Phương pháp tính gần đúng tích phân

Lời cảm ơn Trong suốt thời gian học tập Khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy giáo, cô giáo, em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy giáo, cô giáo Khoa Toán – người giúp đỡ, chăm lo dìu dắt chúng em trưởng thành hôm Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy: Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu suốt thời gian em thực khóa luận Sinh viên Nguyễn Thị Ngân Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân em trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Nguyễn Thị Ngân Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Lời nói đầu Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.2 Các quy tắc tính sai số 1.3 Sai số tính toán sai số phương pháp B ĐA THỨC NỘI SUY 1.4 Đa thức nội suy Lagrange C TÍCH PHÂN 14 1.5 Tích phân 14 Chương 2: Giải gần tích phân 16 2.1 Mở đầu 16 2.2 Công thức hình thang 16 2.3 Công thức Simpson 21 2.4 Công thức Newton – Cotes 27 2.5 Công thức Chebysev 31 2.6 Công thức Gauss 34 2.7 Giải gần tích phân bội phương pháp Monte – Carlo 38 Chương 3: Ứng dụng 41 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Lời nói đầu Toán học nhu cầu giải toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Khi nói đến toán học ứng dụng không nhắc đến Giải tích số Giải tích số môn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ hàm số, toán tối ưu Sự đời phát triển Giải tích số góp phần quan trọng việc tạo thuật giải toán thực tế như: toán ngược lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán, nhận dạng… Ngày nay, với phát triển Tin học kiến thức Giải tích số trở nên cần thiết Chúng ta chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực Giải Tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính, người ta đề xuất phương pháp hữu hiệu xử lí hệ lớn, thưa kĩ thuật ném ma trận, kĩ thuật tiền xử lí ma trận… Trong thực tế, nhiều ta phải tính tích phân xác định hàm số nguyên hàm nó, dùng định nghĩa độ xác đạt không cao mà phải thực khối lượng tính toán lớn Ngoài ra, nhiều trường hợp, hàm số cho dạng bảng nên khái niệm nguyên hàm trở nên vô nghĩa Tuy nhiên, Giải tích số cung cấp cho phương pháp đơn giản để tính gần tích phân xác định mà độ xác không Vì vậy, với niềm yêu thích môn Giải tích số em lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp em “ Phương pháp giải gần tích phân” Khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Giải gần tích phân Chương 3: Bài tập CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần – Sai số tương đối sai số tuyệt đối ∗ Ta gọi x số gần số với x ∗ Hiệu số ∆= | ∗ − | gọi sai số thực x ∗ giá trị x không sai khác nhiều so nên xác định ∆ Mặt khác ta tìm số ∆ ≥ cho | ∆ ọ = ∆ ọ | | Suy ∆ = | | ố ệ đố ố ươ ∗ − | ≤ ∆ Khi đó: ủ đố ủ công thức thể mối liên hệ sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.1.2 Quy tròn số sai số quy tròn a, Hiện tượng quy tròn số Khi gặp số có nhiều số đằng sau dấu phẩy, người ta bỏ vài chữ số cuối, việc làm gọi quy tròn số Mỗi quy tròn số, ta tạo sai số gọi sai số quy tròn tuyệt đối b, Sai số quy tròn tuyệt đối ∗ Gọi x sai số gần số cho | − Vì | ∗ − |≤ |≤| ∗ số quy tròn x Thế gọi sai số quy tròn − |+| − tròn số sai số tuyệt đối tăng thêm Gọi x số gần cho | − ∗ |≤ |≤∆ + nên ta thấy làm số quy tròn x Thế số 1.1.3 Cách viết số gần a, Chữ số có nghĩa Chữ số có nghĩa tất chữ số khác không, kể số không kẹp hai chữ số khác không đại diện cho hàng giữ lại Chẳng hạn 0,000014060 có năm chữ số có nghĩa 1;4;0;6;0 b, Chữ số đáng tin Mọi chữ số thập phân x biểu diễn dạng =± 10 số nguyên từ đến ∗ Gọi x chữ số gần với sai số tuyệt đối ∆ Thế gọi chữ số hay chữ số đáng tin ∆ ≤ 0,5 10 ∆ ≥ 0,5 10 chữ số đáng nghi c, Cách viết số gần ∗ Gọi x chữ số gần với sai số tuyệt đối ∆ Thế có hai cách viết số gần x Cách 1: ± ∆ (1 ± ) Cách 2: Viết theo quy ước chữ số có nghĩa x chữ số đáng tin 1.2 Các quy tắc tính sai số 1.2.1 Mở đầu Xét hàm số u hai biến x y có dạng số x;y Hãy lập công thức tính sai số u Ta kí hiệu ∆ , ∆ , ∆ số gia x;y;u , , vi phân x;y;u ∆ , ∆ , ∆ sai số tuyệt đối x;y;u = ( , ) Cho biết sai Vì | ∗ − | ≤ ∆ nên ta có |∆ | ≤ ∆ ∆ ≤∆ Ta phải tìm ∆ để có |∆ | ≤ ∆ = 1.2.2 Sai số tổng + Ta có ∆ = ∆ + ∆ suy ∆ ≤ |∆ | + |∆ | nên ∆ ≤ ∆ + ∆ = ∆ + ∆ để có |∆ | ≤ ∆ Ta chọn ∆ Do ta có quy tắc: Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng Chú ý ế = − ù ấ ℎì = ∆ +∆ ∆ = | | | − | Cho nên | − | bé sai số tương đối lớn Vì vậy, tính toán người ta tìm cách để tránh phải trừ số gần = 1.2.3 Sai số tích Ta có ∆ ≈ = + ≈ ∆ + ∆ Suy |∆ | ≤ | ||∆ | + | ||∆ | ≤ | |∆ + | |∆ Suy ∆ = | |∆ + | |∆ Tức = | |∆ + | |∆ ∆ ∆ ∆ = = + = | | | || | | | | | = = + + Vậy sai số tương đối tích tổng sai số tương đối thừa số tích Đặc biệt ta có ( 1.2.4 Sai số thương ) = = với n nguyên dương , ≠ Tương tự trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối thương tổng sai số tương đối số hạng: ⁄ = + 1.2.5 Công thức tổng quát ℎ 1.3 = ( , ,…, ) ó ∆ = = ∆ ∆ = = | | | | | | = ∆ = ∆ ∆ = ln | | ∆ ∆ Sai số tính toán sai số phương pháp Khi giải gần toán phức tạp ta phải thay toán cho toán đơn giản giải thông qua việc thực phép tính thông thường tay hay máy tính điện tử Phương pháp thay toán phức tạp toán đơn giản gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Để giải toán đơn giản ta phải thực phép tính thông thường, ta phải quy tròn kết không gian Sai số tạo tất lần quy tròn gọi sai số tính toán Sai số cuối tổng hợp hai loại sai số phương pháp sai số tính toán Chú ý Sai số tổng hợp cuối có phần sai số phương pháp sai số tính toán.Vì vậy, phải ý điều chỉnh cho sai số cuối nhỏ sai số cho phép B ĐA THỨC NỘI SUY Trong thực tế, nhiều ta phải tìm hàm y = f(x), biết giá trị y điểm x ∈ [a, b] (i = 0,1, … , n).Cũng có trường hợp biểu thức giải tích f(x) cho cồng kềnh Khi dùng phép nội suy ta dễ dàng tính f ∈ [ , ] mà độ xác không Ngoài ý nghĩa lịch sử ra, đa thức đại số thường dùng phép nội suy lí đơn giản sau: phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng thực đa thức Hơn P(x) đa thức, c số P(cx) P(x + c) đa thức Bài toán đặt sau: Cho mốc nội suy a ≤ x < x < ⋯ < x ≤ b Hãy tìm đa thức bậc m: P (x) = a x cho P (x ) = y ≔ f(x ) (i = 0, n) Ý nghĩa hình học toán nội suy là: xây dựng đường cong đại số y = P (x) qua điểm cho trước (x , y ) (i = 0, n) Như ta cần xác định (m + 1) hệ số a (i = 0, n) từ hệ phương trình tuyến tính sau: a x = y (i = 0, n) (1.1) Dễ thấy m < n (m > n) hệ nói chung vô nghiệm (vô định) Khi m = n, hệ (1.1) có định thức Vandermonde x x … x … x △= x x = … … … … … x x … x x −x ≠0 Suy phương trình (1.1) có nghiệm Để giải toán cho ta phải giải hệ (1.1), khó khăn phức tạp Sau ta trình bày cách xây dựng đa thức nội suy mà không cần giải hệ (1.1), gọi đa thức nội suy Lagrange 1.4 Đa thức nội suy Lagrange 1.4.1 Công thức nội suy Lagrange Tìm đa thức ( ) có bậc n, cho ( , = 0, ) = Ta có: ( )= ( − )…( − ( − )…( − )( − )( − ( )= ( ), )…( − ) )…( − ) Đặt = = ( = 0, ) Như vậy, P(x) đa thức nội suy (duy nhất) cần tìm Nếu mốc nội suy cách đều, tức ℎì đặ − − ℎ ≔ ( )= ( ( = ℎ ( = 0, − 1) ℎ + ℎ) = + ℎ) = = (−1) − + ℎ, đượ ( − 1) … ( − ) ! ( − 1) … ( − ) ! (−1) − 1.4.2 Sai số phép nội suy a) Sai số phương pháp Giả sử, P(x) đa thức nội suy bậc n hàm f(x), tức ( ) = ( ) ( = 0, ) Ta cố định giá trị cách ước lượng sai số ≠ ( = 0, ) ∈ [ , ] tùy ý tìm ( ) = ( ) − ( ) Dĩ nhiên cần xét ( ) = ( = 0, ) 10 Công thức cầu phương Gauss (n = 3) có dạng: f(t)dt ⋍ 5f − + 8f(0) + 5f 5 b−a b+a t + 2 Khi công thức (2.10) có dạng: Nếu [a, b] , đặt x = f(x)dx ≃ x = b−a B f(x ), b−a b+a t + , 2 t nghiệm đa thức Legendre bậc n Sai số công thức Gauss là: (b − a) (n!) f ( ) (ξ) R = [(2n!)] (2n + 1) Nhận xét: Công thức Gauss có độ xác cao Nhược điểm phương pháp hệ số , nói chung vô tỉ, tính toán theo công thức (2.10) phức tạp Bây ta nói sai số tính toán công thức cầu phương Giả sử ta có công thức cầu phương sau: f(x)dx = A f(x ) + R(f), (2.14) x ∈ [a, b] (i = 1, n) điểm chia, A (i = 1, n) số dương R(f) sai số phương pháp 39 Nếu tính y = f(x ) tính với sai số ε, tức thay công thức (2.14) ta có: A y + R(f) (2.15) f(x)dx = |y − y | ≤ ε (i = 1, n) Dễ thấy R(f) = A (y − y ) + R(f) Và |R(f)| ≤ ε A + |R(f)| Vì công thức (2.14) cho đa thức bậc không, nên với f(x) ≡ 1, ta có: b−a= dx = A Như sai số tính toán (2.15) là: |R(f)| ≤ (b − a)ε + |R(f)|, R(f) sai số phương pháp công thức cầu phương (2.14) Dưới bảng yếu tố công thức Gauss với n = 1,2,3,4 N 2 -0,577 -0,775 0,556 0,577 0,889 0,775 0,556 -0,861 0,348 -0,340 0,652 0,340 0,652 40 0,861 0,34888 2.5.2 Các toán Bài toán 10 Bằng công thức Gauss, với n = 4, giải gần tích phân sau: = 1+ Giải ( )= 1+ , ậ đượ : ả ( ) i ( ) -0,861 0,574276655 0,348 0,199848275 -0,340 0,89637863 0,652 0,584438866 0,340 0,89637863 0,652 0,584438866 0,861 0,574276655 0,348 0,199848275 = 1,568574282 Áp dụng công thức Gauss ta được: ≈ 1,568574282 2.7 Tính gần tích phân bội phương pháp Monte – Carlo Nói cách nôm na, phương pháp Monte – Carlo phương pháp giải toán cách sử dụng nhiều phép thử ngẫu nhiên Giả sử ta có hàm y = f(x , … , x ) liên tục giới nội miền W Ta cần tính tích phân bội sau: I= f(x)dx = W … f(x , … , x )dx … dx W Giả sử miền W nằm gọn khối hộp chữ nhật Π: W ⊂ Π ≔ {x ∈ : a ≤ x ≤ A (i = 1, m)} 41 Bằng phép đổi biến x = a + (A − a )ξ (i = 1, m), khối hộp chữ nhật  biến thành khối hộp đơn vị Π ={ ∈ Ta có I = f(x)dx = : ≤ ξ ≤ (i = 1, n)} F(ξ)dξ , dξ = dξ … dξ , W F(ξ) = f(a + (A − a )ξ , … , a + (A − a )ξ ) det ∂x = ∂ξ (A − a )f(a + (A − a )ξ , … , a + (A − a )ξ ) = a) Xét trường hợp ( ) ≥ Gọi V = {(ξ, y) ∈ : ξ ∈ S; ≤ y ≤ F(ξ)}, ta có I = dξdy Giả sử ≤ F(ξ) ≤ B Đặt v = y v = ( , ) ∈ B : ξ ∈ S; ≤ ≤ F(ξ) B Dễ thấy V ⊂ {( , ): ≤ ξ ≤ 1; ≤ ≤ 1, i = 1, m} Chọn (m +1) dãy số ngẫu nhiên phân bố [0,1]: ξ( ) ,…, ξ ( ) , {ν }(i = 1,2, … ) xét điểm M ξ ( ) … , ξ ( ) , ν Giả sử N (N ≫ 1) điểm ngẫu nhiên M , có n điểm nằm V Khi đó: I= dξdy = B dξdν = BP(M ∈ V) ≃ B b) Xét trường hợp hàm f đổi dấu – Đặt F(ξ) = −b + (B + b)F(ξ) 42 n N ≤ ( )≤ (2.17) Ta có: = −bvol(S) + (B + b) F(ξ) F (ξ)dξ, F (ξ)dξ tính theo sơ đồ ≤ F ≤ tích phân nêu phần (a) Để đánh giá sai số công thức (2.17), coi B = n I = P(M ∈ V) ≃ N Áp dụng bất đẳng thức Chebysev, ta được: P n −I N < ≥1− I (1 − I ) ≥1− ε N 4ε N n = δ P −I < ≥ − δ 4ε N N 1 Khi δ cố định ta thấy ε = =O 2√δN √N Nếu chọn Điều chứng tỏ phương pháp Monte – Carlo hội tụ chậm.Để tăng độ xác lên 10 lần, khối lượng phép thử phải tăng lên 100 lần 4ε δ N 25 triệu!! Nếu cho trước ε, δ số phép thử N = Ví dụ ε = 10 ; δ = 10 Tuy nhiên, số phép thử không phụ thuộc vào số lớp lấy tích phân, nên phương pháp Monte – Carlo đặc biệt có lợi việc tính tích phân nhiều chiều, phương pháp tất định tỏ bất lực Ví dụ, để tính tích phân 10 lớp công thức cầu phương khối hộp đơn vị với bước h = 0.1,ta phải tính tổng có chứa tới 10 số hạng Trong phương pháp Monte – Carlo dễ dàng cho ta lời giải thô toán 43 Chương 3: Ứng dụng A.TÍNH GẦN ĐÚNG MỘT SỐ TÍCH PHÂN Bài 1: Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [3;5] thành 10 phần nhau, tính: = Bài 2: Bằng phương pháp Simpson, với việc chia đoạn [0;1] thành 10 phần nhau, tính: = Bài 3: ℎ = +2 Nếu tính I theo công thức hình thang cần chia đoạn [0;1] điểm chia (n =?) để sai số nhỏ 10 ? Bài 4: ℎ = +3 Tính I theo công thức biết với h = 0,1 44 Bài 5: Giải gần tích phân sau công thức Newton – Cotes với n = = 1+ Bài 6: Giải gần tích phân sau phương pháp Gauss với n = 1+ 1+ = Bài 7: Giải gần tích phân sau phương pháp Chebysev với n = = 1+ Bài 8: Giải gần tích phân sau phương pháp Monte-Carlo = = {( , )| ( + + ) , ≤1; ≥0; ≥ 0} Bài 9: Giải gần tích phân sau phương pháp Monte-Carlo = = ( , )| ( − 45 ) , + − ≤ B HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Tính tích phân công thức hình thang: = Chia đoạn [3;5] thành 10 phần ℎ= 5−3 = 0,2 10 Ta bảng sau: 3,0 0,708648150 3,2 0,954116007 3,4 0,974218425 3,6 0,716702360 3,8 0,306467225 4,0 0,019738581 4,2 0,103543674 4,4 0,533616051 4,6 0,944659613 4,8 0,912853014 5,0 0,425999184 Áp dụng công thức hình thang: = 0,2 [ + + 2( = 1,206647723 46 + + + ⋯+ )] Bài 2: Tính tích phân công thức Simpson: = Chia đoạn [0;1] thành 10 phần ℎ= 1−0 = 0,1 10 Ta tính toán bảng sau: sin 0,0 0,000000000 0,1 0,003999989 0,2 0,015999317 0,3 0,035992224 0,4 0,063956318 0,5 0,099833416 0,6 0,143502851 0,7 0,194747485 0,8 0,253212945 0,9 0,318360975 1,0 0,389418342 Áp dụng công thức Simpson: = 0,1 [ + + 2( + + + ) + + + + )] + 4( = 0,131816585 47 Bài 3: Phải chia [0;1] thành phần để = ≤ 10 ? +2 Dễ dàng tính được: ( )= ( + 2) − 2( + 1)( + 2) ( + 2) Nên ) ≤ (∀ ∈ [0,1]) ℎư ậ : ( − ) để = ℎ ≤ 10 ℎì: 12 ′′ ( ℎ ≤ 4,8 10 ℎ≤ 4,8 10 ≈ 0,069282032 − ℎ= ⇒ = − ℎ ≥ 14,43375679 Vậy với n=15,16,….thì thỏa mãn yêu cầu toán Bài 4: Tính tích phân công thức biết: ℎ ℎ = 0,1 ⟹ = = +3 − ℎ 48 = 1−0 = 10 0,1 Chia đoạn [0;1] thành 10 phần ta bảng sau: +3 0,0 0,333333333 0,1 0,3125 0,2 0,294117647 0,3 0,277777777 0,4 0,263157894 0,5 0,25 0,6 0,238095238 0,7 0,227272727 0,8 0,217391304 0,9 0,208333333 1,0 0,166666666 Áp dụng công thức hình thang: = 0,1 [ + + 2( + + )] + ⋯+ = 0,152588383 Áp dụng công thức Simpson: = 0,1 [ + + 2( + + + ) + + + + )] + 4( = 0,254301985 Bài 5: Tính tích phân công thức Newton – Cotes với n =6 : = 1+ 49 ℎ= 1−0 = 6 41 41 ⁄6 216⁄217 216 215,0046803 ⁄3 27⁄28 27 26, 03571429 ⁄2 8⁄9 272 241,7777778 ⁄3 27⁄35 27 20,82857143 ⁄6 216⁄341 216 136,8211144 1⁄2 41 20,5 = 701,9677862 ⟹ = 840 = 0,835675936 Bài 6: Giải gần tích phân sau phương pháp Gauss với n = = 1+ 1+ Ta tính toán bảng sau: ( ) ( ) -0,861 1,10487105 0,348 0,384495125 -0,340 1,011800326 0,652 0,659693812 0,340 1,011800326 0,652 0,659693812 0,861 1,10487105 0,348 0,384495125 = 2,088377875 ⟹ = 2,088377875 50 Bài 7: Giải gần tích phân sau phương pháp Chebysev với n = = 1+ ( )= sin 1+ -0,832 -4,400474083 -0,374 -0,58361316 0 0,374 0,265896534 0,832 0,272194812 = −4,445995896 ⟹ = 10 = −1,396750805 51 Kết luận Trên em trình bày xong toàn khóa luận “ phương pháp giải gần tích phân” Khóa luận cung cấp số phương pháp tính tích phân cách nhanh chóng dễ dàng Cùng với ví dụ minh họa cụ thể chọn lọc kĩ lưỡng, khóa luận giúp bạn đọc tiếp cận với môn “ Giải tích số” coi tài liệu tham khảo Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu hạn chế, phạm vi nghiên cứu tương đối rộng nên khóa luận tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc Một lần cho phép em gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giảng viên trường, cán thư viện nhà trường đặc biệt thầy giáo Nguyễn Văn Hùng tận tình giúp đỡ em hoàn thành xong đề tài Em xin chân thành cảm ơn 52 Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh – Giải tích số – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội – 1996 Phạm Phú Chiêm, Nguyễn Bường – Giải tích số – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội – 2000 Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường – Giáo trình Giải tích số – NXB Giáo dục – 2000 Tạ Văn Đĩnh – Phương pháp tính – NXB Giáo dục – 1998 Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Thịnh – Bài tập phương pháp tính – NXB Khoa Học Kĩ Thuật Hà Nội – 1996 Hoàng Xuân Huấn – Giáo trình phương pháp số – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Dương Thủy Vỹ – Giáo trình phương pháp tính – NXB Khoa Học Kĩ Thuật Hà Nội 53 [...]... cận tích phân, số a là cận dưới, số b là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, và x là biến số lấy tích phân 1.5.2 Tính chất của tích phân Giả sử các hàm số ; liên tục trên K và a;b;c là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có: 1) 2) ( ) ( ) =0 =− ( ) 17 3) 4) 5) ( ) ( ) + [ ( ) + ( )] ( ) = = = ( ) 18 ( ) ( ) , ớ ( ) + ∈ CHƯƠNG 2: GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 2.1... (x − x)dx = Mh 12 b) Sai số toàn phần Mh M(b − a) = h 12 12 Sai số tính toán sẽ trình bày chung cho các công thức cầu phương r = n (tính gần đúng tích phân) 2.2.3 Các bài toán Bài toán 1 Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [1,5] thành 4 phần bằng nhau, tính: = Giải Chia đoạn [1;5] thành n = 4 đoạn con bằng nhau, h = 1,0 ta tính ra bảng sau: 21 1 X 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Áp... [1,5])và như vậy: 2×4 2 × 1 = ⋍ 0.66 12 3 Như vậy, so với giá trị của tích phân thì việc giải gần đúng tích r= phân này nhờ công thức hình thang sẽ cho sai số tương đối là 0.66 Bài toán 2 Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [0;1] thành 10 phần bằng nhau, tính: 4 3 = Giải Chia đoạn [1;2] thành n = 10 đoạn con bằng nhau, h = 0,1 ta tính ra bảng sau: 22 X 4 3 1,0 0,235237573 1,1 -0,042524179 1,2... khái niệm nguyên hàm trở nên vô nghĩa Phương pháp đơn giản nhất để tính gần đúng tích phân xác định là thay f(x) bằng đa thức nội suy P(x), sau đó đặt: I= f(x)dx ⋍ P(x)dx 2.2 Công thức hình thang 2.2.1 Xây dựng công thức ( ) í ℎ Ta chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau với các điểm chia x = a + ih (i = 0, n); h = (b − a)/n 19 Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích hình thang vuông (xem hình dưới)... nếu ta biết được nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) thì tích phân : = ( ) = ( ) − ( ) Trong thực tế, nhiều khi ta phải tính tích phân xác định của hàm số mà không biết nguyên hàm của nó Nếu dùng định nghĩa tích phân I = lim → ∑ f(x )∆x thì tổng Darbour hội tụ rất chậm, do đó để đạt được độ chính xác không cao ta vẫn phải thực hiện một khối lượng tính toán lớn Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, hàm f(x)... C.TÍCH PHÂN 1.5 Tích phân 1.5.1 Định nghĩa Cho hàm số f liên tục trên K và ; là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số ( ) − ( ) được gọi là tích phân của f từ a đến b, và í ℎ ệ ∫ ( ) Người ta còn dùng kí hiệu ( )| để chỉ hiệu số ( ) − ( ) Như vậy, nếu F là một nguyên hàm của f trênK thì ( ) ( ) ì à = ( )| ê ℎà ộ ( ) ấ ì ủ ê ó: ( ) = Người ta gọi hai số ; là hai cận tích. .. Bằng phương pháp Simpson, với việc chia đoạn [0;1] thành 4 phần bằng nhau, tính: I = dx 1+x Giải ó ℎ= 1 = 0,25 4 Chia đoạn [0;1] thành n = 4 đoạn con bằng nhau, h = 0,25 ta tính ra bảng sau: 26 1 1+ X 0,00 1,0 0,25 0,9411765 0,50 0,80 0,75 0,64 1,00 0,5 0,25 (y + 4y + 2y + 4y + y ) = 3 0,25 = (1 + 3,76471 + 1,6 + 2,56000 + 0,5) ≃ 0.785399 3 I ≃ Để ý rằng π = 4I ta được biểu thức gần đúng π ≃ 3.141596 Phương. .. vài giá trị của n n 1 0 2 -0,577 0,577 3 -0,707 0 0,707 4 -0,795 -0,188 0,188 0,795 5 -0,832 -0,374 0 0,374 0,832 2.5.2 Các bài toán Bài toán 9 Bằng phương pháp Chebysev với n = 5, giải gần đúng tích phân: = 1+ Giải = 1 2 1+ ≈ 1 5 ( ) + ⋯+ ( ) đó ( )= 1 1+ Tính toán được tiến hành theo bảng sau: 1+ i ( ) 1 -0,832 0,692224 1,692224 0,590938315 2 -0,374 0,139876 1,139876 0,877288406 3 0 0 1,000 1,000 4... 2,56000 + 0,5) ≃ 0.785399 3 I ≃ Để ý rằng π = 4I ta được biểu thức gần đúng π ≃ 3.141596 Phương pháp Runge trình bày dưới đây cho phép ta nhận được các ước lượng hậu nghiệm (a – posteriori) khá hiệu quả của sai số Gọi R là sai số phương pháp của Simpson, theo (2.5) R có dạng R ⋍ Ch ,trong đó C = const > 0 Tính tích phân I hai lần theo công thức (2.2) với bước h và h/2, ta được I= + C(h⁄2) + Ch = / Từ đây... = 0.69315 Bài toán 8 Giải gần đúng tích phân = ℎ 1+ ℎứ ô − Giải Tính toán được tiến hành theo bảng sau: 0 1 7 7,00 0,5 0,94117647 32 30,11764704 1 0,500 12 6,000 1,5 0,164948453 32 5,278350496 2 0,058823529 7 0,411764705 33 = 48,80776224 Áp dụng công thức Newton – Cotes ta được: ≈ 2 48,80776224 ≈ 1,084616939 90 2.5 Công thức Chebysev 2.5.1 Xây dựng công thức Công thức cầu phương Chebysev có dạng: ... số lớp lấy tích phân, nên phương pháp Monte – Carlo đặc biệt có lợi việc tính tích phân nhiều chiều, phương pháp tất định tỏ bất lực Ví dụ, để tính tích phân 10 lớp công thức cầu phương khối... Giải gần tích phân sau phương pháp Chebysev với n = = 1+ Bài 8: Giải gần tích phân sau phương pháp Monte-Carlo = = {( , )| ( + + ) , ≤1; ≥0; ≥ 0} Bài 9: Giải gần tích phân sau phương pháp Monte-Carlo... Tính I theo công thức biết với h = 0,1 44 Bài 5: Giải gần tích phân sau công thức Newton – Cotes với n = = 1+ Bài 6: Giải gần tích phân sau phương pháp Gauss với n = 1+ 1+ = Bài 7: Giải gần tích