VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

1 Ví dụ Định nghĩa nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0 x x  0 lim ( ) 0. x x f x   là một vô cùng bé khi , vì 0 x  3 ( ) 3sin2 f x x x     3 0 lim 3sin2 0. x x x    2 Tính chất của VCB 1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB. 2) Tích của hai VCB là một VCB. 3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB. 3 Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi . 0 x x  Giả sử 0 ( ) lim . ( )   x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x). 0  k ( ) ( ( ))   f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai VCB cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. 1  k ( ) ( ) f x g x  Định nghĩa 4 2 4 2 3 ( ) tan ; ( ) sin 2     f x x x g x x x Vì . 2 4 2 3 0 0 ( ) tan lim lim 1. ( ) sin 2       x x f x x x g x x x Ví dụ Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi . 0  x 3 2 2 ( ) sin ; ( ) tan     f x x x g x x x Vì . 2 3 2 0 0 ( ) sin lim lim 0. ( ) tan       x x f x x x g x x x Ví dụ Khi đó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi . 0  x 5 2 2 2 ( ) sin 2 ; ( ) tan 3    f x x x g x x Vì . 2 2 2 0 0 ( ) sin 2 1 lim lim . ( ) 3 tan 3      x x f x x x g x x Ví dụ Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi . 0  x 1 2 ( ) 1; ( ) 1      x f x e g x x Vì . 1 1 1 2 ( ) 1 1 lim lim . ( ) 2 1          x x x f x e g x x Ví dụ Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi . 1   x 6 1) sin x x  Các vô cùng bé thường gặp khi 0 x  2) -1 x e x  2 3) 1-cos 2 x x  4) ln(1 ) x x   5) (1 ) -1 x x     6) arcsin x x  7) arctan x x  8) tan x x  Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi 0 x  9) sinh  x x 2 10) cosh 1 2   x x Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và các giới hạn cơ bản. 7 Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 0 lim Tổng hữu hạn các VCB Tổng hữu hạn các VCB x x 0 lim VCB bậc của tử VCB bậ thấp nhất thấp nhấ c của m ãu t a   x x 8 Ví dụ. Tính giới hạn 2 3 0 ln(1 tan ) lim sin     x x x I x x 2 ln(1 tan ) tan    x x x x x 2 3 0 ln(1 tan ) lim sin      x x x I x x 2 2 0 lim 1.    x x x Ví dụ. Tính giới hạn 2 0 ln(cos ) lim ln(1 )    x x I x 2 0 ln(1 cos 1) lim ln(1 )      x x I x 2 0 cos 1 lim    x x x 2 2 0 /2 1 lim 2      x x x 2 3 2 sin   x x x 9 Ví dụ. Tính giới hạn 2 2 0 cos lim sin    x x e x I x 2 2 1   x e x 2 1 cos 2   x x 2 2 0 1 1 cos lim sin       x x e x I x 2 2 2 0 /2 3 lim . 2     x x x x sin  x x Ví dụ. Tính giới hạn sin5 sin 0 lim ln(1 2 )     x x x e e I x sin5 sin 0 1 1 lim ln(1 2 )       x x x e e I x 0 sin5 sin lim 2 x x x x    0 5 lim 2 2 x x x x     10 Ví dụ. Tính giới hạn   1 1 sin 1 lim ln     x x e I x 1 1 1     x e x ln ln(1 1) -1     x x x 1 sin( 1) lim 1      x x I x 1 1 lim 1. 1      x x x Ví dụ. Tính giới hạn sinh3 sinh 0 lim tan    x x x e e I x sinh3 sinh 0 1 1 lim      x x x e e I x 0 sinh3 sinh lim x x x x    0 3 lim 2. x x x x     [...]... (vơ cùng lớn) Hàm số y = f(x) được gọi là vơ cùng lớn (VCL) khi x  x0 nếu lim f ( x)   x  x0 Ví dụ f ( x)  2 x 2  3cos x là một vơ cùng lớn khi x  , vì lim 2 x 2  3cos x   x  17 Định nghĩa Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng lớn khi x  x0 f ( x)  k Giả sử xlim  x0 g ( x ) 1) Nếu k   , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x) f ( x)  ( g ( x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và. ..  1  cos 2 x là một VCB khi x  0 , và bậc của f(x) là 2 vì f ( x) sin 2 x  x3  1  cos 2 x lim 2  lim 3 2 x 0 x x 0 x 14 Ví dụ Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi x  0 1) f ( x)  3 x 2  x3 2) f ( x)  sin 3) f ( x)  2  x x2  2 1 4) f ( x)  3sin 3 x  x 4 x3 5) f ( x)  e  cos x bậc 2/3  bậc 1 bậc 1/2 bậc 3 bậc 2 15 Ví dụ Tìm  ,  để f(x) và  x  là 2 VCB tương đương, x  0 1)...Ví dụ e Tính giới hạn I  lim x 0 ex 1  x x( x 2 / 2)  I  lim 3 x 0 x  2 x 4 Ví dụ x   1 (cos x  1) sin 3 x  2 x 4 cos x  1  - x 2 / 2 x( x 2 / 2) 1  lim  x 0 2 x3 1/ x 2 2 Tính giới hạn I  xlim x   e 1/ x 2  1/(2 x 2 ) I  lim x 2  x   /2  cos(1/ x) arctan x 3   11 Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI tan x  sin x 1) lim x 0 x3 tan x ... x  sin 2 x x 0 x3  lim SAI SAI ĐÚNG 12 Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI tan x  sin 2 x 4) lim x 0 sin x tan x  sin x 5) lim x 0 sin 3 x  1 cos 2 x  6) lim  2   x 0 x sin 2 x   x  2x  lim x 0 x tan x  sin x x 0 x3  lim  1 cos 2 x   lim  2   x 0 x x2   ĐÚNG ĐÚNG SAI 13 Định nghĩa Cho f(x) là vơ cùng bé khi x  x0 Số p được gọi là bậc của VCB f(x) khi x  x0 , nếu lim... 19 Ví dụ I  lim x  x2  4  2 x  3 x x2  4  x Tử là tổng của ba VCL: x   2 x  4  2x  3 x Mẫu là tổng của hai VCL: 2 x 4  x 3x x   2x 3x 3 I  lim  x  2 x 2 20 Bài tập I) Tìm các giới hạn sau x2  4 1) lim 2 x2 x  x  2 5 2) lim x 0 4 3 1 80 32  x  2 x cos3 x  cos 7 x x 0 x2 3) lim 4) lim cot 2 x  cot( / 4  x) 20 2 x  / 4  5) lim 1  tan 2 x x 0 1/ sin 2 (2 x )... cùng lớn khi x  x0 f ( x)  k Giả sử xlim  x0 g ( x ) 1) Nếu k   , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x) f ( x)  ( g ( x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp 3) Nếu k  1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương f ( x)  g ( x) 18 Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổ ng hữ u hạ n cá c VCL lim  Tổ ng hữ u hạ n cá c VCL x x0 VCL bậ c cao nhấ t củ a tử  lim VCL bậ c cao nhấ t củ . các vô cùng bé khi 0 x  9) sinh  x x 2 10) cosh 1 2   x x Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và các giới hạn cơ bản. 7 Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 0 lim Tổng hữu hạn các. gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0 x x  0 lim ( ) 0. x x f x   là một vô cùng bé khi , vì 0 x  3 ( ) 3sin2 f x x x     3 0 lim 3sin2 0. x x x    2 Tính chất của VCB 1) Tổng hữu hạn của. gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0 x x  0 lim ( ) .    x x f x là một vô cùng lớn khi , vì   x 2 ( ) 2 3cos   f x x x 2 lim 2 3cos .     x x x 18 Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn