(Luận văn thạc sĩ) đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan​

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCBÙI TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI TRỌNG QUYẾT

ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC

VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT

SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI TRỌNG QUYẾT

ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC

VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT

SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

Chương 1 Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cơ bản 2

1.1 Các đồng nhất thức tích phân 2

1.1.1 Tính chất cơ bản của nguyên hàm 2

1.1.2 Một số tính chất của tích phân xác định 3

1.1.3 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ 6

1.1.4 Tích phân đối với hàm tuần hoàn 9

1.1.5 Tích phân một số dạng với đặc trưng hàm đặc biệt 11

1.2 Một số bất đẳng thức tích phân và phương pháp bất đẳng thức trong tích phân 13

1.2.1 Một số bất đẳng thức tích phân cơ bản 13

1.2.2 Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân 14

1.2.3 Sử dụng đánh giá hàm dưới dấu tích phân 15

1.2.4 Phương pháp phân đoạn miền lấy tích phân 17

1.2.5 Bất đẳng thức Bunhiakovski 19

Chương 2 Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong đa thức 23 2.1 Một số đẳng thức tích phân giữa các đa thức 23

2.2 Bất đẳng thức tích phân giữa các đa thức 24

2.3 Phương pháp tích phân trong chứng minh bất đẳng thức 33

Chương 3 Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong lớp phân thức 38 3.1 Nguyên hàm và tích phân các hàm phân thức hữu tỷ 38

3.2 Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm số vô tỉ 43

3.3 Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm lượng giác 49

3.4 Bất đẳng thức tích phân giữa các phân thức 51

Chương 4 Một số dạng toán liên quan 58 4.1 Phương pháp tích phân trong các bài toán cực trị 58

4.1.1 Cực trị của một số biểu thức chứa tích phân 58

4.1.2 Phương pháp tích phân trong bài toán cực trị 60

4.2 Khảo sát phương trình và bất phương trình đa thức 69

4.2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 69

4.2.2 Giải phương trình sinh bởi một số dạng nguyên hàm 71

Lý thuyết và các bài toán về tích phân đã được đề cập ở hầu hết các giáo trình cơbản về giải tích Tuy nhiên, các tài liệu hệ thống về phép tính tích phân cho lớp hàm

đa thức và phân thức như là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh cuối bậctrung học phổ thông và sinh viên các trường kỹ thuật thì chưa có nhiều, chưa được hệthống đầy đủ

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên

đề phép tính tích phân và ứng dụng, tác giả chọn đề tài luận văn "Đẳng thức, bất đẳngthức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan"nhằm cung cấp một số tính chất cơ bản của tích phân hàm một biến và cho phân loạicác dạng toán ứng dụng liên quan đến đa thức và phân thức

Mục đích của đề tài luận văn là nhằm khảo sát một số dạng toán về đẳng thức vàbất đẳng thức chứa tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và xét một số ápdụng trong các bài toán cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình đa thức vàphân thức liên quan

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 4 chương

Chương 1 Các đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cơ bản

Chương 2 Các đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong đa thức

Chương 3 Các đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong lớp phân thức

Chương 4 Một số dạng toán liên quan

Tiếp theo, trong các chương đều trình bày một hệ thống bài tập, áp dụng giải các

đề thi Học sinh giỏi và Olympic liên quan

Chương 1 Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân cơ bản

1.1 Các đồng nhất thức tích phân

1.1.1 Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Ta sử dụng kí hiệu I(a, b) là một khoảng (a, b), một đoạn [a, b] hay nửa khoảng (a, b]

hoặc [a, b) trong các định nghĩa, định lí, của nội dung này

Định nghĩa 1.1 (xem [1-3]) Cho hàm số f (x)xác định trên I(a, b) Hàm số F (x)đượcgọi là nguyên hàm của hàm f(x)trên I(a, b)nếu hàm sốF (x)liên tục trên I(a, b), có đạohàm tại mọi điểm x thuộc I (a, b) và

Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên I(a, b) được kí hiệu là R f (x)dx Vậy

trong đó x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục

iv) Quy tắc lấy nguyên hàm từng phần

Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định của một hàm số

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạn [a; b] Chia đoạn [a; b] thành

n đoạn nhỏ bởi các điểm chia xi(i = 0, , n):

Khi đó hàm f (x) được gọi là khả tích trên đoạn [a; b].

Chú ý 1.2 Tích phân xác định không phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân:

Để ý rằng, nếu f(x) là liên tục trên [a; b] thì ta có đẳng thức

b

a = F (b) − F (a). (1.2)

trong đó F (x) là một nguyên hàm nào đó của f (x)

Có nhiều đại lượng khác của hình học, vật lí, cũng có thể khảo sát được bằngphương pháp này như thể tích, độ dài, diện tích mặt cũng như các đại lượng vật lí cơbản như công sinh ra bởi một lực biến đổi tác động từ một khoảng cách cho trước Trongmỗi trường hợp như vậy, quá trình này thực hiện phép chia khoảng biến thiên độc lậpthành các khoảng nhỏ và đại lượng đang xét được tính gần đúng bằng tổng tương ứng,giới hạn của các tổng ấy cho ta giá trị chính xác của đại lượng cần tính dưới dạng mộttích phân xác định - được tính toán nhờ các phép tính cơ bản

Ta cũng thấy rằng những chi tiết của quá trình tính giới hạn của tổng được thựchiện để tìm diện tích dưới dạng đường cong không nhất thiết phải lặp lại để tìm cácđại lượng tương tự khác Hệ thống các kí tự được sử dụng là phức tạp và lặp đi lặp lạinhiều lần gây trở ngại cho tính toán

Tiếp theo, ta xét một số phương pháp cơ bản sử dụng để tính tích phân xác định.Trong thực hành, ta đặc biệt chú ý đến một số lớp các hàm khả tích đơn giản và dễnhận biết sau đây:

Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì khả tích trên đoạn đó.

Hàm số y = f (x) bị chặn trên đoạn [a; b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạnthì khả tích trên đoạn đó

Hàm số y = f (x) bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a; b] thì khả tích trên đoạn đó.Nhận xét rằng có một mối liên hệ mật thiết giữa tích phân xác định và nguyên hàm.Định lý 1.5 (Về tính khả tích của hàm số) Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b]

thì nó khả tích trên đoạn [a, b].

Định lý 1.6 Nếu f (x) và g(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f (x) ≤ g(x) với mọi x thuộc

Định lý 1.12 (Công thức đổi biến số) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b]

và hàm số x = g(t) khả vi liên tục trên đoạn [m, M ] và min

t∈[m,M] g(t) = a; max

t∈[m,M] g(t) = b; g(m) = a, g(M ) = b Khi đó ta có

Định lý 1.14 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

và F (x) là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó, thì

1.1.3 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ

Tính chất 1.1 Nếu hàm số y = f (x) lẻ, liên tục trên [−a; a], với a > 0 thì

Chứng minh Do f(x) liên tục trên [−a; a] nên

và

Bài toán 1.2 (Đề thi tuyển sinh vào ĐH Lâm nghiệp - 1999) Tính tích phân

Tính chất 1.4 Nếu f(x) là hàm liên tục trên [−a; a], với a > 0 thì

Chứng minh Do f(x) liên tục trên [−a; a] nên

1.1.4 Tích phân đối với hàm tuần hoàn

Trong mục này ta chỉ xét các hàm tuần hoàn cộng tính Đối với các hàm số tuầnhoàn nhân tính cần chuyển đổi qua hàm tuần hoàn cộng tính bằng phép lôgarit hóa cácbiểu thức tương ứng của biến số

Ta nhắc lại định nghĩa hàm tuần hoàn

Định nghĩa 1.3 (xem [1-3]) Hàm số y = f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu cómột số T > 0 sao cho với mọi x thuộc miền xác định Df của hàm số, ta luôn có

1) x ± T cũng thuộc miền xác định của hàm số,

2) f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ D f

Số T (T > 0) được gọi là chu kì của hàm tuần hoàn Chu kì nhỏ nhất (nếu tồn tại)được gọi là chu kì cơ sở của hàm số đã cho

Tính chất 1.5 Nếu hàm số f (x) tuần hoàn chu kì T, xác định và liên tục trên R thì

Z

π

sin 2x cos 4 x + sin4xdx.

