bài 3: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 60 ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng ?1 Nhắc lại định lí mối liên hệ diện tích hình thang cong tích phân? Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b là: b S = ∫ f ( x)dx a H1 Nhãm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R giới hạn đường tròn có phương trình : x2 + y2 = R2 Thực tập sau: Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x2, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = + Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ so sánh diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = - x2 trục hoành hai đư ờng thẳng x = 1, x = với kết Nhãm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x3 3x2 + 6, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 2x + 1, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = Lời giải Xét đường tròn có phương trình: x2 + y2 = R2 N1 Diện tích hình trịn bán kính R là: S = 4S’ S’ diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = R − x hai đường thẳng x = x = R Ta có: R S' = ∫ R − x dx Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt x = t = 0; x = R t = π/2  π R − x = R − R sin t = R cos t (t ∈ 0;  )  2 R S' = ∫ R − x dx π π π + cos 2t R  sin 2t  πR = ∫ R cos t R cos tdt = R ∫ dt = t + 2 = 2  0 0 Vậy S = 4S’ = πR2 Quay lại… N2 Vậy diện tích hình thang cong giới hạn tích hình thang y = giới hạn + Diệnbởi đồ thị hàm sốcongf(x) liên đồtục, âm đoạn [a;b], trụcOx hai thị hàm số y = x2, trục Ox hai thẳng x = 1, x = a, x đườngđường thẳng x = là:= b gì? y y = x2 x3 S1 = ∫ x 2dx = 1 = x + Căn vào hình vẽ nhận thấy: Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm sốthang x2, trục Ox Diện tích hình y = - cong giới hạn đồ thị hàm thẳng x = 1, x = là: hai đường số y = f(x) liên tục, âm đoạn [a;b], trục Ox hai đường thẳng x S2 = S1 = = a, x = b là: b S = ∫ − f ( x )dx a y = - x2 Tiếp tục… N3 Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + , trục Ox hai đường thẳng x = 1, x = là: S = ∫ ( x − 3x + 6)dx  x4 3 =  − x + 6x   1    81  1  =  − 27 + 18  −  − +    4  =6 Quay lại… N4 Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 2x + , trục Ox hai đường thẳng x = 1, x = là: S = ∫ ( x − 2x + 1)dx  x3 3 =  − x + x  1    27  1  =  − +  −  − + 1   3  = Quay lại… Nhận xét: Từ kết nhóm nhóm Diện tích hình phẳng giới hạn 4, tính diện tích hình phẳng giới đồ thị hàm số: hạn thị hàm số: đồ y = x – 2 + , y = x2 3x y = x3 – 3x + , y = x2 - 2x + 2x + hai đường thẳng x = 1, x hai đường thẳng x = 1, x = ? = là: y= x 2- 2x + y S = S3 – S4 Vậy 10 diện tích hình phẳng =giới hạn đồ thị hàm 6− = số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a;b] hai đường thẳng x = a, x = b bằng? x +6 = ∫ ( x − x + 6)dx − ∫ ( x − x + 1)dx y = x – 3x Tiếp tục… Một số cơng thức cần nhớ a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), = g(x) liên tục đoạn [a;b] hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx a Quay lại… y Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành đường thẳng x = y Lời giải: Đặt f(x) = x3 – y = x3 - Ta có: f(x) ≤ [0;1] f(x) ≥ [1; 2] Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = ∫ x − 1dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x −1)dx 11 = + = 4 x Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: f1(x) = x3 – 3x f2(x) = x Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số f1(x) = x3 – 3x f2(x) = x là: y f1(x) =x – 3x  x = −2 x − 3x = x ⇔ x − x = ⇔  x =  x=2  Diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ∫ x − x dx −2 x = ∫ ( x − x )dx + ∫ (4 x − x )dx −2  x4   x4  =  − 2x    − +  2x −        = 4+4 =8 f2(x) =x Bài tập vận dụng Thực H1 H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = – x2, H2 sách đường thẳng x = 3, trục tung trục hồnh giáo khoa! H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = x + Parabol y = x2 + x - H1: Giải: Đặt f(x) = – x2, f(x) ≥ [0; 2] f(x) ≤ [2; 3] nên: 3 23 S = ∫ − x dx = ∫ (4 − x )dx + ∫ ( x − 4)dx = 0 2 H2: 2 Giải: PT hoành độ giao điểm: x2 + x - = x + x = -2; x = Vậy: 32 S = ∫ − x dx = −2 Chú ý: + Để khử dấu giá trị tuyệt đối công thức: b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a Ta thực sau: • Giải phương trình f(x) – g(x) = đoạn [a; b], giả sử pt có nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b) • Trên đoạn [a;c], [c;d], [d;b] f(x) – g(x) khơng đổi dấu • Trên đoạn đó, chẳng hạn đoạn [c; d], ta có: d d c c S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ [f ( x ) − g ( x )]dx Củng cố: y= - Ghi nhớ công thức tính diện tích hình phẳng y - Bài tập đề nghị: y = x2 - 4x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x + y = 2x – -2 x [ ] + ∫ x − x + − ( x − 6) dx 2 = 2x ] S = ∫ x − x + − ( −2 x + 2) dx y= [ -6 +2 x ... ∫ [f ( x ) − g ( x )]dx Củng cố: y= - Ghi nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng y - Bài tập đề nghị: y = x2 - 4x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x... 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành đường thẳng x = y Lời giải: Đặt f(x) = x3 – y = x3 - Ta có: f(x) ≤ [0;1] f(x) ≥ [1; 2] Diện tích hình phẳng. .. tập vận dụng Thực H1 H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = – x2, H2 sách đường thẳng x = 3, trục tung trục hoành giáo khoa! H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng