Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt thời gian thực khóa luận Xin chân thành cảm ơn thầy, tổ Giải tích-Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho q trình thực khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Nguyễn Thị Ngọc Lớp K32C LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khố luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với chân trọng biết ơn Những kết nêu khố luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc MỤC LỤC Nội dung Lời cảm ơn .1 Lời cam đoan Lời nói đầu .4 Chương 1: Một số kiến thức 1.1 Số gần sai số 1.2 Hệ phương trình tuyến tính 13 1.3 Phân tích sai số 15 Chương 2: Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính 17 2.1 Phương pháp Gauss 17 2.2 Phương pháp Cholesky 25 2.3 Phương pháp trực giao hóa 29 2.4 Phương pháp lặp đơn 32 2.5 Phương pháp Jacobi 37 2.6 Phương pháp Seidel 41 2.7 Phương pháp Gauss-Seidel 46 Chương 3: Bài tập áp dụng 49 Kết luận Tài liệu tham khảo LỜI NĨI ĐẦU Tốn học môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải tốn có nguồn gốc thực tiễn quay trở lại phục vụ thực tiễn Cùng với thời gian tiến lồi người tốn học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực tốn học lý thuyết tốn học ứng dụng Nói đến tốn học ứng dụng phải kể đến Giải tích số-mơn học nghiên cứu phương pháp giải gần toán thực tế mơ hình hố ngơn ngữ tốn học Để có lời giải cho tốn cần phải có kiện tốn, xây dựng mơ hình tốn, tìm thuật tốn hiệu Và cuối xây dựng chương trình máy tính cho tiết kiệm thời gian nhớ Tuy nhiên thời gian sử lý số liệu không tránh khỏi sai số dù nhỏ ảnh hưởng trực tiếp đến q trình tính tốn Chính phải sử dụng thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sai số đồng thời thuận lợi cho cơng việc lập trình tiết kiệm số lượng phép tính thời gian tính tốn Phương pháp số có ý nghĩa lớn đại số tuyến tính, đặc biệt việc giải hệ phương trình tuyến tính Khi số phương trình lớn phương pháp truyền thống nhiều gặp khó khăn, khơng thể giải cách xác mà đưa lời giải gần cho tốn Các nhà tốn học tìm nhiều phương pháp để giải gần hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính có dạng tổng qt hệ gồm m phương trình n ẩn Trong khn khổ khố luận em xin trình bày mảng nhỏ hệ n phương trình, n ẩn Với lòng u thích tốn học, đam mê nghiên cứu khoa học em định chọn đề tài cho là: “Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính” Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian nghiên cứu nên khn khổ khố luận em xin trình bày số vấn đề sau: Chương 1: Một số kiến thức sai số, làm tròn số, số gần đúng, hệ phương trình tuyến tính, tập nghiệm hệ phương trình, số điều kiện ma trận, phân tích sai số Chương 2: Một số phương pháp giải gần hệ phường trình tuyến tính Chương gồm phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính gồm phương pháp trực tiếp phương pháp lặp trình bày theo thứ tự: sở lý thuyết, thuật toán, ứng dụng đánh giá sai số (nếu có) Chương 3: Bài tập áp dụng CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Định nghĩa Trong thực tế tính tốn ta thường khơng biết số a* mà biết số đủ gần a Ta nói a số gần a* , a không sai khác * a nhiều gọi sai số thực a Đại lượng  * a a Do a* nên cũng khơng biết ta tìm số a 0 cho a  a a * (1.1) * Hay a a a a Số ∆ a thoả mãn (1.1) gọi sai số tuyệt đối a a Tỉ số a  a gọi sai số tương đối a Ví dụ 1.1.1.1 Cho số * a  a 3.14 ; 3.14 a  3.15; a 0.01 * 3.14 a 3.142; a 0.002 Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối nhỏ tốt Ví dụ 1.1.1 Đo độ dài hai đoạn đường ta được: a 100m; b 6km;  a  0.5  100 a 0.5m b 20m ; b  200 20 6000  300 Nhận xét: Từ ví dụ ta thấy phép đo b xác phép a a b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Sai số thu gọn Xét số thập phân a biểu diễn dạng: Trong đó: a    10 p p p 10p1   pq 10 pq  i 9; p 1 i p q p 0;  Nếu p q 0 a số nguyên  Nếu p q  0 a số thập phân có phần lẻ gồm p q chữ số  Nếu p q thì a số thập phân vơ hạn Ví dụ 1.1.2.1 4087 4 103 0 102 8 101 7 100 Ta thấy: p q nên a =4083 số nguyên Ví dụ 1.1.2.2 0 31.8783 3101 110 8 10   10 310 1 7 10 2 8 Ta thấy : p q = 4 nên a =31.8783 số thập phân có phần lẻ gồm chữ số  Thu gọn a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số ngắn gọn đảm bảo độ xác cần thiết  Quy tắc thu gọn Giả sử: j  p  a   p    j10 p 10 10 j1 j   10 p q  Giả sử ta muốn giữ lại đến hàng thứ j, gọi phần bỏ M Khi ta số thu gọn là:  a   p 10 p  j10 j p  10p1 0 M 0.510  j Trong đó:  j  j  j j j 1  0.510 M 10  Nếu M=0.510 j j j chẵn j   j j lẻ j1 tính tốn với số chẵn tiện Ví dụ 1.1.2.3 3.141592654 3.14159265 3.1415926 3.141592 3.14159 3.1415 3.141 3.14 3.1 3  Giả sử số thu gọn a a Ta có a a a*  a* a a  a a a* a  a a a a a Từ đánh giá ta có nhận xét: Khi thu gọn số a sai số tuyệt đối * a với a lớn sai số tuyệt đối a a* 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.1.3.1 Chữ số có nghĩa Chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng giữ lại b21 b31 b32 0 Giải hệ By=b ta có: 2.0615 y1 1.44   2.73 0.7179 y1   1.1021y2  0.3541y1 1.4479 y2 0.5396iy3 0.64 y1 0.6985  y2 2.9321   6.2232i T Giải hệ B x=y ta có: 2.0615x1 0.7179x2 0.3541x3 0.6985  1.1021x2 1.4479x3 2.9321   0.5396ix3 6.2232i   x1 2.0301  x 12.4910   11.5329 Kết luận: Nghiệm hệ là: x  2.0301;12.4910;11.5329  b) Tương tự ta thấy A ma trận đối xứng, tìm ma trận B 0.42 0.54 0.66  1  0.9075 0.1027 0.1794  BT  0  0.8354 0.1853   0.7056 0 Giải hệ By=b ta đươc:     y1 0.3 0.42 y1 0.9075y2 0.5 0.54 y1 0.1027 y2 0.8354 y3 0.7  0.66 y1 0.1794 y2 0.1853y3 0.7056 y4 0.9 y1 0.3  y 0.4121   y3 0.5933 y4 1.0459 T Giải hệ B x=b ta được:  x1 0.42x2 0.54x3 0.66x4 0.3  0.9075x2 0.1027x3 0.1794x4 0.4121   0.8354x3 0.1853x4 0.5933   0.7056x4 1.0459  x1  1.2576 x2 0.0435  x3 1.0390  x4 1.4823 x  1.2576;0.0435;1.0390;1.4823 Kết luận: Nghiệm hệ Bài a) Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau: x1 0.2x2 0.1x3 1  x2 0.1x1 0.2x3 1.2  0.1x 0.8 x3 0.1x 0  0.1 0.2  B  0.1 0.2     0.1 0.10   Ta có x  k 1 g Bx k B 0.3 1  phép lặp Theo định đơn lý (2.4) ta có Chon x  0;0;0 ta thu kết bảng sau:   k x1 x2 x3 0.68 0.754 0.733 0.7383 0.73688 0.737250 1.2 0.94 1.016 0.997 1.0021 1.00077 1.00112 21.70 1.2x b) Đưa hệ dạng:  x   0.4x 2.1x  20.9 x  27.40 1.2x  21.2 x 28.76  2.1x   19.8  x  0.9x49.72   32.1 0.8 0.58 0.638 0.623 0.627 0.62596 0.626235   1 2.5x 5x 4 1 1.3x 5x 4  1.3x 2.5x 3 Chọn x  1.04;1.30;1.45;1.55     x  0.7999;0.9999;1.1999;1.3999  Kết luận: Nghiệm gần hệ là: x  0.7999;0.9999;1.1999;1.3999 xấp xỉ nghiệm x*  0.8;1.0;1.2;1.4 Bài  0.24 0.08  8     A  0.09 0.15 b   ;      0.04 0.08  20      Kiểm tra tính chéo trội ma trận A Ta đưa hệ cho dạng x=Bx+g: Trong đó: 0.06 0.02    2  B  0.03 g  0.05 ;      0.01 0.02  5      B 0.08; 10 g Ta có Suy r a n1 g  B  B 0.08n 10 1 103 0.92 n 3 Theo định lý (2.4) ta có dãy phép lặp sau: x k 1 Bx k  g Chọn x(0)  0;0;0 ta thu kết sau:   k x1 2.28 2.299 2.291812 x2 3.31 3.1826 3.183283 x3 5.02 5.0434 5.040662 Kết luận: Nghiệm xấp xỉ hệ là: x=(2.291812;3.18283;5.050662 Bài Đưa hệ dạng: x1 0.2x2 0.2x3 0.4x4 1.6  0.3x 0.4x 1.8 x2 0.2x  x3 0.4x1  0.2x4  1.8  x4 0.1x1 0.5x2 0.3x3 1.8 Từ ta có: 0 0.2 0.4  1.6  0.2      0.2 0.30.4 1.8 B  g   ;  0.40 0.2  1.8     0.1  0.5 0.3 1.8     Kiểm tra điều kiện: B 1  Phân tích B B đó: B2 0  0   0.2 0   B  B2 0.4 0 ;    0.1 0.5 0.3    0.2 0.4  0.2   0 0.3 0.4    ; 0 0 0.2    0 0   Do có phép lặp đơn: xk 1 B xk 1 B xk  g Chọn xấp xỉ ban đầu: x  0;0;0;0  ta thu kết sau: bảng x1 k 0 1.6 1.6 0.9396 0.98236 1.003314 0.998908 1.000270 Kết luận: Nghiệm hệ là: x2 x3 x4 0 -1.8 1.8 1.8 1.58 1.52 1.626 -1.41768 1.74936 3.12761 -0.87729 2.032578 2.94665 -1.030451 1.988005 3.011958 -0.948787 2.002829 2.975133 -1.010741 1.994919 3.003873 x  1.000270;1.010741;1.994919;3.003873 Bài Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau: x1 0.1x2 0.1x3 0.2x4 0.8 x 0.2x 0.1x 0.5x 2.3   x3 0.2x1 0.2x2 0.1x4 1.2  x 0.05x 0.05x 2  Ta có phép lặp đơn sau:          x k 0.1x k 0.1x k 0.2x k 0.8 k  k 13 k  x1k 10.2x 0.1x 0.5x 2.3   xk 10.2xk 10.2xk 10.1xk 1.2   3 k 1 k 12 k 1 x 0.05x 0.05x 2  Chọn xấp xỉ ban đầu x(0)  0.8;0.85;0.9;1.5 ta thu   bảng sau: kết k x1 x2 x3 x4 0.8 0.85 0.9 -1.5 0.925 1.275 0.91 -1.9825 0.978 1.02215 0.99822 -1.99779 0.99752 1.001777 0.999919 -1.99979 0.999788 1.00016 0.999990 -1.999982 Kết luận: Nghiệm hệ là: x  0.999788;1.00016;0.999990;1.999982 Bài     a1 1,1,1,1 ;a2 1, 2,1,0 ;a3 2,1,1,1;a4 Ta đặt 0,0,0,1 ;    1 1 Ta có: u1 a1  ; ; ;  1 v  1,1,1,    2 2        1 3  3   ; ; ; v  ; ; ; u a a ,v  v 2   1     2 2  2 5 5       u    a ,v v a   3 1    a ,v  v   11 2 16  ; ; ;  2   10 10 10 10   v3 2 16  11  ; ;   430 430 430 ;430             180 150 120 90  a ,v v  ; ; ; u    a ,v v a ,v v a   4   1       180   90 x  : 2; x  860 860 4 2 3   860 860 860 860  150 90 120 90 : : ;     ; x 860 860 860 860 3 Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là:  4 x  2; ;    3 KẾT LUẬN Trên toàn đề tài: “Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính” Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài hoàn thành nhiệm vụ đặt - Đề tài nghiên cứu phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính Đưa hai nhóm phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp trực tiếp phương pháp lặp Chỉ tính ưu việt phương pháp lặp Từ sở lý thuyết đến cách tiếp cận với phương pháp giải, xếp theo trình tự hợp lý - Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu khả thời gian có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu xót Vì em mong bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn chỉnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh(2005), Giải tích số- NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số-NXB Giáo Dục Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính-NXB Giáo Dục Đồn Quỳnh (Chủ biên), Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn, Đại số tuyến tính hình học giải tích-NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Đình (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh-Toán học cao cấp-NXB Giáo Dục Nguyễn Đình (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh-Bài tập toán học cao cấp-NXB Giáo Dục ... sai số Chương 2: Một số phương pháp giải gần hệ phường trình tuyến tính Chương gồm phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính gồm phương pháp trực tiếp phương pháp lặp trình bày theo thứ... 1.2 Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 1.2.1 Dạng tổng qt hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính tổng qt hệ có m phương trình n ẩn Ở ta xét hệ n phương trình , n ẩn Nghĩa xét hệ. .. 1: Một số kiến thức 1.1 Số gần sai số 1.2 Hệ phương trình tuyến tính 13 1.3 Phân tích sai số 15 Chương 2: Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính