Ứng dụng tích phân xác định

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK - TOÁN CH 4: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN B9: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TS NGUYỄN QUỐC LÂN (01/2007) NOÄI DUNG A- PHƯƠNG PHÁP CẮT LỚP ĐỒ THỊ THAM SỐ, CỰC B- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1/ HÌNH THANG CONG (Biên: y = f(x); y = 0; x = a; x = b) 2/ HÌNH CÁNH QUẠT (Biên: r = r(ϕ); ϕ = α; ϕ = β) 3/ HÌNH THANG CONG VỚI ĐỒ THỊ THAM SỐ (Biên: (C) x = x(t), y = y(t); Ox; x = a; x = b) C- ĐỘ DÀI DÂY CUNG (3 dạng: y = f(x); r = r(ϕ); Tham số) D- THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY (Quay quanh Ox; Oy) E- DIỆN TÍCH BỀ MẶT VẬT THỂ TRÒN XOAY (3 dạng) PHƯƠNG PHÁP CẮT LỚP - Nguyên tắc: Chia nhỏ vật thể thành nhiều lớp đồng MINH HOẠ 2: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Quay hình thang cong: ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b quanh truïc Ox b V = π ∫ f ( x )dx a KHẢO SÁT HÀM THEO THAM SỐ x = x(t), y = y(t) - 1/ Miền xác định Nhận xét x(t), y(t) chẵn, lẻ → tính đối xứng; tuần hoàn → chu kỳ: thu gọn miền khảo sát t 2/ Tính đạo hàm x’(t), y’(t) → Khoảng tăng giảm x, y theo t → Điểm cực trị đồ thị 3/ Lập bảng biến thiên Tìm điểm đặc biệt 4/ Vẽ đồ thị Nguyên tắc: Nối điểm (cực trị, giá trị đặc biệt) Đồ thị phản ánh bảng biến thiên 5/ Tiệm cận: Cuối THU GỌN MIỀN KHẢO SÁT Miền xác định (theo t) Chú ý tính chẵn, lẻ, tuần hoàn hàm x(t), y(t) theo t VD: x(t) – chẵn, y(t) – lẻ ⇒ Đồ thị đối xứng … ⇒ Chỉ vẽ đồ thị phần t > & đối xứng x(t) – chẵn, y(t) – lẻ −t y (− t ) y (t ) x(t) chaün, y(t) lẻ ⇒ Đồ thị ??? x(t) lẻ, y(t) chẵn ⇒ Đồ thị ??? x (− t ) x(t) chẵn, y(t) chẵn ⇒ Đồ thị ??? x(t ) x(t) lẻ, y(t) lẻ ⇒ Đồ thị ??? t Đối xứng trục hoành x(t), y(t) tuần hoàn chu kỳ T ⇒ Đồ thị ??? CỰC TRỊ Đạo haøm: x’(t), y’(t) y ' (t ) y' (x ) = x' (t ) Khoảng ↑ ↓, cực trị x, y (theo t) Khoảng ↑ ↓, cực trị y (theo x) Đạo hàm cấp 2: (Nếu đề yêu cầu) y ' ' (t )x' (t ) − x' ' (t ) y ' (t ) y' ' (x ) = x' (t ) Miền lồi lõm đồ thị (y theo biến x) VD: Khảo sát chiều biến thiên, cực trị (x, y theo t y theo x), khoảng lồi lõm nhịp cycloid x(t) = a(t – sint), y = a(1 – cost), ≤ t ≤ 2π BẢNG BIẾN THIÊN HÀM THEO THAM SỐ - Chieàu ↑, ↓, cực trị … cycloid x = a(t – sint), y = a(1 – cost) x' (t ) = a(1 − cos t ) = ⇒ t = 0, 2π ; y ' (t ) = a sin t = ⇒ t = 0, π , 2π y ' (t ) a sin t t Đạo hàm theo tham soá: y ' x = = = cotg x' (t ) a(1 − cos t ) y ' ' (t )x' (t ) − x' ' (t ) y ' (t ) cos t (1 − cos t ) − sin t ĐH cấp 2: y ' ' ( x ) = = ) TOẠ ĐỘ CỰC - Toạ độ cực M(r, ϕ): r ≥ – khoảng cách từ gốc O đến M; góc ϕ - góc định hướng quay theo chiều dương từ trục Ox đến tia OM (Tương tự dạng lượng giác số phức) y r ⎧OM = r ⎨ ⎩ϕ = (Ox, OM ) Quy ước : ϕ ∈ [0,2π ] φ x Choïn ϕ: sinϕ dấu y 3⎞ ⎛1 VD : M ⎜ , − ⎟ ⎠ ⎝2 ⎧r = x + y ⎧ x = r cos ϕ ⇔⎨ ⎨ ⎩ y = r sin ϕ ⎩tgϕ = y x VD: a/ N(1, 1) b/ P(0, 2) c/ Q(–1, 0) VÍ DỤ – HOA HỒNG CÁNH - Vẽ r = acos(2ϕ) toạ độ cực HOA HỒNG CÁNH - Vẽ r = asin(3ϕ) toạ độ cực (SGK, tr 110) KỸ NĂNG: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG - Hình thang cong: Các cạnh y = f(x), y = g(x), x = a, x= b y = f ( x) α a y = g (x) Giaûi f(x) = g(x), x ∈[a, b] ⇒ x = α, β β b b α a a S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ ( f ( x ) − g ( x )) + K Ví dụ: Diện tích hình bị giới hạn y2 = 2x, x2 + y2 = (x ≥ 0) Giải: Chuyển y = f(x), y = g(x) y2 = 2x ⇒ y = 2x ? x2 + y2 = ⇒ y = − x2 ? ⎡x = 2 2x = − x ⇒ ⎢ ⇒ S = ∫ K dx : SAI! ⎣ x = −4 (loại ) ? DIỆN TÍCH HÌNH GIỚI HẠN BỞI PT THAM SỐ - H.phaúng: (C) x = x(t), y = y(t); x = a = x(α), x = b = x(β), y = (C ) a ⎧ x = x(t ) ⎨ ⎩ y = y (t ) x = x (t ) β b S = ∫ y ( x) dx = a ∫α y(t ) x' (t )dt b VD: Diện tích nhịp cycloid x = a(t – sint), y = a(1 – cost) Khảo sát nhanh ⇒ nhịp cycloid tương ứng: t = → 2π 2π S = a ∫ (1 − cos t )(1 − cos t )dt = 3πa DIỆN TÍCH HÌNH CÁNH QUẠT (TOẠ ĐỘ CỰC) - Hình cánh quạt: Giới hạn đồ thị cực r = r(ϕ), ϕ = α, ϕ = β r = r (ϕ ) ϕ3 ξ2 ϕ2 ϕ1 ϕ=β 1β S = ∫ r (ϕ )dϕ 2α ϕ =α Miền xác định: r ≥ ⇒ Cận α, β với biến ϕ VÍ DỤ - Tính diện tích miền giới hạn r = cos3ϕ (hình hoa hồng) Khó khăn: Xác định cận tích phân ¾ T = 2π/3 ⇒ Xét ϕ ∈ [–π/3, π/3] → cánh: Diện tích x ¾ Hàm chẵn ⇒ Đối xứng Ox ⇒ Vẽ [0, π/3] ⇒ Nhân ¾ Điều kiện: r ≥ ⇒ Miền tính thực tế: ϕ ∈ [0, π/6] π π S = ⋅ ⋅ ∫ r (ϕ )dϕ = ∫ cos 3ϕ dϕ 0 TÍNH ĐỘ DÀI DÂY CUNG Độ dài dây cung đồ thị y = f(x) từ x = a đến x = b (a < b) M ( x2 , f ( x2 )) M ( x1 , f ( x1 )) M ( x0 , f ( x0 )) b l = ∫ + f ' ( x )2 dx a CÔNG THỨC ĐỘ DÀI DÂY CUNG (3 TRƯỜNG HP) Độ dài dây cung đồ thị y = f(x) từ x = a ñeán x = b (a < b): b (C ) : y = f ( x) ⇒ l = ∫ + f ' ( x )2 dx ⇒ dl = + ( f ' ( x ))2 dx a Độ dài dây cung đồ thị x = x(t) , y = y(t) từ t = a đến t = b ⎧ x = x(t ) 2 2 (C ) : ⎨ ⇒ l = ∫ x' (t ) + y ' (t ) dt ⇒ dl = x' (t ) + y ' (t ) dt ⎩ y = y (t ) a b Độ dài dây cung đồ thị toạ độ cực r = r(ϕ) từ ϕ = α đến ϕ = β β (C ) : r = r (ϕ ) ⇒ l = ∫ r (ϕ )2 + r ' (ϕ )2 dϕ ⇒ dl = r (ϕ )2 + r ' (ϕ )2 dϕ α VÍ DỤ ĐỘ DÀI DÂY CUNG - Tính độ dài nhịp cycloid x = a(t – sint), y = a(1 – cost) nhòp cycloid: t = → t = 2π x' (t ) = a(1 − cos t ) , y ' (t ) = a sin t 2π t 2 2 t ⇒ ( x' (t ) ) + ( y ' (t ) ) = 4a sin ⇒ l = 2a ∫ sin dt = 8a 2 Tính độ dài đường cong (hình trái tim) r = a(1 + cosϕ) Miền xác định (r ≥ 0): –π ≤ ϕ ≤ π Hàm chẵn ⇒ Đối xứng Ox ⇒ ≤ ϕ ≤ π r + (r ') = 4a cos 2 2ϕ π ϕ ⇒ l = ⋅ 2a ∫ cos dϕ 2 THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Quay hình thang cong: ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b quanh: b Truïc Ox : V = π ∫ f ( x )dx a b Truïc Oy : V = 2π ∫ xf ( x )dx a VD: Tính thể tích quay hình phẳng giới hạn y = 2x – x2 & truïc Ox quanh: a/ Truïc Ox b/ Truïc Oy DIỆN TÍCH BỀ MẶT VẬT THỂ TRÒN XOAY - Quay daây cung: y = f(x), a ≤ x ≤ b quanh Ox ⇒ Bề mặt S DIỆN TÍCH BỀ MẶT VẬT THỂ TRÒN XOAY - b Coâng thức tổng quát: S = 2π ∫ y dl , dl : vi phân độ dài cung a b ™Toạ ñoä Descarts: y = f(x) ⇒ S = 2π ∫ f ( x) + f ' ( x )2 dx a t2 ™Tham soá: x = x(t), y = y(t) ⇒ S = 2π ∫ y (t ) x' (t )2 + y ' (t )2 dt t1 ™Toaï độ cực: r = r(ϕ) ⇒ β S = 2π ∫ r sin ϕ r + r '2 dϕ α Kỹ tính tương tự tính độ dài dây cung VÍ DỤ DIỆN TÍCH BỀ MẶT VẬT THỂ TRÒN XOAY Tính diện tích bề mặt vật thể tròn xoay sinh quay astroid x = acos3t, y = asin3t quanh Ox 2π t = → 2π ⇒ S = 6πa ∫ sin t cos t sin t + sin t cos t dt : sai! Chú ý tính đối xứng qua trục Ox & Oy π S = ⋅ 6πa ∫ sin t sin t cos t dt = 2 12 πa VD: Tính diện tích bề mặt vật thể tròn xoay parabol y2 = 2px, ≤ x ≤ x0 quay quanh a/ Ox b/ Oy TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM y = f(x) TC Xieân: lim[ f ( x) − ax − b] = ⇔ f ( x) = ax + b + ε ( x ), x → ∞ x →∞ f ( x) Công thức: a = lim ; b = lim[ f ( x) − ax ] x →∞ x →∞ x ¾ Tiệm cận xiên, ngang: Tìm công thức khai triển Taylor (x → ± ∞) ¾ Tiệm cận phía: Đứng (x → a±), ngang – xiên: (x →± ∞) VD: Tìm tiệm cận hàm số sau a / f (x) = x ( x +1 − x ) x x3 , a > c / y = ( x − 1)e x −1 b / f (x) = x−a TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM THEO THAM SỐ (C): x = x(t), y = y(t) có tiệm cận có nhánh vô cùng: Ít x(t), y(t) → ∞, t → t0 (t0 = ∞) T/c đứng: lim x(t ) = a , lim y (t ) = ∞ ⇒ x = a : Tiệm cận đứng t →t t →t T/c ngang: lim x(t ) = ∞ , lim y (t ) = b ⇒ y = b : Tiệm cận ngang t →t t →t T/c xieân y = ax + b: lim t →t y (t ) = a , lim[ y (t ) − ax(t )] = b t →t x(t ) VD: Tìm tiệm cận đồ thị x(t) = tet, y(t) = te–t t2 t VD: Tìm tiệm cận đồ thị x(t ) = , y (t ) = t −1 t −1