TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 1 DANH SÁCH THÀNH VIÊN: Phạm Văn Vũ Phan Long Việt Đoàn Ngọc Thuận Trƣơng Hoàng Nhu ĐỀ TÀI 9: TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. ĐẶT VẤN ĐỀ -Xét tích phân xác định của một hàm số f(x) trong khoảng [a,b] : I = b a f(x)dx -Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), thì I có thể tính một cách đơn giản thông qua công thức Newton-Leibniz: I = b a f(x)dx = F(b) - F(a) -Thực tế thì chúng ta thƣờng khó khăn khi tìm nguyên hàm hoặc nguyên hàm quá phức tạp không thể xác định đƣợc. -Trong những trƣờng hợp này ngƣời ta phải tính gần đúng . Có nhiều cách để tính gần đúng tích phân, ví dụ có thể dùng ngay định nghĩa của tích phân : I = 1 ii 0 f(x ) x lim n n i -Tuy nhiên tổng Darboux hội tụ rất chậm, do đó để đạt đƣợc độ chính xác cao đòi hỏi một khối lƣợng tính toán rất lớn. -Sau đây là một số phƣơng pháp tính gần đúng tích phân hay đƣợc dùng. Ý tƣởng cơ bản của phƣơng pháp này là chia nhỏ khoảng [a,b] cần lấy tích phân, sau đó trên mỗi khoảng nhỏ này ta xấp xỉ hàm số bằng một đa thức. Với các đa thức ta có thể dùng nguyên hàm của chúng để tính tích phân, sau đó ta cộng các tích phân thành phần để đƣợc xấp xỉ của tích phân toàn thể. Công Thức hình thang Công thức parabol II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: CƠ SỞ LÝ LUẬN SƠ ĐỒ TỔNG QUÁT CHO PHƢƠNG PHÁP : SỐ ĐOẠN CHIA SAI SỐ H,M 2 ,M 4 Bảng giá trị f(x) Tích Phân Gần Đúng Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 2 1. Công thức hình thang a.Công thức hình thang và sai số Để tính gần đúng b a f(x)dx ta thay hàm số dƣới dấu tích phân f(x) bằng đa thức nội suy đi qua hai điểm A(a,f(a)) và B(b,f(b)).và ta có: b 1 a f(x)dx (x)dx b a P Để Tính tích phân xác định ở vế phải ta đổi biến số: dx=(b-a)dt,t biến thiên từ 0 đến 1. b1 2 1 1 0 0 0 0 0 a0 t f(x)dx (x)= ( )(b-a)dt=(b-a)(y t+ y ) 2 b t t a P y t y Trong đó : y 0 =f(a); y 0 =y 1 -y 0 =f(b)-f(a) b-a f(x)dx (f(a)+f(b)) (I) 2 b a Vậy (I) gọi là công thức hình thang: Xác định sai số: R= ( ) ( ( ) ( )) 2 b a ba f x dx f a f b giả thiết y=f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên[a,b].M là hàm số h=b-a R=R(h)= ( ) [ ( ) ( )] 2 ah a h f x dx f a f a h Đạo hàm theo h 2 lần ta có: ' ' ' 11 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 2 2 2 hh R h f a h f a f b f a h f a h f a f a h '' ' ' '' '' 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 hh R h f a h f a h f a h f a h Mà: R(0)=0;R’(0)=0 Áp dụng định lý trung bình thứ hai của tích phân xác định: 2 ' ' '' '' '' '' 1 1 1 0 0 0 11 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ); ( , ) 2 2 4 h h h h R h R R t dt tf a t dt f c tdt f c c a a h Và 3 ' 2 '' '' 2 '' 1 1 1 1 0 0 0 11 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ); ( , ) 4 4 12 h h h h R h R R t dt t f c dt f c t dt f c c a a h Vậy y=f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên[a,b] . Vây Ta có công thức hình thang sau và sai số: 3 '' ( ) [ ( ) ( )] ( )( ) 2 12 b a hh f x dx f a f b f c II Với h=b-a và c thuộc(a,b) Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 3 b.công thức hình thang tổng quát và sai số: - Ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn con bằng nhau: Chia [a, b] n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b– a)/n (n+1) điểm chia: x 0 = a < x 1 = a + h < x 2 = a + 2h < … < x n = b - Xét bảng số liệu sau: - Xấp xỉ hàm f(x) trên đoạn [x 0 ,x 1 ] bởi đa thức nội suy bậc nhất trên hai mốc nội suy [x 0 ,x 1 ] P(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) = y 0 0 1 1 0 1 1 0 xx xx y x x x x f(x) P(x) 11 00 x 01 x y +y f(x)dx ( )dx =h[ ] 2 x x Px - Mặt khác chúng ta làm nhƣ vậy nhiều đoạn sau đó cộng lại ta đƣợc: 0 1 2 3 2 1 1 12 y +y y +y y +y f(x)dx h[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 b n n n n a y y y y h h h h Nhƣ vậy 0n 1 n-1 y +y f(x)dx h( y y ) 2 b a I (III) Vậy (III) đƣợc gọi là công thức hình thang tổng quát: Xác định sai số: 01 3 " 1 i 1 1 1 1 h f(x)dx (y y ) ( ( ) ( )) ( ) 2 2 2 ni i xx n n n i i i i i i i xx hh R f x dx y y f c (IV) Với c i (x i-1 ,x i ) Xét trung bình cộng: " 1 1 () n i i fc n Và gồm gía trị nhỏ nhất m 2 và giá trị lớn nhất M 2 của đạo hàm cấp hai f”(x) trên [a,b],( m 2, M 2 giá trị trung gian): m 2 M 2 Do đó tìm đƣợc điểm c [a,b] sao cho =f”(c) hay: "" 1 ( ) ( ) n i i f c n nf c Thay vào (IV) ta đƣợc: x x 0 x 1 y y 0 y 1 Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 4 R(h)= 3 2 '' " () ( ) ( ) 12 12 nh b a h f c f c Vậy công thức tổng quát hình thang tổng quát và sai số: 2 " 0n 1 n-1 y +y ( ) f(x)dx h( y y ) ( ) 2 12 b a b a h I f c c. Ví dụ: Dùng công thức hình thang tổng quát và tính gần đúng : 1 1 0 dx x I Giải Ta có : h = 10 10 =0,1 Kết quả tính toán trong bảng sau. Theo công thức hình thang tổng quát ta có : I 0.1 ( 1.00000 0.50000 2 + 0.90909 + 0.83333 + 0.76923 + 0.71429 + 0.66667 + 0.62500 + 0.58824 +0.55556 + 0.52623) 0.69377 Sai số đƣợc xác định là : ()fx = 1 1 x (1+x) -1 '( )fx - (1+x) -2 i x i Y 2j-i Y 2j 0 0.0 Yo =1,00000 1 0.1 0.90909 2 0.2 0,83333 3 0.3 0.76923 4 0.4 0,71429 5 0.5 0.66667 6 0.6 0,62500 7 0.7 0.58824 8 0.8 0,55556 9 0.9 0.52623 10 1.0 Y 10 =0,50000 1 =3.45955 2 =2.72818 Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 5 ''( ) ( 1)( 2)fx (1+x) -3 = 3 2 (1 )x 2 "" 2 () max ( ) 2 à max ( ) 12 2.(0,1) (1 0) 0,00167 0,002 12 b a h f x v R f x R Vậy I = 0.694 0.002 d. Chương trình minh họa Thuật toán đƣợc thực hiện trong chƣơng trình có khác chút ít so với thuật toán đã trình bày ở trên. Xuất phát từ n=1, h=b-a, ta sẽ tăng n lên gấp đôi tại mỗi bƣớc tính toán. Quá trình tính toán sẽ dừng lại nếu sự khác biệt của tích phân xấp xỉ ở bƣớc hiện tại so với bƣớc trƣớc đó nhỏ hơn một số epsilon cho trƣớc. Ta sẽ phân tổng tích phân thành 3 tổng s0,s1 và s2. Tổng s0 = (f(a)+f(b))/2; mỗi lần tăng n lên gấp đôi thì ta chỉ cần tính lại tổng s2 ở các vị trí 1,3,5, ,n-1. Tổng s1 là tổng của các giá trị hàm tại các điểm không phải là đầu mút. Sau khi tính lại s2, ta tính lại s1 bằng phép gán s 1 =s 1 +s 2 Và tổng xấp xỉ của tích phân là I n = h(s 0 +s 1 ) Sau đây là đoạn chính của chƣơng trình thể hiện ( mô tả) thuật toán /*Phƣơng pháp tính xấp xỉ tích phân bằng phƣơng pháp hình thang trên khỏang [a,b]*/ /*Phƣơng pháp hình thang tính tích phân xác định trong khỏang [a,b]. Biến gttp là giá trị xấp xỉ của tích phân tính đƣợc. Trả về giá trị true nếu đã đạt đƣợc độ chính xác*/ int hinhthang(double (*f)(double),double a,double b,double >tp, Double&err,int &khoangchia) {clrscr(); Double s 0 ,s 1 ,s 2 ,h,tp,tp1;int k, nkc,i; Kvecto x; Nkc=1; h=b-a s0=(f(a)+f(b))/2 s1=0; tp=(s0+s1)*h; do {tp1=tp; nkc=nkc*2; h=h/2; s2=0;//bat dau tinh tong tai cac diem moi for(i=1; i<nkc;i+=2)s2+=f(a+i*h); s1=s1+s2; tp=h*(s0+s1); Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 6 if(nkc>nmax) {cout<<endl<< “tich phan chua hoi tu voi “<<nmax<<” khoang chia”; delay(1000);return false; } } While(fabs(tp-tp1)>epsi ); Err=fabs(tp-tp1);khoangchia=nkc;gttp=tp; Return(true); } 2.Công thức parabol (Simsơn) a. công thức simsơn và sai số Ta chia đoạn [a;b] thành 2n đoạn con bằng nhau a = x0 < x1 <…< x2n = b xi = a + ih, 2 ba h n yi = f(xi) i = 0; 1; 2; …; 2n Để tính tích phân coi khoảng nối 3 điểm liên tiếp nhau là 1 đoạn (nhƣ vậy qua 2n + 1 điểm ta có n đoạn), đoạn thứ i( i = 0, 1, 2,…,n) gồm các điểm x 2i , x 2i+1 , x 2i+2 , và trong mỗi đoạn con ta dùng đa thức nội suy bậc 2 p 2 (x). Giả sử các điểm của một đoạn con là x 0 , x 1 , x 2 và các giá trị f(x) tƣơng ứng là y 0 , y 1 , y 2 , ta có: 22 00 2 ( ) ( ) xx xx f x dx p x dx Trong đó: 22 2 1 1 22 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 22 o o o o o o o o o o y y x x y p x y x x x x x x y y x x x x h h h h Đặt ; ay x o o xx t h x th h ta có: dx = hdt, Nếu x = xo thì t =0, x = x 2 thì t = 2. Nhƣ vậy 2 0 22 2 2 3 2 2 2 00 2 0 1 2 2 1 11 ( ) ( ) / 3 / 2 0 2 2 2 1 2 2 8/3 4 / 2 4 ( ) 23 x o o o o o o x o o o t tt f x dx p x dx h y t y y dt h ty t y t t y t h h y y y y y y I Vậy (I) đƣợc gọi là công thức Simpson: Xác định sai số 0 1 2 ( ) ( 4 ) 3 b a h R f x dx y y y Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 7 Ta giả thiết rằng hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp bốn liên tục trên [a, b]. cố định điểm giữa x 1 và xem R là hàm số của h 0h 1 1 1 1 1 ( ) 4 3 xh xh h R R h f x dx f x h f x f x h Đạo hàm 3 lần theo h đẳng thức trên, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 ' 4 ' ' 33 24 ' ' ' 3 3 3 21 '' ' ' ' ' '' '' 3 3 3 1 ' ' '' 33 h R h f x h f x h f x h f x f x h f x h f x h h f x h f x h f x f x h f x h h R h f x h f x h f x h f x h f x h f x h h f x h f x h f 11 1 1 1 1 1 1 11 '' 11 ''' '' '' '' '' ''' ''' 3 3 3 ''' ''' 3 x h f x h h R h f x h f x h f x h f x h f x h f x h h f x h f x h Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrăng) đối với f’’’(x) ta có 2 4 3 3 1 1 ''' 2 , , 3 h R h f C C x h x h Mà: R(0) = 0; R’(0) = 0; R’’(0) = 0 Từ đó áp dụng định lý trung bình thứ hai của tích phân xác định. Ta nhận đƣợc: 4 4 4 2 2 3 3 2 2 2 1 1 0 0 0 4 4 4 3 3 4 2 1 1 1 1 1 0 0 0 4 4 4 4 4 5 1 0 0 0 2 2 2 '' '' 0 '''(t) ;C , 3 3 9 2 2 1 ' '(0) '' ; , 9 9 18 1 1 1 (0) ' 18 18 90 h h h h h h h h h R h R R dt t f C f C t dt h f C x h x h R h R R t dt t f C dt f C t dt h f C C x h x h R h R R t dt t f C dt f C t h f 11 ,C C x h x h Tóm lại, với giả thiết hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp bốn liên tục trên [a, b]. Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 8 Vậy Ta có công thức Simsơn và sai số: 4 5 1 4 3 2 90 b a h a b f x dx f a f f b h f C (IV) Với ,, 2 ba h c a b b.Công thức Simsơn tổng quát và sai số Để tính gần đúng b a f x dx ta chia [a,b] thành n = 2m đoạn bằng nhau (nghĩa là n là số nguyên, dƣơng và chẵn): 0 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 [ , ],[ , ], ,[ ,x ],[ , ] m m m m x x x x x x x Có độ dài là : 2 b a b a h nm bởi các điểm chia: 0 2 a, a ih (i 1,2 1), i nm xx m x x b Ký hiệu: , 0, ii y f x i n khi đó: 2 24 02 22 m x xx b a x x x m f x dx f x dx f x dx f x dx II Đối với mỗi tích phân xác định ở vế phải của (II) ta tính gần đúng bằng công thức Simsơn (I), ta nhận đƣợc: 0 1 2 2 3 4 2 2 2 1 2 ( 4 ) ( 4 ( 4 ) 3 3 3 b m m m a h h h f x dx y y y y y y y y y ( ) 4( ) 2( ) 0 2 1 3 2 1 2 4 2 2 3 b h f x dx y y y y y y y y m m m a Hay: 0 2 1 3 2 1 2 4 2 2 ( ) 4( ) 2( ) (III) 3 b m m m a h f x dx y y y y y y y y Công thức (III) đƣợc gọi là công thức SimSon tổng quát. Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 9 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp bốn liên tục trên [a;b] thì do (IV), sai số của công thức SimSon tổng quát là: 22 0 2 2 5 4 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 ( ) 4 ) ( ) 4 ( ) 3 3 90 mk k xx m m m k k k k k k k k k k xx h h h R f x dx y y y f x dx y y y f c Với 2 2 2 ( ; ) k k k c x x Lập luận tƣơng tự trƣờng hợp công thức hình thang tổng quát, vì (4) ()fx , theo giả thiết, liên tục trên [a;b] nên tìm đƣợc điểm [ ; ]c a b sao cho: (4) (4) 1 1 ( ) ( ) m k k f c f c m Thay vào công thức ta đƣợc: 54 44 () ( ) ( ), [ , ] 90 180 mh b a h R f c f c c a b Tóm lại, với giả thiết hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp bốn liên tục trên [a;b] và chia đoạn lấy tích phân [a;b] thành n = 2m đoạn bằng nhau, có độ dài 2 b a b a h nm Vậy Ta có công thức SimSon tổng quát và sai số: 4 (4) 2 1 3 2 1 2 4 2 2 () ( ) 4( ) 2( ) ( ), [ ; ] 3 180 b o m m m a h b a h f x dx y y y y y y y y f c c a b c.Ví dụ : 1 1 0 dx x I Giải Ta có : h = 10 10 =0,1 Kết quả tính toán trong bảng sau. Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS. Trịnh Công Diệu Page 10 Nếu dung công thức Simson tổng quát, ta có : I 0.3 1 ( 1.00000 + 0.50000 + 4.3,45955 + 2.2,72818) = 0,69315 Sai số đƣợc xác định là : ()fx = 1 1 x (1+x) -1 '( )fx - (1+x) -2 ''( ) ( 1)( 2)fx (1+x) -3 = 3 2 (1 )x '''( ) ( 1)( 2)( 3)fx (1 + x )-4 (4) 5 ( )( 1)( 2)( 3)( 4)(1 )f x x = 5 24 (1 )x 4 (4) (4) [0,1] [0,1] 4 5 () ( ) 24 à ( ) 180 24(0,1) (1 0) 1,3.10 0,00002 180 max max xx b a h f x v R f x R Vậy I=0,69315 0,00002 i x i Y 2j-i Y 2j 0 0.0 Yo =1,00000 1 0.1 0.90909 2 0.2 0,83333 3 0.3 0.76923 4 0.4 0,71429 5 0.5 0.66667 6 0.6 0,62500 7 0.7 0.58824 8 0.8 0,55556 9 0.9 0.52623 10 1.0 Y 10 =0,50000 1 =3.45955 2 =2.72818 [...]... while(fabs(tp-tp1)>epsi); err=fabs(tp-tp1);khoangchia = nkc;gttp=tp; return true; } III:Tài Liệu Tham khảo Thƣ viện trƣờng đại học sƣ phạm kỉ thuật Thƣ viện trƣờng đại học bách khoa CHƢƠNG TRÌNH Tính gần đúng tích phân xác định # include Page 11 Nhóm 11 – lớp VB2 TOÁN K1 GVHD: TS Trịnh Công Diệu # include "conio.h" # include "math.h" # define PI 3.14159 float d[10];int n; double g(double x) { return . tạp không thể xác định đƣợc. -Trong những trƣờng hợp này ngƣời ta phải tính gần đúng . Có nhiều cách để tính gần đúng tích phân, ví dụ có thể dùng ngay định nghĩa của tích phân : I = 1 ii 0 f(x. Phan Long Việt Đoàn Ngọc Thuận Trƣơng Hoàng Nhu ĐỀ TÀI 9: TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. ĐẶT VẤN ĐỀ -Xét tích phân xác định của một hàm số f(x) trong khoảng [a,b] : I = b a f(x)dx. /*Phƣơng pháp hình thang tính tích phân xác định trong khỏang [a,b]. Biến gttp là giá trị xấp xỉ của tích phân tính đƣợc. Trả về giá trị true nếu đã đạt đƣợc độ chính xác* / int hinhthang(double