CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈCHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Hữu tỷ hóa tích phân Dạng Tích phân hàm phân thức hữu tỷ  Nội dung phương pháp Trong phần này, ta cần nắm cách tính tích phân sau: 1) I1   dx , với a  ax  b Cách tính I1  2) I   dx  ax  b  Cách tính I  3) I3   d  ax  b  ln ax  b  C a  ax  b a n , với a  , n  * , n  d  ax  b    ax  b n   a  n  1   ax  b n  C a P  x  ax  b  n dx , P  x  đa thức có bậc lớn , a  , n  * Cách tính Thực phép đổi biến t  ax  b 4) I   dx , với a  , ax  bx  c  x ax  bx  c 2 Cách tính Biến đổi ax  bx  c  a  x  e   f  ( f  ), sau thực phép đổi      biến x  e  f tan t , t    ;  Ta có  2 ax  bx  c  af  5) I5   1 dt , dx  f   I4  2 af cos t cos t t  dt  af C mx  n dx , với a  , m  , ax  bx  c  x ax  bx  c Cách tính Phân tích mx  n 2ax  b  A  B ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c d  ax  bx  c  ax  b  ax  bx  c dx   ax  bx  c  ln ax  bx  c  C ,  ax dx I  bx  c Tất tích phân hàm phân thức hữu tỷ quy năm dạng nói THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  Một số ví dụ x3 dx 2x  Ví dụ Tính I   Giải Đặt t  x  , suy x  t 3 , dx  dt Khi x nhận giá trị t nhận 2 giá trị tương ứng Do  t 3  I  t 7  27    t  9t  27t  27 dt    dt    t  9t  27   dt  t 16  t    16 1   t  t  27t  27 ln 16  7 27  t    ln  16 x  11 dx x  5x  Ví dụ Tính I   Giải Ta có I  1  x  5  2x  dx dx   dx   , x  5x  x  5x  x  5x  0      I1 I1   d  x2  5x  6 x  5x  I2  ln x  x   ln ,  x  3   x   dx  dx  dx  ln x  dx   x2  x3 x   x    x   x   x3  0 1 1 I2    ln  3ln Suy I  ln  ln 1 Ví dụ Tính I  x 2 x dx  4x  Giải Ta có 1 I 1 2x  dx 2 x  x  dx  2 x  x  , 2        J 1 J x 2 K 2x  dx  ln x  x   4x  THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG 1 2  ln DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC 1 Ta thấy K  dx    x  2 2 dx  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN    Đặt x   tan t , t    ;  Suy   x    , cos t  2 dt  Khi x nhận giá trị 2 1 giá trị t Do cos t  K   dt  Vậy I   ln   2 Ví dụ Tính I   x3  2x2  4x  dx x2  Giải Ta có 2 2  dx dx  1  I   x  2  6  dx   x  x    x 4 x 4 2 0 x 4 0 Ta xét J   dx 2dt    Đặt x  tan t , t    ;  Suy x    , dx  Khi x 4 cos t cos t  2 x nhận giá trị giá trị t  Do  14  K   dt  20 Vậy I    Ví dụ Tính I=   x  1 x  1 dx Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định )  Ta có  x  1 x  1 : A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1 A B C     2 x   x  1  x  1  x  1 x  1 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC   PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  A   4A   Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số :   Khi (1) 1  2C C      A  B  x2   A  C  x  A  B  C  A  B  C   B  A  C       4  x  1 x  1 3 1 1 1  dx       dx   x  1 x  12  x   x  1  x  12  2   Do : 1 1 3  I   ln  x  1 x  1    ln  ln 2  x  1  4 4 Cách 2:  Đặt : t=x+1, suy : x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4  Khi : I=  dt t  t  2   dt  t t  2 t t  2  x  1 x  1 dx   4 11  1  1 t 2  I      dt   dt    ln  ln 2 2t 2 t  t  4 t 4 1 1  dt   dt    t t  2 2 t   4 t   ln 3  3t  4t    3t  4t     3t  4t   3t     3t  4t     Hoặc :        t  2t t  2t  t  2t   t  2t t  t  2t  t t    3t  4t     1  Do : I=        dt   ln t  2t   3ln t     ln 2 t  2t  t t  4 t   3 2 1  t  t  4   t 2 1 1 2   Hoặc :        2 t t  2  t t  2   t  t  4t 2 t t     Do : I=  1 2   t   t  t  dt  3  Ví dụ Tính I= 1 t 2 2 1 1 2 1 1  ln t  t    ln   ln     ln  ln   4      x2   x  1  x   dx 2 Giải Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 , dx=dt : x=2 t=1 ; x=3 t=2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  t  1 dt  t  2t  dt   x  12  x   dx   t  t  3  t  t  3 1 Do : x2 Cách 1; ( Hệ số bất định ) 2 t  2t  At  B C  At  B  t  3  Ct   A  C  t   A  B  t  3B Ta có :    t  t  3 t t3 t  t  3 t  t  3  B  A  C   t  2t  1 t    Đồng hệ số hai tử số : 3 A  B    A     t  t  3 t t 3 3B     C   Do : 2 t  2t   1    1 3  17 dt           dt    ln t    ln t     ln  ln  t  t  3 t t   t   t 9 9  1  Cách 2:  Ta có : 2   3t  6t   t   t     t  2t  1  3t  6t    3t  6t            t  t  3  t  3t   t  3t t  t     t  3t   t  t  3      2  3t  6t  1 t   3t  6t  1               2   t  3t  t  t  t  3t  t   t t    : Vậy 2   3t  6t   1 t  2t  1   t  3  dt           dt   ln t  3t   ln     t  t  3 t  3t   t  t t   27  t t  3 1   Do I= 17  ln  ln 9 Ví dụ Tính I=  xx 2  1 dx Cách 1: ( Hệ số bất định )  Ta f(x)= có : A  x  1  Bx  x  1  Cx  x  1 1 A B C      x  x  1 x  1 x  x  1 x  x  1 x  1 x x  x  THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm : x=0;x=1 x=-1 vào hai tử ta   A  1 x     A  1 1  1    có :  x  1   2C   B   f ( x)        x  x 1   x 1   x    2B    C    : Vậy 3 1 1  1 1 3 dx      x  x  1   x   x    x  dx    ln  x  1 x  1   ln x   ln  ln     Cách 2: ( Phương pháp nhẩy lầu ) x   x  1 x 1 2x Ta có :      2 x 1 x x 1 x x  x  1 x  x  1 3 1 xdx 1 3 dx     dx   ln  x  1  ln x   ln  ln Do :  2 x 1 x 2 2 2 x  x  1 Ví dụ Tính I=  x 1 dx x  x2  4 Cách 1: A  x    Bx  x    Cx  x   x 1 x 1 A B C Ta có :      x  x   x  x   x   x x  x  x  x2  4 Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Khi x=0 : 1= -4A suy : A=-1/4 Khi x=-2 : -1= 8C suy C=-1/8 Khi x=2 : 3= 8B suy : B=3/8   1  3  Do : f(x) =         4 x 8 x2 8 x2 : Vậy 3 x 1 1 1 1  3 dx    dx   dx   dx    ln x  ln x   ln x     x  x2  4 42x x2 x2 8  2  ln  ln  ln 8 Cách 2: THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Ta PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN có : 2 x 1 1 1 1   x   x  4   1 2x 1              2 2 x  x  4  x  4 x  x  4  x  x    x  x  4   x  x  2 x  x    Do : 4 x 1  1 2x 1 1 x  4 dx     x  x    x   x   x   x  dx   ln x   ln  x    ln x     3 Ví dụ Tính x2   x  1  x   dx Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A  x  1 x    B  x  1 x    C  x  1 x2 x2 A B C       x2  1  x    x  1 x  1 x   x 1 x  x   x 1  x   Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy : A=1/2 Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy : B=-1/2 Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy : C=-5/4 Do : 3 x2 1   x 1 3 1 dx       ln x    ln dx   ln 2 x 1 x  x    x 1 2 2  x  1  x   2 I=  Cách 2.