các phương pháp đặc sắc tính tích phân ứng dụng tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC GIA PHAN HỌC LỄ NGHĨA ĐỂ THÀNH NHÂN-HỌC TRI THỨC ĐỂ THÀNH TÀI Ths PHAN CƠNG THU NGUN CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶC SẮC TÍNH TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY KHĨA CẤP TỐC KHAI GIẢNG 6.6.2014 Thà đổ giọt mồ nơi cịn nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ƠN THI ĐẠI HỌC Bài học Viên giám đốc dặn chàng niên “Tôi yêu cầu anh việc Hôm trở lại nhà, lau đôi bàn tay mẹ anh, ngày mai đến gặp ” Chàng niên cảm thấy khả công việc tốt cao Khi vừa đến nhà, chàng ta sung sướng thưa với mẹ để lau đôi bàn tay bà Mẹ chàng cảm thấy có khác lạ, sung sướng, với cảm giác vừa vui mà vừa buồn, bà đưa đôi bàn tay cho trai xem Bàn Tay Của Mẹ, Bài Học Cho Con Một niên học hành xuất sắc nộp đơn vào chức vụ quản trị viên cho công ty lớn Anh ta vừa xong buổi vấn đầu tiên, ông giám đốc vấn lần cuối để định nhận hay không nhận Viên giám đốc khám phá học bạ chàng niên, tất tốt năm nào, từ bậc trung học đến chương trình nghiên cứu sau đại học, xuất sắc, không năm mà anh chàng niên không hoàn thành vượt bực Viên giám đốc hỏi “Anh học trường?” Chàng niên đáp “Thưa không” Viên giám đốc hỏi “Thế cha anh trả học phí cho anh học?” Chàng niên đáp “Cha chết vừa tuổi đầu Mẹ tơi người lo trả học phí” Viên giám đốc lại hỏi “Mẹ anh việc đâu?” Chàng niên đáp “Mẹ làm việc giặt áo quần” Viên giám đốc bảo chàng niên đưa đôi bàn tay cho ông ta xem Chàng niên đưa hai bàn tay mịn màng hoàn hảo chàng cho ông giám đốc xem Viên giám đốc hỏi “Vậy trước anh có giúp mẹ giặt giũ áo quần không?” “Chưa bao giờ, mẹ bảo lo học đọc thêm nhiều sách Hơn nữa, mẹ giặt áo quần nhanh tôi.” Chàng niên đáp Chàng niên từ từ lau đôi bàn tay mẹ Vừa lau, nước mắt chàng tuôn tràn Đây lần chàng niên khám phá đơi tay mẹ mình, đơi bàn tay nhăn nheo đầy vết bầm đen Những vết bầm làm đau nhức bà rùng lau nước Lần đời, chàng niên nhận thức rằng, từ đơi bàn tay giặt quần áo ngày giúp trả học phí cho chàng Những vết bầm tơi tay mẹ giá mẹ chàng phải trả cho ngày chàng tốt nghiệp, cho xuất sắc học vấn cho tương lai tới chàng Sau lau đôi tay mẹ, chàng niên lặng lẽ giặt hết phần áo quần lại me Tối đó, hai mẹ tâm với thật lâu Sáng hôm sau, chàng niên tới gặp ông giám đốc Viên giám đốc lưu ý giọt nước mắt chưa hết đôi mắt chàng niên, hỏi “Anh cho tơi biết anh làm học hơm qua nhà không?” Chàng niên đáp “Tôi lau đôi tay mẹ, giặt hết phần áo quần lại.” Viên giám đốc hỏi “Cảm tưởng anh sao?” Chàng niên đáp, “Thứ nhất, tơi hiểu ý nghĩa lịng biết ơn; khơng có mẹ, tơi khơng thể thành tựu hôm Thứ hai, qua việc hợp tác với nhau, qua việc giúp mẹ giặt quần áo, tơi ý thức thật khó khăn gian khổ để hồn tất cơng việc 1  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   Thà đổ giọt mồ nơi cịn nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ƠN THI ĐẠI HỌC Thứ ba, biết ơn quan trọng giá trị quan hệ gia đình.” Viên giám đốc nói, “Đây tơi tìm kiếm nơi người quản trị viên công ty Tôi muốn tuyển dụng người biết ơn giúp đở người khác, người cảm thơng chịu đựng người khác để hồn thành nhiệm vụ, người không nghĩ đến tiền bạc mục đích đời Em nhận.” Sau đó, chàng niên làm việc hăng say, nhận kính trọng nhân viên quyền Tất nhân viên làm việc kiên trì hợp tác đội Thành tựu công ty ngày nhiều cải thiện Một đứa bé, che chỡ có thói quen muốn đước nấy, phát triển “tâm lý đặc quyền” ln nghĩ đến trước Hắn thờ nỗ lực cha mẹ Khi làm việc, giả thiết người phải lời hắn, trở thành quản trị viên khơng biết chịu đựng nhân viên quyền đổ thừa cho người khác Đối với loại người này, học giỏi, thành cơng thời gian ngắn thật không cảm nhận ý nghĩa thành tựu Hắn cằn nhằn, lòng chất đầy ốn ghét đấu tranh để có nhiều thứ cho Nếu thuộc loại cha mẹ chuyên bao che này, phải cho chúng thấy tình thương cha mẹ hay thay tàn phá chúng? Bạn cho sống nhà lớn, ăn thức ăn ngon, học dương cầm, xem TV ảnh rộng Nhưng cắt cỏ, xin vui lịng cho chúng làm việc Sau bữa cơm, để chúng rữa chén bát với anh chị em chúng Khơng phải bạn khơng có tiền để mướn người làm nhà, bạn nên thương cách Bạn muốn chúng hiểu rằng, cha mẹ giàu có cỡ nào, ngày tóc họ bạc mẹ người bạn trẻ Điều quan trọng bạn học để biết khó khăn, học khả làm việc với người khác để hoàn thành cơng việc Phần Tóm tắt lý thuyết Bài Nguyên Hàm Định nghĩa nguyên hàm: Tính chất nguyên hàm:   u( x)  v( x)  dx   ku ( x)dx   ku( x)v( x)dx  Bảng nguyên hàm STT Nguyên Hàm 1dx x  C  m  x dx  x m1 C m 1 Nguyên Hàm thường dùng  bdx bx  C (kx  b) m1 (kx  b) m dx  C  k m 1 2  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   Thà đổ giọt mồ nơi cịn nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC  x dx  ln | x | C x 1 m dx    e dx e 1 C (m  1) x m 1 dx  x  C x x x C ax C ln a  cos xdx  sin x  C x  a dx   sin xdx   cos x  C 10  cos 11  sin dx  tan x  C x x dx   cot x  C Học sinh tự hoàn thành bảng NH sau: STT NH 1dx   x m dx   x dx  x 1 m 1  kx  b dx  k ln | kx  b | C 1 C k (m  1)(kx  b) m 1  kx  b dx  k kx  b  C kx b kx  b  e dx  k e  C a kx b C a kx b dx   k ln a  cos(kx  b)dx  k sin(kx  b)  C  sin(kx  b)dx   k cos(kx  b)  C 1  cos2 (kx  b) dx  k tan(kx  b)  C 1  sin (kx  b) dx  k cot(kx  b)  C  (kx  b) m dx  NH thường dùng  bdx   (kx  b) m dx   kx  b dx  dx   (kx  b) m dx    e dx  e  a dx  a  cos xdx   cos(kx  b)dx   sin xdx   sin(kx  b)dx  10  cos dx  x x x x dx  dx  kx  b  kx  b dx  kx  b dx   cos (kx  b) dx  2  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   Thà đổ giọt mồ nơi cịn nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC 11  sin x  sin dx  STT dx  (kx  b) NH  1dx   x dx  m NH thường dùng  bdx   (kx  b) m dx   x dx  x  x  e dx   a dx  a  cos xdx   cos(kx  b)dx   sin xdx   sin(kx  b)dx  10  cos2 x dx   cos (kx  b) dx  11  sin x dx   sin m dx  dx  x x  kx  b dx   (kx  b) dx  dx  kx  b  e m kx  b dx  kx  b dx  2 dx  (kx  b) Bài Tích Phân Xác Định Định nghĩa TPXĐ: Tính chất: Như nguyên hàm thêm b   u( x)  v( x)  dx  a b  ku ( x)dx  a b  ku( x)v( x)dx  a 3  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   Thà đổ giọt mồ hôi nơi nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ƠN THI ĐẠI HỌC c  u( x)dx   u ( x)dx   u ( x)dx a Nhận xét: Sự giống khác phép toán nguyên hàm phép tốn tính tích phân xác định P( x) : an x n  an 1 x n 1   a3 x3  a2 x  a1 x  a0 dx Bài Tích phân Hàm Hữu Tỷ I   Q( x) : bn x n  bn 1 x n 1   b3 x3  b2 x  b1 x  b0 a b Bậc tử ³ Bậc mẫu: chia đa thức xong  Bậc tử < bậc mẫu:Nhiều trường hợp để nhớ….? u '( x) ĐB1:  u( x) dx ĐB2:  ( x  a)( x  b) dx 1  ( x  a)( x  b)( x  c) dx Tquát: Ứng dụng vơ địch để tính: I   ( x  a ) ( x  b) 2 dx  Xem hướng dẫn lớp  ĐB3:  (kx  b) ĐB4:  (kx  b) ĐB5: x m dx m dx p ( x) dx 1  x  c2 dx  (ax  b)2  c dx Bài Các Phương Pháp Tính Tích Phân Phương pháp phần b Dùng công thức:  udv  a A TP -Chuẩn tạo từ ba nhóm chuẩn: Nhóm chuẩn 1: Nhóm chuẩn 2: Nhóm chuẩn 3: Nếu TP ta thấy…………………………………………………… u  dv  Đặt:  4  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   Thà đổ giọt mồ nơi cịn nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ƠN THI ĐẠI HỌC Dùng cơng thức xong  Trong tích phân phần ta luôn nhớ dùng kỷ thuật “Thăng hoa trí tuệ” để đưa tích phân vơ phức tạp thành tích phân vơ đơn giản Chi tiết xem lớp học  Ví dụ như: Tính 1 π I   e x ln(e x  1)dx ò 11 I = cos x ln (3 + sin x) dx 0  2 ln  sin x ln(2  cos x)dx I 12 I = I = ò2 x ln( x - e)dx I =ò (3cos x - 2sin x)ln(3sin x + 2cos x + 4)dx ( ) 16 I =òln (1 + x )dx ò 15 I = ln + x dx I =òln(2 x - x - 1)dx + ln( x + + 2) dx x +1 ỉx +2ư ÷dx 14 I =ũx ln ỗ ỗ ữ ố x +1 ứ ò 13 I = e +1 ln e x + 2dx π 4 x 2e òe I =òx ln(3 x - x + 1)dx π /4 ò ln(sin x + 3cos x) dx cos x I =ò(12 x + 7) ln(6 x + x + 2)dx 17 I = x ln x I =ò dx ( x + 1) 18 I = (e x + 1) ln(x + e x + 2)dx x ln x I =ò dx ( x + 2) 0 e ò e 10 I = x ln x + 1dx ị B TP -Khơng chuẩn gồm dạng sau:  Nếu TP ta thấy…………………………………………………… f ( x)  (kx  b) m u   dx   dv  u  f ( x) dx    x, cos x} dv  f ( x)   dx  {1  sin kx,1  cos kx}  {sin I =ò(u ' v + uv ')dx = (uv) ' dx = ị ỉu ö' u ' v - uv ' I =ò dx = ỗ ữ dx = ũỗ v ữ v2 a aè ø b b a b a b 5  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   Thà đổ giọt mồ nơi cịn nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC  u  x  k dx    dv  Phương pháp đổi biến số Khi …………………………………………………………………… Ví như: Yêu cầu ti… tích phân sau: b I   f ( x)dx  I   g (t )dt : Xong  a       Ví dụ: Xem mục lục Các dạng đổi biến đặc biệt k f ( x) a x f ( x) dx với f(-x)=f(x), < a ¹1 dx ; I = ò x x -k a +1 -k a +1 k I =ò I =òxf (sin x)dx π  b a I =òln(1 + tan b.tan x)dx ;  ln(1  tan x)dx  ;  ln Bài 5: Phương Pháp Tính Tích Phân Hàm Lượng Giác Yêu cầu:    Lưu ý: TP có hàm tan x, cot x : Đặt t  tan x  t  cot x : tan10 xdx ; TP hàm lượng giác: Phép đổi biến đặc biệt : t  tan  sin(ax  b)    I n 1  sin ax  b 2t 1 t2 , cos (ax  b)  1 t2 1 t2 n 1 xdx, n  {0,1, 2, ,5}   I n  sin 2n xdx, n  {0,1, 2, ,6}   I n 1  cos n 1 xdx, n  {0,1, 2, ,6} 2  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095    cot  /4 xdx Thà đổ giọt mồ hôi nơi nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ƠN THI ĐẠI HỌC   I n  cos xdx, n  {0,1, 2, ,6} 2n  I n   cos 2n x dx, n  {0,1, 2, ,6}  I n    sin 2n x dx, n  {0,1, 2, ,6}  I n 1   cos n 1 dx, n  {0,1, 2, ,6} x  I n 1    sin n 1 x dx, n  {0,1, 2, ,6}  I  sin ax cos bxdx  10 I  cos ax cos bxdx Bài Khái quát phương pháp tính tích phân ví dụ minh họa Nếu đặt t  : Đặt t  n Nếu thấy n x k  (x   k ) x2  k  (x dx ;    dx   dx ax  b  ax  c  ax  b n x c x 3/2  x x2  x2   4) x  dx  x2  dx 3x   3x  x  x2  k 3 dx  x2 x2  ( x  1)(5  x) dx x3  x4  x  16  dx 3  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   dx  dx x 3 2 dx m x 4  dx ;     c  x ; c2  x2    12  dx ; : không TP có dạng sau:  n x 3 dx dx x2  dx Thà đổ giọt mồ nơi cịn nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ƠN THI ĐẠI HỌC I =ò dx ( x n + 1) n x n + 64  1 I =ò  /2 10   dx x3 x 3x + 2x -1 dx ; I = ò dx ; x x9 sin x  sin x cot xdx sin x  11   /2 12  13  /2 cos x  sin x dx  sin x  π /2 (sin x ± cos x) òa sin x cos x + b dx 14 cos x  cos5 x tan xdx cos5 x  x  x4 sin x + cos x dx π /4 sin x - ò dx ;  x  x4 dx ;  x2  TP phần không chuẩn 4  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095    x2 dx cos x  3cos x dx Thà đổ giọt mồ nơi cịn nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ƠN THI ĐẠI HỌC  /3 f ( x) dx ; sin , cos x  ln( x  x )  ( x  1)2 dx f ( x)  (ax  b)m dx    xe x  ( x  1)2 dx  x dx sin x  x tan xdx  f ( x) f ( x)   cos ax dx   sin ; cos2 dx ;   x   cos x dx   x  k dx ; x  9dx P ( x)  Q( x) dx,  Tích phân hàm hữu tỷ P ( x), Q( x) : đa thức) x 1 Bậc tử  Bậc mẫu: Chia tính TP  dx 2x 1 x2  x   x  dx 1 x3  x   x  dx ; x  3x   x  x  dx 0 x  3x   x  x  dx 1 Bậc tử  Bậc mẫu: Có TH đặc biệt sau: 1 dx ; Bậc có nghiệm phân biệt:  x  3x  ; x 1 2x  dx  2x  Bậc có nghiệm kép dạng tổng quát nghiệm bội:  1   x  3x  3x  3  x  dx;  x  x  dx ; ln TP hàm có e : đặt t  e : x x  1 x dx ; 2x e 2 ln   I  e ln x dx; I  x(1  ln x)(3ln x  2) e2  ln x  x ln x(3ln x  2)dx e 5  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   x  e2 x  4e2 x  dx ln TP có  ;ln x  : đặt t  ln x : e2   x2  4x   dx ; dx Bậc vô nghiệm :  x  x  dx ; x2 dx  x 1 ln  e x  3e x dx e x  3e x  Thà đổ giọt mồ hôi nơi nhỏ lệ mai sau Ngạn ngữ Anh CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ƠN THI ĐẠI HỌC Khơng đề Đỗ Trung Quân Ta dặn chiều mưa ảm đạm Hãy kéo rèm mở cánh cửa Tìm xám mưa tháng bảy Chút nắng –trời chùm cúc vàng hoa ln 20  e2 x   ex log   /2 Ta dặn ngồi khuya khoắt Đêm vây quanh bóng tối vây quanh Hãy cám ơn cuối vườn bơng lựu đỏ Cháy lập lịe lửa bình minh Ta dặn dù mai chia cắt Một chia ly làm ứa máu trái tim Ta đến đường bóng mát Học hàng mn thuở đứng chung tình Và khơng gió, mây để thấy trời bao la Và khơng phù sa rót mỡ màu cho hoa Sao khơng ca tình u đơi lứa Sao không mặt trời gieo hạt nắng vô tư  1 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 1 x òx ln  xdx ò1 + e -x e 4 2x ln x 1  4 x  dx TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN π /2 10 I = ò (2 + sin x)(2 x + 3)dx x ò 11 I = ( x + e )(3 x + 1)dx 12 I =ò(2 + ln(2 x + 1))(4 x + 1)dx 13 5e  2x  ( x  1) e dx  14 17 2x  e cos 3xdx  (2 x 3e  2 13 2   1) sin xdx e  (1  x )(3 x3  3ln x)dx  1 x   ln  x ln   x  dx   1/2 18   x  1 ln    dx  x  ln x  19    dx , t  x  1 dx 6  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095   3 3 1  ln  14  2 dx dx  t - xdx ln 12 Và không bão, giông, ánh lửa đêm đông 15 Và không hạt giống xanh đất mẹ bao dung Sao khơng đàn chim gọi bình minh thức giấc Sao không mặt trời gieo hạt nắng vô tư 16 Tác giả: Phạm Minh Tuấn Phần : Bài tập dx 8sin x  cos2 x  /2 cos x  3sin x dx    3sin x Ta dặn làm kiến nhỏ Học đường nhẫn nại vơ Và mở cửa tìm đời sống Học trời xanh mây trắng bao dung Khát Vọng Hãy sống đồi sông để biết yêu nguồn cội Hãy sống đồi núi vươn tới tầm cao Hãy sống biển trào, biển trào để thấy bờ bến rộng Hãy sống ước vọng để thấy đời mênh mông 4x  2x  sin 2x dx 3ln  10 ln  Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ơn Thi Đại Học           e2   20     dx ln x ln x  e   36  ln( x  1) 21  dx ( x  1)3 37 e2  /4 xdx cos x   ln xdx 24   /4 sin x x   /2  25  26  e2 27 4     ln 32 x tan xdx  /4 e 38  ln 2 x dx  ln 2 cos x  cos x dx cos x  (1  ln 3)  41 cos xdx 42   29  sin x  /  /2 44 45   46 32   /2 33 sin x cos xdx a cos x  b sin x sin x cos x  sin x  sin x cos xdx   /2 35 sin x.cos x dx  cos x dx   cos x ln  dx x  3cos x ab 47  sin x   cos2 x sin xdx dx 48 1  ln  18 3 1  tan x  cos x dx ln  2  49 x  cos x dx x   sin  ln 2  50 dx   tan x π /4 51 x ò1 + x tan x dx 10  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095     sin x cos x dx  cos x 34 x )3 sin xdx  /2   2 34 27  sin  dx sin x  sin x dx  3cos x (cos x  sin x)dx 30   sin x   31   cos x  sin x  (1  sin ln(2  3) sin x   /2 (cos x  sin x)dx 0  /2   3cos x   43 sin x  sin x dx cos x  /3     sin  ln 40 28 sin x  sin x dx cos x  /3    Tổng hợp dạng tập  18  /2 39   ln x dx  cos x ln x  ln(ln x) dx x   /2   ln 23  sin xdx   cos x xe  ( x  1)2 dx 22 1 /2 1 dx    cos x  /2 e2 e  ln  Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ơn Thi Đại Học             D.2003 Tính I  | x  x | dx dx 52   sin x  /4  53 3 dx  ( cos x  sin x)2  cos xdx 54    3cos x  55   x sin x cos xdx  56 dx  (sin x  cos x)2  /2 57   /2 58  sin x  sin x dx  3cos x  B2003 Tính I  3  D2004 Tính I  ln( x  x) dx e B2004 Tính I  A2004.Tính I  ln  ln 2  /4 3x  (3x  1) cos2 x dx  /4  /2  11 B2005 Tính I  12 A2005 Tính I   sin  /4  14 B2006.Tính I  x  cot x dx   3sin x  2cos x  (sin x  cos x )3 dx x x ,y 4 A2002 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 15 A2006 Tính I   sin x cos x  4sin x dx e  16 D2007 Tính I  x ln xdx 17 B2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  x ln x, y  0, x  e 18 A2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  (e  1) x, y  (1  e x ) x 19 CĐ 2008 Tính diện tích giới hạn y   x  x y  x 20 D2008 Tính I  y | x  x  |, y  x  11  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095     dx  2e  x  PHỤ LỤC Đề thi Đại học-Cao Đẳng 2002-2010 D2002 Khơng có B2002 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi: y  4 x  2 e ln  2  ln x  tan x sin x  sin x dx  3cos x 13 D2006 Tính I  ( x  2)e x dx   /2 sin x cos x dx  cos x  e x cos x dx 62 I =ò x -1 e +  cos x  cos xdx sin x 65  e  cos x dx x 1  1  /2 | x | dx 60  ( x  1)(e x  1) 1 64  3ln x ln x dx x  10 D2005 Tính I  cos x  sin x dx sin x  x x2  1 63 dx  A2003 Tính I  59 61  2sin x dx  sin x ln x dx x3  Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học           