Ứng dụng tích phân xác định

Các phương pháp tính tích phân  Như đã được học chương trình phổ thông, để xác định được một biểu thức tích phân ta thường dùng hai phương pháp: phương pháp đổi biến và phương pháp tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TOÁN VI – TÍCH PHÂN 22

4.1 THỰC TRẠNG SỬ DỤNG TOÁN HỌC TRONG CÁC MÔN KHOA HỌC TỰ

4.2 GIỚI THIỆU VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG PHÉP VI – TÍCH

1.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1.1.1 Định nghĩa

1.1.1.1 Nguyên hàm

 Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a, b) nếu F’(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b)

 Cho F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a, b) thì tồn tại hằng số C sao cho

 Cho hàm số f(x) xác định trên [a, b] và chia [a, b] thành các điểm như sau:

a = xo < x1 < x2 < … < xn = b, ta chọn một số ɛi ∈ [xi–1, xi] – với i = 1, 2,…, n

Xét tổng tích phân của hàm số f(x) (tổng Riemann) được định bởi:

Sn = ∑ni=1(xi – xi–1).f(ɛi) = (x1 – x0).f(ɛ1) + (x2 – x1).f(ɛ2) + … + (xn– xn–1).f(ɛn)

Nếu max

1 ≤ i ≤ n|xi − xi–1| → 0, ta có Sn → α thì ta nói f(x) là hàm số khả tích và α là tích phân của hàm số f(x) trên [a, b], ghi là ∫ f(x)dxab = α

 Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều khả tích trên [a, b]

 Định nghĩa tích phân như trên là không dễ dàng đối với đa số học sinh nên ta có thể dùng công

thức Newton – Leibnitz thay cho định nghĩa:

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃 = F(b) – F(a) ≡ [𝑭(𝒙)]|𝒃

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = F(x) + C (C = const)

ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

1.3.1.1 Hàm lượng giác ngược

x 2 + a 2 = 1

aarccot(x

a) + C với arccot (x

a) ∈ (0, π) 3) ∫ dx

a2− x2 = 1

2aln|a + xa−x| + C 3) ∫ √a2− x2dx = 1

2[x√a2− x2 + a2acrsin(x

a)] + C 4) ∫ √x2± a2dx = 1

2[x√x2± a2+ a2ln |x + √x2± a2|]+ C 5) ∫ xdx 3 = 1 + C

1) ∫ f(x)dxa = 0 2) ∫ f(x)dxab = – ∫ f(x)dxba3) Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì ∫ f(x)dxab ≥ 0 4) Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì ∫ f(x)dxab ≥ ∫ g(x)dxab

Từ đó ta suy ra được |∫ f(x)dxab | ≤ ∫ |f(x)|dxab5) ∫ f(x)dxab = ∫ f(x)dxac + ∫ f(x)dxcb (a ≤ c ≤ b)

xdx = ln|x| + C 3) ∫ 1

√xdx = 2√x + C 4) ∫ exdx = ex + C

5) ∫ axdx = ax

ln a + C 6) ∫ cos x dx = sin x+ C 7) ∫ sin x dx = – cos x+ C 8) ∫(1 + tan2x) dx = ∫ 1

cos 2 xdx = tan x + C 9) ∫(1 + cot2x) dx = ∫ 1

sin2xdx = –cot x + C

1.3.2 Các phương pháp tính tích phân

 Như đã được học chương trình phổ thông, để xác định được một biểu thức tích phân ta thường

dùng hai phương pháp: phương pháp đổi biến và phương pháp tích phân từng phần Sử dụng nhuần nhuyễn hai phương pháp trên, kết hợp cùng các thủ thuật toán học như đồng nhất hệ số, nhân lượng liên hiệp, biến đổi lượng giác… ta có thể dễ dàng giải được mọi bài tích phân cơ

bản Hơn hết, với các bài toán tích phân xác định, dựa vào hai cận của tích phân ta có thể suy đoán được hướng giải của bài toán đó

 Thật vậy, ta có thể xem xét các ví dụ sau:

VD 1 : I = ∫ √𝒆𝒙

√𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙

𝟏 𝟐

𝟎 𝒅𝒙

Ta có I = ∫ √ex

√ex + e−x

1 2

1 +√2

VD 2 : I = ∫ 𝒙𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐

√𝟑 𝟐

√𝟐 𝟐

4

√1 − sin2t cos t dt =∫ sin2t

π 3 π 4

|cost| cos t dt

= 1

4∫ sin22tdt

π 3 π 4

7 2

(2x− 3) 2 (2x− 1)(2x− 5)

7 2

t)|

3

4 = 1

VD 5 : I = ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒙−𝐜𝐨𝐬 𝒙

√𝟏+𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙

𝝅 𝟐 𝝅 𝟒

𝒅𝒙

Ta có: I = ∫ sin x−cos x

√1+sin 2x

π 2 π 4

dx = ∫ sin x−cos x

√(sin x+cos x) 2

π 2 π 4

dx = ∫ sin x−cos x

|sin x+cos x|

π 2 π 4

Ta lại có: (cos x − sin x)dx = d(sin x + cos x)

Vậy I= ∫ −d(sin x+cos x)

 Như một số dạng thường gặp sau:

1) (Acosx ∓ Bsinx)dx = d(Asinx ± Bcosx + C)

2) (A ∓ B)sin2xdx = d(Asin2x ± Bcos2x + C)

3) −sin4xdx = d(sin4x + cos4x + C)

––––––––––––– –––––––––––––

2.1 LỊCH SỬ TÍCH PHÂN

Việc tính diện tích của một hình phẳng hoặc tính thể tích của một vật thể trong không gian, mà hình dạng của chúng không thể

áp dụng các công thức của môn hình học sơ cấp từ lâu đã được đặt

ra Từ thời cổ đại, nhà Toán học, Vật Lý học lỗi lạc Archimède đã

sử dụng các công cụ sơ đẳng của toán học để tính diện tích một số hình phẳng giới hạn bởi các đường cong như hình cầu, hình nón Ông được ví là người đặt viên gạch đầu tiên cho phép toán tích phân

Mãi đến thế kỉ 17, việc phát triển một cách có hệ thống về phương pháp tính diện tích và thể tích nói trên đã được thực hiện

bởi các nhà toán học như Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal và

nhiều nhà toán học khác Năm 1659, Barrow đã thiết lập được sự liên hệ giữa phép tính diện tích và phép tìm tiếp tuyến của đường cong có liên quan Không lâu sau đó thì Issac Newton và Gottfried Leibniz đã trừu tượng hóa mối liên hệ trên thành sự liên kết giữa phép tính vi phân và phép tính tích phân, hai hình khối quan trọng

của giải tích

Newton và Leibnitz, cùng với các học trò của hai ông đã sử

dụng mối liên hệ giữa phép tính vi phân với phép tính tích phân để

mở rộng các phương pháp lấy tích phân, nhưng các phương pháp tính tích phân được biết đến ở trình độ hiện nay phần lớn được

trình bày trong công trình của Euler Sự đóng góp của hai nhà toán học Tchébicheff và

Ostro-gradski đã kết thúc quá trình phát triển phép tính này

Hay ta có thể liên hệ với quy luật chuyển hóa giữa

“lượng – chất” của phép biện chứng duy vật trong Triết học

Marx – Lenin Từ hai vấn đề sau đây: (1)Khi chia đôi một

con bò thì chất của nó không thay đổi, tiếp tục chia đôi thì

vẫn như vậy, nhưng cứ tiếp tục chia nhỏ nó ra thì chất của

con bò có còn như ban đầu? (2)Một hạt cát không được gọi là

sa mạc, ta thêm vào một hạt cát nữa vẫn không thành sa mạc,

nhưng cứ tiếp tục thêm mãi thì tạo thành sa mạc

Vậy nên ta có thể thấy được sự tương quan đặc biệt trong

ĐÔI NÉT VỀ SỰ RA ĐỜI VÀ PHÁT TRIỂN CỦA

phép tính vi – tích phân, nó như mối quan hệ biện chứng giữa lượng và chất không thể tách rời!

2.2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Trước sự ra đời của tích phân, các nhà toán học lúc bấy giờ có thể tính toán được vận tốc của một con tàu Nhưng

họ vẫn không thể tính toán được mối liên hệ giữa gia tốc với

tỉ lệ của lực tác động vào con tàu; hay vẫn chưa thể tính toán được góc bắn thích hợp trong môi trường có sức cản để viên đạn đi xa nhất Ngày nay, các phép tính vi – tích phân

là một trong những công cụ quan trọng trong vật lý, kinh tế

và các môn khoa học xác suất Vào những năm 1960, chính

các hàm vi – tích phân đầu tiên đã trở thành công cụ cho

phép các kỹ sư phi thuyền Apollo tính toán được các số liệu

trong sứ mệnh chinh phục Mặt Trăng của con người Nhưng thật thú vị khi người đầu tiên bay vào vũ trụ lại là anh hùng

Yuri Gagarin (1934 – 1968) người Liên Xô Chuyến du

hành vũ trụ của anh kéo dài trong 108 phút vào ngày 12/04/1964 và trở thành một cột mốc lịch sử quan trọng của toàn nhân loại

––––––––––––– –––––––––––––

Ứng dụng của tích phân vào sự phát triển của lịch sử khoa học là gì?

Sau đó tính Qk tương đối chính xác, thay vào (1) dùng giới hạn để tìm ra tổng Q

 Ta đã sử dụng phương pháp trên để tính diện tích hình thang cong và được: S = ∫ f(x)dxab

(sẽ tìm hiểu kĩ hơn ở phần 3.1.2)

 Nhận xét: Nếu n càng lớn (số phần chia Q càng nhiều) thì độ chính xác càng cao, vì thế mà tính toán rất “nhọc” Phép tích phân giúp ta hạn chế được sai số và tính được chính xác đại lượng ta tìm

VD 1 : Xét diện tích hình phẳng giới hạn bởi: trục hoành, y = f(x) = cosx + 2 và hai đường thẳng x = 0; x = 9,5

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

3.1.1.2 Phương pháp thứ hai – sơ đồ vi phân

 Giả sử: đại lượng cần tính Q phụ thuộc cộng tính vào các đoạn: 𝑎 ≤ 𝑎′ < 𝑐 < 𝑏′ ≤ 𝑏

thang cong rất nhỏ MPFE (hình 1) Ta dễ

dàng chứng minh được các trường hợp cụ

thể như sau:

Hình 1

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] thì

diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi

VD 2 : Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi {(P): y = 2x2− 4x − 6; trục hoành

Ghi chú: bốn đường đồ thị của hai

hàm số liên tục f(x) và g(x) và hai đường

thẳng 𝑥 = 𝑎; 𝑥 = 𝑏 luôn xác định được một

hình phẳng Tuy nhiên, đôi khi chỉ với hai

đồ thị của hai hàm số liên tục f(x) và g(x)

cũng đủ xác định một hình phẳng, chẳng hạn

như trong hình sau:

(4)

Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục

trên [a, b] thì diện tích S của hình phẳng giới

: :

y

x

y O

(C 1 ): y = f(x)

(C 2 ): y = g(x)

a

VD 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: { 𝒇𝟏(𝒙) = 𝒙𝟑− 𝒙

Chú ý: Công thức (4) chỉ sử dụng để tính được diện tích hình phẳng (H) đơn giản giới hạn

bởi đồ thị hàm số f(x), g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b.Trong trường hợp hình phẳng (H) được xác định bởi nhiều hơn hai đồ thị của hàm số, khi đó muốn tính diện tích (H) thì ta phải vẽ

hình (H) – tức vẽ các đường xác định (H) Dựa vào đó ta chia hình phẳng (H) thành các hình đơn

3.1.2.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường có phương trình tham số

VD 5 : Tính diện tích hình elip giới hạn bởi (𝑬): 𝒙𝟐

0 cos

2 cos

3.1.2.3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong trong tọa độ cực

 Áp dụng cơ sở lý thuyết tương tự như

3.1.2.1 ta chia đường cong thành vô số

đoạn nhỏ gần như thẳng AB, khi đó ta

tạo được vô số các tam giác vuông OAB

3.1.3 Độ dài cung

3.1.3.1 Cơ sở lý thuyết

 Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số

đoạn ∆l “gần thẳng” rồi lấy tổng của chúng lại

với nhau Xét xo ∈ [a, b] và ∆x > 0 sao cho xo+

∆x ∈ [a, b]

 Với ∆x đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị

f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng x = xo và x =

xo +∆x là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm A

và B như hình 3 Và cũng vì ∆x nhỏ, nên AB ≡

(d) nên xem như AB là tiếp tuyến tại xo

của f(x)

