bài 3: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 60ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng... Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình thang cong và tích phân?. Định lí: Cho hàm số y = fx liên tục, không âm trê

Tiết 60

ứng dụng tích phân để tính

diện tích hình phẳng

Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình thang cong và tích phân?

Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên

đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đ ờng thẳng x =a, x= b là:





b

a

dx x

f

?1

Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x2 – 2x + 1, trục hoành và hai đ ờng thẳng x = 1, x = 3.

Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R

giới hạn bởi đ ờng tròn có ph ơng trình : x2 +

y2 = R2

Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = x2, trục hoành và hai đ ờng thẳng x = 1, x = 2.

+ Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ đó so sánh diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 trục hoành và hai đ ờng thẳng x = 1, x = 2 với kết quả ở trờn

Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x3 – 3x2 + 6, trục hoành và hai đ ờng thẳng x = 1, x = 3.

bài tập sau:

Diện tích hình tròn bán kính R là: S = 4S’

trong đó S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số

và hai đường thẳng x = 0 và x = R.

Ta có:

dx x R '

S

R

0

2 2

 



2

R

y  

4

R 0

2 2

t 2 sin t

2

R dt

2

t 2 cos 1

R tdt

cos R t cos R

dx x R

'

S

2 2

2

0

2 2

0

R

0

2 2











































Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt

x = 0 thì t = 0; x = R thì t = /2

) 2

; 0 t

( t cos R t

sin R

R x





















Vậy S = 4S’ = R 2

N1

Quay lại…

Lời giải Xét đường tròn có phương trình: x 2 + y 2 = R 2

y

N2

+ Diện tích hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = x 2 , trục Ox và hai

đường thẳng x = 1, x = 2 là:

3 7

1

2 3

x dx

x S

3 2

1

2 1





 

3 7

+ Căn cứ vào hình vẽ nhận thấy:

Diện tích hình thang cong giới hạn

bởi đồ thị hàm số y = - x 2 , trục Ox

và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:

S 2 = S 1 =

y = x2

y = - x2

Vậy diện tích hình thang cong giới

hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên

tục, âm trên đoạn [a;b], trục Ox và

hai đường thẳng x = a, x = b là gì?

Tiếp tục…

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, âm trên

đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng

x = a, x = b là:



b

a

dx ) x ( f S

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = x 3 – 3x 2 + 6 , trục

Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:

N3

6

6

1 4

1 18

27 4

81

1

3 x 6

x 4

x

dx ) 6 x

3 x

( S

3 4

2 3

1

3 3

































































 

Quay lại…

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = x 2 – 2x + 1 , trục Ox

và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:

3

8

1

1 3

1 3

9 3

27

1

3 x

x 3

x

dx ) 1 x 2 x

(

S

2 3

3

1

2 4





























































 

Quay lại…

y

Nhận xét:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị các hàm số:

y = x 3 – 3x 2 + 6 , y = x 2 -

2x + 1 và hai đường thẳng x = 1,

x = 3 là:

S = S3 – S4

3

10 3

8

6  



Vậy diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị các hàm

số

y = f(x), y = g(x) liên tục

trên đoạn [a;b] và hai

đường thẳng x = a, x = b

bằng?

Tiếp tục…

Từ kết quả của nhóm 3 và nhóm

4, tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị các hàm số:

y = x 3 – 3x 2 + 6 , y = x 2 - 2x + 1

và hai đường thẳng x = 1, x =

3 ?

y =

x

3 – 3

x

2 + 6

y =

x

2 - 2 x + 1

dx x

x dx

x

(

3

1

2 2

3

1

3











1 Một số công thức cần nhớ

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:





b

a

dx ) x ( f S

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x),

y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b

 



b a

dx ) x ( g ) x ( f S

Quay lại…

2 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Lời giải:

Đặt f(x) = x 3 – 1.

Ta có: f(x) ≤ 0 trên [0;1] và f(x) ≥ 0

trên [1; 2]

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

dx 1 x

S

2

0

3

 



y

x

y = x3 - 1

 1 x  dx  x 1  dx

2

1

3 1

0

3





2

7 4

11 4

3







Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

f 1 (x) = x 3 – 3x và f 2 (x) = x là:

dx x 4 x

S

2

2

3







































2 x

0 x

2

x 0

x 4 x

x x

3







2

0

3 0

2

3 4 x ) dx ( 4 x x ) dx x

(

0

2 4

x x

2 2

0 x

2 4

2 2

4



































8 4

4  



Diện tích hình phẳng cần tìm là:

x

y f1(x) =x3 – 3x

f2(x) =x

3 Bài tập vận dụng Thực hiện H1 và

H2 trong sách giáo khoa!

H1 : Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành.

H2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2

và Parabol y = x2 + x - 2

Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trên [0; 2] và f(x) ≤ 0 trên [2; 3] nên:

3

23 )

4 (

) 4

( 4

3

2

2 2

0

2 3

0

2













S

PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 <=> x = -2; x = 2 Vậy:

3

32 dx

x 4

S

2

2

2





 



Chú ý: + Để khử dấu giá trị tuyệt đối

trong công thức:

dx )]

x ( g )

x ( f [ dx

) x ( g )

x ( f S

d

c

d



• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b], giả sử

pt có các nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b)

• Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không đổi dấu

• Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [c; d], ta có:

dx x g x

f S

b

a

Ta thực hiện như sau:

Củng cố:

- Ghi nhớ các công thức tính diện tích hình phẳng.

- Bài tập đề nghị:

Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị các hàm số:

y = x 2 – 4x +3, y = - 2x + 2

và y = 2x – 6.

y = x2 - 4x + 3

y = -2

x + 2

y = 2x - 6

y

x

dx ) 2 x

2 ( 3 x

4 x

S

3

2

2

2

1

2



























3 2

