Một nghiên cứu thực nghiệm về sai lầm trong ứng dụng tích phân xác định của hàm một biến thực của sinh viên ngành Toán

Bài viết trình bày kết quả của một thực nghiệm về các sai lầm của sinh viên (SV) ngành Toán khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ (KNV) liên quan đến ứng dụng của tích phân xác định của hàm một biến thực (UDTPXĐHMBT).

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số (2021): 804-816 ISSN: 2734-9918 Vol 18, No (2021): 804-816 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu * MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ SAI LẦM TRONG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC CỦA SINH VIÊN NGÀNH TOÁN Nguyễn Ái Quốc*, Trần Thị Thanh Nhi Trường Đại học Sài Gòn, Việt Nam Tác giả liên hệ: Nguyễn Ái Quốc – Email: nguyenaq2014@gmail.com Ngày nhận bài: 25-3-2021; ngày nhận sửa: 24-4-2021; ngày duyệt đăng: 04-5-2021 * TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi trình bày kết thực nghiệm sai lầm sinh viên (SV) ngành Toán giải kiểu nhiệm vụ (KNV) liên quan đến ứng dụng tích phân xác định hàm biến thực (UDTPXĐHMBT) Các KNV quan tâm đến thực nghiệm liên quan đến việc tính diện tích hình phẳng giới hạn xét hệ tọa độ Descartes hệ tọa độ cực Các sai lầm mà sinh gặp phải xuất phát từ ràng buộc thể chế Toán hai Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Sài Gòn Kết nghiên cứu giúp nhà đào tạo sư phạm hình dung trở ngại mà sinh viên gặp phải tiếp cận vai trị cơng cụ Tích phân xác định hàm biến thực Từ khóa: quy tắc hành động; diện tích hình phẳng; tích phân xác định; sai lầm; chướng ngại Mở đầu 1.1 Sai lầ m và chướng ngại Theo Brousseau (1983, p 171), Sai lầm không phải chı̉ là hậu của sự không biết, không chắ c chắ n, ngẫu nhiên, cách nghĩ của người theo chủ nghıã kinh nghiệm và chủ nghıã hành vi, mà còn có thể là hậu quả của kiến thức đã có từ trước, những kiế n thức đã từng có ı́ch đố i với việc ho ̣c trước kia, lại sai, đơn giản không còn phù hơ ̣p nữa đố i với việc lıñ h hội tri thức mới Những sai lầ m thuộc loa ̣i thấ t thường hay không dự đoán Chúng tạo thành chướng nga ̣i Trong hoa ̣t động của giáo viên cũng hoa ̣t động của ho ̣c sinh, sai lầ m bao giờ cũng góp phầ n xây dựng nên nghıã của kiế n thức thu nhận bởi những chủ thể này Như vậy, theo G Brousseau (1983), nế u ở ho ̣c sinh có những sai lầ m nào đó mang tıń h hời hơ ̣t, hế t sức riêng biệt, thı̀ cũng còn có những sai lầ m khác không phải ngẫu nhiên Cite this article as: Nguyen Ai Quoc, & Tran Thi Thanh Nhi (2021) An experimental study on Mathematics students' errors in definite integral's application of functions of a real variable Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 18(5), 804-816 804 Nguyễn Ái Quốc tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM sinh Những sai lầ m đó không nằ m ngoài kiế n thức, chúng chıń h là biể u hiện của kiế n thức Ở cùng một chủ thể , những sai lầ m khác có thể có chung một nguồ n gố c 1.2 Chướng ngại có nguồn gốc sư phạm Theo Brousseau (1983), chướng ngại có nguồn gốc sư phạm chướng ngại dường phụ thuộc vào lựa chọn hệ thống dạy học Để xác định chướng ngại có nguồn gốc sư phạm, cần thực phân tích giáo trình sử dụng dạy học để làm rõ tri thức cần dạy chuyển hóa từ cấp độ tri thức bác học, đưa vào giáo trình nào, bao gồm dạng tốn gì, có mối liên kết với tri thức khác nào, ảnh hưởng tác động qua lại tri thức với Trong nghiên cứu này, chướng ngại có nguồn gốc sư phạm nhận diện qua nghiên cứu phân tích giáo trình sử dụng cho việc giảng dạy Ứng dụng Tích phân xác định hàm biến thực 1.3 Quy tắc hành động Một quy tắc hành động mô hình xây dựng nhằm giải thích rõ kiến thức mà học sinh sử dụng để đưa câu trả lời thực nhiệm vụ xác định Quy tắc hành động liên quan đến hay nhiều tính chất tốn học gắn bó chặt chẽ với quy trình hay câu trả lời học sinh… Các quy tắc hành động – rõ qua việc nghiên cứu câu trả lời sai học sinh, mang lại câu trả lời số tình (Bessot, Comiti, Le, & Le, 2009, p 81) Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tơi gọi thể chế Toán Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thể chế K, thể chế Toán Trường Đại học Sài Gịn thể chế S, giáo trình Giải tích – Hàm biến sử dụng thể chế K giáo trình K, giáo trình Giải tích toán học I sử dụng thể chế S giáo trình S Một số ghi nhận giả thuyết nghiên cứu 2.1 Một kết nghiên cứu ban đầu Thực tế dạy học cho thấy, dù tiếp cận UDTPXĐHMBT lớp 12 (Ministry of Education and Training, 2009) năm thứ đại học, tồn SV số sai lầm, chẳng hạn thiết lập khơng cơng thức tích phân tính diện tích miền giới hạn đường Xuất phát từ thực tiễn trên, ngày 26/3/2020 tiến hành khảo sát ban đầu 14 SV năm kết thúc phần UDTPXĐHMBT Giải tích: SV thể chế S SV thể chế K Mục đích khảo sát nhằm tìm hiểu quan niệm SV UDTPXĐHMBT sau học xong học phần Các SV thuộc ngành Toán Lí thuyết thuộc thể chế K, ngành Sư phạm Toán Toán Ứng dụng thuộc thể chế S Chúng tơi lựa chọn SV thuộc nhiều ngành Tốn khác để quan sát xem sai lầm họ gặp phải có giống hay khơng sau học nội dung tri thức UDTPXĐHMBT Nội dung khảo sát tốn tính diện tích hình phẳng (khơng cho kèm hình vẽ): Bài tốn Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường (C): x2 – 3y2 – = đường thẳng (d): x – y + = 805 Tập 18, Số (2021): 804-816 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Mục tiêu toán nhằm tìm hiểu xem SV có tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường giao khơng Chúng tơi lựa chọn hình phẳng (H) giới hạn đường thẳng nhánh hyperbol, nhằm tìm hiểu xem SV ứng xử với đường cong đồ thị hàm số tính diện tích hình phẳng (H) Kết mong đợi tốn 𝑆𝑆 = Kết khảo sát có SV trình bày lời giải với hình vẽ kèm theo, SV tính tích phân theo biến x chia hình phẳng thành hai miền giới hạn đồ thị hai hàm số Hai SV lại tính tích phân theo biến y Trong số giải khơng đúng, có SV sau xác định hoành độ giao điểm (C) (d), từ phương trình (C) chọn phương trình biểu diễn y theo x kết hợp với phương trình (d) để thiết lập cơng thức tính diện tích 15 7−4√3 + 2√3 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 2+√3 � (đvdt) 𝑏𝑏 𝑆𝑆 = ∫𝑎𝑎 |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑔𝑔(𝑥𝑥)|𝑑𝑑𝑑𝑑 SV lại sau xác định hoành độ giao điểm (C) (d), không viết hàm dấu tích phân Như vậy, kết khảo sát cho thấy, hầu hết SV sử dụng chiến lược xác định hàm số y theo biến x từ phương trình đường hyperbol sử dụng cơng thức Hình Chiến lược xác định hàm số y theo x 𝑏𝑏 𝑆𝑆 = ∫𝑎𝑎 |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑔𝑔(𝑥𝑥)|𝑑𝑑𝑑𝑑 để tính diện tích hình phẳng Kĩ thuật tính bao gồm bước: biểu diễn y theo x, tìm hồnh độ giao điểm, lập hiệu hai hàm số, tính tích phân giá trị tuyệt đối hiệu hai hàm số Tuy nhiên, kĩ thuật khơng cho giá Hình Hình (H) giới hạn (C) (d) 𝑥𝑥 −1 trị diện tích hình phẳng cần tìm việc chọn hàm số 𝑦𝑦 = � 𝑦𝑦 = −� 𝑥𝑥 −1 3 (𝐶𝐶1 ) hay (𝐶𝐶2 ) dẫn đến miền tính diện tích khơng phải miền cần tính diện 𝑥𝑥 −1 tích Rõ ràng hơn, SV chọn hàm số 𝑦𝑦 = � 806 miền tính diện tích