( Nhẩy tầng lầu ) Ta có : x2 x2   1 1 x  x  1   x  1 x         x  1  x  2  x 1  x   x   x  1 x  1 x   x  2  x  1 x  1 x    1 x  1  1 1       1      x  2   x  1 x   x   x  2   x  x   x    Từ suy kết Ví dụ 10 Tính THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC a  1 x PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  3x   b dx  x2   x3 dx Giải a  x  3x   dx Ta có : x  x    x  1 x    f ( x)    x  1    x  2 x  3x   2   x  3x    x  1 x    x  1  1       x  1 x      x  1  x      2   x  2    2   Vậy :  x 1 x    1   1 x 1  dx      2    ln   dx    2 x2  x 1 x   x    x  x     x  1   1    2ln  b  x2   x3 dx Ta có : f ( x)   x2  x  x2  x  x  x2 x    2 1 x 1  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1  x  1  x  x   f ( x)  x 2x       dx 1 x 1 x  x3   x 1 Ví dụ 11 Tính a  1 x2  dx x  x2  b x4   x  dx Giải a  x2  dx Chia tử mẫu cho x  , ta có : x  x2  1 x2  f ( x)  x2  1 x 1  f ( x)dx   1   1   dx  x     x   1 x   1  Đặt : t  x   x   t  2, dt    x x  x 1 x   t     dx   x   t     THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC 3 Vậy :  f ( x)dx  t x4  b  dx Vì : x 1   t   t   dt     t     dt t 3  74  3  ln  ln    ln  )  3 t I ln t 1 dt  3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN    x    x 3    x  1 x  x  1   2  x    x    t  1 t  x   Cho nên :  1  x4 1 x  x2  x2   3x dx f ( x)     f ( x)dx    x   x 2   x   x  1 x  x  1  x3 2   0   1 1  Vậy : I  arctan x  arctan  3x   arctan1- arctan3   arctan3 3 Ví dụ 12 Tính a x2  x2  dx   dx  x4  x 1 0 b x 1 dx 1 Giải a x2  x2  dx   dx Ta có :  x4  x 1 0 1 1 2 x 1 x , g ( x)  x   x Cho nên f ( x)   x 1 x2  x 1 x2  x x2 1   t  x  x  dt  1   Đặt :    t  x   dt  1  x     dx, x   t  2, x   t  0, x   t   x  x Vậy : 5 1 2 1  t  dt  f ( x)dx    dt   ln    dt  2  t  t   2 t 2 t 2t 2 t 2    dt t 2   g ( x)dx   1  dx, x   t  2, x   t  2, x   t   x  x 2 1 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Đặt : t  tan u  dt  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 3 du  t   u  0, t   u  arctan  u1 cos u u1 u1 2du 2 u1 Do (1)    du  u  u1 2 2 cos u   tan u  b x F ( x)   x 1 dx 1 Ta có :   x2   x2   x2  x2       f ( x)  g ( x)     2 x4    x  x 1  Đã tính ( phần a) Ví dụ 13 Tính 2 x2  a  dx  x  x  1 x  x  1 1 c  b x dx  x2  3 x7 dx  x8  x x2  dx x  x2  d I =  Giải a x2    x  x  1 x  3x  1 dx Ta có : 1   1 2    dx x2   x  x f ( x)     f ( x)dx   1  1       x  x  1 x  3x  1  x     x   1 x    x   3  x x 3 x x      1   Đặt : t  x   dt  1   dx , x   t  2, x   t  x  x  Vậy (1) trở thành : 5 dt  1  t 5 1   t  5 t  3    t   t   dt  ln t    ln  ln 3  ln  2 b x dx 1 1 1  Ta có : f ( x)       2  4x  x  x   x  1 x    x  x   Do :   f ( x)dx    x  3 2 1    dx  I  J  x 1  1 Với : THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 1 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC I dx   x 3 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1  1  x 37  20 