Phương pháp tính gần đúng tích phân

Lời cảm ơn Trong suốt thời gian học tập Khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy giáo, cô giáo, em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, em xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy giáo, giáo Khoa Toán – người giúp đỡ, chăm lo dìu dắt chúng em trưởng thành hơm Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy: Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu suốt thời gian em thực khóa luận Sinh viên Nguyễn Thị Ngân Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân em trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Nguyễn Thị Ngân Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Lời nói đầu Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.2 Các quy tắc tính sai số 1.3 Sai số tính tốn sai số phương pháp B ĐA THỨC NỘI SUY 1.4 Đa thức nội suy Lagrange C TÍCH PHÂN 1.5 Tích phân Chương 2: Giải gần tích phân 2.1 Mở đầu 2.2 Công thức hình thang 2.3 Công thức Simpson 2.4 Công thức Newton – Cotes 2.5 Công thức Chebysev 2.6 Công thức Gauss 2.7 Giải gần tích phân bội phương pháp Monte – Carlo Chương 3: Ứng dụng Kết luận Tài liệu tham khảo Lời nói đầu Tốn học nhu cầu giải tốn có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết tốn học ứng dụng Khi nói đến tốn học ứng dụng khơng thể khơng nhắc đến Giải tích số Giải tích số mơn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ hàm số, toán tối ưu Sự đời phát triển Giải tích số góp phần quan trọng việc tạo thuật giải toán thực tế như: tốn ngược lĩnh vực thăm dò, chuẩn đốn, nhận dạng… Ngày nay, với phát triển Tin học kiến thức Giải tích số trở nên cần thiết Chúng ta chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực Giải Tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính, người ta đề xuất phương pháp hữu hiệu xử lí hệ lớn, thưa kĩ thuật ném ma trận, kĩ thuật tiền xử lí ma trận… Trong thực tế, nhiều ta phải tính tích phân xác định hàm số khơng biết ngun hàm nó, dùng định nghĩa độ xác đạt khơng cao mà phải thực khối lượng tính tốn lớn Ngoài ra, nhiều trường hợp, hàm số cho dạng bảng nên khái niệm nguyên hàm trở nên vơ nghĩa Tuy nhiên, Giải tích số cung cấp cho phương pháp đơn giản để tính gần tích phân xác định mà độ xác khơng Vì vậy, với niềm u thích mơn Giải tích số em lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp em “ Phương pháp giải gần tích phân” Khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Giải gần tích phân Chương 3: Bài tập CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần – Sai số tương đối sai số tuyệt đối Ta gọi x số gần số x∗ x không sai khác nhiều so với x∗ Hiệu số ∆= |x∗ − x| gọi sai số thực x giá trị x∗ nên xác định ∆ Mặt khác ta tìm số ∆s ≥ cho |x∗ − x| ≤ ∆s Khi đó: ∆s gọi sai số tuyệt đối x ∆s ð = gọi sai số tương đối x s |x| Suy ∆s= |x| ðs công thức thể mối liên hệ sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.1.2 Quy tròn số sai số quy tròn a, Hiện tượng quy tròn số Khi gặp số có nhiều số đằng sau dấu phẩy, người ta bỏ vài chữ số cuối, việc làm gọi quy tròn số Mỗi quy tròn số, ta tạo sai số gọi sai số quy tròn tuyệt đối b, Sai số quy tròn tuyệt đối Gọi x sai