hình tam Nguyễn Ái Quốc tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 𝑥𝑥 −1 giác nằm phía đường thẳng (d), chọn hàm số 𝑦𝑦 = −� miền tính diện tích khơng bao gồm phần diện tích đoạn [−2, −1] (xem Hình 1) 2.2 Ứng dụng tích phân xác định hàm biến thực hai thể chế Tốn đại học Tích phân xác định hàm biến thực (TPXĐHMBT) UDTPXĐHMBT dạy cho SV năm ngành Toán hai thể chế K thể chế S Lí lựa chọn hai thể chế thể chế K sở đào tạo SV chuyên ngành Tốn Lí thuyết, thể chế S sở đào tạo SV ngành Toán Ứng dụng Sư phạm Toán học 2.3 Thể chế Toán K Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Trong thể chế K, TPXĐHMBT giảng dạy cho SV năm thứ học kì I nằm học phần Vi tích phân 1A Thời lượng cho học phần 60 tiết, gồm 30 tiết lí thuyết 30 tiết tập (University of Sciences, 2016) UDTPXĐHMBT trình bày chương 5: “Phép tính tích phân” giáo trình Giải tích – Hàm biến, 4: “Ứng dụng tích phân” đề cập đến ứng dụng chính: Tính diện tích hình phẳng, Tính thể tích vật thể, Tính độ dài cung, Tính diện tích mặt trịn xoay, Tính khối lượng vật thể, Tính moment trọng tâm (Dang, Dinh, Nguyen, & Nguyen, 2012) 2.4 Thể chế Toán S Trường Đại học Sài Gòn Trong thể chế S, TPXĐHMBT giảng dạy học kì I cho SV năm thứ nằm học phần Giải tích toán học I Thời lượng cho học phần 90 tiết, gồm 60 tiết lí thuyết 30 tiết tập (Saigon University, 2016) UDTPXĐHMBT trình bày chương 2: “Tích phân xác định Tích phân suy rộng” giáo trình Giải tích tốn học I phần 2, 3: “Ứng dụng tích phân” đề cập đến ứng dụng chính: Tính diện tích hình phẳng, Tính thể tích vật thể, Tính độ dài cung, Tính diện tích mặt trịn xoay, Khối lượng mỏng, Ứng dụng vào xác suất (Pham, Dang, Dinh, & Le, 2020) 2.5 Kết phân tích mối quan hệ thể chế K S UDTPXĐHMB Phân tích hai giáo trình S K cho thấy tồn KNV liên quan đến UDTPXĐHMB trình bày Bảng Bảng Các KNV liên quan UDTPXĐHMBT hai thể chế S K Kiểu nhiệm vụ T1: Tıń h diện tıć h hıǹ h phẳ ng giới ̣n bởi đồ thi ̣ hàm số y = f (x) trục Ox T2: Tıń h diện tıć h hıǹ h phẳ ng giới ̣n bởi đồ thi ̣ của hai hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) Thể chế S Ví dụ Bài tập Tổng 3/14 3/14 807 Thể chế K Ví dụ Bài tập Tổng 1/3 Tập 18, Số (2021): 804-816 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM T3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ba hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑦𝑦 = ℎ(𝑥𝑥) T4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường khép kín có phương trình cho trước T5: Tıń h diện tıć h hıǹ h phẳ ng giới ̣n bởi hai đường có phương trình cho trước T6: Tính diện tích hình thang cong giới hạn đường cho phương trình 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) tham số � đoạn 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡) [α , β ] T7: Tính diện tích hình quạt cong giới hạn đồ thị hàm 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟(𝜑𝜑) đoạn [α , β] T8: Tıń h diện tıć h hıǹ h phẳ ng giới ̣n bởi đồ thi ̣ của hai hàm r = r1(ϕ), r = r2(ϕ) 2/14 1/14 2/14 1/14 1/14 1/14 1/3 1/3 Qua phân tích hai giáo trình K S, cho phép rút số điểm tương đồng cách xây dựng KNV hai thể chế K S sau: - Phân loa ̣i toán diện tıć h thành ba nhóm: hıǹ h thang cong to ̣a độ Descartes, hıǹ h qua ̣t cong to ̣a độ cực và hıǹ h thang cong giới hạn đường cho phương trình tham số - Đều xuất KNV tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số, diện tích hình thang cong giới hạn đường cho phương trình tham số đoạn [α, β], diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm tọa độ cực - Số lượng tập gắn với hệ tọa độ Descartes nhiều (14/17) so với số lượng tập gắn với hệ tọa độ cực Trong số 14 tập đó, số tập tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số theo biến x chiếm đa số (9/14), có 3/14 tập tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong có phương trình cho trước có hướng dẫn tính diện tích theo biến y Mặt khác, giải tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đường, thể chế khơng trình bày bước kiểm tra đường hay phần đường có phải đồ thị hàm số hay không - Các KNV gắn liền với tính diện tích hình quạt cong hình phẳng tọa độ cực chưa đa dạng số lượng tập gắn liền với tọa độ cực nhỏ (3/17) Hơn nữa, có ví dụ tính diện tích hình quạt cong tọa độ cực với giải đưa (trong thể chế S) 808 Nguyễn Ái Quốc tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM - Trong hai thể chế K S, cơng thức kĩ thuật giải KNV tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số tọa độ cực khơng trình bày ngoại trừ cơng thức tính diện tích hình quạt cong giới hạn đồ thị hàm số Có thể hai thể chế ngầm ẩn SV sử dụng kĩ thuật hiệu hai diện tích để giải tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hay ba hàm số Tuy nhiên, SV sử dụng kĩ thuật tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số tọa độ Descartes: tìm hồnh độ giao điểm hai đồ thị, lập hiệu hai hàm số, tính tích phân hiệu hai hàm số đoạn xác định hoành độ hai giao điểm, lấy giá trị dương Kĩ thuật quy tắc hành động R, hợp lí xét hệ tọa độ Descartes, số tình dẫn đến kết sai xét hệ tọa độ cực Lí vì, hiệu hai hàm số hệ tọa độ Descartes dương đồ thị hàm số thứ nằm phía đồ thị hàm số thứ hai xét theo phương thẳng đứng, hệ tọa độ cực hiệu dương hai đồ thị nằm đoạn xác định hướng hai giao điểm đồ thị hàm số thứ nằm vị trí xa tâm O đồ thị hàm số thứ hai Hơn nữa, phần đồ thị hai hàm số giới hạn hình phẳng cần tính diện tích khơng phải lúc nằm đoạn xác định hướng hai giao điểm 2.6 Giả thuyết nghiên cứu Từ kết từ ghi nhận thực tế phân tích mối quan hệ thể chế K S UDTPXĐHMBT, cho phép rút giả thuyết nghiên cứu sau: H: Tồn chướng ngại có nguồn gốc sư phạm hai thể chế K S UDTPXĐHMB, gắn liền với “cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số tọa độ Descartes” Chướng ngại biểu quy tắc hành động R nguyên nhân gây sai lầm SV sau: Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm tọa độ cực, tồn sai lầm việc thiết lập cơng thức tích phân tính diện tích hình phẳng Để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu, thiết kế tiến hành thực nghiệm SV ngành Toán hai thể chế K S Thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành vào 20/01/2021 97 SV, gồm 47 sinh viên ngành Toán học thể chế K, 50 SV ngành Sư phạm Toán học thể chế S Tất 97 SV thuộc năm vừa hồn thành xong học phần “Vi tích phân 1A” (trong thể chế K) hay “Giải tích Tốn học I” (trong thể chế S) 3.1 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm bao gồm tốn tự luận u cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường tọa độ cực Bài toán Đường cong hoa hồng bốn cánh cho hàm 𝑟𝑟 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜑𝜑 đường trịn bán kính 𝑟𝑟1 = 1/2 vẽ hệ tọa độ cực (Hình 3) Gọi (H) phần đường 𝑟𝑟 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜑𝜑 nằm đường trịn bán kính 𝑟𝑟1 = 1/2 Hãy tính diện tích (H) 809 Tập 18, Số (2021): 804-816 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Hình Hình Bài tốn Tính diện tích phần đường cardioid 𝑟𝑟 = 