dx    x   x   dx  ln x  3  ln 65  3 3 x x  2     5 1 1 2 1  x 1   15 J   dx   dx       ln  ln   ln  dx  ln x 1 x  1 x  1  x 1 x 1  x 1  5 0  2 1 c x2  dx x  x2   1 Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a Chỉ khác đặt : t  x  , kết x 3 x7 x4 dx   x dx 4  x  2x 2  x  1 d I =  1 dt  3x 3dx, x   t  15; x   t  80  Đặt : t  x    x4  t  1 1  f ( x )dx  x3dx  dt     dt   x  1 t 3 t t   80 Vậy : I  1  1  80 16 13    dt   ln t   15  ln   t t  3 t 3 720 15  Ví dụ 14 Tính 2 dx a  x  x  1 b x2    x  1  x  3 dx Giải a dx Nếu theo cách phân tích đồng hệ số hai tử số ta có :  1  xx A Bx3  Cx  Dx  E A  x  1  x  Bx  Cx  Dx  E  f ( x)      x4  x  x  1 x x  x  1 A  B  A 1 C  0, D   B  1  A  B  x  Cx  Dx  Ex+A   x3   f ( x)    f ( x)    x x 1 x  x  1 E  C  0, D  0, A 1 E    THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Nhưng ta tinh ý cách làm sau hay Vì x x cách bậc , mặt khác x  1; 2  x  Cho nên ta nhân tử mẫu với x  Khi f ( x)  x3 Mặt khác d  x   x3dx  dt  x3dx 4 x  x  1  t  x  , : f ( x)dx  x3dx dt 1        f (t ) Bài toán trở nên đơn giản 4 x  x  1 t  t  1  t t   nhiều ( Các em giải tiếp ) b x2   x  1  x  3 dx Nhận xét : * Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm sau : - f ( x)  x2   A  x  1  x  3  x  1  B  x  1  C D  x 1 x  3 - Sau quy đồng mẫu số , đồng hệ số hai tử số , ta có : A  , B  , C   D  32   5 Do : I        dx   x  1 32  x  1 32  x      x  1   1 5     ln x   ln x    ln 32   x  1  x  1 32  32 28   Ví dụ 15 Tính a d  b x2   x  dx 1 x3 1  x  2 x4   x  dx dx e  x  3x  1  x  c dx  x 1  x  1 dx f  3 x  x  x4 dx Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN a     3 x4  x4  x2 1 x2   x2 1     x6  dx     x  1 x  x  1     dx   x  dx       x3   x  dx 1 2   x  1   x   1          Tính J : J= artanx  artan3-artan2  dt  x dx, x   t  8; x   t  27  Tính K Đặt t  x3   x2 dt 1 1  g ( x)dx  dx      dt  x 1  t  1  t  t    Do : K=  g ( x) dx  Tính E=  1 dx   dx x 1  x  1  x  x  1 Ta có : h( x)   27 27 t  27 117  1    t   t   dt   ln t   ln t    ln t   ln 98 68  x   x  1 x2 x 1     x  1  x  x  1  x  1  x  x  1 x   x  1  x  x  1  x  1 x  1  x  x   x   x    x2    x3   x  1  x  x  1 x3  x  x  x3   x  x  x  x   3x  x  1 dx  x3 1 dx   x2  x  dx   32 2  1  3  x   2    Vậy : I  3 3 1 28 13  ln  x3  1  ln  x  x  1  F  ln  ln  F 2 3  2  dt  dx   cos 2t Tính F : Đặt : x   tan t   2  x   tan t   t  a; x   tan t  10  t  b  3  Do b F=  a dt b b 5 10   cos 2t   dt  t  b  a  t ant=  t  a  artan ; b  artan  a 3 3   tan t  a  Thay vào (2) ta có kết THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC b 2 x2  x2 1 1 dx    x6   x  1 x  x  1 dx   x2   x2 dx    x  x  1 x  x  1 dx 1   Ta có :  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN x  x  1 x  x  1 2  Ax+B Cx  D  x  x  x  x 1  A  C  x3   B  A  C  D  x   A  B  C  D  x   B  D  x4  x2  1  A    A  C   A  C C  B  A  C  D  1  2C     Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :    A  B  C  D   B  D  D  B  D  B  D      B   2  1 1 x x 1 Vậy : I    dx   dx    J  K 1  x  x 1 