21 B2008 Tính   sin  x   4  I dx sin x  2(sin x  cos x  1)  x3  x  3x  dx 36 B.2012 Tính I   /6  22 A2008 Tính I  tan x dx cos x 23 CĐ 2009 Tính I   e 2 x e x 25 B2009 Tính I   x  e x dx  ln x  x(1  sin x )dx 38 CĐ 2012 Tính I  x dx x 1  x2   x ln x 39 A.2013 Tính I  dx 1  ( x  1) 37 D.2012 Tính I  0 24 D2009 Tính I   40 B.2013 Tính I  x  x dx dx ( x  1) dx 41 D.2013 Tính I   x 1 42 CĐ 2013 Tính I  1   26 A2009 Tính I  (cos3 x  1) cos xdx 1 1 27 CĐ 2010 Tính TP I  2x 1  x  dx e3 43 DBD1.2005 Tính I  e 3  28 D.2010 Tính TP I    x   ln xdx x 1 e ln x  x(2  ln x)2 dx 29 B.2010 Tính TP I  30 A 2010 Tính TP I   x  e  2x e dx  2e x x x 2x 1 dx 31 CĐ 2011 Tính TP I   x( x  1) 32 D.2011 Tính TP I   4x 1 dx 2x 1  1  x sin x dx cos x  34 A 2011 Tính TP  44 DBD2.2005 Tính I  ( x  1) cos xdx 45 DBD1.2007 Tính I  x  x  1 dx x2    46 DBD2 2007 Tính I  x cos xdx   47 DBD1.2006 Tính I  ( x  1) sin xdx  48 DBD2.2006 Tính I  ( x  2) ln xdx e  x sin x  ( x  1) cos x I dx x sin x  cos x 0  ln(1  x ) dx x3  50 DBB2 2005 Tính  (tan x  e sin x cos x)dx   51 DBB2 2006 Tính  (sin x  x) cos xdx 12  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095      49 DBB1.2005 Tính I  x ln xdx  35 A.2012 Tính I  ln x dx x ln x    33 B 2011 Tính TP I   dx 2x  Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học           52 53 DBB1.2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = x4 dx ( x  1)3 I 86   x 1  x  y x 1 I 87   /2 dx  2sin x  54 DBB2.2007 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  /8 = x2 y   x  /4 10 dx   x 1 55 DBB1.2006 Tính I  dx  cos x  I 88  2x  dx 56 DBA1.2007 Tính I    2x     ln   tan x  dx   I 94  I 95  x  sin x  x  dx 1   ln  ln x dx Góc thư giãn   10 I 96  Ta làm điều kỳ diệu lúc x làm thật tốt điều tầm thường  /2 cosn xdx Không đời lo cho đời 11 I102  chúng ta cosn x  sin n x Hãy dùng đơi mắt để nhìn, tai lắng nghe  hướng vào tim với khối óc bình thường 4k cos kx;sin kx dx biết đâu chân, thiện mỹ 12 I103  Ths Phan Công Thu Nguyên cos kx  sin kx DBA2.2007 Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng  e    (H) giới hạn đường 4y  x y = x Tính thể tích vật thể trịn quay (H) quanh trục Ox trọn vòng 13 I104   /4 DBA2.2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn 15 I113  I 71   I 72     cos  x   e  x dx 4   /4  x 1 x I 73     e dx x  1 I 74   (1  x ) 2010 (3x  2) dx 0 16 I124  xdx  3x  3x  1 17 I125  ( x  x  1)e dx x2  3sin x  4cos x  4sin x  3cos x dx; x sin x y  x  x  3, y  x   /2  x x dx e e 18 I129     x2 dx x ln x  ln x   dx  ( x  1) 19 I136    3e x 1  Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay 20 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 13  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095     n{2,3}  sin x  3cos x dx; I112  dx DBA1.2006 Tính I   2x 1 4x 1 Bài tập làm thêm  (cos kx  sin kx ) 14 cos kx;sin kx dx 4k Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học           1) Huế 99 x  1; x  e; y  0; y  2) y  ln x , y  4) x2 ;y  x2  x 2) y  xe ; y  0, x  1;(0  x  1) ĐHNNI-1999: y  1) y  3x ; y   x; x  3) ln x x y  log3 x; y   x; y  3) ĐHNN I-1997 y  tan x; y  0, x  0; x  4) ĐHTS TPHCM-2000 y   x ; y  x  5) A.02 y | x  x  |; y  x  ln x 6) y  x   ; y  x  1; x  e x B.07 y  x ln x; y  0; x  e 21 Tính thể tích khối trịn xoay Cho hình phẳng giới hạn đường sau quay hình phẳng quanh Ox khối trịn xoay Tính thể tích khối trịn xoay Phương pháp đánh giá trực tiếp hàm f ( x) đoạn [a, b] Phương pháp: b + Nếu f ( x) ³ 0, "x Ỵ [a, b] I =ị f ( x) dx a b + Nếu f ( x) £ 0, "x Ỵ [a, b] I = - f ( x) dx ị a Ví dụ minh họa: Tính tích phân sau: 2 I =ò x - 1| dx =ò( x - 1)dx = | 1 (Vì x - ³ 0, "x Ỵ [1; 2] ) 1 -1 -1 J =ò| x - 1| dx = - ( x - 1)dx = ò (Vì x - £ 0, "x Ỵ [-1;1] ) Phương pháp xét dấu hàm f ( x) đoạn [a; b] Phương pháp B1 Tìm nghiệm f ( x) = (1) B2 Lập bảng xét dấu Giả sử (1) có nghiệm x0 ; x1 ; x2 B3 Biểu diễn tích phân cần tính tổng tích phân đoạn xác định x1 x2 b a x1 x2 Vậy I =ò f ( x)dx - f ( x)dx + f ( x)dx ị ị 14  Ths Phan Cơng Thu Nguyên 0933 668 095      Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ơn Thi Đại Học           Ví dụ minh họa: Tính tích phân 5 0 I =ị x - x + | dx = | f(x) | dx | ò éx = Cho x - x + = Þ ê êx = ë Xét dấu: Vậy: I =ò f ( x)dx -ò f ( x)dx +ị f ( x)dx ỉ x3 ổ x3 ử3 = ỗ - x + 3x ữ | - ỗ - x + 3x ữ | ỗ3 ữ0 ỗ ữ1 ố ứ ố ứ ổx 56 + ỗ - x + 3x ữ | = ỗ3 ÷3 è ø Phân rã đoạn [a, b] nút nghiệm phương trình f ( x) = Phương pháp: B1 Tìm nghiệm f ( x) = (1) B2 Chọn nghiệm x1 ; x2 Ỵ [a; b] B3 Phân rã tích phân thành tổng tích phân : x1 x2 b a x1 x2 I =ò f ( x) dx + f ( x) dx + f ( x) dx ị ị ì f ( x1 ) = f ( x2 ) = ï Vì í ï f ( x ) ¹ 0, "x Ỵ (a; x1 ) È ( x1 ; x2 ) È ( x2 ; b) ỵ Nên tích phân viết lại x1 x2 b a x1 x2 I = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx + ò f ( x)dx d Chứng minh: Xét I =ò| f ( x) |dx với f (c) = f (d ) = 0, f ( x) ¹ 0, "x Ỵ (c, d ) c d Th1: "x Ỵ (c, d ) : f ( x) > Þ I = ịf ( x)dx c Th2: "x Î (c, d ) : f ( x) < 15  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095     Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học           d d Þ I = - f ( x)dx = ị f ( x) dx (đpcm) ò c c Xét lại ví dụ trên: 5 0 I =ị x - x + | dx = | f(x) | dx | ò éx = Cho x - x + = Þ ê êx = ë Vậy I = ò f ( x)dx +òf ( x)dx +òf ( x)dx ỉ x3 ỉ x3 ổ x3 56 = ỗ - x + 3x ữ | + ỗ - x + 3x ữ | + ỗ - x + 3x ữ | = ỗ3 ữ0 ç ÷1 ç ÷3 è ø è ø è ø Tính tích phân I =ị x - x + xdx Gợi ý: 3 1 I =ò x( x - x + 4)dx =ò x( x - 2) dx = | x - | xdx ị 7π Tính tích phân I = ò + sin xdx - π 7π 7π Gợi ý: I = ò (sin x + cos x ) dx = ò| sin x + cos x |dx - π - π Tính tích phân A2002 =ị| x - x + | - ( x + 3) dx Gợi ý: A2002 =ò f ( x) | dx | Làm theo phương pháp phân rã Tính Diện Tích hình Phẳng Định lý: Nếu hàm số f(x) , g(x) liên tục đoạn [a,b] diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x), g(x) hai đường thẳng x=a, x=b b S =ò f ( x) - g ( x) | dx (đvdt) | a Hình minh họa Giả sử có hình 16  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095     Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học           x2 b S =ò f ( x) - g ( x) dx =ò[ f ( x ) - g ( x)] dx a a x3 b x2 x3 + [g ( x ) - f ( x)] dx + [ f ( x) - g ( x )] dx ò ò Nếu khơng có hình trên, ta tính phương pháp tích phân chứa trị tuyệt Ví dụ minh họa Tính diện tích hình phẳng giới hạn miền D ì y = x; y = ï D : í ï x = ±2 ỵ Diện tích hình phẳng giới hạn miền D là: 2 S =ò| x - | dx =ò| x | dx -2 -2 =ò| x | dx +ò x | dx | -2 0 = òxdx +òxdx = -2 x2 x2 | + | -2 = -2 + = (dvdt) D :{ y = x - x + 12 x - 4; y = 0} PTHĐGĐ: éx = ê x - x + 12 x - = Û ê êx = ë Diện tích hình phẳng giới hạn miền D là: ( S D =ò x - x + 12 x - dx ) éx4 ù 27 = ê - 3x3 + x - x ú | = ( dvdt ) ê2 ú 32 ë û2 17  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095     Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ơn Thi Đại Học            x , 0 x3   1,  x  12   x  10 , 12  x  14 D: y    2 x  26, 13  x  14 0,  x  13    12 13 14 ỉ x - 10 é x - 10 ự x ữ dx +ũờ dx +ũ dx +ũỗ - (2 x - 26) ú dx = 20( dvdt ) ỗ ữ ỳ ứ ỷ 12 è 13 ê S =ò D :{ y = x3 ; y = x} éx = PTHĐGĐ: x = x Û ê êx = ±1 ë Diện tích hình phẳng giới hạn miền D là: -1 -1 -1 S =ò| x - x | dx = | f ( x) | dx ò = ò f ( x )dx +ị f ( x) dx -1 ỉ x x ỉ x x 1 -1 = (dvdt) = ỗ - ữ | + ỗ - ữ| = + ỗ ữ -1 ỗ ữ 4 è ø è ø A 2002 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y =| x - x + |, y = x + Gợi ý: Cách 1: Dùng phương pháp xét dấu Cách 2: Dùng phương pháp phân rã đoạn [a;b] Cách 3: Vẽ đồ thị hàm hệ trục Oxy PTHĐGĐ: ì x ³ -3 ï éx = ïé | x - x + |= x + Û í x - x = Þ ê ê ê ïê ëx = ï ëx - x + = ỵ S =ị| x - x + | - ( x + 3) dx (Xem trên) 18  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095     Chấp        Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận? Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ơn Thi Đại Học           B.2002 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = - x2 x2 ;y= 4 Cách 1: Dùng phương pháp xét dấu Cách 2: Dùng phương pháp phân rã đoạn [a;b] Cách 3: Vẽ đồ thị hàm hệ trục Oxy PTHĐGĐ: S = ò 4- 2 = ò 4- -2 éx = x2 x2 = Û x - x - 8.16 = Û ê êx = -16 4 ë 4- x2 x2 dx 4 2 x2 x2 dx - ò dx -2 = M - N (*) Với N= x2 ò dx = -2 2 2 M= ò -2 x2 12 dx = ò 16 - x dx , Đặt x = 4sin t -2 Þ M = 2π + Thay M, N vào (*) tìm S = 2π + 3 A 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = (e + 1) x; y = (1 + e x ) x Cách 1: Dùng phương pháp đánh giá Cách 2:Dùng phương pháp xét dấu Cách 3: Dùng phương pháp phân rã đoạn [a;b] Cách 4: Vẽ đồ thị hàm hệ trục Oxy éx = PTHĐGĐ: (e + 1) x = (1 + e x ) x Û ê êx = ë 1 S =ò(e + 1) x - (1 + e x ) x dx =ò e - e x | xdx | 0 x Vì £ x £ Þ e £ e £ e e-2 Vậy: S =ò(e - e x ) xdx = 19  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095     ... 21 Tính thể tích khối trịn xoay Cho hình phẳng giới hạn đường sau quay hình phẳng quanh Ox khối trịn xoay Tính thể tích khối trịn xoay Phương pháp đánh giá trực tiếp hàm f ( x) đoạn [a, b] Phương. .. ln x   dx  ( x  1) 19 I136    3e x 1  Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay 20 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 13  Ths Phan Công Thu Nguyên 0933... Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học           B.2002 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = - x2 x2 ;y= 4 Cách 1: Dùng phương pháp xét dấu Cách 2: Dùng phương pháp phân rã đoạn [a;b] Cách