2(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) nằm đường tròn bán kính 𝑟𝑟1 = (Hình 4) Mục đích hai toán nhằm xác định sai lầm SV việc thiết lập 𝜋𝜋 công thức tích phân tính diện tích Đáp án Bài toán 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = − Đáp án Bài toán 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 7𝜋𝜋 − 9√3 (đơn vị diện tích) √3 (đơn vị diện tích) 3.2 Dự kiến chiến lược giải (CLG) SV Đối với Bài tốn 1, CLG KNV tính diện tích hình (H) là: CLG1 Tính gián tiếp CLG1a Tính diện tích phần bù (H) hình trịn bán kính r1 = ½ Kí hiệu (K) miền gạch chéo Hình Kĩ thuật 1a1 Xem (K) giới hạn đồ thị hai hàm r1=1/2 r = sin2ϕ Diện tích (K): 𝜋𝜋 𝜋𝜋 √3 𝑆𝑆(𝐾𝐾) = ∫012 �4 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜑𝜑� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 96 + 32 (đvdt) Diện tích (H): 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋 √3 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 𝜋𝜋𝑟𝑟12 − 8𝑆𝑆(𝐾𝐾) = − �− 96 + 32� = − √3 (đvdt) Hình Kĩ thuật cho kết Kĩ thuật 1a2 Xem phần bù giới hạn đồ thị hàm r = sin2ϕ, trục hồnh, đường trịn r1 = ½ Chia (K) thành hai hình phẳng thành phần, giới hạn đồ thị hai hàm 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋 √3 Diện tích (K): 𝑆𝑆(𝐾𝐾) = ∫012(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜑𝜑 − 02 )𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫012 ��2� − 02 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 32 − 32 (đvdt) 𝜋𝜋 𝜋𝜋 √3 Diện tích (H): 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 𝜋𝜋𝑟𝑟12 − 8𝑆𝑆(𝐾𝐾) = − �32 − 32� = 810 √3 (đvdt) Nguyễn Ái Quốc tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Kĩ thuật cho kết sai SV sử dụng quy tắc hành động R tính diện tích (K) CLG1b Tính phần bù (H) cánh hoa Gọi (H′) phần (H) góc phần tư mặt phẳng tọa độ Kĩ thuật 1b Tính diện tích phần bù (H′) cánh hoa (Hình 6) 𝜋𝜋 Diện tích cánh hoa: 𝑆𝑆1 = ∫02 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = Diện tích phần bù (H′) với cánh hoa: 5𝜋𝜋 12 𝜋𝜋 12 𝜋𝜋 𝜋𝜋 (đvdt) √3 𝑆𝑆2 = ∫ �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜑𝜑 − 4� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 24 + 16 (đvdt) 𝜋𝜋 √3 Diện tích (H′): 𝑆𝑆(𝐻𝐻 ′ ) = 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆2 = 12 − 16 (đvdt) 𝜋𝜋 Diện tích (H): 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 4𝑆𝑆(𝐻𝐻 ′ ) = − √3 (đvdt) Kĩ thuật Hình cho kết CLG2 Tính trực tiếp Kĩ thuật 2a Tính tổng diện tích cách chia (H′) thành hình quạt cong giới hạn đồ thị hàm đoạn [α, β] (Hình 7) 𝜋𝜋 𝜋𝜋 √3 Diện tích S1 S3: 𝑆𝑆3 = 𝑆𝑆1 = ∫012 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 48 − 32 (đvdt) 5𝜋𝜋 𝜋𝜋 Diện tích S2: 𝑆𝑆2 = ∫𝜋𝜋12 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 48 (đvdt) 12 𝜋𝜋 √3 Diện tích (H′): 𝑆𝑆(𝐻𝐻 ′ ) = 2𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆2 = 12 − 16 (đvdt) 𝜋𝜋 Diện tích (H): 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 4𝑆𝑆(𝐻𝐻 ′ ) = − √3 (đvdt) Kĩ thuật cho kết Kĩ thuật 2b Xem (H') giới hạn đồ thị hai hàm 𝑟𝑟1 = 1/2 r = sin2ϕ đoạn [α, β] (r1 ≥ r) 5𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 4𝑆𝑆(𝐻𝐻 ′ ) = �2 ∫𝜋𝜋12 ��4� −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜑𝜑� 𝑑𝑑𝑑𝑑� = − − 12 √3 𝜋𝜋 (đvdt) Vì diện tích nhận giá trị dương, nên diện tích phải + Hình √3 Kĩ thuật cho kết sai SV sử dụng quy tắc hành động R tính diện tích (H') Như vậy, toán 1, tồn hai kĩ thuật 1a2 2b thực nghiệm cho phép kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu H Đối với Bài toán 2, CLG trình bày sau: Phương trình đường trịn bán kính 𝑟𝑟1 = 𝑟𝑟1 = ±3 Giải phương trình 2(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) = ±3 , tìm hướng giao điểm 𝜋𝜋 𝜑𝜑 = ± + 𝑘𝑘2𝜋𝜋 (𝑘𝑘 ∈ ℤ) 811 Tập 18, Số (2021): 804-816 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM CLG1 Tính gián tiếp CLG1a Tính phần bù (H) phần đường cardioid Kĩ thuật 1a Xem phần bù giới hạn đồ thị hai hàm 𝑟𝑟 = 2(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝑟𝑟1 = đoạn �− ; � 2𝜋𝜋 Diện tích phần đường cardioid: 𝑆𝑆1 = ∫0 4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 6𝜋𝜋 (đvdt) Diện tích phần đường cardioid nằm ngồi đường trịn: 𝜋𝜋 𝜋𝜋 − 𝑆𝑆2 = ∫ [4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 − 9]𝑑𝑑𝑑𝑑 = 9√3 − 𝜋𝜋 (đvdt) Diện tích (H): 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆2 = 7𝜋𝜋 − 9√3 (đvdt) Kĩ thuật cho kết CLG1b Tính phần bù (H) hình trịn bán kính 𝑟𝑟1 = Kĩ thuật 1b Xem phần bù giới hạn đồ thị hai hàm 𝑟𝑟 = 2(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝜋𝜋 5𝜋𝜋 𝑟𝑟1 = đoạn � ; � Diện tích phần ngồi đường cardioid nằm đường tròn: 5𝜋𝜋 𝑆𝑆1 = ∫𝜋𝜋3 [9 − 4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 ]𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋 + 9√3 (đvdt) Diện tích (H): 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 𝜋𝜋𝑟𝑟12 − 𝑆𝑆1 = 9𝜋𝜋 − �2𝜋𝜋 + 9√3 cho kết CLG Tính trực tiếp Kĩ thuật 2a Chia (H) thành hình quạt cong giới hạn đồ thị hàm (Hình 8) � = 7𝜋𝜋 − 9√3 (đvdt) Kĩ thuật 𝜋𝜋 𝑆𝑆1 = ∫ 3𝜋𝜋 9𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3𝜋𝜋 (đvdt) − 5𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝑆𝑆2 = ∫ 4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝜋𝜋 − 9√3 (đvdt) Diện tích (H): 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆2 = 7𝜋𝜋 − 9√3 Hình (đvdt) Kĩ thuật cho kết Kĩ thuật 2b Xem (H) giới hạn đồ thị hai hàm 𝑟𝑟 = 2(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑟𝑟1 = 𝜋𝜋 𝜋𝜋 đoạn �− ; � Nếu dựa vào hình vẽ (Hình 4), diện tích (H): 𝜋𝜋 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = ∫ 3𝜋𝜋[9 − 4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 ]𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜋𝜋 − − dương, nên diện tích phải 9√3 − 𝜋𝜋 9√3 Nếu khơng dựa vào hình vẽ, diện tích (H): 812 (đvdt) Vì diện tích nhận giá trị Nguyễn Ái Quốc tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = ∫ 3𝜋𝜋|9 − 4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 |𝑑𝑑𝑑𝑑 = �∫ 3𝜋𝜋[9 − 4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 ]𝑑𝑑𝑑𝑑� = − − 9√3 − 𝜋𝜋 (đvdt) Kĩ thuật cho kết sai SV cho hai đồ thị giới hạn (H) cắt hai điểm có hướng 𝜑𝜑1 = 𝛼𝛼 + 𝑘𝑘2𝜋𝜋, 𝜑𝜑2 = 𝛽𝛽 + 𝑘𝑘2𝜋𝜋 (𝑘𝑘 ∈ ℤ) (H) giới hạn hai đồ thị đoạn [𝛼𝛼; 𝛽𝛽] Đây hệ quy tắc hành động R 3.3 Phân tích hậu nghiệm  Phân tích kết Bài tốn Có 12/97 SV đưa chiến lược khác SV khơng giải tốn CLG2 (tính trực tiếp) huy động nhiều CLG1 (tính gián tiếp) Bảng Các CLG huy động cho Bài toán Chiến lược 1a 1b 2a 2b Khác Bỏ trống Kĩ thuật 1a1 1a2 1b 2a 2b Ba kĩ thuật cho kết 1a1, 1b 2a khơng SV lựa chọn Chỉ có 12/97 SV đưa đáp số đúng, có 5/97 SV sử dụng kĩ thuật 1a1, 7/97 SV sử dụng kĩ thuật 2a, khơng có SV sử dụng kĩ thuật 1b Trong kĩ thuật cho kết sai, kĩ thuật huy động nhiều kĩ thuật 2b thuộc CLG2 với 34/97 trường hợp, tiếp đến kĩ thuật 1a2 thuộc CLG1 với 32/97 trường hợp Các SV sử dụng kĩ thuật 1a2 2b áp dụng quy tắc hành động R, đặc biệt có hai SV xem (K) hình phẳng tọa độ Descartes giới hạn đồ thị hàm y = sin2x ≥0 đoạn [0;½] nên suy diện