Một nghiên cứu thực nghiệm về các khó khăn liên quan đến việc học khái niệm đẳng cấu nhóm

Bài viết trình bày kết quả thực nghiệm về ba khó khăn đối với sinh viên khi tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm và đẳng cấu nhóm: (1) Không nhận ra yếu tố cơ bản “tập nguồn và tập đích là các nhóm”; (2) Không hiểu rõ tính chất “bảo toàn phép toán của hai nhóm”; (3) Không hiểu rõ tính chất “tương ứng một-một”.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 17, Số 11 (2020): 1945-1956 ISSN: 1859-3100 Vol 17, No 11 (2020): 1945-1956 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ CÁC KHÓ KHĂN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC HỌC KHÁI NIỆM ĐẲNG CẤU NHÓM Nguyễn Thị Vân Khánh Trường Đại học Sài Gòn Tác giả liên hệ: Nguyễn Thị Vân Khánh – Email: ntvkhanh@sgu.edu.vn Ngày nhận bài: 02-6-2020; ngày nhận sửa: 18-8-2020; ngày duyệt đăng: 25-11-2020 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi trình bày kết thực nghiệm ba khó khăn sinh viên tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm: (1) Không nhận yếu tố “tập nguồn tập đích nhóm”; (2) Khơng hiểu rõ tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm”; (3) Khơng hiểu rõ tính chất “tương ứng một-một” Các khó khăn có nguồn gốc từ chướng ngại tri thức luận ảnh hưởng chướng ngại sư phạm mối quan hệ thể chế Toán đại học đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm Mục đích nghiên cứu xác đinh khó khăn mà sinh viên gặp phải tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm nhằm giúp nhà đào tạo có nhìn xác nguồn gốc sai lầm sinh viên, từ nhà đào tạo thiết kế chương trình tối ưu giúp sinh viên vượt qua khó khăn Từ khóa: chướng ngại tri thức luận; khó khăn; đồng cấu nhóm; đẳng cấu nhóm Đặt vấn đề 1.1 Tồn khó khăn sinh viên tiếp cận khái niệm đẳng cấu nhóm Tháng 10/2018, một khảo sát đươ ̣c tiế n hành dưới da ̣ng phỏng vấ n trực tiế p ngẫu nhiên sinh viên năm hai ngành Sư phạm Toán của Trường Đa ̣i ho ̣c Sài Gịn về khái niệm đồng cấu nhóm, sinh viên hoàn thành ho ̣c phầ n Đa ̣i số đa ̣i cương (60 tiế t) Đa ̣i sớ tuyến tính (90 tiế t) Mu ̣c đích khảo sát nhằ m tìm hiể u khó khăn sinh viên tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm Mỗi sinh viên tham gia thực vấn kéo dài khoảng nửa Câu hỏi đươ ̣c đặt phỏng vấ n trực tiế p Các diễn tả sau định nghĩa đồng cấu nhóm đẳng cấu: Định nghĩa: Cho (G,.) (G’,+) nhóm Một ánh xạ f từ G sang G’ cho f(xy) = f(x) + f(y) với x, y  G gọi đồng cấu nhóm Định nghĩa: “Ánh xạ f từ G sang G’ gọi đẳng cấu G G’ gọi đẳng cấu nhau, kí hiệu G ≅ G’, f đồng cấu f song ánh” Câu hỏi Bạn hiểu định nghĩa “đồng cấu nhóm”, “đẳng cấu nhóm”? Câu hỏi Bạn cho biết ánh xạ sau, ánh xạ đồng cấu nhóm, ánh xạ đẳng cấu nhóm? Hãy giải thích? Cite this article as: Nguyen Thi Van Khanh (2020) An experimental study of the difficulties involved in learning the concept of group isomorphism Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 17(11), 1945-1956 1945 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM :G  G a b   x   a 1 xa :  x x Tập 17, Số 11 (2020): 1945-1956  G,. nhóm a  G   x  2x Kết khảo sát cho thấy trả lời câu hỏi đồng cấu nhóm, có sinh viên không đề cập đến yếu tố (G,.) (G’,+) nhóm, chí sinh viên cho G G’ cần có trang bị phép tốn đủ Cả sinh viên vấn cho đồng cấu ánh xạ thỏa tính chất đó, họ khơng giải thích hay gọi tên tính chất Thậm chí hỏi “nếu ánh xạ f từ “nhóm cộng” đến “nhóm nhân” f cần thỏa điều kiện để f đồng cấu?” có sinh viên trả lời điều kiện cần thỏa f(x + y) = f(x)f(y), sinh viên cịn lại khơng biết câu trả lời, sinh viên thực gặp khó khăn diễn đạt tính chất bảo tồn phép tốn ánh xạ , họ nói khơng biết tốn “+” thực Đối với ánh xạ , có sinh viên trả lời  đồng cấu khơng biết có đẳng cấu khơng, sinh viên cịn lại khơng có câu trả lời Cả sinh viên  đồng cấu hay không, hỏi “liệu ánh xạ  có song ánh khơng?” sinh viên khơng nhận thấy hai nhóm hữu hạn không lực lượng (số phần tử) để kết luận  song ánh Từ kế t quả khảo sát cho thấ y, có ba khó khăn sinh viên tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm vấn là: - Không nhận yếu tố “tập nguồn tập đích nhóm”; - Khơng hiểu rõ tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm”; - Khơng hiểu rõ tính chất “tương ứng một-một” 1.2 Đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm Các khái niệm sau trình bày giáo trình “Abstract Algebra: Theory and Applications” Thomas, W J (2017) Khái niệm đồng cấu nhóm Một đồng cấu hai nhóm (G,.) (H,◦) ánh xạ  : G → H cho (g1.g2) = (g1)◦(g2) với g1, g2  G (Thomas, 2017, p.125) Định lí Cho  : G1 → G2 đồng cấu nhóm Khi Nếu e phần tử đơn vị G1 ϕ(e) phần tử đơn vị G2;  đơn ánh Ker f  e ;  toàn ánh Im f  G2 (Thomas, 2017, p.126) Khái niệm đẳng cấu nhóm Hai nhóm (G,.) (H,◦) đẳng cấu tồn song ánh  : G → H cho phép tốn nhóm bảo toàn, nghĩa (a.b) = (a)◦(b) với a b G Nếu G đẳng cấu với H, ta viết G ≅ H Ánh xạ  gọi đẳng cấu (Thomas, 2017, p.107) 1946 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Vân Khánh 1.3 Chướng ngại tri thức luận khái niệm đẳng cấu nhóm 1.3.1 Đặc trưng tri thức luận Khái niệm đẳng cấu nhóm định nghĩa hình thức hệ tiên đề Để kiểm chứng “quy tắc phần tử tập nguồn tương ứng với phần tử tập đích” đẳng cấu nhóm phải chứng minh mệnh đề sau đúng: quy tắc ánh xạ, tập nguồn tập đích nhóm, ánh xạ bảo tồn phép tốn hai nhóm ánh xạ song ánh (đơn ánh, tồn ánh) Các điều kiện hình thành đẳng cấu nhóm cho phép chúng tơi rút hai đặc trưng tri thức luận khái niệm đẳng cấu nhóm: - Đặc trưng cấu trúc hóa: đẳng cấu nhóm bao gồm song ánh, nhóm, tính bảo tồn; - Đặc trưng tiên đề hóa: định nghĩa khái niệm hệ tiên đề 1.3.2 Chướng ngại tri thức luận Định nghĩa đẳng cấu nhóm cho thấy đẳng cấu nhóm kết hợp nhiều kiến thức trừu tượng: khái niệm nhóm (hệ tiên đề nhóm) tính bảo tồn phép tốn Một chướng ngại tri thức luận sau chướng ngại sinh viên tiếp cận đẳng cấu nhóm: Chướng ngại trừu tượng hóa khái niệm đẳng cấu nhóm biểu đạt hình thức tính chất bảo tồn phép tốn Chướng ngại sinh khó khăn mà sinh viên phải đương đầu chuyển từ nghiên cứu phép tốn thơng thường tập hợp số sang nghiên cứu phép toán hình thức tập hợp trừu tượng 1.4 Thể chế Tốn đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm 1.4.1 Mối quan hệ thể chế Toán đại học Trong thể chế Tốn Trường Đa ̣i ho ̣c Sài Gịn (ĐHSG), khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm xuất giáo trình “Đa ̣i sớ đa ̣i cương” định nghĩa sau Ánh xạ f từ nhóm G đến nhóm H gọi đồng cấu (nhóm) f(xy) = f(x)f(y) với x, y  G (Ton, 2014, p.58) Giả sử f đồng