Khái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phânKhái niệm nguyên hàm và tích phân
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân A. Tóm tắt lý thuyết 1. Khái niệm Nguyên hàm: Cho hàm f xác định trên D . Hàm F là một nguyên hàm của hàm f nếu ' F x f x với mọi x D . Họ nguyên hàm: f x dx F x C ' F x f x ( C là hằng số bất kỳ). Tích phân: b b a a f x dx F x F b F a với F là một nguyên hàm của f . 2. Tính chất Nguyên hàm +) kf x dx k f x dx . +) f x g x dx f x dx g x dx . Tích phân +) b b a a kf x dx k f x dx . +) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx . +) 0 a a f x dx . +) b c b a a c f x dx f x dx f x dx . +) b a a b f x dx f x dx . 3. Công thức 1) 0 du C . 2) du u C . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 3) 1 1 u u dx C ( 1 ). Đặc biệt: 1 1 1 n n du C u n u ( n , 2 n ). 4) ln du u C u . 5) ln u u a a du C a . 6) u u e du e C 7) cos sin udu u C . 8) sin cos udu u C . 9) 2 tan cos du u C u . 10) 2 cot sin du u C u . Trong các công thức trên, u được gọi là biểu thức dưới dấu vi phân. Khi tính tích phân, việc phát hiện biểu thức dưới dấu tích vi phân là rất quan trọng. Trong phần này, ta sử dụng công thức biến đổi biểu thức dưới dấu vi phân sau đây d ax b dx a , trong đó, a , b là các hằng số, 0 a . Đặc biệt, cho 1 a , ta có công thức dx d x b . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm 2 1 2 I x x dx . Giải I 2 1 2 x x dx 2 2 1 2 x x x dx 3 3 2 x x dx 4 2 1 3 2 4 2 x x x C . Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm 2 2 1 x x I dx x . Giải I 1 3 3 1 x x dx x 3 3 1 x dx x 2 1 3 3ln 1 2 x x x C . Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm 4 2 1 I x dx . Giải I 4 1 2 1 2 1 2 x d x 5 1 2 1 10 x C . Ví dụ 4. Tính tích phân 2 0 2 1 I x dx . Giải Ta thấy 2 1 x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 1 2 nên I 1 2 1 2 2 0 2 1 2 1 x dx x dx BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 1 2 1 2 2 0 2 1 2 1 x dx x dx 1 2 1 2 2 2 2 0 x x x x 5 2 . Ví dụ 5. Tính tích phân 1 ln2 1 1 x I e dx . Giải I 1 ln2 1 1 1 x e d x 1 ln2 1 1 x e 1 . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 8 2 4 cos 2 2 dx I x . Giải I 3 8 2 4 2 1 2 2 cos 2 2 d x x 3 8 4 tan 2 2 x 1 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 C. Bài tập Bài 1. Tìm họ nguyên hàm 1) 2 5 x x dx . ĐS: 3 2 3 2 5 x x x C . 2) 2 3 2 3 1x x x dx . ĐS: 2 3 1 2 2ln x x x C . 3) 3 2 3 2 3 x x x e x x dx . ĐS: 4 3 3ln x x x e x C . 4) 2 2 x x dx . ĐS: 2 3 8 4 x x x x C . 5) 2 1 x dx . ĐS: 3 2 3 x x x C . 6) 3 2 1 2 x dx . ĐS: 5 7 3 12 8 5 7 2 x x x x C . 7) 3 2 3 x dx . ĐS: 4 2 3 8 x C . 8) 100 1 x dx . ĐS: 101 1 101 x C . 9) 3x e dx . ĐS: 3 3 x e C . 10) 2 3x x e e dx . ĐS: 6 4 2 6 2 2 x x x e e e C . 11) 2 x x e e dx . ĐS: 2 x e x C . 12) 2 2 .3 .5 10 x x x x dx . ĐS: 6 ln6 x C . 13) 2 5 1 x x e e dx . ĐS: 2 6 1 6 x x e e C . 14) sin5 xdx . ĐS: cos5 5 x C . 15) cos6 xdx . ĐS: sin6 6 x C . 16) sin cos x xdx . ĐS: cos2 4 x C . 17) 2 sin cos x x dx . ĐS: cos2 2 x x C . 18) 4 4 sin cos x x dx . ĐS: 3 sin4 4 16 x x C . 19) 6 6 sin 2 cos 2 x x dx . ĐS: 5 3sin8 8 64 x x C . 20) 3 4 cos 2 .cos 2 x x dx . ĐS: 1 1 8 12 2 12 sin 4 sin x x C . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 21) 2 2 sin x dx . ĐS: sin 2 2 x x C . 22) 2 2 cos x dx . ĐS: sin 2 2 x x C . 23) 3 sin xdx . ĐS: 3cos cos3 4 12 x x C . 24) 3 cos xdx . ĐS: 3sin sin3 4 12 x x C . 25) 4 sin xdx . ĐS: 3 sin2 sin4 8 4 32 x x x C . 26) 4 cos xdx . ĐS: 3 sin2 sin 4 8 4 32 x x x C . Bài 2. Tính tích phân 1) 1 3 5 4 0 x x x x x dx . ĐS: 71 20 . 2) 1 3 5 4 0 2 3 4 5 x x x x x dx . ĐS: 229 20 . 3) 1 2010 0 1 x dx . ĐS: 1 2011 . 4) 10 0 2010 1 dx x . ĐS: ln 20101 2010 . 5) 2 2 0 1 x dx x . ĐS: ln3 . 6) 0 2 1 x dx . ĐS: 1 . 7) 2 2 0 | | x x dx . ĐS: 1 . 8) 5 3 2 2 x x dx . ĐS: 8 . 9) 0 1 sin 2 xdx . ĐS: 2 2 . 10) 0 1 cos2 xdx . ĐS: 2 2 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 11) 4 4 4 0 cos sin x x dx . ĐS: 1 2 . 12) 4 6 6 0 sin cos x x dx . ĐS: 5 32 . 13) 2 0 sin sin 2 x xdx . ĐS: 2 3 . 14) 4 3 0 sin xdx . ĐS: 8 5 2 12 . 15) 3 4 0 cos xdx . ĐS: 8 7 3 64 . 16) 1 3 2 0 1 x e dx . ĐS: 6 4 2 1 3 3 17 6 4 2 2 e e e . 17) 2 2 2 0 2 x x e dx e . ĐS: 4 2 2 8 4 e e . . GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân A. Tóm. tắt lý thuyết 1. Khái niệm Nguyên hàm: Cho hàm f xác định trên D . Hàm F là một nguyên hàm của hàm f nếu ' F x f x với mọi x D . Họ nguyên hàm: f x. THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm