ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thểỨng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

A Tóm tắt lý thuyết

* Trong không gian tọa độ Oxyz , gọi B là vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với

Ox tại các điểm A và B Gọi S x  là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ( a  x  b) Thể tích V của B là

 

b

a

V S x dx

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f (x), y 0

x a, x b (a b)







xung quanh Ox là

b 2

a

V  f (x)dx

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

           

y f x , y g x f x g x 0 x a;b

x a, x b (a b)







xung quanh Ox là

   

b

a

V    f x  g x  dx

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

x f y , x 0

y a, y b (a b)







xung quanh Oy là

 

b 2

a

V  f y dx

* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

           

x f y , x g y f y g y 0 y a;b

y a, y b (a b)







xung quanh Oy là

   

b

a

V    f y  g y  dy

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [SGKNC] Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x   1 và x  1 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (   1 x  1) là một hình vuông có cạnh là 2 1 x  2

Giải

Diện tích thiết diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x

(  1 x  1) là   2 2  2

S x    2 1 x     4 1 x 

 thể tích của vật thể là

Ví dụ 2 [ĐHB07] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x, y  và x 0  Tính thể e

tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

Giải

Ta thấy x ln x  0  x  1 Suy ra thể tích của vật thể đã cho là

V  

e

2

1

x ln x dx

 

e

2 2

1

x ln xdx

 

e

1

ln xdx 3



 

e

1

e

x ln x x d ln x 3

1



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

e

1

e 2 x ln xdx 3



Xét

e

2

1

I x ln xdx Ta có

I

e

3

1

1

ln xdx 3

 

e

1

e 1

x ln x x d ln x 3

1



e

1

e

1

1

3

e

1

3

e

       

Ví dụ 3 Tính thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi elip

 

  (a  b  0) quanh Ox (vật thể nhận được gọi là elipsoid)

Giải

Ta có

1

   y b a 2 x 2

a

Do đó elip đã cho thực chất là hợp của hai

ĐTHS y b a 2 x 2

a

  và y b a 2 x 2

a

Như vậy nếu gọi  H là hình phẳng giới hạn

bởi các đường x   , a x  , a y  , 0

b

a

  thì vật thể đang xét nhận được

bằng cách quay  H quanh Ox

y= - b

a a

2

-x 2

-b

b y

x O

Thể tích của vật thể là

V

a

b

a



a 2

2 a

b

a x dt

a 

2

2

3 a

2

4 ab 3

 

Ví dụ 4 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y  x 2 và y  x Tính thể tích vật thể nhận được khi cho  H quay quanh Ox

Giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường y  x 2 và y  x

x 2  x  x 4  x

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

V 1  2  2 2

0



1

4

0

x x dx

  

3 10





Ví dụ 5 Cho 0  r  a Tính thể tích vật thể nhận được khi quay hình tròn tâm 0;a, bán kính

r quanh Ox (vật thể nhận được được gọi là hình xuyến)

Giải

Xét phương trình đường tròn tâm 0;a, bán kính r

x 2 y  A2  r 2  y  A2  r 2  x 2

 y  A   r 2  x 2

 y  A  r 2  x 2

Như vậy đường tròn 0;a, bán kính r là hợp của hai ĐTHS

y  A  r  x và y  A  r 2  x 2

y=A- r 2 -x 2

y=A+ r 2 -x 2 r

-r

y

x

A

O r

 Thể tích vật thể đang xét là

V

r



            



r

r



Đổi biến x  r sin t, t ;

2 2

 

   

  

r x r cos t

dx r cos tdt







Đổi cận x    r t

2



  , x   r t

2





 V    

2

2

4A r cos t r cos tdt







  

2

2

4A r cos tdt







2 2

2

2A r 1 cos 2t dt







2

1

2

2 2

2A r

Ví dụ 6 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 C 1,

2

x y 27

 C 2 và y 27

x

 C 3 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox

Giải

Trước hết ta tìm giao điểm giữa từng cặp hai trong ba

đường cong đã cho

2

x

27

  x  0  C 1 cắt C 2 tại gốc tọa độ

2 27

x

x

  x  3  C 1 cắt C 3 tại điểm A có

hoành độ bằng 3

2

27  x  x  9  C 2 cắt C 3 tại điểm B 27

y= x 2 27

y=x 2

A

B y

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Giả sử V là thể tích vật thể đang xét; V , 1 V là thể tích vật thể nhận được khi quay tam giác 2

cong OAC, ABC quanh Ox Ta có

 

2

 

2

4

2

162

792 5

 

Ví dụ 7 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y  2x  x 2 và y  Tính thể tích vật 0

thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên

1) quay quanh Ox

2) quay quanh Oy

Giải

1) Ta có 2x  x 2  0  x 0

x 2





 



Do đó, thể tích vật thể nhận được khi quay hình phẳng  H

quanh Ox là

1

2) Ta có

2

y  2x  x  x 2  2x  y  ( ' 0    ) 1 y

 x   1 1 y 

Do đó  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

x   1 1 y  , x   1 1 y  , y  , y 0  1

1

x y

Vậy thể tích vật thể nhận được khi quay  H quanh Oy là

2

1

0

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

C Bài tập

Bài 1 [SGKNC] Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x  3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ( 0  x  3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2 9  x 2 (ĐS: 18)

Bài 2 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ln x, y  và 0 x  2 Tính thể tích vật thể

nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox (ĐS: 2 ln 2 1  2)

Bài 3 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x x 1  2 và y  Tính thể tích vật thể 0

nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox (ĐS:

105



)

Bài 4 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xe x, y  và 0 x  1 Tính thể tích vật thể

nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox (ĐS: e 2 1

4

)

Bài 5 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường  3

y  x ln 1 x  , y  và 0 x  1 Tính thể tích

vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox (ĐS: 2 ln 2 1

3



 )

Bài 6 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x cos x 4  4 , y  , 0 x

2



 và x  

Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox (ĐS:

2

3 8



)

Bài 7 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x, y  2 x  và y  Tính thể tích vật thể 0

nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Oy ( ĐS: 32

15



)

Bài 8 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  4x  và 6 y   x 2  2x  Tính thể 6

tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox (ĐS: 3)

Bài 9 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x, y  2 x  , x  0 và x  2 Tính thể tích

vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox (ĐS: e 2  1)

Bài 10 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2  8x và x  2 Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên

1) quay quanh Ox

32



)