cấu từ nhóm G đến nhóm H Ta nói f đơn cấu f đơn ánh; toàn cấu f toàn ánh; đẳng cấu f song ánh Một đẳng cấu từ nhóm G đến gọi tự đẳng cấu (Ton, 2014, p.58) Khái niệm đồng cấu nhóm giáo trình giảng dạy Trường ĐHSG định nghĩa hai nhóm có phép tốn nhân mà khơng giải thích hay thích thêm diễn đạt điều kiện đồng cấu f(xy) = f(x)f(y) chướng ngại sư phạm liên quan đến việc hiểu tính chất bảo tồn phép tốn hai nhóm Phân tích giáo trình giảng dạy ho ̣c phầ n Đa ̣i số đa ̣i cương Trường ĐHSG cho thấy tồn bốn kiểu nhiệm vụ liên quan đến đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm Thống kê tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ giáo trình giảng dạy Trường ĐHSG có kết Bảng đây: 1947 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số 11 (2020): 1945-1956 Bảng Bài tập đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm Trường ĐHSG Kiểu nhiệm vụ TDGH: Chứng minh đồng cấu nhóm định nghĩa Chứng minh đồng cấu nhóm Chứng minh khơng đồng cấu nhóm TTGH: Chứng minh đồng cấu nhóm định lí Chứng minh đồng cấu nhóm Chứng minh khơng đồng cấu nhóm TDGI: Chứng minh đẳng cấu nhóm định nghĩa Chứng minh đẳng cấu nhóm Chứng minh khơng đẳng cấu nhóm TTGI: Chứng minh đẳng cấu nhóm định lí Chứng minh đẳng cấu nhóm Chứng minh khơng đẳng cấu nhóm Nhóm số:  ,   ,  ,   ,  Nhóm khác: An , Dn , S n , * n Nhóm số dựa dựa dựa dựa ,. ,  ,   ,  , U  n  , SL  n,  Số tập Nhóm Tỉ lệ khác Tỉ lệ 4/18 22,22% 12/18 66,67% 22,22% 0,00% 12 66,67% 0,00% 1/18 5,56% 1/18 5,56% 5,56% 0,00% 5,56% 0,00% 6/29 20,69% 18/29 62,07% 13,79% 6,90% 18 62,07% 0,00% 1/29 3,49% 4/29 13,79% 3,49% 0,00% 13,79% 0,00% ,. ,  * ,. , 1 ,. ,  ,   ,   , GL  n,  , * ,. ; Aut (G), Inn(G), Cyclic, Klein, Quaternion Kết Bảng cho thấy, tập đồng cấu nhóm có kiểu nhiệm vụ TDGH chiếm đa số (88,89%), nhiên tập có kiểu nhiệm vụ TDGH TTGH để chứng minh khơng đồng cấu nhóm Bài tập có kiểu nhiệm vụ TDGH TTGH để chứng minh không đẳng cấu “ánh xạ không đơn ánh” hay “ánh xạ khơng tồn ánh” xuất (6,90%) Các tập chứng minh đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm nhóm số chiếm số lượng không đáng kể (12/47) so với lượng tập nhóm khác (35/47) hệ thống tập Các tập đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm nhóm số khơng quan tâm nhiều mà tập trung nhóm khác chướng ngại sư phạm liên quan đến việc xác định đồng cấu hai nhóm 1.4.2 Chướng ngại sư phạm Phân tích mối quan hệ thể chế Tốn đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm cho phép rút hai chướng ngại: - Chướng ngại sư phạm liên quan đến việc hiểu tính chất bảo tồn phép tốn hai nhóm Chướng ngại sinh khó khăn mà sinh viên phải đương đầu xét đồng cấu nhóm có phép tốn khác hai nhóm; - Chướng ngại sư phạm liên quan đến việc xác định đồng cấu hai nhóm 1.5 Giả thuyết nghiên cứu Từ khảo sát thực tế, phân tích khái niệm mối quan hệ thể chế toán đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm cho phép rút giả thuyết nghiên cứu sau: 1948 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Vân Khánh H: tồn ba khó khăn hầu hết sinh viên tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm, khó khăn có nguồn gốc từ chướng ngại trừu tượng hóa ảnh hưởng chướng ngại sư phạm liên quan đến việc hiểu tính chất bảo tồn phép tốn; KK1: khơng nhận yếu tố “tập nguồn tập đích nhóm”; KK2: khơng hiểu rõ tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm”; KK3: khơng hiểu rõ tính chất “tương ứng một-một” Giả thuyết nghiên cứu kiểm chứng thực nghiệm phần Thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành vào cuối tháng 4/2020 110 sinh viên, gồm 51 sinh viên năm hai ngành Sư phạm Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSP TPHCM) học xong học phần Đa ̣i sớ tuyến tính (45 tiế t), Đa ̣i sớ tuyến tính (45 tiế t), Đa ̣i số đa ̣i cương (45 tiế t), 59 sinh viên năm ngành Sư phạm Toán Trường ĐHSG học xong học phần Đa ̣i sớ tuyến tính (90 tiế t) hồn thành kiến thức đồng cấu nhóm học phần Đa ̣i số đa ̣i cương Thực nghiệm thực theo hai phương thức: sinh viên năm hai ngành Sư phạm Toán Trường ĐHSP TPHCM, gửi câu hỏi điều tra qua thư điện tử sinh viên quan tâm gửi lại cho trả lời, sinh viên năm ngành Sư phạm Toán Trường ĐHSG, đến lớp yêu cầu sinh viên trả lời câu hỏi điều tra dạng viết, thời gian khoảng 2.1 Nội dung thực nghiệm Bộ câu hỏi điều tra thiết kế nhằm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu H Do đó, câu hỏi thiết kế bao gồm kiểu nhiệm vụ: T1: Mô tả tính chất ”tập nguồn tập đích nhóm” đồng cấu nhóm; T2: Mơ tả tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm” đồng cấu nhóm; T3: Mơ tả tính chất “tương ứng một-một” đẳng cấu nhóm; T4: Kiểm chứng tính chất ”tập nguồn tập đích nhóm” đồng cấu nhóm; T5: Kiểm chứng tính chất ”bảo tồn phép tốn hai nhóm” đồng cấu nhóm; T6: Kiểm chứng tính chất “tương ứng một-một” đẳng cấu nhóm Bộ câu hỏi thiết kế gồm ba mục tiêu gắn liền với kiểu nhiệm vụ sau  Mục tiêu Mơ tả tính chất định nghĩa Các diễn tả sau định nghĩa đồng cấu nhóm đẳng cấu Định nghĩa cho (G,.) (H,+) nhóm Một ánh xạ : G → H cho (xy) = (x) + (y) với x, y  G gọi đồng cấu nhóm Định nghĩa ánh xạ : G → H gọi đẳng cấu (cịn G H nói đẳng cấu nhau, kí hiệu G ≅ H)  đồng cấu  song ánh Câu hỏi Bạn hiểu định nghĩa “đồng cấu nhóm”? Câu hỏi Bạn hiểu định nghĩa “đẳng cấu nhóm”? Câu hỏi thuộc kiểu nhiệm vụ T1 T2: Mô tả tính chất ”tập nguồn tập đích nhóm” “bảo tồn phép tốn hai nhóm” đồng cấu nhóm Mục đích Câu hỏi nhằm xác định xem sinh viên có biết G H phải nhóm xem họ hiểu diễn đạt điều kiện đồng cấu (xy) = (x) + (y) với x, 1949 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số 11 (2020): 1945-1956 y  G tính chất bảo tồn phép tốn hai nhóm khơng Câu trả lời mong đợi “Đồng cấu nhóm ánh xạ từ nhóm đến nhóm bảo tồn phép tốn hai nhóm” Câu hỏi thuộc kiểu nhiệm vụ T1, T2 T3: Mơ tả tính chất ”tập nguồn tập đích nhóm”, “bảo tồn phép tốn hai nhóm” “tương ứng một-một” đẳng cấu nhóm Mục đích Câu hỏi nhằm xác định xem sinh viên có biết ngồi hai tính chất đồng cấu nhóm ánh xạ  có tính chất tương ứng một-một không Câu trả lời mong đợi “Đẳng cấu nhóm ánh xạ có tương ứng một-một từ nhóm đến nhóm bảo tồn phép tốn hai nhóm”  Mục tiêu Kiểm chứng tính chất đồng cấu nhóm Bạn cho biết ánh xạ sau, ánh xạ đồng cấu nhóm? Hãy giải thích? Câu hỏi f :  G,.   H ,   f  x   log x x Câu hỏi f :  ,    * ,. f  x  e x Câu hỏi x 1 G  1,   ; H  0,   *  \ 0 f :  G,    G / H  G,   nhóm giao hốn H nhóm chuẩn tắc G x f  x   2x Câu hỏi thuộc kiểu nhiệm vụ T4: Kiểm chứng tính chất “tập nguồn tập đích nhóm” đồng cấu nhóm Mục đích Câu hỏi nhằm xác định xem sinh viên có kiểm chứng (G,.) (H,+) nhóm khơng Câu trả lời “Khơng đồng cấu nhóm (G,.) nửa nhóm (H,+) vị nhóm” Câu hỏi Câu hỏi thuộc kiểu nhiệm vụ T5: Kiểm chứng tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm” đồng cấu nhóm Mục đích Câu hỏi nhằm xác định xem sinh viên có kiểm chứng f(x + y) = f(x).f(y) với x, y  không Câu trả lời “Khơng đồng cấu nhóm tồn hai số thực x, y thỏa f(x + y) ≠ f(x).f(y)” Mục đích Câu hỏi nhằm xác định xem sinh viên có kiểm chứng f(x+y) = f(x)+f(y) với x, y  G không Câu trả lời “Đồng cấu nhóm f(x+y) = f(x)+f(y) với x, y  G ”  Mục tiêu Kiểm chứng tính chất đẳng cấu nhóm Bạn cho biết đồng cấu nhóm sau, đồng cấu là đẳng cấu? Hãy giải thích? Câu hỏi f :G  G x f  x   a 1 xa  G,. nhóm a  G Câu hỏi f :5  x f  x  x 1950 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Vân Khánh Câu hỏi f: x   f x  2x Câu hỏi 6, Câu hỏi Câu hỏi thuộc kiểu nhiệm vụ T6: Kiểm chứng tính chất “tương ứng một-một” đẳng cấu nhóm Mục đích Câu hỏi nhằm xác định xem sinh viên có kiểm chứng tính đơn ánh tồn ánh ánh xạ f khơng Câu trả lời “Đẳng cấu nhóm f song ánh” Mục đích Câu hỏi nhằm xác định xem sinh viên có kiểm chứng tính khơng đơn ánh khơng tồn ánh ánh xạ f khơng Câu trả lời “Khơng đẳng cấu nhóm f khơng song ánh” Mục đích Câu hỏi nhằm xác định xem sinh viên có nhận thấy hai nhóm hữu hạn không lực lượng (số phần tử) nên thỏa tính chất tương ứng một-một Câu trả lời “Khơng đẳng cấu nhóm f khơng song ánh” 2.2 Dự kiến chiến lược giải khó khăn sinh viên trả lời câu hỏi Bảng dự kiến chiến lược giải gắn liền với câu hỏi khả kiểm chứng khó khăn sinh viên Bảng Chiến lược giải khó khăn cho câu hỏi thực nghiệm Câu hỏi Khó khăn KK1 SDGH: định nghĩa Ánh xạ từ nhóm đến nhóm đồng cấu nhóm Ánh xạ bảo tồn phép tốn hai nhóm KK2 Ánh xạ từ nhóm đến nhóm KK1 SDGI: định nghĩa Ánh xạ bảo tồn phép tốn hai nhóm KK2 đẳng cấu nhóm Ánh xạ tương ứng một-một KK3 SDGH: định nghĩa (G,.) nửa nhóm (H,+) vị nhóm nên f khơng KK1 đồng cấu nhóm đồng cấu nhóm KK2 Chọn 0,  SDGH: định nghĩa f 0  1 =f 1  e2  e.e2  f 0  f 1 nên f không đồng cấu nhóm đồng cấu nhóm phần tử đơn vị nhóm  ,   phần tử đơn KK2 Chiến lược ST: định lí Mơ tả lời giải vị nhóm  * ,. f(0) = e ≠ nên f không đồng cấu nhóm x, y  G SDGH: định nghĩa đồng cấu nhóm        f  x  y  x  y  x  y  x  y  x  y      x  x  y  y  2x  y  f  x   f  y  Vậy f đồng cấu nhóm 1951  KK2 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số 11 (2020): 1945-1956 x1 , x2  G SDB: định song ánh KK3 f  x1   f  x2   a 1 x1a  a 1 x2a  x1  x2 Suy f đơn ánh nghĩa y  G, x  aya 1  G : f  x   f  aya 1   a 1  aya 1  a  y Suy f toàn ánh Vậy f đẳng cấu x  Ker f  f  x   e  x  aea 1  e KK3  Ker f  e Suy f đơn ánh y  G, x  aya 1  G : ST: định lí f  x   f  aya 1   a 1  aya 1  a  y  y  Im f  I m f  G Suy f toàn ánh Vậy f đẳng cấu Chọn 5, 10    10  f  5    10  f 10  SDI: định nghĩa đơn nên f không đơn ánh ánh Vậy f không đẳng cấu Chọn 1 , f  x   x   1, x  SDS: định nghĩa toàn tồn ánh ánh Vậy f khơng đẳng cấu KK3 nên f không KK3 x  Ker f  x   x   Ker f  0 nên f không đơn ánh Vậy f khơng đẳng cấu ST: định lí  x  , f  x   x   Im f   KK3 nên f KK3 khơng tồn ánh Vậy f khơng đẳng cấu Chọn 1 SDS: định nghĩa toàn ánh SDB: định song ánh nghĩa  ta có 0,1, 2  mà KK3  f   1, f   1, f   nên f khơng tồn ánh Vậy f không đẳng cấu    0,1, ,    0,1, 2,3, 4,5 hai tập hữu hạn KK3 có số phần tử khác nên f không song ánh Vậy f không đẳng cấu Im f  f ST: định lí 6,    0, 2, 4  ánh Vậy f không đẳng cấu 1952 nên f không tồn KK3 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Vân Khánh 2.3 Phân tích hậu nghiệm Trong phần này, chúng tơi trình bày kết phân tích câu trả lời sinh viên cho câu hỏi câu hỏi điều tra gồm ba mục tiêu gắn liền với chiến lược giải  Mục tiêu Mơ tả tính chất định nghĩa Chiến lược giải cho câu hỏi SDGH câu hỏi SDGI nhằm mơ tả tính chất định nghĩa đồng cấu nhóm định nghĩa đẳng cấu nhóm Hầu hết sinh viên tham gia trả lời cho hai câu hỏi này, kết có bảng sau: Bảng Kết trả lời câu hỏi 1, sinh viên Mơ tả tính chất Ánh xạ từ nhóm đến nhóm Ánh xạ bảo tồn phép tốn hai nhóm Ánh xạ tương ứng một-một Đúng đáp án 44 11 92 Tỉ lệ 40% 10% 83,64% Không đáp án 66 89 18 Tỉ lệ 60% 80,91% 16,36% Đối với tính chất “tập nguồn tập đích nhóm”, 66/110 sinh viên hồn tồn khơng mơ tả điều kiện tập nguồn tập đích ánh xạ nhóm 89/110 sinh viên khơng hiểu tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm”, phần lớn họ mơ tả điều kiện đồng cấu diễn đạt định nghĩa đồng cấu nhóm “ánh xạ biến tích thành tổng”, “ánh xạ có tính chất nhân”, “ánh xạ biến phần tử thuộc tập thành phần tử thuộc tập đến”, “ánh xạ liên thơng hai nhóm giống mặt cấu trúc” hay “ánh xạ bảo tồn cấu trúc nhóm” 4/92 sinh viên sử dụng thuật ngữ xác “tương ứng một-một” thay cho song ánh, 88/92 sinh viên sử dụng lại thuật ngữ “ánh xạ song ánh” để mô tả đẳng cấu; nhiên có 18/110 sinh viên khơng mơ tả tính chất “tương ứng một-một” thuật ngữ tương đương “ánh xạ song ánh” hay “ánh xạ vừa đơn ánh vừa toàn ánh” định nghĩa đẳng cấu nhóm Kết phân tích cho thấy sinh viên gặp nhiều khó khăn tiếp cận định nghĩa đồng cấu nhóm Tỉ lệ sinh viên trả lời khơng xác tính chất “tập nguồn tập đích nhóm” tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm” định nghĩa đồng cấu nhóm chiếm 60% 80,91% Việc không nhận yếu tố “tập nguồn tập đích nhóm” (KK1) hiểu tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm” (KK2) nguyên nhân dẫn đến sai lầm sinh viên đương đầu với ánh xạ tập hợp cụ thể tốn đồng cấu nhóm  Mục tiêu Kiểm chứng tính chất đồng cấu nhóm Kết trả lời câu hỏi sinh viên gắn liền với chiến lược giải thống kê Bảng 4: Bảng Kết trả lời câu hỏi 3, 4, sinh viên Câu hỏi Chiến lược Đúng đáp án Tỉ lệ Không đáp án Tỉ lệ 17 13 5,45% 15,45% 2,73% 11,82% 97 83 90 88,18% 75,45% 0% 81,82% SDGH: định nghĩa đồng cấu nhóm SDGH: định nghĩa đồng cấu nhóm ST: định lí SDGH: định nghĩa đồng cấu nhóm 1953 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số 11 (2020): 1945-1956 Trả lời Câu hỏi 3, có 6/110 sinh viên kiểm chứng (G,.) nửa nhóm (H,+) vị nhóm, 97/110 sinh viên thực sai lầm bỏ qua kiểu nhiệm vụ mà tiến hành kiểm chứng tính chất bảo tồn phép tốn hai nhóm” nên có câu trả lời khơng xác Chiến lược giải SDGH nhiều sinh viên huy động (90,91%) để tìm câu trả lời cho Câu hỏi 4; nhiên, 83% sinh viên số lời trả khơng xác Chẳng hạn, nhiều sinh viên phạm sai lầm kiểm chứng tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm” cách chứng minh hay chứng minh f  xy   f  x   f  y  ; x, y  f  xy   f  x  f  y  ; x, y  Đối với Câu hỏi 5, có 81,82% sinh viên trả lời không đáp án, sai lầm sinh viên khơng hiểu rõ tính chất “bảo tồn phép tốn hai nhóm” Một số sinh viên quan niệm “mọi đồng cấu nhóm ánh xạ có tính chất f  xy   f  x   f  y  ; x, y  G ”, số khác quan niệm “đồng cấu nhóm ánh xạ có tính chất nhân” chứng minh f  xy   f  x  f  y  ; x, y  G , sinh viên cịn lại khơng nhận phép tốn nhóm thương G/H kế thừa phép f  x  y   f  x  f  y  ; x, y  G tốn “+” nhóm G nên chứng minh Kết phân tích cho thấy sinh viên thực gặp khó khăn giải tốn đồng cấu nhóm đương đầu với ánh xạ tập hợp cụ thể KK1 nguyên nhân khiến 88,18% sinh viên trả lời khơng xác Câu hỏi Tỉ lệ sinh viên trả lời không đáp án câu hỏi câu hỏi chiếm 75,45% 81,82% có nguyên nhân từ KK2  Mục tiêu Kiểm chứng tính chất đẳng cấu nhóm Bảng thống kê sau cho biết kết trả lời câu hỏi sinh viên gắn liền với chiến lược giải Bảng Kết trả lời câu hỏi 6, 7, sinh viên Câu hỏi Đúng đáp án Tỉ lệ Không đáp án Tỉ lệ SDB: định nghĩa song ánh ST: định lí SDI: định nghĩa đơn ánh 19 12 17,27% 2,73% 10,91% 57 51,82% 0% 8,18% SDS: định nghĩa toàn ánh 12 10,91% 40 36,36% ST: định lí 3,64% 0% SDS: định nghĩa tồn ánh 4,55% 57 51,82% SDB: định nghĩa song ánh ST: định lí 8,18% 4,55% 0 0% Chiến lược 0% Đối với câu hỏi 6, chiến lược giải SDB nhiều sinh viên sử dụng để xét tính song ánh ánh xạ, nhiên 57/76 sinh viên sử dụng chiến lược trả lời không đáp án Các quan niệm sai lầm song ánh “y  G tồn x  G cho y = a-1xa nên f song ánh đẳng cấu” hay “Giả sử tồn y = f(x) G Khi tồn x = 1954 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Vân Khánh aya-1 G, cho y = a-1xa Vậy đồng cấu f song ánh đẳng cấu” tìm thấy lời giải nhiều sinh viên Đối với Câu hỏi 7, hầu hết sinh viên không nhận thấy ánh xạ f đồng cấu tầm thường nhóm hữu hạn nên tính chất “tương ứng một-một” thỏa mãn trường hợp Có 52 sinh viên huy động chiến lược giải SDI để xét tính tồn ánh 21 sinh viên huy động chiến lược giải SDS để xét tính đơn ánh ánh xạ; nhiên, 49 sinh viên có câu trả lời khơng xác sử dụng hai chiến lược này, kiểu nhiệm vụ chứng minh ánh xạ khơng tồn ánh hay khơng đơn ánh khó khăn họ trường hợp Chẳng hạn sinh viên lí luận “ y  không tồn x  cho y = f(x) nên f khơng song ánh khơng đẳng cấu” Đối với Câu hỏi 8, có sinh viên nhận hai nhóm hữu hạn có số phần tử khác nên chiến lược giải SDB sinh viên sử dụng thành cơng để chứng minh tính chất “tương ứng một-một” không thỏa mãn 62 sinh viên sử dụng chiến lược giải SDI để xét tính tồn ánh 57/62 sinh viên gặp khó khăn chứng minh ánh xạ khơng tồn ánh để tìm lời giải trường hợp Các sinh viên sử dụng chiến lược giải ST để xét tính đơn ánh tồn ánh ánh xạ định lí hạt nhân (Ker) ảnh (Im) đồng cấu nhóm ln có câu trả lời xác ba câu hỏi Kết phân tích cho thấy sinh viên gặp nhiều khó khăn phạm nhiều sai lầm xét tính đơn ánh tồn ánh ánh xạ định nghĩa Các khó khăn sinh viên gắn liền với quan niệm khơng xác tồn ánh, đơn ánh Tỉ lệ sinh viên không trả lời trả lời khơng xác câu hỏi 6, 7, chiếm 80%, 74,55%, 82,73% có nguyên nhân từ KK3 Kết luận Kết thực nghiệm cho thấy thực tồn ba khó khăn hầu hết sinh viên tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm giả thuyết H KK1 thể rõ kết trả lời sinh viên cho Câu hỏi 3, họ quan niệm tập hợp ánh xạ thỏa điều kiện đồng cấu nhóm hai tập hợp khơng thiết có cấu trúc nhóm KK2 thể rõ kết trả lời sinh viên cho Câu hỏi 1, 3, 5, họ quan niệm khơng xác ánh xạ bảo tồn phép tốn hai nhóm Khó khăn có nguồn gốc từ chướng ngại trừu tượng hóa ảnh hưởng chướng ngại sư phạm liên quan đến việc hiểu tính chất bảo tồn phép tốn KK3 thể rõ kết trả lời sinh viên cho Câu hỏi 2, 6, Khó khăn thể quan niệm khơng xác đơn ánh toàn ánh Nghiên cứu nhằm tìm hiểu khó khăn mà sinh viên gặp phải tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm để có nhìn xác nguồn gốc sai lầm sinh viên, từ nhà đào tạo thiết kế chương trình tối ưu giúp sinh viên vượt qua khó khăn 1955 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số 11 (2020): 1945-1956  Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Ho Chi Minh City University of Education (2016) Chuong trinh dao tao Cu nhan Su pham Toan [Higher education program - Bachelor of Teaching Mathematics] Sai Gon University (2016) Chuong trinh dao tao trinh Dai hoc, nganh Su pham Toan [Higher education program – Bachelor of Teaching Mathematics] Thomas, W J (2017) Abstract Algebra: Theory and Applications PWS Publishing Company Ton T T., & Dong T T (2014) Giao trinh Dai so dai cuong [General algebra: study documents in Sai Gon University] Saigon University AN EXPERIMENTAL STUDY OF THE DIFFICULTIES INVOLVED IN LEARNING THE CONCEPT OF GROUP ISOMORPHISM Nguyen Thi Van Khanh Saigon University Corresponding author: Nguyen Thi Van Khanh – Email: ntvkhanh@sgu.edu.vn Received: June 02, 2020; Revised: August 18, 2020; Accepted: November 25, 2020 ABSTRACT In this paper, we present the result of an experimental research about three difficulties that students face in learning the concept of group homomorphism and group isomorphism: (1) Not realize the basic element that “Domain and codomain are groups”; (2) Not understand the nature of the property that "operations of two groups are preserved"; (3) Not understand the nature of the property that “the map is one-to-one” These difficulties originate from the epistemological obstacles and are influenced by the pedagogical obstacles due to institutional relations of university mathematics to the concept of group homomorphism and group isomorphism The purpose of this research is to find out difficulties of students in learning the concept of group homomorphism and group isomorphism and help the trainers understand exactly the sources of student mistakes and thence be able to design optimal lectures to help students overcome these difficulties Keywords: epistemological obstacles; difficulties; group homomorphism; group isomorphism 1956 ... f đồng cấu từ nhóm G đến nhóm H Ta nói f đơn cấu f đơn ánh; toàn cấu f toàn ánh; đẳng cấu f song ánh Một đẳng cấu từ nhóm G đến cịn gọi tự đẳng cấu (Ton, 2014, p.58) Khái niệm đồng cấu nhóm giáo... đồng cấu nhóm Chứng minh khơng đồng cấu nhóm TDGI: Chứng minh đẳng cấu nhóm định nghĩa Chứng minh đẳng cấu nhóm Chứng minh khơng đẳng cấu nhóm TTGI: Chứng minh đẳng cấu nhóm định lí Chứng minh đẳng. .. (35/47) hệ thống tập Các tập đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm nhóm số không quan tâm nhiều mà tập trung nhóm khác chướng ngại sư phạm liên quan đến việc xác định đồng cấu hai nhóm 1.4.2 Chướng ngại