Phương pháp tính gần đúng tích phân

Lời cảm ơn Trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức

Lời cảm ơn

Trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây, em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – những người đã giúp đỡ, chăm lo và dìu dắt chúng

em trưởng thành như hôm nay

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới

thầy: Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo

và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này

Sinh viên Nguyễn Thị Ngân

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên Nguyễn Thị Ngân

Mục lục

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Lời nói đầu 1

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 2

A SAI SỐ 2

1.1 Số gần đúng và sai số 2

1.2 Các quy tắc tính sai số 3

1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp 5

B ĐA THỨC NỘI SUY 5

1.4 Đa thức nội suy Lagrange 7

C TÍCH PHÂN 14

1.5 Tích phân 14

Chương 2: Giải gần đúng tích phân 16

2.1 Mở đầu 16

2.2 Công thức hình thang 16

2.3 Công thức Simpson 21

2.4 Công thức Newton – Cotes 27

2.5 Công thức Chebysev 31

2.6 Công thức Gauss 34

2.7 Giải gần đúng tích phân bội bằng phương pháp Monte – Carlo 38

Chương 3: Ứng dụng 41

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

Lời nói đầu

Toán học bắt đầu từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc

từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Khi nói đến toán học ứng dụng không thể không nhắc đến Giải tích số

Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng

các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu Sự ra

đời và phát triển của Giải tích số đã góp phần quan trọng trong việc tạo

ra các thuật giải các bài toán thực tế như: các bài toán ngược trong lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán, nhận dạng…

Ngày nay, với sự phát triển của Tin học thì các kiến thức của Giải

tích số càng trở nên rất cần thiết Chúng ta đang được chứng kiến xu thế

song song hóa đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của Giải Tích số Để

tiết kiệm bộ nhớ trong máy tính, người ta đã đề xuất những phương pháp hữu hiệu xử lí hệ lớn, thưa như kĩ thuật ném ma trận, kĩ thuật tiền xử lí

ma trận…

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tính tích phân xác định của hàm số khi không biết nguyên hàm của nó, nếu dùng định nghĩa thì độ chính xác đạt được không cao mà vẫn phải thực hiện một khối lượng tính toán lớn Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, hàm số chỉ được cho dưới dạng bảng

nên khái niệm nguyên hàm trở nên vô nghĩa Tuy nhiên, Giải tích số đã

cung cấp cho chúng ta những phương pháp đơn giản nhất để tính được gần đúng tích phân xác định mà độ chính xác không kém bao nhiêu

Vì vậy, với niềm yêu thích bộ môn Giải tích số em đã lựa chọn đề

tài cho khóa luận tốt nghiệp của em là “ Phương pháp giải gần đúng tích phân”

Khóa luận này bao gồm 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Giải gần đúng tích phân

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

A SAI SỐ

1.1 Số gần đúng và sai số

1.1.1 Số gần đúng – Sai số tương đối và sai số tuyệt đối

Ta gọi x là số gần đúng của số ∗ nếu x không sai khác nhiều so với x∗ Hiệu số ∆= | ∗− | được gọi là sai số thực của x vì không biết

được giá trị đúng của ∗ nên không thể xác định được ∆

Mặt khác ta có thể tìm được số ∆ ≥ 0 sao cho | ∗− | ≤ ∆ Khi đó:

∆ ọ à ố ệ đố ủ

= ∆

| | ọ à ố ươ đố ủ Suy ra ∆ = | | là công thức thể hiện được mối liên hệ giữa sai

số tương đối và sai số tuyệt đối

1.1.2 Quy tròn số và sai số quy tròn

a, Hiện tượng quy tròn số

Khi gặp một số có quá nhiều số đằng sau dấu phẩy, người ta bỏ đi một vài chữ số ở cuối, việc làm đó được gọi là quy tròn số

Mỗi khi quy tròn số, ta tạo ra một sai số mới gọi là sai số quy tròn tuyệt đối

b, Sai số quy tròn tuyệt đối

Gọi x là sai số gần đúng của ∗ và là số quy tròn của x Thế thì

số sao cho | − | ≤ được gọi là sai số quy tròn của

Vì | ∗− | ≤ | ∗− | + | − | ≤ ∆ + nên ta thấy khi làm tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm

Gọi x là số gần đúng của ∗ và là số quy tròn của x Thế thì số

sao cho | − | ≤

1.1.3 Cách viết số gần đúng

a, Chữ số có nghĩa

Chữ số có nghĩa là tất cả các chữ số khác không, kể cả số không nếu nó kẹp giữa hai chữ số khác không hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

Xét hàm số u của hai biến x và y có dạng = ( , ) Cho biết sai

số về x;y Hãy lập công thức tính sai số về u

Ta kí hiệu ∆ , ∆ , ∆ là các số gia của x;y;u

, , là các vi phân của x;y;u

Đặc biệt ta có ( ) = với n nguyên dương

1.2.4 Sai số của thương = , ≠

Tương tự như trường hợp tích ta có quy tắc: Sai số tương đối của một thương bằng tổng các sai số tương đối của các số hạng: ⁄ = +

1.3 Sai số tính toán và sai số phương pháp

Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đã cho bằng một bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực hiện các phép tính thông thường bằng tay hay bằng máy tính điện tử Phương pháp này thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản gọi là phương pháp gần đúng

Sai số của phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp

Để giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các phép tính thông thường, ta luôn phải quy tròn các kết quả không gian Sai số tạo bởi tất

cả các lần quy tròn như vậy gọi là sai số tính toán

Sai số cuối cùng là tổng hợp của hai loại sai số phương pháp và sai

số tính toán

Chú ý

Sai số tổng hợp cuối cùng có phần của sai số phương pháp và sai

số tính toán.Vì vậy, phải chú ý điều chỉnh sao cho sai số cuối cùng nhỏ hơn sai số cho phép

B ĐA THỨC NỘI SUY

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f(x), chỉ biết giá trị y tại các điểm x ∈ [a, b] (i = 0,1, … , n).Cũng có trường hợp biểu thức

dễ dàng tính được f tại bất kì ∈ [ , ] mà độ chính xác không kém bao nhiêu

Ngoài ý nghĩa lịch sử ra, đa thức đại số thường được dùng trong phép nội suy vì lí do đơn giản sau: các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng được thực hiện trên đa thức Hơn nữa nếu P(x) là

Suy ra phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất

Để giải bài toán đã cho ta phải giải hệ (1.1), như vậy sẽ rất khó khăn và phức tạp

Sau đây ta sẽ trình bày cách xây dựng đa thức nội suy mà không cần giải hệ (1.1), gọi là đa thức nội suy Lagrange

1.4 Đa thức nội suy Lagrange

1.4.1 Công thức nội suy Lagrange

Tìm đa thức ( ) có bậc n, sao cho

Như vậy, P(x) là đa thức nội suy (duy nhất) cần tìm

Nếu các mốc nội suy cách đều, tức là

− = ℎ ( = 0, − 1)

ℎì đặ ≔ −

ℎ ℎ = + ℎ, đượ ( ) = ( + ℎ) = (−1)

a) Sai số phương pháp

Giả sử, P(x) là đa thức nội suy bậc n của hàm f(x), tức là

( )= ( ) ( = 0, ) Ta cố định giá trị ∈ [ , ] tùy ý và tìm cách ước lượng sai số ( ) = ( ) − ( ) Dĩ nhiên chỉ cần xét ≠ ( = 0, ) vì ( ) = 0 ( = 0, )

| ( )| = | ( ) − ( )| ≤

( + 1)!|( − ) … ( − )|

đó = sup ( )( ) b) Sai số tính toán

Giả sử thay vì biết các giá trị đúng = ( ), ta chỉ biết các giá trị gần đúng Khi đó, thay vì đa thức nội suy

∓sin sin , ta được cos( + 1) + cos( − 1) = 2 cos

hay:

( ) = 2 ( ) − ( ) Nghiệm của ( ) là:

= cos2 + 1 ( = 0, − 1)

à ự ị ủ ó max

| | | ( )| = 1 , đạ ạ = cos ( = 0, ) Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu bằng 1, đa thức Chebysev ( ) 2⁄ có độ lệch (so với 0) nhỏ nhất trên đoạn [-1, 1] Nghĩa là, nếu

Trong trường hợp = −1; = 1 ta lấy mốc nội suy là nghiệm của đa thức Chebysev ( ) Khi đó, ước lượng tốt nhất của phép nội suy là:

| ( ) − ( )| ≤

( + 1)!| ( )| ≤ 2 ( + 1)!