Lời giải Dễ thấy f(x) = sin 2x

cos 4 x + sin4x = sin 2x

Z

0

sin 2x cos 4 x + sin4xdx= 2

π 4

Z

0

sin x cos x cos 4 x + sin4xdx= 2

π 4

Z

0

tan xdx cos 2 x(1 + tan 4 x)

Ta tính

I 1 =

π 4

Z

0

tan xdx cos 2 x(1 + tan4x)

Đặt t = tanx, ta có dt = dx

cos 2 x.Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 0; khi x = π

Bài toán 1.5 (Olympic Sinh viên Toàn quốc - 2007) Tính tích phân

Mặt khác, do f(x) là hàm số lẻ nên theo tính chất 1.1 ta được I = 0.

1.1.5 Tích phân một số dạng với đặc trưng hàm đặc biệt

Tính chất 1.6 Nếu hàm số f (x) liên tục trên [0; 1] thì

π 2

Z

0

f (sin x)dx =

π 2

fsinπ

2 − tdt =

π 2

Z

0

f(cos t)dt =

π 2

Z

0

cosnx cos n x + sinnxdx (n ∈N∗).

Lời giải Theo tính chất 1.6, ta có

I =

π 2

Z

0

sinnx sinnx + cos n xdx

thì

2I =

π 2

Z

0

cosnx cos n x + sinnxdx+

π 2

Z

0

sinnx sinnx + cos n xdx=

π 2

Tính chất 1.7 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và thỏa mãn điều kiện

f (x) = f (a + b − x) với mọi x ∈ [a; b], thì ta luôn có

f (a + b − t)dt =

a +b 2

Z

a

f (a + b − t)dt =

a +b 2

Z

a

f(t)dt =

a +b 2

Z

a

f (x)dx

Do vậy, tính chất 1.7 1) được chứng minh

Bằng cách đổi biến tương tự, đặt t = a + b − x thì dt = −dx và

và tính chất 1.7 2) được chứng minh Cho a = 0, b = π ta có J1

Bài toán 1.7 Tính tích phân

Ta tính

I 1 =

π 2

= 2π

√ 3

9 .

Vậy

I = π

√ 3

2π √ 3

2π √ 3

Ta nhắc lại ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì Rb

a

f (x)dx là diện tích củahình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục Ox và hai đường thẳng

x = a, x = b

Về sau, ta sử dụng các tính chất cơ bản liên quan đến ước lượng tích phân:

Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng X và a, b, c ∈ X. Khi đó ta có một

số tính chất bất đẳng thức của tích phân như sau:

1) Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a; b] thì

b

Z

a

f (x)dx ≥ 0.

và dấu ” = ” xảy ra khi f (x) đồng nhất bằng 0 tại mọi x thuộc đoạn [a, b].

2) Nếu f (x) ≥ g(x) với mọi x ∈ [a; b] thì

4) Giá trị trung bình của hàm số trong đoạn cho trước

Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a; b] thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho

1.2.2 Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân

Bài toán 1.9 Cho hàm số y = f (x) liên tục, không âm, đơn điệu tăng trên [0; c)

với c > 1 Gọi f −1 (x) là hàm ngược của nó Chứng minh rằng với mọi a ∈ [0; c) và

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = f (a).

Lời giải Gọi S 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = a, x = b, y = 0, y = f (x), thì

1.2.3 Sử dụng đánh giá hàm dưới dấu tích phân

Bài toán 1.10 Chứng minh rằng 0, 9 <

e >ln x > 1 hay e

x <

1

ln x <1.Suy ra e

x

13

< 1 (ln x)13

3

√

16 − √ 3

9
< I < 1.Vậy ta có 0, 9 <

1 2

Vậy (1.3) được chứng minh.

Bài toán 1.14 Cho hàm số f (x) liên tục cùng với đạo hàm của nó trên [0; 1] và f(x)

lấy cả giá trị âm và dương trên [0; 1] Chứng minh rằng

Suy ra b 6= a và b ∈ [0; a) hoặc b ∈ (a; 1]

Không mất tính tổng quát, ta giả sử b ∈ (a; 1], ta có

f (a) = 0 nên f (x) = 0, ∀x ∈ [0; a], mâu thuẫn với f (x 1 ) < 0 trong đó x 1 ∈ [0; a]

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

1.2.4 Phương pháp phân đoạn miền lấy tích phân

Định lý 1.15 Cho f (x) ≥ 0 liên tục trên [a; b] Khi đó

Trên [a; L], chọn f 1 (x) để f (x) ≥ f 1 (x); trên [L; b], chọn f 2 (x) để f (x) ≥ f 2 (x).

Chẳng những để chứng minh các bất đẳng thức, người ta còn sử dụng phương phápphân đoạn miền lấy tích phân để tính tích phân khi hàm cho bởi nhiều biểu thức.Bài toán 1.15 Cho f(x) là hàm giảm và liên tục trên [0; 1], khi đó với mọi α ∈ (0; 1)

Lời giải Với x ∈ (a; b), theo công thức số gia giới nội, ta có

f (x) − f(a) = f ′ (c 1 )(x − a)hay f (x) = f ′ (c 1 )(x − a) với c1 ∈ (a; x);

|f(x)| dx ≤ M

a +b 2

et+ e −2t dt. (1.7)

Lời giải Vì f(x) là hàm liên tục trên [a; b] nên tồn tại x0 ∈ [a; b] sao cho

Chương 2 Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong đa thức

2.1 Một số đẳng thức tích phân giữa các đa thức

Phương pháp chung

Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để chứng minh các đẳng thức tích phân làphương pháp đổi biến, việc lựa chọn phép đặt ẩn phụ phụ thuộc vào cận a, b và tínhchất của hàm số dưới dấu tích phân

Trong mục này ta xét một số lớp các tích phân dạng đặc biệt mà ta đề cập ở chươngtrước

Bài toán tổng quát Sử dụng tích phân để chứng minh A = B.

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Lựa chọn một đẳng thức luôn đúng, thông thường là dạng đặc biệt của nhịthức Newton

Bước 2 Lấy tích phân hai vế của đẳng thức trên từ a đến b (thông thường là từ 0tới x)

Bước 3 Lựa chọn giá trị thích hợp cho xta sẽ nhận được đẳng thức cần chứng minh.Bài toán 2.1 Chứng minh rằng với n nguyên dương thì

i) Cn0+ C

1 n

1 + 1 +

Cn2

1 + 2 + · · · + C

k n

1 + k + · · · + C

n n

1 + 1 +

Cn2

1 + 2 − · · · + (−1)k C

k n

1 + k + · · · + (−1)n C

n n

Lấy tích phân theo x hai vế ta được

t 0

Thay t = 1 vào đẳng thức trên ta được (i)

Thay t = −1 vào vào đẳng thức trên ta được (ii)

Bài toán 2.2 (Olympic SV 2004) Cho 0 < a < b. Tính tích phân

2.2 Bất đẳng thức tích phân giữa các đa thức

Trong phần này ta xét một số dạng bất đẳng thức tích phân giữa các đa thức và cáchàm lũy thừa bậc tùy ý

Bài toán 2.3 (Olympic SV năm 1997) Xét đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn cácđiều kiện P (0) = P (1) = 0, R1

0 |P ′ (x)| dx = 1. Chứng minh rằng |P (x)| ≤ 1

2,∀x ∈ [0, 1]

Lời giải Ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại x 0 ∈ [0; 1] sao cho

|P (x 0 )| > 12. Do P (x) liên tục tại x0 suy ra

+

=

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.1 Điều kiện (2.1) có thể viết thành

Bổ đề 2.1 (xem [4-5]) Giả thiết hàm f liên tục trên [0, 1] và thỏa mãn điều kiện (2.1)

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2.6 Giả sử hàm f liên tục trên [0, 1] và thỏa mãn (2.1), (2.1 ′ ) Khi đó

Bổ đề 2.2 (xem [4-5]) Giả sử hàm f liên tục trên [0, 1] và thỏa mãn (2.1), (2.1 ′ ) Khiđó

Chứng minh Tương tự như chứng minh Bổ đề 2.1

Bài toán 2.7 Giả sử hàm f liên tục trên [0, 1] và thỏa mãn (2.1), (2.1 ′ ) Khi đó

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2.8 Giả sử hàm f liên tục trên [0, 1] và thỏa mãn (2.1), (2.1 ′ ) Khi đó

Lời giải tương tự như chứng minh Bài toán 2.7

Bài toán mở 2.1 Giả sử f (x) là hàm liên tục trên [0, 1] thỏa mãn

Với điều kiện nào cho α và β thì bất đẳng thức sau là đúng?

Ta khảo sát lời giải đối với Bài toán mở 2.1 nêu trên

Bổ đề 2.3 (xem [4-5]) Giả sử hàm f liên tục trên [0, 1] và thỏa mãn (2.1) Khi đó

1

x + 1k

f (t)dt + 1

k

Z 1 x

⇒

Z 1 x

ykf(y)dy >xk

Z 1 x

Bổ đề 2.4 (xem [4-5]) Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0, 1] sao cho (2.1)

thỏa mãn Khi đó với mỗi x ∈ [0, 1] và k ∈N, ta có

điều phải chứng minh.

Bài toán 2.9 Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0, 1] Nếu (2.1) thỏa mãn,thì với mỗi m, n ∈N, ta có

Bài toán 2.10 Giả sử f là hàm liên tục trên [0, 1] sao cho f(x) > 1, ∀x ∈ [0, 1] Nếu

(2.1) thỏa mãn, thì với mỗi α, β > 0, luôn có

3 <

2

3.

Điều kiện f (x)>1, ∀x ∈ [0, 1] có thể bỏ qua nếu giả thiết α + β >1

Bài toán 2.11 Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0, 1] sao cho (2.1) thỏamãn Khi đó với mỗi α, β > 0 mà α + β >1, ta có

Ta thấy k ∈N, 06γ < 1 và k

α + β +

γ

α + β = 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tổngquát ta có

suy ra điều cần phải chứng minh

Tiếp theo, xét một số bài toán mở khác liên quan đến ước lượng tích phân:

Bài toán mở 2.2 Giả sử f, g : [a, b] → [0, ∞) là các hàm liên tục và g là hàm khônggiảm thỏa mãn

Bài toán 2.12 Chứng minh rằng với mọi x > 0, ta có

x 0

Bài toán 2.14 Chứng minh rằng

Lời giải Ta có y = √x là một hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn [0; n] Gọi

S là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường cong y = 0, x = n, y = √

x.Khi đó, ta có

Gọi Ai là các điểm với tọa độ i; √

i
(i = 1, 2, , n) và A là điểm có tọa độ (n; 0) Khi

đó diện tích đa giác OA 1 A 2 An−1A n bằng S 1 và ta có:

Gọi B i là các điểm với tọa độ i; √

i + 1
với i = 0, 1, , n − 1 Khi đó nếu kí hiệu S 2 làdiện tích của đa giác OB0A1B1A2 An−1Bn−1AnBn thì

Từ (2.6) và (2.7), ta suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2.15 Chứng minh rằng

Gọi Ai là các điểm với tọa độ (i; lni), i = 1, 2, , n và A là điểm có tọa độ (n; 0).

Khi đó diện tích S 1 của đa giác A 1 A 2 An−1A n A được xác định theo công thức

Bài toán 2.16 (Bất đẳng thức Young) Cho p, q thỏa mãn điều kiện

cắt đường y = xp−1 tại N (trong cả hai trường hợp, ap−1≤ b và ap−1> b)

Kí hiệu S 1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường y = 0, x = a, y = xp−1 và S 2

là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường x = 0, y = b, x = yq−1.

điều phải chứng minh

Bài toán 2.17 (Olympic SV 2004) Cho đa thứcP (x)thỏa mãn điều kiệnP (a) = P (b) =

0 với a < b Đặt M = max

a≤x≤b |P ′′ (x)| Chứng minh rằnga) Rb

... β = 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tổngquát ta có

suy điều cần phải chứng minh

Tiếp theo, xét số toán mở khác liên quan đến ước lượng tích phân: