Tổng hợp lý thuyết và bài tập về ứng dụng tích phân có đáp án chi tiết

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x , trục hoành và hai đường thẳng Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí Truy cập web

Trang 1

CHỦ ĐỀ: 4.3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn ( ) a b , trục hoành và ;

hai đường thẳng x a , x b được xác định: ( )

b

a

S f x dx

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , ( ) y g x liên tục trên đoạn ( ) a b và ;

hai đường thẳng x a , x b được xác định: ( ) ( )

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y , ( ) x h y và hai đường thẳng ( ) y c,

S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,

(a x b Giả sử ( )) S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b

y f x

y 0 H

Trang 2

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( )

b

a

V S x dx

b) Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , trục ( )

hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y , trục ( )

hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , ( )

O

d

x

( ) : ( ) ( ) :

V   g y dy

( ) : ( ) ( ) :

V   f x dx

a

 ( )

y f x y

Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí

Truy cập website www.dethithptquocgia.com tải tài liệu mới mỗi ngày

Trang 3

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường y f x( ), y g x là ( ) S f x( ) g x dx Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của ( )phương trình ( )f x g x a( ) b

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình ( ) f x g x tìm các giá trị ,( )

Bước 2 Tính S f x( ) g x dx như trường hợp 1 ( )

Câu 1 Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f x ,( ) y g x liên tục ( )

trên [ ; ]a b và hai đường thẳng x a , x b (a b là: )

Câu 2 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , liên tục trên [ ; ]a b trục hoành

và hai đường thẳng x a x, b a b cho bởi công thức:

Câu 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3

Trang 4

Câu 5 Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]( ) a b Diện tích hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị củay f x , trục hoành và hai đường thẳng x( ) a , x b được tính theo công thức

Câu 6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục trên đoạn [ ; ]( ) a b ,

trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức

Câu 7 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x , ( ) y g x liên tục trên ( )

đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức

Câu 9 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3

y x , trục hoành và hai đường thẳng

Trang 5

Câu 12 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y sinx , trục hoành và hai đường thẳng

Câu 13 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y tanx , trục hoành và hai đường thẳng

3ln

6ln

3

Câu 14 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 x

y e , trục hoành và hai đường thẳng

Câu 16 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2

2

x y

Câu 19 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y cos 2x , trục hoành và hai đường

Trang 6

2

x y

x , trục hoành và đường thẳng 2

Câu 23 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y cos 2x , trục hoành và hai đường

Câu 25 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 2

Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx34x, trục hoành và hai đường thẳng

Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xlnx , trục hoành và đường thẳng

x e là

A

2

12

e

B

2

12

e

C

2

14

e

D

2

14

Câu 30 Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 1 e x x y, 1 e x Diện tích

e

VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO

Trang 7

Câu 31 Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2

y x y x Diện tích của (H) bằng

Câu 32 Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2

Câu 33 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :P y x2 3, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ

Câu 34 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2

Câu 35 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 2 27

Câu 37 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng

Trang 8

A 4 B 2 C 3 D 1

Câu 39 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , nÕu x 1

2, nÕu x>1

x y

2

103

y x x là a

x , tiệm cận xiêm của ( )C và hai

đường thẳng x 0,x a a ( 0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 41 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x Ox x( ), ,  , a x  b quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x1 ; trục Ox và đường thẳng x3 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 3

Câu 45 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3

yx 1, y0, x0, x1 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Website www.dethithptquocgia.com chia s ẻ đề thi và tài li ệu trắc nghi ệm miễn phí

Trang 9

A 79

63



B 2314



C 54



D 9

y x xa xb  a b quay xung quanh trục

y  x 2x, y0 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 496

15



B 43



C 6415



D 1615



y 1 x , y 0 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 3

2



B 23

Câu 49 Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x0;x và có

thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( ;0;0)x bất kỳ là đường tròn bán kính

    quay xung quanh trục

Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1  x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:



VẬN DỤNG

Câu 52 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường

tròn x2y2 16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox

ta được thiết diện là hình vuông Thể tích của vật thể là:

Trang 10

y x và đường thẳng x4 Thể tích của khối

tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

Câu 54 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yln ,x y0, x2 quay xung quanh trục Ox Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

ya.x , ybx (a, b0) quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A

3 3

b V

.5

.3

b V

Câu 57 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y3 ,x yx x, 0, x1 quay xung quanh trục Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 58 Gọi  H là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong  C : y1 f x ,  C2 : yg x , hai

đường thẳng x a , xb, ab Giả sử rằng  C và 1  C2 không có điểm chung trên  a, b

và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay  H quanh Ox là

Trang 11

Câu 59 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx ln ,x y0, xe quay xung quanh trục Ox Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A

3

4e 1.9



3

4e 1.9



3

2e 1.9



3

2e 1.9

Câu 61 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường

trònx2y2 16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox

ta được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:

y

x O

A 256 3

.3



.3



.3



.3

.70

.3

.5

a

S D

3

43

a

S

Trang 12

Câu 64 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: 2

Câu 66 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0

Câu 71 Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0 Tính diện tích của miền D

Câu 72 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0,

Câu 73 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi:

Trang 13

Câu 74 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường 2 2

;8

yx x y quay quanh trục Oy là:

Câu 75 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và

e

Trang 14

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

trên [ ; ]a b và hai đường thẳng x a , x b (a b là: )

Câu 2 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , liên tục trên [ ; ]a b trục hoành

và hai đường thẳng x a x, b a b cho bởi công thức:

0 h(x) x

Trang 15

Câu 5 Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]( ) a b Diện tích hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị củay f x , trục hoành và hai đường thẳng ( ) x a , x b được tính theo công thức

b

a

S f x dx

Câu 6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục trên đoạn [ ; ]( ) a b ,

trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức

b

a

S f x dx

Câu 7 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x , ( ) y g x liên tục trên ( )

đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức

b

a

S f x g x dx

Câu 8 Cho đồ thị hàm số y f x Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là ( )

Trang 16

204

Hướng dẫn giải

Ta có x 0trên đoạn [1;4] nên

4 3

y x , trục hoành và hai đường thẳng 1

Trang 17

6ln

Câu 14 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 x

y e , trục hoành và hai đường thẳng

Trang 18

Trang 19

x , trục hoành và đường thẳng 2

Trang 20

Câu 25 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y 2x3 3x2 1 và

e

B

2

12

e

C

2

14

e

D

2

14

Trang 21

e x e x có nghiệm x 0, x 1 Suy ra

22

Trang 22

Suy ra

2 3

Câu 36 Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

Trang 23

Trang 24

Trang 25

103

x , tiệm cận xiêm của ( )C và hai

đường thẳng x 0,x a a ( 0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng

Trang 26

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 41 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

quay xung quanh trục

2 0

Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x Ox x( ), ,  , a x  b quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x1 ; trục Ox và đường thẳng x3 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 3

Trang 27

Giao điểm của hai đường y  x 1và y  0 là A(1;0) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

3

1

V(x 1)dx 2 

yx 1, y0, x0, x1 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y x xa xb  a b quay xung quanh trục

y  x 2x, y0 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 496

15



B 43



C 6415

y 1 x , y 0 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 3

2



B 23

Câu 49 Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x0;x và có

thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( ;0;0)x bất kỳ là đường tròn bán kính

Trang 28

Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường

    quay xung quanh trục

Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1  x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 52 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường

tròn x2y2 16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox

ta được thiết diện là hình vuông Thể tích của vật thể là:

y x và đường thẳng x4 Thể tích của khối

tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	1,91 MB