp với việc sử dụng hợp lý công cụ MTCT để giải câu hỏi TNKQ nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ hàm lượng giác, lựa chọn chuyên đề "Phân tích, định hướng tư giúp học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ hàm lượng giác" làm đề tài đóng góp buổi hội thảo cụm trường khu vực Phúc Yên Trong khuôn khổ chun đề, tơi phân tích, định hướng tư giúp học sinh giải câu hỏi TNKQ nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ hàm lượng giác, đồng thời hướng dẫn học sinh sử dụng công cụ MTCT cách hợp lý để giúp giải nhanh tập TNKQ II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Nội dung chuyên đề sau: I Các kiến thức Để giải tốn tìm ngun hàm, tính tích phân, cần đến kiến thức sau: Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f ( x) xác định khoảng K hàm số F ( x) gọi ( x)  f ( x) với x �K nguyên hàm hàm số f ( x) K F � Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x) K ký hiệu f ( x)dx � f ( x )dx  F ( x )  C � F � ( x)  f ( x) x �K � Tính chất nguyên hàm: Với điều kiện tồn nguyên hàm thì: 1)  �f ( x)dx  � f ( x) 2) f� ( x)dx  f ( x)  C � kf ( x)dx  k � f ( x)dx ( k số khác 0) 3) � 4) f ( x )dx  � g ( x)dx  f ( x) �g ( x ) dx  � � Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số liên tục khoảng K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm mở rộng ( k �0 ) 1) 0dx  C ; � dx  x  C � 2) x 1 x d x  �    C (với  �1 ) 3) dx  �  ln x  C � x x  ln kx  b  C � kx  b k 4) e x dx  e x  C � e kx b dx  �  a x dx  � dx ax C ln a  kx  b   kx  b  dx  � k    1  1  dx e kx b C k a kx b kx  b a d x  C � k ln a C Nguyên hàm mở rộng ( k �0 ) Nguyên hàm hàm số thường gặp 5) cos(kx  b) C k sin(kx  b) cos( kx  b )d x  C � k dx tan(kx  b)  C � cos (kx  b ) k dx cot(kx  b)  C � sin (kx  b) k tan(kx  b)dx   ln cos(kx  b)  C � k cot( kx  b)dx  ln sin(kx  b)  C � k dx xa  ln C � ( x  a )( x  b) b  a x  b sin xdx   cos x  C � sin(kx  b)dx   � cos xdx  sin x  C � dx � cos  tan x  C x dx   cot x  C � sin x tan xdx   ln cos x  C � cot xdx  ln sin x  C � 6) dx � x a 2  xa ln C 2a x  a Các phương pháp tìm nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số: Nếu số có đạo hàm liên tục f (u )du  F (u )  C � u  u ( x) hàm f  u ( x)  u � ( x)dx  F  u ( x)   C � b) Phương pháp tính nguyên hàm phần: Nếu hai hàm số u  u ( x) u ( x)v� ( x)dx  u ( x)v( x)  � u� ( x)v( x)dx � v  v( x ) có đạo hàm liên tục K udv  uv  � vdu hay � Định nghĩa tích phân - Cho hàm số f ( x) liên tục khoảng K chứa a, b Giả sử f ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K Hiệu số F (b)  F ( a) gọi tích phân b từ a đến b (hay tích phân xác định) hàm số f ( x), kí hiệu f ( x)dx � a b f ( x )dx  F ( x) � b a  F (b)  F ( a) a b * Với tích phân f ( x)dx thì: � a x gọi biến số a, b gọi cận tích phân, a cận dưới, b cận f ( x) hàm số dấu tích phân f ( x)dx biểu thức dấu tích phân b Nếu a  b f ( x)dx cịn gọi tích phân đoạn  a; b  � f ( x) a Tính chất tích phân Với điều kiện tồn tích phân thì: a 1) f ( x )dx  � a a 2) a kf ( x)dx  k � f ( x)dx ( k ��) 3) � 5) b b c c a b a 4) b b a a b b f ( x)dx   � f ( x)dx � b f ( x)dx �� g ( x)dx  f ( x) �g ( x) dx  � � a b f ( x)dx  � f ( x )dx  � f ( x)dx � 6) b a a b b a a f ( x)dx �l � g ( x)dx  kf ( x) �lg ( x) dx  k � � a 7) Việc tính tích phân khơng phụ thuộc vào biến số lấy tích phân b b b a a a f ( x)dx  � f (t )dt  � f (u )du  � Các phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn  a; b  Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên tục đoạn   ;   (nếu    ta xét đoạn   ;  ) cho  (a )   ,  (b)   b  a  a � (t ) �b với t �  ;   Khi f ( x)dx  � f ( (t )) � (t )dt � b) Phương pháp tính tích phân phần: Nếu u  u ( x ) v  v ( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  a; b  b b b b a a b b u ( x)v� ( x)dx  u ( x)v( x) a  � u� ( x)v( x)dx hay � udv  uv a  � vdu � a a Dưới nội dung câu hỏi TNKQ nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ hàm lượng giác, phần hướng dẫn có phân tích, định hướng tư giúp học sinh giải câu hỏi dạng II Nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ - Để tìm nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ dạng f ( x) với g ( x) f ( x), g ( x) đa thức, ta biến đổi (đồng nhất, tách, ) sử dụng kết quả: dx 1)  ln ax  b  C � ax  b a 2) dx �1 � xa   d x  ln C � � � ( x  a)( x  b) b  a � �x  a x  b � b  a x  b 3) � x a 4) �  ax  b  dx dx  5)  �x   xa ln C 2a x  a   dx  a2  n a    1  ax  b   1  C (với  �1 ) đặt x  a tan t - Về đồng hệ số: Để đồng sử dụng kết bậc f ( x) nhỏ bậc g ( x) , đồng cần đầy đủ hệ số, bậc, ví dụ: f ( x) a b   x ��\  x1; x2   x  x1   x  x2  x  x1 x  x2 f ( x)  x  x1   x  x2  m n  am a1 a2    m x  x1  x  x1   x  x1   b1 b2 bn    x ��\  x1; x2  n x  x2  x  x2  x  x  2 f ( x) a� x  b� A B    x ��\  x1; x2  2 ax  bx  c x  x x  x ax  b  c x  x x  x       2 Câu 1: Nguyên hàm hàm số f ( x)  x3 x  3x  2 A 2ln x   ln x   C B 2ln x   ln x   C C 2ln x   ln x   C D ln x   2ln x   C Hướng dẫn giải Với toán xét xem bốn hàm số cho trước phương án trả lời, hàm số nguyên hàm hàm số f ( x) ta có cách giải sau: Cách 1: Tìm ngun hàm hàm số f ( x) Hàm f ( x) hàm phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ bậc mẫu số x  x    x    x  1 x    x     x  1 nên f ( x)   x     x  1   x 1 x   x    x  1 � �2 �� f ( x)dx  �  dx  2ln x   ln x   C � � �x  x  � � Chọn B Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra hàm số phương án Với cách làm này, ta đạo hàm hàm số phương án trả lời, hàm có đạo hàm hàm số f ( x) hàm cần tìm Với phương pháp này, để kết tối đa thực đạo hàm hàm số phương án trả lời - Kiểm tra hàm số phương án A, có  2ln x   ln x   C  � x 2  x 1  x x � không thỏa mãn  3x  - Kiểm tra hàm số phương án B, có  2ln x   ln x   C  � x 2  x 1  x x3 � thỏa mãn  3x  � Chọn B Cách Sử dụng MTCT để kiểm tra phương án dựa kết quả: Nếu F ( x) ( x )  f ( x) x �K nguyên hàm hàm số f ( x) K F � + Lấy giá trị x  x0 tính f ( x0 ) ( x0 ) so sánh với f ( x0 ), có hàm số phương án + Tính F � ( x0 )  f ( x0 ) ngun hàm f ( x) trả lời thỏa mãn F � ( x0 )  f ( x0 ) , tiếp tục chọn + Nếu có từ hai hàm số trở lên thỏa mãn F � giá trị x1 khác để kiểm tra loại dần phương án Chú ý: + Khi chọn x0 không nên chọn đặc biệt chọn đặc biệt có ( x0 )  f ( x0 ) hai hàm số thỏa mãn F � + Phải kiểm tra hàm số bốn phương án trả lời, sau khẳng định phương án hay tiếp tục kiểm tra Áp dụng vào toán: Chọn x0  + Dùng MTCT tính f (3)  10 + Kiểm tra phương án A: d 2ln x   ln x   x 3  � không thỏa mãn  dx 20 + Kiểm tra phương án B: d � thỏa mãn 2ln x   ln x   x 3   dx 10 + Kiểm tra phương án C: d � không thỏa mãn 2ln x   ln x   x 3   dx 10 + Kiểm tra phương án D: d 13 � không thỏa mãn ln x   2ln x   x 3   dx 20 � Chọn B Nhận xét: Với toán này, cách nhanh nhất, đảm bảo độ xác cách với trợ giúp MTCT Câu 2: Nguyên hàm hàm số f ( x)  x  6x  A x 1 ln C x 5 B x 5 ln C x 1 C ln x  x   C D  ln x  x   C Hướng dẫn giải Cách 1: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) Ta có f ( x)  Suy ra: 1 1� 1 �   �  � x  x   x  1  x   �x  x  � �1 � f ( x)dx  �  dx  ln � � � �x  x  � x5 C x 1 � Chọn B Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra hàm số phương án - Kiểm tra hàm số phương án A: 4 � �1 x  � ( x  5) ln  C �4 x  � x    x  x  � không thỏa mãn � � x5 - Kiểm tra hàm số phương án B: � �1 x  � ( x  1) ln  C �4 x  � x   x  x  � thỏa mãn � � x 1 � Chọn B Cách Sử dụng MTCT để kiểm tra phương án: Chọn x0  + Dùng MTCT tính f (0)  + Kiểm tra phương án A: d �1 x  � ln   � không thỏa mãn � � dx �4 x  � x 0 + Kiểm tra phương án B: d �1 x  � ln �  � thỏa mãn dx � �4 x  � x 0 + Kiểm tra phương án C: d �1 � � ln x  x  �   � không thỏa mãn dx �4 10 � x 0 + Kiểm tra phương án D: d �1 �  ln x  x  �  � không thỏa mãn � dx � 10 � x 0 � Chọn B Nhận xét: Cách nhanh với TNKQ cách với trợ giúp MTCT Câu 3: Nguyên hàm hàm số f ( x)  A x  ln C x 1 C x2 x3  x  x  x  3x  2 x2 C B x  ln x 1 x 1 x  ln C x2 D x  ln Hướng dẫn giải Cách 1: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) x2 C x 1 Ta có f ( x)  Suy ra: x3  x  x  1 1  2x   2x   x  3x  x  3x  x  x 1 � 1 � f ( x)dx  � 2x   dx  x � � � x  x 1 � �  ln x2 C x 1 � Chọn D Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra hàm số phương án - Kiểm tra hàm số phương án A, có 1 � �2 x 1 � ( x  2) 2 x  x  x  � x  ln  C  x   không thỏa mãn � � x  x  x  x  � � x2 - Kiểm tra hàm số phương án B, có � �1 x2 � ( x  1) x3  3x  x  � không thỏa mãn �2 x  ln x   C � x  x   x  3x  � � x 1 - Kiểm tra hàm số phương án C, có 1 � �1 x 1 � ( x  2) x  3x  x  � không thỏa mãn �2 x  ln x   C � x  x   x  3x  � � x2 � Chọn D Cách Sử dụng MTCT để kiểm tra phương án: Chọn x0  + Dùng MTCT tính f (0)  + Kiểm tra phương án A: d �2 x 1 � x  ln   � không thỏa mãn � � dx � x2 � x 0 + Kiểm tra phương án B: d �1 x2 � x  ln  � thỏa mãn � � dx �2 x 1 � x 0 + Kiểm tra phương án C: d �1 x 1 � x  ln   � không thỏa mãn � � dx �2 x2 � x 0 + Kiểm tra phương án D: d �2 x2 � x  ln  � thỏa mãn � � dx � x 1 � x 0 Như vậy, ta phải tiếp tục kiểm tra hai phương án B D Bằng cách chọn x  ta thấy phương án B không thỏa mãn � Chọn D Nhận xét: Trong cách 3, phải kiểm tra hai giá trị x  0, x  ban đầu ta chọn giá trị đặc biệt x  Nếu từ ban đầu chọn x  ta chọn phương án D Câu 4: Nguyên hàm hàm số f ( x)  3x   x2  x  A 2ln x   ln x   C B 2ln x   ln x   C C 2ln x   ln x   C D 2ln x   ln x   C Hướng dẫn giải Cách 1: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) Ta có f ( x)  Suy  x     x  1 3x  � �2    �  � x  x   x  1  x   �x  x  � � �2 f ( x )d x    dx  2ln x   ln x   C � � � � �x  x  � � Chọn D Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra hàm số phương án Cách Sử dụng MTCT để kiểm tra phương án: Chọn x0  Nhận xét: Cách nhanh với TNKQ cách với trợ giúp MTCT Câu 5: Nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x)  A x2 ln x   3ln  3 C 2ln x   3ln 7 x  10 thỏa F (1)  3x  x  B ln 3x   3ln x   x2  D 2ln x   3ln x   Hướng dẫn giải Cách 1: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) Giả sử f ( x)  7 x  10 a b   x �2, x �  3x    x   3x  x  � 7 x  10  a  x    b  3x   x a  3b  7 � �a  � 7 x  10   a  3b  x   2a  2b  x � � �� 2a  2b  10 b  3 � � Câu 24: Biết  12  sin � * a c x  cos x   sin x  cos x  dx    với a, c ��, b, d �� b d a c , phân số tối giản Khi 2a  3b  4c  d b d A B C D 16 Hướng dẫn giải Định hướng tư - Số mũ sin x cos x chẵn � sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi để đưa tổng sin cosin có số mũ - Các biến đổi bản: sin x  cos x   sin x  cos2 x   2sin x cos2 x   sin 2 x  1   cos x    cos x 4 sin x  cos x   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x  3   sin 2 x     cos x    cos x 8 �3 � �5 � 4 6 Ta có:  sin x  cos x   sin x  cos x   �  cos x � �  cos x � �4 � �8 � Suy    cos8 x  15 15  cos x  cos x   cos x  32 16 32 32 16 64  33  cos x  cos8 x 64 16 64  12  sin �  12 �33 � x  cos x   sin x  cos6 x  dx  � dx �  cos x  cos8 x � 64 16 64 � �  59 �33 �12 11  � x  sin x  sin x �   64 512 256 1024 �64 �0 � a  11, b  256, c  59, d  1024 � 2a  3b  4c  d  � Chọn B   sin � Câu 25: Biết 10 a c với a, c ��, b, d ��* a , c x  cos10 x  dx    b d b d phân số tối giản Khi a  b  4c  A B 128 d 16 C D 64 Hướng dẫn giải Định hướng tư - Số mũ sin x cos x chẵn � sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi để đưa tổng sin cosin có số mũ sin x   sin x  10 cos x   cos x  10 5  cos x � � � �   cos x  � � 32  cos x � � � �   cos x  � � 32 - Chú ý khai triển:   a    5a  10a  10a3  5a  a 5   a    5a  10a  10a  5a  a5 5 Suy ra:   a     a    20a  10a 5  cos x � �1  cos x � � Ta có: sin x  cos x  � � � �   10cos x  5cos x  � � � � 16 1� 2�  �    cos x     cos x  � 16 � � 10 10  1� � �6  5cos x    2cos x  cos x  � 16 � � �29 15 � �  cos x    cos8 x  � 16 �4 � 63 15   cos x  cos8 x 128 32 128  Do   sin � 10  �63 15 � x  cos10 x  dx  � cos8 x � dx �  cos x  128 32 128 � �  15 63 15 �63 � � x sin x  sin x �   128 128 1024 128 � �0 1024 � a  63, b  1024, c  15, d  128 � a  b  4c  d  16 � Chọn A Nhận xét: với toán này, yêu cầu kỹ biến đổi lượng giác chủ yếu  Câu 26: Biết dx � sin x.cos  x  a c a c  ln với a, c ��, b, d ��* , phân số b d b d tối giản Khi a  b3  c3  d A B C 11 D 18 Hướng dẫn giải Định hướng tư Ta thấy hàm số dấu tích phân có sin x, cos x có số mũ lẻ nên đổi biến t  sin x t  cos x Trong trường hợp này, số mũ sin x nhỏ số mũ cos x nên để đơn giản, ta đặt t  cos x Cách 1:   dx sin xdx �2  Đổi biến số I  � 3  sin x.cos x  sin x.cos x 4 2 dt �  t  t 2 (với t  cos x ) 1 t2  t2 1 1 t2  t2 1 t   3  3  3  Phân tích: 3 2  1 t  t 1 t  t t 1 t  t t  1 t  t t t 1 t2 Suy ra: I  2 �1 � � �t 2 t � � 1 �   dt  �  ln t  ln  t �   ln � t  t � � 2t 2 �1 � a  b  c  1, d  nên a  b  c3  d  11 � Chọn C * Nhận xét thấy, mẫu số có tổng số mũ sin x cos x số chẵn nên ta đưa tan x cách biến đổi dx dx dx tan x     d  tan x  sin x cos3 x sin x cos x cos x tan x.cos x cos x tan x Cách 2:  dx  Đặt t  tan x �  sin x.cos x � a  b  c  1, d  nên a  b  c3  d  11 � Chọn C Nhận xét: �t � t 1 dt  �  ln t �   ln � t �2 � 1 - Với toán này, nên sử dụng cách phù hợp  - Sử dụng cách tính tích phân �  sin m dx với m, n số x cos n x nguyên dương có tổng số chẵn cách biến đổi dx dx   n m mn2 sin x cos x tan x.cos x cos x m  Câu 27: Biết dx � sin  3  tan x  1 m  n 2 tan m x d  tan x  a c a c  ln  với a, c ��, b, d ��* , phân số tối x b d b d giản Khi a  b  c  d A 18 B C D 19 Hướng dẫn giải Vì số mũ sin x lẻ nên ta đặt u  cos x Khi ta có  2 sin xdx  du du  (u  1)  (u  1)  du � �  � 2 �  (u  1)(u  1)   sin x 1 u   (u  1)(u  1)    � 1   � 2 � 0�  u  1  u  1  u  1 � u  1 � du � � � � 1 1 �    du � � 2 � � 4� u  u  u  u      0� � 1� 1 u 1 � 1  �    ln  ln  � � u  u 1 u  �0 � a  1, b  4, c  1, d  � a  b  c  d  19 � Chọn D Câu 28: Biết  a c tan x a c với a, c ��, b, d ��* , d x  ln   � b d cos x b d   phân số tối giản Khi a  b  c  d A 14 B 20 C 40 Hướng dẫn giải Định hướng tư D 34 Ta thấy hàm số dấu tích phân chứa tan x nên ta hướng đến việc đổi biến 1 dx  d  tan x  Từ để cos x cos x t  tan x Muốn đổi biến phải xuất 2 2 hướng đến biến đổi cos x  cos x  sin x  cos x   tan x  tan x tan x tan x dx tan x dx  dx   d  tan x  Ta có: cos x cos x  sin x  tan x cos x  tan x Đặt t  tan x ta được: I  t � 1 t dt  � t � � � 1 � dt � t 1 � �1 t 1 � 10 �  t  t  ln  ln   � t  �0 27 �3   � a  1, b  2, c  10, d  27 nên � a  b  c  d  20 � Chọn B Câu 29: Biết  a c cos x  sin x a c với a, c ��, b, d ��* , phân d x   � b d  sin x b d số tối giản Khi a  b  c  d A B C D Hướng dẫn giải Định hướng tư - Mẫu số  sin x   sinx  cos x  gợi ý ta xét tử số cos x  sin x có đạo hàm sin x  cos x hay khơng, sử dụng phép đổi biến t  sin x  cos x - Có  sin x  cos x  � cos x  sin x � t  sin x  cos x  cos x  sin x Ta có: I  dx  �  sin x  cos x  2 dt   1 � t t1 � a  1, b  1, c  1, d  � a  b  c  d  � Chọn C Câu 30: Biết  cos x  sin x b với a ��; b, c ��, c  b phân số tối d x  a   � c c  sin x giản Khi a8  b5  2c A B C D Hướng dẫn giải Định hướng tư dx  du - Ta coi tử số cos x  sin x đạo hàm hàm u để sử dụng kết u� Nếu u '  cos x  sin x � u  sin x  cos x Như mẫu số biểu diễn qua sin x  cos x tốn giải - Mẫu số  sin x     sin x     sin x  cos x     sin x  cos x  �dx  du cos x  sin x Cách 1: Ta có I  � dx  � � 2  sin x 0 1  u   sin x  cos x    Đặt u  2sin t � du  2cos tdt u  1 � t   , t  � t  6 �I   2cos tdt �4  4sin   t    dt  � a  0, b  1, c  � a �   b5  2c   � Chọn C   sin x  cos x  � dx  cos x  sin x du Cách 2: Ta có I  � dx  � � 2  sin x 0 1  u   sin x  cos x  Đặt sin x  cos x  2sin t �  cos x  sin x  dx  2cos tdt ; x  � t   �I   2cos tdt �4  4sin   t    dt  � a  0, b  1, c  � a �     ,x  �t  6  b5  2c   � Chọn C Nhận xét: Cách thực chất gộp phép đặt cách 5 12 Câu 31: Biết dx a c a c   với a, c ��; b, d ��* , � b d b d  cos x  sin x  phân số tối giản Khi abcd A 4 B C 12 D 12 Hướng dẫn giải � � � � � �  cos �x  � Ta có cos x  sin x    cos �x  � � � � 4� � 4� � � �x  �  2 cos �  � �2 � 5 12 Nên dx � cos x  sin x    5 12 5 12 dx 6 �x  �  tan �  �  �x  � �2 � 2 cos �  � �2 � �  Do a  1, b  2, c  1, d  � abcd  4 � Chọn A Nhận xét: Bằng cách biến đổi A sin x  B cos x  A2  B cos  x    sử dụng nguyên hàm � sin dx cot(kx  b )  C (kx  b) k dx  � cos ( kx  b) tan( kx  b) C k b Ta tính tích phân tổng quát: dx � A sin x  B cos x � a A2  B Thật vậy: A sin x  B cos x  A2  B  A2  B cos  x     A2  B  �x  � A2  B   cos( x   )   A2  B cos �  � �2 � A sin x  B cos x  A2  B  A2  B cos  x     A2  B �x  �   A2  B   cos( x   )   2 A2  B sin �  � �2 � Câu 32: Biết  c �c � 19cos x  9sin x với a, b ��; c, d ��* dx  a   b ln � � � d 3sin x  5cos x d � � phân số tối giản Khi 2a  b  c  d A B 12 C Hướng dẫn giải D a sin x  b cos x ta phân a� sin x  b� cos x tích tử số thơng qua mẫu số đạo hàm mẫu số sử dụng kết Nhận xét: Với tốn tìm ngun hàm hàm số u� dx  ln u  C � u Ta có:  3sin x  5cos x  � 3cos x  5sin x 19cos x  9sin x  a  3sin x  5cos x   b  3sin x  5cos x  �x �� Giả sử: � 9sin x  19 cos x   3a  5b  sin x   5a  3b  cos x x �� 3a  5b  9 � �a  �� �� 5a  3b  19 b3 � �   �  3sin x  5cos x  �� 19cos x  9sin x � � d x   dx � � � � 3sin x  5cos x 3sin x  5cos x 0 � � Suy ra:   x  3ln 3sin x  5cos x    �4 �   3ln � � �5 � � a  , b  3, c  4, d  � 2a  b  c  d  � Chọn D  Câu 33: Biết dx a c  ln  ln với a, b, c, d ��, b  0, d  � b d cos x cos � �x  � � 6� � a c , phân số tối giản Khi a  c  b  d b d A C 10 B 12 D Hướng dẫn giải Cách    dx dx dx � � � � �3 � �3 � cos x cos x  � � cos x � cos x  sin x � cos x �  tan x � � 6� �2 � �2 � Ta có: �  d  tan x  �3  tan x 2  2ln  tan x 2   2ln  2ln � a  2, b  1, c  2, d  Do a  c  b  d  � Chọn C Cách � � � � sin � �x  � x � � � 6� � � � � �   2� tan �x  � tan x � Ta có 6� � � � � � cos x cos �x  � cos x cos �x  � � � � 6� � 6�  Suy ra:  � � � � dx  2� tan �x  � tan x � � �  � 0� � 6� � cos x cos x  � � � 6� �  � � � �  2�  ln cos �x  � ln ln cos x � � 6� � �0  2ln  2ln � a  2, b  1, c  2, d  Do a  c  b  d  10 � Chọn C Nhận xét: Bằng cách phân tích sin �  x  a   x  b � 1 �  � sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b   � cot  x  b   cot  x  a  � � sin  a  b  � sin �  x  a   x  b � 1 �  � cos  x  a  cos  x  b  sin  a  b  cos  x  a  cos  x  b   � tan  x  a   tan  x  b  � � sin  a  b  � cos �  x  a   x  b � 1 � �  sin  x  a  cos  x  b  cos  a  b  sin  x  a  cos  x  b   � cot  x  a   tan  x  b  � � sin  a  b  � Ta tìm nguyên hàm dạng: dx dx , � cos  x  a  cos  x  b  � sin  x  a  sin  x  b  dx � sin  x  a  cos  x  b   Câu 34: Biết � cos x dx  a b , a, b, c số tự nhiên đơi nguyên tố c Khi giá trị T  2a  3b  4c bao nhiêu? A T  15 C T  13 B T  14 D T  17 Hướng dẫn giải Chọn A   1 dx Ta có I  dx  � � cos x cos x cos x 0  �   tan x   dx �  tan x  d  tan x   cos x  � tan x � � a  2, b  3, c   �tan x  � 2 3 � �0 Vậy T  2a  3b  4c  2.22  3.32  4.12  15  sin x a b c Câu 35: Biết � dx  , a, b c, d cặp số tự nhiên d  cos x nguyên tố Khi giá trị T  ab  cd bao nhiêu? A T  B T  246 C T  13 D T  17 Hướng dẫn giải Chọn B    6 sin x 1 tan x dx  � tan x dx Ta có I  � dx  � cos x cos x cos x cos x      6  tan x tan x � � tan x   tan x  d  tan x   �   tan x  tan x  d  tan x   � � � �   �  42  15 � a  42, b  3, c  8, d  15 � T  246 PHỤ LỤC ĐỀ KHẢO SÁT SỐ Thời gian làm bài: 20 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: Tích phân dx � x3 A 16 225 B log C ln Câu 2: Họ nguyên hàm hàm số f  x   15 5x  ln x   C A 5ln x   C B C ln x   C D  ln x   C Câu 3: Nguyên hàm hàm số f  x   D 1  cos x sin x A tan x  cot x  C B tan x  cot x  C C  tan x  cot x  C D  tan x  cot x  C � � Câu 4: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   sin x  cos x F � � �2 � A F  x   cos x  sin x  B F  x    cos x  sin x  C F  x    cos x  sin x  D F  x    cos x  sin x  Câu 5: Biết F  x  nguyên hàm f  x   A ln  B ln  Câu 6: Nguyên hàm hàm số f ( x)  F    Giá trị F  3 x 1 C D (2 x  1)( x  1) A 2x 1 ln  C x 1 B 2x  ln  C 2x  C ln  x  1  x  1  C D ln 2x 1  C x 1 Câu 7: xdx �  x  2 Cho  a  b ln  c ln với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a  b  c A 2 B 1 55 dx  a ln  b ln  c ln11 , với � x x9 Câu 8: Cho C D a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề 16 đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  3c D a  b  3c x 1 dx  a ln  b ln với a, b, c �� Tích ab � x  4x  Câu 9: Biết B 6 A � ( x  1) Câu 10: Biết C 4 D 5 dx dx  a  b  c với a, b, c ��* Tổng a  b  c x  x x 1 A 24 B 12 C 18 D 46 Hết -PHỤ LỤC ĐỀ KHẢO SÁT SỐ Thời gian làm bài: 30 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: A ln Câu 2: Câu 3: Câu 4: f (1)  Giá trị f (5) 2x 1 B ln C ln  Hàm số y  f ( x) có f '( x )  D ln  1 F (2)  Giá trị F (3) x 1 A ln  B C ln D ln 2 Hàm số F ( x) nguyên hàm f ( x)   F (0)  1 Giá trị F (2) x 1 A ln  B ln  C ln  D ln  x  3x  Gọi F ( x) nguyên hàm f ( x )  F (1)  Tính F (2) x 1 11 11 A F (2)   5ln B F (2)   5ln 2 2 Hàm số F ( x) nguyên hàm f ( x )  C F (2)  Câu 5: Câu 6: Câu 7:  5ln  10 ln 2 Gọi F ( x) họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x4  Khi F ( x) hàm x2 số hàm số sau đây? x3 x3 A F ( x)  B F ( x)     C x x 3 x 2x C F ( x)    C D F ( x)    C x x Cho hàm số f ( x)  Mệnh đề sau đúng? (2 x  1)( x  1) 2x 1 2x  f ( x)dx  ln  C f ( x)dx  ln  C A � B � x 1 2x  2x 1 f ( x )dx  ln  C f ( x)dx  ln  x  1  x  1  C C � D � x 1 Hàm số không nguyên hàm hàm số f ( x )  x2  x  x 1 x2 C x 1 Biết x  x  2  x  1 x2  x 1 x 1 x2  x 1 D x 1 A Câu 8: D F (2)  5ln  10 ln B dx  a ln  b ln  c ln � (2 x  1)( x  2) với a, b, c �� Đặt T  2a  b  c Mệnh đề sau đúng? A T � 0;1 B T � 1;0  Câu 9: Biết dx a  ln � x3 b C T � 1;  D T � 2;3 với a, b số tự nhiên ước chung lớn a, b Mệnh đề sau sai? A 3a  b  12 B a  2b  13 ln Câu 10: Biết dx �e  2e x ln x 3 C a  b  D a  b  41  3ln a  ln b  a, b ��*  Tính P  ab A P  10 B P  10 C P  15 D P  20 2 � �1   2� dx  a  b ln với a, b �� Mệnh đề sau đúng? Câu 11: Biết � � x  x x � � A a  b  10 B a  C a  b  D b  2a  � � dx  a  b ln  a, b �� Tính a  b Câu 12: Biết � �x   � x  � � 1 3 5 A a  b  B a  b   C a  b  D  2 2 Câu 13: Biết dx dx  a ln  b ln  c ln � ( x  1)( x  3) A S  B S  Câu 14: Biết dx dx  a ln  b ln  c ln � ( x  2)( x  4) ( a, b, c ��) Tính S  a  b  2c C S  D S  ( a, b, c ��) Tính S  2a  3b  c A S  B S  Câu 15: Biết dx dx  a ln  b ln  c ln � ( x  1)( x  4) A S  B S  C S  D S  (a, b, c ��) Tính S  a  4b  c C S  D S  Câu 16: Biết x 1 dx  a ln  b ln  a, b �� Tính P  ab � x  4x  A P  Câu 17: Biết B P  6 x2 dx  a ln � x  4x  C P  4 D P  5 12  b ln 7, với a, b �� Tổng a  b A 1 x � Câu 18: Biết B  x   x  1 x 1 C D dx  a  b ln  c ln với a, b, c �� Mệnh đề sau sai? A a  b  c  B c  C a  D b  2  x  2  x  x  2 Câu 19: Biết � dx  a  b ln  c ln với a, b, c �� Mệnh đề sau x  đúng? A a  b  c  B c  C a  D b  dx  a ln  b ln  a, b �� Mệnh đề sau đúng? Câu 20: Biết �2 x  3x A a  2b  B 2a  b  C a  b  D a  b  Hết ... dung câu hỏi TNKQ nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ hàm lượng giác, phần hướng dẫn có phân tích, định hướng tư giúp học sinh giải câu hỏi dạng II Nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ -... B III Ngun hàm, tích phân hàm lượng giác Để tìm ngun hàm, tính tích phân hàm số lượng giác thơng thường sử dụng phép biến đổi lượng giác, đổi biến số phần để đưa nguyên hàm, tích phân dạng sin...II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Nội dung chuyên đề sau: I Các kiến thức Để giải tốn tìm ngun hàm, tính tích phân, cần đến kiến thức sau: Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f ( x) xác định khoảng K hàm số