 Như vậy độ dài cung ∆l ≈ AB = ∆x

𝑐𝑜𝑠𝛼 với  là góc tạo bởi tiếp tuyến AB tại xo của f(x) và trục

Ox nên tan 𝛼 = f’(xo)

3.1.3.2 Độ dài đường cong trong tọa độ Descartes

VD 7 : Tính độ dài cung OA nằm trên parapol y = 𝒙𝟐

𝟐𝒂 với a ≠ 0, trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm nằm trên parapol có hoàng độ là t

Từ (5) ta lấy tổng độ dài các đoạn “thẳng” nhỏ ∆𝑙 lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong giới hạn bởi { (S): y = f(x)

= 1

2a[x√x2+ a2+ a2ln|x + √x2+ a2|]|

0 𝑡

= t

2a√t2+ a2+𝑎

2ln (t + √t2 + a2

|𝑎| ) (đvđd)

3.1.3.3 Độ dài đường cong có phương trình tham số

VD 8 : Tính độ dài cung xoắn ốc Archiméde {

Ta chứng minh hoàn toàn tương tượng từ cách chuyển đổi giữa diện tích hình phẳng trong tọa

độ Descartes sang diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường có phương trình tham số (trong phần

3.2 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

y x

 

y x

Từ (6), (7) với SABGH > SABEF ta kết luận được: ln 1   2 , 1

các lĩnh vực khoa học mà nhóm quan tâm (Hình học, Đại số, Vật Lý) Qua đó, chúng ta sẽ có

góc nhìn tổng quan và tích cực hơn về tích phân Trong Vật lý, thành thạo công cụ vi – tích phân giúp bài toán trở nên “chất” hơn, độc đáo hơn về mặt hình thức lẫn nội dung Và đó cũng là vấn

đề nhóm sẽ đưa ra trong phần tiếp theo, nhóm tác giả sẽ giới thiệu và nhận xét một loạt các bài toán có sử dụng hai phép toán trên trong các chuyên đề Vật Lý đại cương (Cơ học, Nhiệt học, Điện – Từ học, Quang hình học)

––––––––––––– –––––––––––––

4.1 THỰC TRẠNG SỬ DỤNG TOÁN HỌC TRONG CÁC MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN HIỆN NAY

Ta phải thừa nhận rằng Toán học là công cụ thực sự cần thiết cho quá trình học tập, công tác nghiên cứu chuyên sâu các môn Khoa học Tự nhiên (Vật Lý, Hóa học, Sinh học) Kì thi chọn Học sinh Giỏi (HSG) Quốc gia là cầu nối giúp nước ta chọn ra đội tuyển ưu tú để tham dự kì thi HSG khu vực Châu Á Thái Bình Dương (APhO, AChO), Quốc tế (IPhO, IBO, IChO) Những học sinh đạt giải chính là một phần lực lượng các nhà khoa học trẻ, tiếp nối trong tương lai Các phương pháp giải toán nói chung, hay cụ thể là phép tính vi – tích phân đã giúp mức độ đề được nâng cao, đáp ứng được yêu cầu chọn lọc đội tuyển thi tiếp vòng sau Dù vậy đề thi vẫn giữ được sự tinh túy của bộ môn

Song trong những năm gần đây, vấn đề “Toán học hóa” đề thi Đại học các môn Khoa học Tự nhiên ngày càng được quan tâm, các thầy cô trong ngành lên án gay gắt Vì cả ba môn học nói trên đều dùng phương án thi trắc nghiệm khách quan nên việc lạm dụng Toán học trong đề thi ngày càng tăng cao Việc nâng cao mức độ khó của các câu hỏi bằng cách đưa ra các phương pháp, thủ thuật giải thuần Toán làm cho bộ môn dần mất đi nét đẹp riêng của nó, chịu ảnh hưởng nhiều nhất là môn Vật Lý Hơn hết điểm thi không phản ánh hoàn toàn năng lực thật của thí sinh dự thi; phổ điểm rơi

vào mức trung bình cao – khá từ đó làm việc tuyển sinh của các trường Đại học rất khó khăn

Nhóm tác giả xin được giới thiệu và phân tích các đề thi của các kì chọn HSG môn Vật Lý trong

và ngoài nước nhằm làm rõ hơn luận điểm đầu tiên mà nhóm đã nêu Với vai trò là những người giáo viên Vật Lý trong tương lai, chúng ta phải luôn hiểu rõ rằng mục tiêu của hai kì thi trên là khác nhau, nên hướng đào sâu Toán học cũng cần có sự tiết chế, cân bằng cho phù hợp với mục đích kì thi nhằm giữ lại tinh túy mà môn học hướng tới

4.2 GIỚI THIỆU VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG PHÉP VI – TÍCH

PHÂN

4.2.1 Cơ học

Bài toán 1: Như nhóm tác giả đã giới thiệu ở trên, bài toán được đặt ra vào những năm 1960

liên hệ giữa khối lượng và vận tốc của tàu vũ trụ để có thể đưa nó đi theo quĩ đạo mong muốn, đã được tiếp cận và giải quyết như sau:

Đề bài: Một tên lửa được gia tốc nhờ động cơ phản lực hoạt động với mức tiêu thụ nhiên liệu giữ

không đổi là μ (kg/s), khí phụt ra có vận tốc đối với tên lửa là u và luôn giữ không đổi Biết rằng ban đầu khối lượng của tên lửa – bao gồm cả vỏ tàu và nhiên liệu bên trong là mo; ta bỏ qua tác dụng của trọng lực và sức cản không khí Biết rằng ban đầu tên lửa có vận tốc là vo

GIỚI THIỆU HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬT LÝ ĐƯỢC

NÂNG CAO BẰNG PHÉP TOÁN VI – TÍCH PHÂN

Bài giải và nhận xét: Xét chuyển động của hệ (tên lửa

– khối nhiên liệu) sau thời gian t kể từ lúc bắt đầu phóng,

vận tốc của tàu khi đó là v và khối lượng của tàu còn lại là

Lấy vi phân (1) ta được dm = – μdt

+ Sau đó một khoảng dt rất nhỏ, vận tốc tên lửa là v + dv và

khối lượng của nó là m + dm với dm là một đại lượng âm (hình 5)

<=> p⃗⃗⃗ – pi ⃗⃗⃗ = dpf ⃗ (i và f chỉ các đại lượng trước và sau khoảng dt)

Vì ta bỏ qua trọng lực và sức cản không khí tác dụng lên tên lửa, nên động lượng của hệ

được bảo toàn nên:

Fext = dp

dt = 0 là ngoại lực tổng hợp tác dụng lên hệ (3) Khai triển biểu thức (2) và kết hợp với (3), sau khi biến đổi đơn giản ta được:

= const, vận tốc con tàu là nhỏ) hay 𝑭⃗⃗⃗⃗ = −𝜼𝒗𝒗 𝒄 ⃗⃗⃗ (𝜂 = const, vận tốc tàu tương đối lớn) Vì vậy

– Kết quả (5) là được sử dụng khi con tàu thoát khỏi hoàn toàn trọng trường của Trái Đất

và đang sử dụng động cơ phản lực để đổi chiều chuyển động, quay về Trái Đất

 Và đây chính là hai phương trình nổi tiếng về chuyển động của hệ có khối lượng thay đổi, được thiết lập bởi I.V.Meserki (1859 – 1935) – nhà Vật Lý học người Liên Xô

Bài toán 2: (Trích đề chọn đội dự tuyển HSG Quốc gia của TPHCM năm học 2016 – 2017)

⃗⃗ là lực có phương hướng vào tâm

Nên độ lớn vận tộc của vòng được bảo toàn v(t) = vo = const

+ Xét chuyển động của vòng trong khoảng dt rất nhỏ, sợi chỉ khi đó có chiều dài là x và bị cuốn vào trụ một đoạn dx như hình 7

Ta có

sin(dα) ≈ dα = dl

x = vo dt x

tan(dβ) ≈ dβ = dx

R

Vì dây luôn tiếp tuyến với trụ và vo vuông góc

với dây nên: dα = dβ

<=> dx

R = vo dt x

Đề bài: Một cái cột thẳng đứng có bán kính R được

cố định trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang như hình

6 Một vật nhỏ được nối với cột nhờ một sợi chỉ mảnh

không dãn có chiều dài L Ban đầu, vật nằm yên trên

mặt ngang và dây căng Tức thì, vật được cấp một vận

tốc v o theo phương vuông góc với sợi chỉ và nó bắt

đầu chuyển động xung quanh cột và do đó sợi chỉ

được quấn dần vào cột Bỏ qua mọi ma sát, hãy tính

Hình 7