tích (K) tính cơng thức Tổng 5/97 32/97 0/97 7/97 34/97 12/97 7/97 5,1% 33% 0% 7,2% 35,1% 12,4% 19,6% Hình Kĩ thuật 1a2 𝑆𝑆(𝐾𝐾) = ∫02 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ; năm SV viết phương trình đường trịn bán kính r1 = 1/2 tọa độ Descartes, đồng r = sin2ϕ với y = sin2x Trong Hình 9, làm SV1 minh họa cho kĩ thuật 1a2 SV xác định (K) giới hạn đồ thị hàm r = sin2ϕ trục Ox mà không quan tâm đến đường trịn r1 = ½, từ dẫn đến thiết lập khơng cơng thức tích phân 813 Hình 10 Kĩ thuật 2b Tập 18, Số (2021): 804-816 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM tính diện tích (K) Trong Hình 10, làm SV27 minh họa cho kĩ thuật 2b SV nhận thấy kết diện tích âm nên gạch bỏ thêm dấu giá trị tuyệt đối vào cơng thức tích phân để nhận giá trị dương Ngồi ra, có 12 SV sử dụng chiến lược khác, tính diện tích (H) cơng 1 5𝜋𝜋 𝜋𝜋 thức 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = 4𝑆𝑆(𝐻𝐻 ′ ) = �4 �2 ∫𝜋𝜋12 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑑𝑑�� = + 12 √3 (đvdt) Có thể SV quan niệm diện tích hình phẳng cần tìm nửa diện tích hình cánh hoa hồng bốn cánh, không đưa lập luận  Phân tích kết Bài tốn Có 14/97 SV đưa chiến lược khác 5/97 SV khơng giải tốn CLG2 (tính trực tiếp) huy động nhiều CLG1 (tính gián tiếp) Bảng Các CLG huy động cho KNV T8 Chiến lược 1a 1b Kĩ thuật 1a 1b 2a 2b Tổng 7/97 3/97 8/97 60/97 14/97 5/97 Khác Bỏ trống 7,2% 3,1% 8,2% 61,9% 14,4% 5,2% Có 18/97 SV giải tốn, SV sử dụng kĩ thuật 2a, SV sử dụng kĩ thuật 1a, SV sử dụng kĩ thuật 1b Trong kĩ thuật tiên nghiệm cho kết sai, kĩ thuật huy động nhiều kĩ thuật 2b với 60/97 trường hợp (61,9%) Có 14/97 SV sử dụng chiến lược khác, có 12 SV tính diện tích (H) công thức: 𝜋𝜋 𝜋𝜋 − 𝑆𝑆(𝐻𝐻) = ∫ 4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋 + 9√3 (đvdt) Có thể SV quan niệm diện tích hình phẳng cần tìm diện tích hình quạt cong giới hạn đường cardioid đoạn π π �− ; � Hình 11 minh họa làm SV63 sử dụng chiến lược khác Ngồi ra, có SV khác xem (H) giới hạn đồ thị π π Hình 11 Kĩ thuật hai hàm 𝑟𝑟 = 2(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑟𝑟1 = đoạn �− ; � lại thiết lập cơng thức tích phân tính diện tích (H) khơng SV thứ thiết lập cơng thức tích phân lấy bình phương hiệu thay cho hiệu bình phương hai hàm SV thứ hai thiết lập cơng thức tích phân tính diện tích tọa độ Descartes lấy hiệu hai hàm mà khơng có xuất nhân tử ½ bình phương hai hàm 814 Nguyễn Ái Quốc tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Kết luận Các kết thực nghiệm cho phép khẳng định giả thuyết nghiên cứu H nêu Mục 2.4 tồn chướng ngại có nguồn gốc sư phạm hai thể chế K S UDTPXĐHMB, gắn liền với “công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số tọa độ Descartes” Chướng ngại biểu tồn quy tắc hành động R: “Tìm hồnh độ hai giao điểm, lập hiệu hàm số có đồ thị nằm phía với hàm số có đồ thị nằm phía dưới, tính tích phân hiệu hai hàm số đoạn xác định hoành độ hai giao điểm.” Chướng ngại nguyên nhân sai lầm sau số SV: - Tồn SV đồng hóa cách lập cơng thức tích phân tính diện tích hình phẳng tọa độ cực với hình phẳng tọa độ Descartes Theo đó, để tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số, SV xác định đoạn lấy tích phân dựa vào hướng giao điểm, tính tích phân hiệu hàm số có đồ thị nằm phía với hàm số có đồ thị nằm phía theo phương thẳng đứng Sai lầm thể kĩ thuật 1a2 cho Bài toán - Tồn SV quan niệm: xem hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm tọa độ cực cắt hai điểm có hướng 𝜑𝜑1 = 𝛼𝛼 + 𝑘𝑘2𝜋𝜋, 𝜑𝜑2 = 𝛽𝛽 + 𝑘𝑘2𝜋𝜋 (𝑘𝑘 ∈ ℤ), hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm đoạn [𝛼𝛼, 𝛽𝛽] Quan niệm dẫn đến sai lầm việc thiết lập cơng thức tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm tọa độ cực, thể kĩ thuật 2b cho Bài toán Kết nghiên cứu cho thấy xuất chiến lược chia đơi diện tích Bài tốn 1, chiến lược đồng diện tích Bài tốn Chiến lược xuất phát từ quan sát hình vẽ cung cấp kèm theo đề toán, SV lại khơng đưa lập luận cho tính tốn Kết nghiên cứu giúp nhà đào tạo sư phạm có nhìn xác sai lầm mà SV gặp phải giải KNV tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hay ba hàm số tọa độ cực Từ đó, nhà đào tạo thiết kế hệ thống tập tình dạy học nhằm giúp SV hạn chế sai lầm  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Bessot, A., Comiti, C., Le, T H C., & Le, V T (2009) Nhung yeu to co ban cua didactic Toan [Fundamental elements of mathematics didactic] Publishing House of Vietnam National University Ho Chi Minh City Brousseau, G (1983) Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques Recherches en didactique des mathématiques, 4(2), 165-198 815 Tập 18, Số (2021): 804-816 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Dang, D T., Dinh, N T., Nguyen, C T., & Nguyen, D P (2012) Giai tich – Ham mot bien [Analyse – Function of one variable] Publishing House of Vietnam National University Ho Chi Minh City Le, T H C (2017) Su can thiet cua phan tich tri thuc luan doi voi cac nghien cuu ve hoat dong day hoc va dao tao giao vien [The necessity of epistemological analysis for the studies of teaching activities and teacher training] 6th International Seminar on Mathematics Didactic] Ho Chi Minh City University of Education Ministry of Education and Training (2009) Chuong trinh giao duc thong – Cap trung hoc thong [General education Curriculum – High school level] Vietnam Education Publishing House Pham, H Q., Dang, D T., Dinh, N T., & Le, M T (2020) Giai tich toan hoc I – Phan [Analysis I – Part 2] Publishing House of Vietnam National University Ho Chi Minh City University of Sciences (2016) Chuong trinh dao tao nganh Toan hoc [Mathematics training Curriculum] Saigon University (2016) Chuong trinh dao tao trinh dai hoc nganh su pham Toan [Curriculum at the university level of Mathematics Pedagogy] AN EXPERIMENTAL STUDY ON MATHEMATICS STUDENTS' ERRORS IN DEFINITE INTEGRAL'S APPLICATION OF FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE Nguyen Ai Quoc*, Tran Thi Thanh Nhi Saigon Unversity, Vietnam Corresponding author: Nguyen Ai Quoc – Email: nguyenaq2014@gmail.com Received: March 25, 2021; Revised: April 24, 2021; Accepted: May 04, 2021 * ABSTRACT In this paper, we present the results of an experiment on math students' mistakes in solving types of tasks involving the application of the definite integral of a real variable function The types of tasks that are of interest in experimentation are concerned with calculating the area of a finite plane shape considered in Cartesian and polar coordinates The mistakes that students face come from the constraints of the Mathematical institutions of the University of Science and the Saigon University The results can be beneficial for pedagogical trainers in a way that they can visualize the obstacles that students face when approaching the instrumental role of the definite integral of a real variable function Keywords: action rule; area of a plane shape; definite integral; error; obstacle 816 ... hàm số