x  x 1  Tính J= 2 2 x  1 2x   2x 1 1 dx    dx    dx   dx   ln x  x   E  x2  x  2 x  x 1 x  x 1 21 1  3 x     2     2 Tính E = 1 dx , học sinh tự tính cách đặt : x   tan t  21 2 1  3  x   2    Tính K 2 2 x 1 2x 1  2x 1 1 dx   dx   dx   dx  ln x  x   F 2 x  x 1 x  x 1 x  x 1 20 1 1  3 x     2    1 Tính F=  dx , học sinh tự tính cách đặt : x   tan t 2 21 2 1  3  x   2    K  4 2 dx 3x  d  x  d  x    x  32   ln  c    dx       ln x 1  x   x4  x    x  17 x 1  x    d  x3 1  x  dx  x2 xdx  1  x 3  x  t  1; dt  xdx  x   t  1, x   t  1 Đặt : t   x   THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14  2 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 2 t 1 1 1  1  13 dt      dt       t t t   t 4t  16 1 Do I   e  x  3x  1  x   1  x 2  1 x2  x2  dx    dx   dx   dx  J  K 1 2 3  1  x  1  x  1  x2    x   Tính J : Bằng cách đặt x  tan t  J    1 1  dx  E  F   Tính K=     1  x 2 1  x 3     dx  cos t dt  x  tan t   Tính E : Bằng cách đặt  x   t  0; x   t     Vậy : E   2     1  dt     dx        x2    tan t  cos 2t 20  1 dt   cos 2tdt cos 2t 20 cos t    1 1   2 1  cos2t  dt   t  sin 2t            40 4 16  4 2 Tính F Tương tự tính E ;   dx  cos 2t dt  x  tan t   Bằng cách đặt  x   t  0; x   t     Vậy : F     3     1     x2  dx     tan t  cos2t dt   0   0  1 dt   cos 4tdt cos 2t 20 cos 6t   1   cos4t   cos2t  dt   1  2cos 2t  dt    8 0  0   1 1    3     cos 2t  cos4t  dt  16  3t  2sin 2t  sin 4t   16     64 16     THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC 3 f x  x   1  x  x3    dx dx     dx      x  x  x x 1 1 x x4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 3 dx   dt   x 1    Đặt : t      t     x x    x   t  8; x   t     1 3 4 3  24  468 Khi I    t  t  1 dt    t  t  dt   t  t   27   16     0 7  4  7 0 * Chú ý : Cịn có cách khác Vì 1  x   ;1  x  3  : Đặt  1 3   3 1 t t  x   dx   dt ; f ( x)dx   t t 1   t  t  t  t   1    dt    t  t t3  t 3 t dt 1 3 1  dt  dt  t 1   dt (2) Đặt : u      u; du  dt t t t  t  Ví dụ 16 Tính a dx  x5  x 2 c  b x3  x x  1  2 d dx  x dx 1  x   x3 dx x4 Giải a Xét : f ( x)    dx  x5  x   x  x  1  x  x  1 dx 2 1 A B Cx  D E  2   x x  x  x 1 x  x  1  x  x  1 x A  x  x  1  x  1  Bx  x  1  x  x  1   Cx  D  x  x  1  E ( x  x  1) x x  x  1  x  x  1  B  C  E  x   A  D  C  E  x3   E  D  x  Bx  A x  x  1  x  x  1 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :  D   B  C  E  C   E A  D C  E   E  E  E  C   1   x      3  B    B   f ( x )    23 E  D  x x  x  x 1 B  E  D    E   A  1  A  1     A  1   1    3x   1  x 1  1  Vậy : I        dx        dx  x  x  x    x  1   x x  x  x 1   2 2    3 1  x  1  arctan 2x+1  dx 1 3    ln x  x   ln x        ln  2  3 2 x 2 2     x x  x 1   x   2     1     arctan  arctan  3 3 b  x dx 1  x4   x4 x 3dx  1  x 2 1 dt  x3dx, x   t  1; x   t   Đặt : t   x    t 1  1   f ( x)dx   t  dt   t  t  dt      1  1 1  1 Vậy : I      dt   ln t     ln   3t t  3 t  3 2 1  x  2 c  dx   xdx 2  x  1  x  1 x3  x 1 dt  xdx; x   t  1; x   t   Đặt : t   x  x   t     t 3 1   f ( x)dx   t  dt   t  t  dt      2 1  1 3  3 Vậy : I      dt   ln t     ln   2 2t t  2 t 2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC d PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  x3  x3 dx   x dx x4 x6  1 2tdt  x 2dx; x   t  2, x   t    Đặt : t   x  t   x3   1  x3 t t2 f ( x )dx  x dx  2tdt  dt  x6  t  12  t  1   : Vậy 2 3  1 1  2 1 1    1      dt               dt 2   t   t 1 t      t  t      t  1  t  1  t  t     2     1 1 t    2t t 1        ln    ln   ln 2    t 1 t 1 t     t  1 t 1  24   3 I   Do Ví dụ 17 Tính a x c  b x2  x5  2x3 dx x2 1  x  x  dx x2  1 d dx  1  x  dx Giải a x Đặt dx  x x 9 x2  1 t  x   tdt  xdx, x  t   t  x 9    x   t  4, x   t   : xdx : dt dt  t t  3 t   t t  9  I A  t    Bt  t    C  t   t A B C Ta có : f (t )      t  t  3 t  3 t t  t  t t  9 Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm vào hai tử số ta có : - Với x=0 : -9A=1  A   - Với x=-3 : 9C=1  C  - Với x=3 : 9B=1  B  9 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Vậy : I  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 5 t  144 1  1   1    dt   ln  t    ln t   ln  ln    4 9   t t  t    t 35 * Chú ý : Nếu theo phương pháp chung đặt : x  3sin t  dx  3cos tdt   x    3sin t  sin t   Như ta không sử dụng phương pháp Khi :   x    3sin t  sin t     b  x  x  dx x 1 1 x2  x 1 x dx   1 dx  J  K x 1 * Để tính J :    dx  cos 2t dt , x   t  0; x   t   Đặt : x  tan t   Tính tích phân khơng đơn tan t dt 2  cos t  tan t dt  f ( x)dx  cost  tan t  giản , ta phải có cách khác - Từ : g ( x)  x2  x2   x 1 1  x 1  2 x 1 x 1   g ( x )dx   x  1dx   0 x2  dx - Hai tích phân tính 1 1  1 x2 +/ Tính : E   x  1dx x x    dx     x  1dx   dx  0 x2  x2   0   E  ln x  x  1 * Tính K=  Do : I= c  x  x3 x2  1  E   ln   E   ln  2  dx  x    ; x 1 x    dx  ln x  x  x 1 2  ln   ln    ln  2 2  dx     x5 x2   dx   x3 x2     ln     dx  J  K 1  x  t  1; xdx  tdt ; x   t  1, x   t    2 - Tính J: Đặt t  x    x xdx  t  1 tdt    t  2t  1 dt  f ( x)dx  t  x 1  THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 2 1  38 Suy : J=   t  2t  1 dt   t  t  t   5  15  x  t  1; xdx  tdt ; x   t  1, x   t   - Tính K: Đặt t  x    x xdx  t  1 tdt    t  1 dt  f ( x)dx  t x 1  Suy : K=  t Vậy : I= 1 2  1 dt   t  t   3 1 28 48 16    15 15 d 2  1  x     dx  costdt x=0  t=0;x=1  t= dx Đặt : x  sin t    f ( x)dx  1  x 3 dx  cos 6tcostdt=cos4tdt      cos4t    cos2t  3  Do I=    dt   1  cos 2t   dt     cos2t+ cos4t  dt 0    0 0  3 3    t  sin 2t  sin 4t   32 4  THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 20 ... 15  Ví dụ 14 Tính 2 dx a  x  x  1 b x2    x  1  x  3 dx Giải a dx Nếu theo cách phân tích đồng hệ số hai tử số ta có :  1  xx A Bx3  Cx  Dx  E A  x  1  x  Bx  Cx  Dx... x 1 * Để tính J :    dx  cos 2t dt , x   t  0; x   t   Đặt : x  tan t   Tính tích phân không đơn tan t dt 2  cos t  tan t dt  f ( x)dx  cost  tan t  giản , ta phải có cách... ( x)  x2  x2   x 1 1  x 1  2 x 1 x 1   g ( x )dx   x  1dx   0 x2  dx - Hai tích phân tính 1 1  1 x2 +/ Tính : E   x  1dx x x    dx     x  1dx   dx  0 x2 