số gần x∗ xr số quy tròn x Thế số 8s cho |x − x r | ≤ 8s gọi sai số quy tròn xr làm Vì |x∗ − x r | ≤ |x∗ − x| + |x − x r | ≤ ∆s + 8s nên ta thấy tròn số sai số tuyệt đối tăng thêm 8s Gọi x số gần x∗ xr số quy tròn x Thế số 8s cho |x − x r | ≤ 8s 1.1.3 Cách viết số gần a, Chữ số có nghĩa Chữ số có nghĩa tất chữ số khác khơng, kể số khơng kẹp hai chữ số khác khơng đại diện cho hàng giữ lại Chẳng hạn 0,000014060 có năm chữ số có nghĩa 1;4;0;6;0 b, Chữ số đáng tin Mọi chữ số thập phân x biểu diễn dạng p x = ± ) αs 10s s=p–q αs số nguyên từ đến Gọi x chữ số gần x∗ với sai số tuyệt đối ∆s Thế αs gọi chữ số hay chữ số đáng tin ∆s≤ 0,5 10s ∆s≥ 0,5 10sthì αs chữ số đáng nghi c, Cách viết số gần Gọi x chữ số gần x∗ với sai số tuyệt đối ∆s Thế có hai cách viết số gần x Cách 1: x ± ∆s x(1 ± ðs) Cách 2: Viết theo quy ước chữ số có nghĩa x chữ số đáng tin 1.2 Các quy tắc tính sai số 1.2.1 Mở đầu Xét hàm số u hai biến x y có dạng u = ƒ(x, y) Cho biết sai số x;y Hãy lập cơng thức tính sai số u Ta kí hiệu ∆1, ∆2, ∆3 số gia x;y;u dx, dy, du vi phân x;y;u ∆s, ∆y , ∆u sai số tuyệt đối x;y;u Vì |x∗ − x| ≤ ∆s nên ta ln có |∆1| ≤ ∆s ∆2 ≤ ∆y Ta phải tìm ∆u để có |∆3| ≤ ∆u 1.2.2 Sai số tổng u = x + y Ta có ∆3= ∆1 + ∆2 suy ∆3≤ |∆1| + |∆2| nên ∆3≤ ∆s + ∆y Ta chọn ∆s+ y = ∆s + ∆y để có |∆3| ≤ ∆u Do ta có quy tắc: Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng Chú ý N ếu u = x − y rới x rà y dấu tℎì ð = = u ∆u |u| ∆s + ∆y |x − y | Cho nên |x − y| bé sai số tương đối lớn Vì vậy, tính tốn người ta tìm cách để tránh phải trừ số gần 1.2.3 Sai số tích u = xy Ta có ∆u ≈ du = ydx + xdy ≈ y∆1 + x∆2 Suy |∆3| ≤ |y||∆1| + |x||∆2| ≤ |y|∆s + |x|∆y Suy ∆u = |y|∆s + |x|∆y ∆u ∆y Do ðu = = |u | |y|∆s + |x| |x||y| = ∆s |x | + ∆y | y| = ðs + ðy Tức ðsy = ðu = ðs + ðy Vậy sai số tương đối tích tổng sai số tương đối thừa số tích Đặc biệt ta có ð(sn ) = nðs với n nguyên dương 1.2.4 Sai số thương u = x y ,y≠ Tương tự trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối thương tổng sai số tương đối số hạng: ðs⁄y = ðs + ðy 1.2.5 Công thức tổng quát n &ƒ Cℎo u = ƒ(x1, x2, … , xn ) ta có ∆u = ) | | ∆si &x i n n i=1 1 r | ∆ ∆u ∆u &ƒ | Suy ðu = = = ) | ) |ƒ si si &xi |u| |ƒ| |ƒ| ∆si= ƒ| i=1 | n =) ƒrs | i i=1 | ∆ ƒ i=1 n & lnƒ| ∆ =) | si i=1 &xi si 1.3 Sai số tính tốn sai số phương pháp Khi giải gần toán phức tạp ta phải thay toán cho toán đơn giản giải thơng qua việc thực phép tính thơng thường tay hay máy tính điện tử Phương pháp thay tốn phức tạp toán đơn giản gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Để giải tốn đơn giản ta phải thực phép tính thơng thường, ta ln phải quy tròn kết không gian Sai số tạo tất lần quy tròn gọi sai số tính tốn Sai số cuối tổng hợp hai loại sai số phương pháp sai số tính tốn Chú ý Sai số tổng hợp cuối có phần sai số phương pháp sai số tính tốn.Vì vậy, phải ý điều chỉnh cho sai số cuối nhỏ sai số cho phép B ĐA THỨC NỘI SUY Trong thực tế, nhiều ta phải tìm hàm y = f(x), biết giá trị yi điểm xi ∈ [a, b](i= 0,1, … , n).Cũng có trường hợp biểu thức giải tích f(x) cho cồng kềnh Khi dùng phép nội suy ta b) Xét trường hợp hàm f đổi dấu – b ≤ F(£) ≤ B Đặt F (ξ) = −b + (B + b)F˜ (ξ) Ta có: ƒ F (ξ ) d£ = −bvol(S) + (B + b) ƒ F˜ (ξ )d ξ, S S ≤ F˜ ≤ v tích ph ân ƒ F˜ (ξ)d ξ c ó th ể tính theo s đồ S nêu phần (a) Để đánh giá sai số cơng thức (2.17), coi B = n IO = P (M i ∈V)≃ N Áp dụng bất đẳng thức Chebysev, ta được: n − IO|< s) ≥ IO(1 − ≥ − P (|N − IO) ε 2N ε 2N n = δ th ì P (|N − IO|< s) ≥ − δ 4ε N 1 Khi δ cố định ta th ε = = O( ) √ δN √N N ếu ch ọn Điều chứng tỏ phương pháp Monte – Carlo hội tụ chậm.Để tăng độ xác lên 10 lần, khối lượng phép thử phải tăng lên 100 lần N ếu cho trước ε, δ th ì số ph ép th N = –3 Ví dụ ε = 10 ; δ = 10 –2 ε2 δ N 25 triệu!! Tuy nhiên, số phép thử không phụ thuộc vào số lớp lấy tích phân, nên phương pháp Monte – Carlo đặc biệt có lợi việc tính tích phân nhiều chiều, phương pháp tất định tỏ bất lực Ví dụ, để tính tích phân 10 lớp công thức cầu phương khối hộp đơn vị với bước h = 0.1,ta phải tính tổng có chứa tới 101O số hạng Trong phương pháp Monte – Carlo dễ dàng cho ta lời giải thô tốn Chương 3: Ứng dụng A.TÍNH GẦN ĐÚNG MỘT SỐ TÍCH PHÂN Bài 1: Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [3;5] thành 10 phần nhau, tính: I = ƒ cos2 x2dx Bài 2: Bằng phương pháp Simpson, với việc chia đoạn [0;1] thành 10 phần nhau, tính: I=ƒ sin Bài 3: x2dx O s Cℎo I = ƒe dx x+2 O Nếu tính I theo cơng thức hình thang cần chia đoạn [0;1] điểm chia (n =?) để sai số nhỏ 10–4? Bài 4: Cℎo I = ƒ O dx 2x + Tính I theo cơng thức biết với h = 0,1 Bài 5: Giải gần tích phân sau cơng thức Newton – Cotes với n = dx I=ƒ + O x Bài 6: Giải gần tích phân sau phương pháp Gauss với n = 1 + x4 I=ƒ O Bài 7: + x6 dx Giải gần tích phân sau phương pháp Chebysev với n = u sinx I=ƒ 1+x O Bài 8: dx Giải gần tích phân sau phương pháp Monte-Carlo I = fl(x2 + y ) dxdy, G Bài 9: Với G = {(x, y)|x2 + y2 ≤ ; x ≥ ; y ≥ 0} Giải gần tích phân sau phương pháp Monte-Carlo I = fl G sin(xy) xy dxdy, V+ { (y −− )) ≤ } B HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Tính tích phân cơng thức hình thang: I = ƒ cos2 x2dx Chia đoạn [3;5] thành 10 phần 5−3 ℎ= Ta bảng sau: 10 = 0,2 x 3,0 cos x2 0,708648150 3,2 0,954116007 3,4 0,974218425 3,6 0,716702360 3,8 0,306467225 4,0 0,019738581 4,2 0,103543674 4,4 0,533616051 4,6 0,944659613 4,8 0,912853014 5,0 0,425999184 Áp dụng cơng thức hình thang: 0,2 [yO2 + y1O + (y1 + y2 + y3 + ⋯ + I = y )] = 1,206647723 Bài 2: Tính tích phân công thức Simpson: I = ƒ sin O x dx Chia đoạn [0;1] thành 10 phần 1−0 Suy = 0,1 ℎ = 10 Ta tính tốn bảng sau: x 0,0 sin5 x 0,000000000 0,1 0,003999989 0,2 0,015999317 0,3 0,035992224 0,4 0,063956318 0,5 0,099833416 0,6 0,143502851 0,7 0,194747485 0,8 0,253212945 0,9 0,318360975 1,0 0,389418342 Áp dụng công thức Simpson: 0,1 I = y [y O + y1O + (y2 + + y6 + y8 ) + (y1 + y3 + y5 + y7 + y9)] = 0,131816585 Bài 3: Phải chia [0;1] thành phần để r ≤ 10–4? e dx I= ƒ x+ O s Dễ dàng tính được: ƒ rr (x s( e x + )3 − (x + 1) )= (x + )es Nên (x + )4 (∀ x ∈ [0,1]) rà nℎư rậy: M( b − a ) để r = ≤ tℎì: 12 10 ℎ ƒ′′(x) ≤ ℎ2 ≤ ,8 10–3 Suy ℎ ≤ ƒ4 ,8 10–3 ≈ 0,069282032 ℎ= b−a⇒ n b n = − a ℎ Do n ≥ 14 ,43375679 Vậy với n=15,16,….thì thỏa mãn u cầu tốn Bài 4: Tính tích phân cơng thức biết: d x = Cℎo ƒ I xO+ b 1= ℎ −10 −0 = 0, a ℎ Chia đoạn [0;1] thành 10 phần ta bảng sau: x 0,0 2x + 0,333333333 0,1 0,3125 0,2 0,294117647 0,3 0,277777777 0,4 0,263157894 0,5 0,25 0,6 0,238095238 0,7 0,227272727 0,8 0,217391304 0,9 0,208333333 1,0 0,166666666 Áp dụng công thức hình thang: 0,1 [yO + y1O + (y1 + y2 + y3 + ⋯ + y9 )] = 0,152588383 I= Áp dụng công thức Simpson: 0,1 I = y )[y3O + y1O + (y2 + y4 + y6 + + (y1 + y3 + y5 + y7 + y9)] = 0,254301985 Bài 5: Tính tích phân cơng thức Newton – Cotes với n =6 : I=ƒ O dx + x3 ℎ= 1−0 = xi yi P˜s yi P˜s 41 41 1⁄6 216 ⁄217 216 215,0046803 1⁄3 27 ⁄28 27 26, 03571429 1⁄2 ⁄9 272 241,7777778 ⁄3 27 ⁄35 27 20,82857143 5⁄6 216 ⁄341 216 136,8211144 1⁄2 41 20,5 ) = 701 ,9677862 ⟹I= Bài 6: 840 ) = 0,835675936 Giải gần tích phân sau phương pháp Gauss với n = 4 I = ƒ1 + x dx O 1+x Ta tính tốn bảng sau: i xi ƒ(xi) Ai ƒ(xi) Ai -0,861 1,10487105 0,348 0,384495125 -0,340 1,011800326 0,652 0,659693812 0,340 1,011800326 0,652 0,659693812 0,861 1,10487105 0,348 0,384495125 ) = ,088377875 ⟹ I = ,088377875 72 Bài 7: Giải gần tích phân sau phương pháp Chebysev với n = u sinx I=ƒ O 1+x dx i xi -0,832 ƒ(xi) =sinxi +i x -4,400474083 -0,374 -0,58361316 0 0,374 0,265896534 0,832 0,272194812 ) = −4 ,445995896 n ⟹I = 10 ) = −1,396750805 Kết luận Trên em trình bày xong tồn khóa luận “ phương pháp giải gần tích phân” Khóa luận cung cấp số phương pháp tính tích phân cách nhanh chóng dễ dàng Cùng với ví dụ minh họa cụ thể chọn lọc kĩ lưỡng, khóa luận giúp bạn đọc tiếp cận với mơn “ Giải tích số” coi tài liệu tham khảo Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu hạn chế, phạm vi nghiên cứu tương đối rộng nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc Một lần cho phép em gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giảng viên trường, cán thư viện nhà trường đặc biệt thầy giáo Nguyễn Văn Hùng tận tình giúp đỡ em hồn thành xong đề tài Em xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh – Giải tích số – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội – 1996 Phạm Phú Chiêm, Nguyễn Bường – Giải tích số – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội – 2000 Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường – Giáo trình Giải tích số – NXB Giáo dục – 2000 Tạ Văn Đĩnh – Phương pháp tính – NXB Giáo dục – 1998 Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Thịnh – Bài tập phương pháp tính – NXB Khoa Học Kĩ Thuật Hà Nội – 1996 Hồng Xn Huấn – Giáo trình phương pháp số – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Dương Thủy Vỹ – Giáo trình phương pháp tính – NXB Khoa Học Kĩ Thuật Hà Nội ... gọi hai số a; b hai cận tích phân, số a cận dưới, số b cận trên, f hàm số dấu tích phân, f(x)dx biểu thức dấu tích phân, x biến số lấy tích phân 1.5.2 Tính chất tích phân Giả sử hàm sốƒ; g liên... Giải tích số cung cấp cho phương pháp đơn giản để tính gần tích phân xác định mà độ xác khơng Vì vậy, với niềm u thích mơn Giải tích số em lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp em “ Phương pháp. .. pháp thay toán phức tạp toán đơn giản gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Để giải toán đơn giản ta phải thực phép tính thơng thường, ta ln phải quy tròn kết