đó ( ) = ( − ) … ( − ) = ( )

2Trong trường hợp a < b bất kì, ta dùng phép thế biến =

đưa đoạn [a,b] về đoạn [-1,1] Ước lượng tốt nhất của phép nội suy trong trường hợp này là:

| ( ) − ( )| ≤ ( − )

( + 1)! 21.4.4 Sai phân

 Giả sử ∶ → là một hàm số cho trước và ℎ = ≠ 0

Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại lượng

∆ ( ) = ( + ℎ) − ( )

Tỷ sai phân cấp một của f(x) là ∆ ( )

ℎ

Một cách tổng quát

∆ ( ) ≔ ∆[∆ ( )]( ≥ 1), ∆ ( ) ≔ ( )

 Các tính chất của sai phân

1) ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là:

1.4.5.1 Quy tắc xác định sai phân

Giả sử hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng = ( ) tại các mốc cách đều : − = ℎ = ( ≥ 0) khi đó sai phân được xác định như sau:

1.4.5.2 Các quy tắc nội suy

a) Công thức nội suy Newton tiến

Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự < < ⋯ <

Tìm đa thức nội suy dưới dạng

Mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự giảm dần > > ⋯ > Tìm đa thức nội suy dưới dạng:

= + ℎ ( = 0, ±1, ±2, … , ± )

d) Công thức nội suy Gauss II

Tìm công thức nội suy dưới dạng “lùi, tiến”:

C.TÍCH PHÂN

1.5 Tích phân

1.5.1 Định nghĩa

Cho hàm số f liên tục trên K và ; là hai số bất kì thuộc K Nếu

F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số ( )− ( ) được gọi là tích phân của f từ a đến b, và í ℎ ệ ∫ ( )

Người ta còn dùng kí hiệu ( )| để chỉ hiệu số ( )− ( ) Như

vậy, nếu F là một nguyên hàm của f trênK thì

( ) = ( )|

ì ( ) à ộ ê ℎà ấ ì ủ ê ó:

Người ta gọi hai số ; là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b

là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, và x là biến số lấy tích phân

3) ( ) + ( ) = ( )

4) [ ( ) + ( )] = ( ) + ( )

5) ( ) = ( ) , ớ ∈

CHƯƠNG 2: GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN

2.1 Mở đầu

Thông thường, nếu ta biết được nguyên hàm của hàm số f(x) là

F(x) thì tích phân :

= ( ) = ( ) − ( )

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tính tích phân xác định của hàm số

mà không biết nguyên hàm của nó Nếu dùng định nghĩa tích phân

I = lim → ∑ f(x )∆x thì tổng Darbour hội tụ rất chậm, do đó để đạt được độ chính xác không cao ta vẫn phải thực hiện một khối lượng tính toán lớn Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, hàm f(x) chỉ được cho dưới dạng bảng, vì vậy khái niệm nguyên hàm trở nên vô nghĩa

Phương pháp đơn giản nhất để tính gần đúng tích phân xác định là thay f(x) bằng đa thức nội suy P(x), sau đó đặt:

Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích hình thang vuông (xem hình dưới)

f(x)dx ≃ b − a

2n (y + 2y + … + 2y + y ) (2.1)

a) Sai số phương pháp

Sai số địa phương

Thực chất của việc thay f(x)dx ≃ y + y

2 h

là xấp xỉ hàm f(x) trên đoạn [x , x ] bằng đa thức nội suy bậc nhất:

f(x) ≃ P (x) =y (x − x `)+ y (x − x )

ℎ

Sai số của phép nội suy tuyến tính là:

|R (x)| = f (ξ)

2 (x − x )(x − x ) ≤

M

2|(x − x )(x − x)| trong đó M = sup{|f (x)|P: x ∈ [x , x ]} Dễ thấy

r = n.Mh

12 =

M(b − a)

12 h Sai số tính toán sẽ trình bày chung cho các công thức cầu phương (tính gần đúng tích phân)

Vì f’’(x) = 2x nên f’’(x)≤ 2 (∀x ∈ [1,5])và như vậy:

r = 2 × 4

12 × 1 =

2

3⋍ 0.66 Như vậy, so với giá trị của tích phân thì việc giải gần đúng tích phân này nhờ công thức hình thang sẽ cho sai số tương đối là 0.66

Chia đoạn [1;2] thành n = 10 đoạn con bằng nhau, h = 0,1 ta tính ra

bảng sau:

Bằng phương pháp hình thang, với việc chia đoạn [0;1] thành 10 phần bằng nhau, tính:

2.3.1 Xây dựng công thức

í ℎ ( )

Chia đoạn [a,b] thành 2n phần bằng nhau với bước h = (b-a)/2n Trên mỗi đoạn [x , x ], (i = 1, n) ta thay f(x) bằng đa thức nội suy bậc hai (parabol) với các mốc nội suy x , x , x

fdx ≃ b − a

6n (y + 4y + 2y + ⋯ + 4y + y ) (2.2) 2.3.2 Sai số phương pháp

Sai số địa phương

F( )(t) = −2t

3 f

( )(ξ) +90

h Φ(h) , (2.3) Trong đó ξ ∈ (x − t, x + t)

Áp dụng định lý Rolle ta có: do F(0) = F(h) = 0 nên tìm được

t ∈ (0, h) để F’’(t ) = 0 Tiếp theo F’(0) = F’(t ) = 0, ta tìm được

f(x)dx =h

3[f(x − h) + 4f(x ) + f(x + h)] −

h

90f( )(ξ) (2.4)

Đặt M = max f( )(x) ∶ x ∈ [a, b] ,ta có ước lượng sau:

ó ℎ = 1

4= 0,25

Chia đoạn [0;1] thành n = 4 đoạn con bằng nhau, h = 0,25 ta tính

ra bảng sau:

Gọi R là sai số phương pháp của Simpson, theo (2.5) R có dạng

R ⋍ Ch ,trong đó C = const > 0 Tính tích phân I hai lần theo công thức (2.2) với bước h và h/2, ta được

2.4 Công thức Newton – Cotes

Giả sử phải tính tích phân I = f(x)dx Đổi biến ξ = x − a

b − a,

ta được

f(x)dx = (b − a) Φ(ξ)dξ, trong đó Φ(ξ) = f(a + (b − a)ξ) Chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau với bước h = , ta được x = a + ih và ξ = (0, n)

P ≔ ∫ (ξ − 0) ξ − … ξ − ξ − … (ξ − 1)dξ

Ta nhận thấy các hệ số P (i = 0, n ) không phụ thuộc vào hàm f(x) và đoạn lấy tích phân [a , b], do đó chúng có thể được tính sẵn, lập bảng và sử dụng lâu dài

Dưới đây là bảng hệ số Cotes, ứng với n = 1,2,3,4,5,6

Như vậy f(x)dx ≃b − a

6 (y + 4y + y )

Đây là công thức parabol (địa phương)

Khi n lớn, các hệ số Newton – Cotes khá phức tạp Vì vậy, ta nên chia đoạn [0,1] thành một số phần bằng nhau Sau đó áp dụng công thức Newton-Cotes với n’ nhỏ hơn trên từng đoạn con

Tính toán được tiến hành theo bảng sau:

= 48,80776224

Áp dụng công thức Newton – Cotes ta được:

≈ 2

90 48,80776224 ≈ 1,084616939 2.5 Công thức Chebysev

Nói riêng, khi i = 0, f ≡ 1, ta có đẳng thức

2 = B = nB, suy ra B = 2

n Như vậy công thức (2.6) có dạng

f(t)dt ≃ 2

n f(t ) (2.7) Thay f(t) = t (k = 1, n) vào (2.7) ta nhận được hệ phương trình phi tuyến (n ẩn, n phương trình) để xác định t (1, n)

2

1 − (−1)

k + 1 (k = 1, n) (2.8)

Nhà toán học Nga Berstein đã chứng minh rằng với n = 8 và mọi

n ≥ 10, hệ (2.8) không có nghiệm thực Đây cũng là nhược điểm của phương pháp Chebysev

Sau đây ta sẽ xây dựng công thức Chebysev cho trường hợp n=3 Khi đó hệ (2.8) có dạng:

= 3,936453444

Áp dụng công thức Chebysev ta được:

≈ 0,787290688 2.6 Công thức Gauss

Thay t vào (2.10) ta được hệ 2n phương trình phi tuyến đối với 2n ẩn B , t (i = 1, n)

B t =1 − (−1)

k + 1 (k = 0,2n − 1), (2.11) Gauss đề xuất một cách giải rất độc đáo hệ (2.11):

Xét các đa thức

P(t) = t P (t) (k = 0, n − 1), trong đó P (t) là các đa thức Legendre

Một mặt do tính chất trực giao của các đa thức Legendre, ta có:

P(t)dt = t P (t)dt = 0

Mặt khác, vì degP(t) ≤ 2n − 1 (kí hiệu deg – chỉ bậc của đa thức) nên công thức (2.10) đúng cho P(t), tức là:

P(t)dt = B P(t ) = B t P (t )

Từ lí luận trên suy ra B , t (i = 1, n) thỏa mãn hệ phương trình

B t P (t ) = 0 (k = 0, n − 1) (2.12) Nếu chọn t (i = 1,2, … , n) là nghiệm của đa thức Legendre P thì (2.12) hiển nhiên đúng

Còn lại n tham số B (i = 1, n) ta xác định từ n phương trình đầu của hệ (2.11):

5B + 0 B +

3

5B =

23

B = 0

Từ đây suy ra B = B =5; B =8