Đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé và áp dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ THU HÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ THU HÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Phương pháp Toán sơ cấp K32-Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1.1 Hàm số Hàm số đơn điệu Hàm số bị chặn 1.1.2 Các định nghĩa giới hạn hàm số 1.1.3 Tính chất giới hạn 1.1.4 Quy tắc L’Hospital 10 1.1.5 Khai triển Taylor, Maclaurin hàm số 11 1.2 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ 13 1.2.1 Định nghĩa 13 1.2.2 Tính chất 13 1.2.3 Bậc vô bé 14 1.2.4 Vô bé tương đương 15 1.2.5 Các vô bé tương đương bậc cao 19 1.3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN 21 1.3.1 Định nghĩa 21 1.3.2 Tính chất 21 1.3.3 Bậc vô lớn 21 1.3.4 Vô lớn tương đương 22 1.3.5 Các vô lớn tương đương 24 CHƯƠNG ÁP DỤNG VÀO GIỚI HẠN HÀM SỐ 26 2.1 ÁP DỤNG VÀO TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ 26 2.1.1 Khử dạng vô định 0/0 x → 27 2.1.2 Khử dạng vô định 0/0 x → x0 = 30 2.1.3 Khử dạng vô định ∞/∞ 32 2.1.4 Khử dạng vô định ∞ − ∞ 34 2.1.5 Khử dạng vô định · ∞ 36 2.1.6 Khử dạng vô định 1∞ ; 00 ∞0 37 2.2 MỘT SỐ SAI LẦM KHI ÁP DỤNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN TƯƠNG ĐƯƠNG 39 2.2.1 Sai lầm thay tương đương vào hiệu 39 2.2.2 Sai lầm thay tương đương hàm 42 CHƯƠNG ÁP DỤNG VÀO TÍCH PHÂN SUY RỘNG 44 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 44 3.1.1 Tích phân suy rộng loại I 44 3.1.2 Tích phân suy rộng loại II 49 3.1.3 Các tiêu chuẩn so sánh 51 3.2 ÁP DỤNG XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG 58 3.2.1 Áp dụng cho tích phân suy rộng loại I 58 3.2.2 Áp dụng cho tích phân suy rộng loại II 60 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một phần quan trọng Toán học giải tích, bởi: Giải tích tảng Tốn học, giải tích đường, trung tâm Tốn học, sở cho việc nghiên cứu nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Khi nói đến giải tích khơng thể khơng nhắc đến Giới hạn Đề cập đến vai trò chủ đề Giới hạn, sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 (nâng cao) viết: “Giới hạn vấn đề Giải tích Có thể nói: Khơng có Giới hạn khơng có Giải tích, hầu hết khái niệm Giải tích liên quan đến Giới hạn” Chủ đề Giới hạn có vai trị quan trọng tốn học phổ thơng cịn lẽ: “Khái niệm Giới hạn sở, hàm số liên tục vật liệu để xây dựng khái niệm đạo hàm tích phân Đây nội dung bao trùm chương trình Giải tích trung học phổ thơng” Trong chương trình Tốn trung học phổ thơng, phần giới hạn hàm số nằm học kỳ II Toán lớp 11 vài dạng toán liên quan lớp 12 Các toán giới hạn hàm số xem dạng tốn khó bậc trung học phổ thông Ở bậc cao đẳng, đại học, giới hạn hàm số đưa vào học phần Giải tích Ở đây, giới hạn nghiên cứu sâu lý thuyết hệ thống tập phong phú đa dạng Sinh viên dạy nhiều phương pháp để tìm giới hạn hàm số, chẳng hạn: Phương pháp dùng giới hạn bản, phương pháp L’Hospital, phương pháp thay vô bé, vô lớn tương đương, phương pháp sử dụng công thức khai triển Taylor Với mong muốn tìm cơng cụ đơn giản hiệu việc giải toán giới hạn với định hướng thầy giáo TS Phan Đức Tuấn, định chọn đề tài: “Đại lượng vô lớn, vô bé áp dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Trên sở hệ thống lại kiến thức liên quan đến giới hạn hàm số số phương pháp tìm giới hạn hàm số, luận văn trình bày, tổng hợp, xếp lại lý thuyết đại lượng vô bé, vô lớn, phương pháp giải cho tốn tìm giới hạn hàm số xét hội tụ tích phân suy rộng đại lượng vô bé, vô lớn tương đương Luận văn tập trung vào nghiên cứu số cách thức sáng tạo toán tìm giới hạn hàm số xét hội tụ tích phân suy rộng đại lượng vô bé, vô lớn tương đương Cũng sai lầm thường mắc phải sử dụng đại lượng vô bé, vô lớn tương đương việc tìm giới hạn hàm số Đối tượng nghiên cứu - Lý thuyết giới hạn hàm số - Các vô bé, vô lớn tương đương - Các phương pháp giải toán giới hạn hàm số xét hội tụ tích phân suy rộng đại lượng vô bé, vô lớn tương đương - Các phương pháp sáng tạo toán giới hạn hàm số xét hội tụ tích phân suy rộng đại lượng vô bé, vô lớn tương đương Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết giới hạn hàm số, vô bé, vô lớn tương đương, phương pháp giải sáng tạo toán giới hạn hàm số xét hội tụ tích phân suy rộng vô bé, vô lớn tương đương Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: “Đại lượng vô lớn, vô bé áp dụng” sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá tổng hợp + Áp dụng phương pháp giải toán giới hạn hàm số xét hội tụ tích phân suy rộng vơ bé, vô lớn tương đương + Sáng tạo phương pháp giải dựa toán gốc + Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn 6.1 Luận văn góp phần bổ sung thêm tính chất liên quan đến đại lượng vô bé, vô lớn tương đương Đưa mối quan hệ tương đương hàm sơ cấp 6.2 Luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành tốn, giáo viên phổ thơng giảng dạy tốn đối tượng quan tâm đến phương pháp giải tốn giới hạn xét hội tụ tích phân suy rộng Cấu trúc luận văn Ngoài Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Kiến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương Các đại lượng vô bé, vơ lớn Trong chương 1, luận văn trình bày gồm mục Mục 1.1, trình bày định nghĩa, khái niệm tính chất giới hạn hàm số; Mục 1.2, trình bày đại lượng vơ bé; Mục 1.3, trình bày đại lượng vơ lớn Chương Áp dụng vào tính giới hạn hàm số Trong chương 2, luận văn trình bày gồm mục Mục 2.1, trình bày áp dụng vào tính giới hạn hàm số đại lượng vơ bé, vơ lớn; Mục 2.2, trình bày số sai lầm thường mắc phải áp dụng vô bé, vô lớn tương đương Chương Áp dụng vào xét hội tụ phân suy rộng Trong chương 3, luận văn trình bày gồm mục Mục 3.1, trình bày số kiến thức liên quan tích phân suy rộng; Mục 3.2, trình bày việc xét hội tụ tích phân suy rộng loại I, loại II 60 3.2.2 Áp dụng cho tích phân suy rộng loại II Bài toán 33 Xét hội tụ tích phân sau I5 = Lời giải: Ta có < f (x) = 1 √ ∼ x e x−1 Chọn g(x) = 1/2 Khi x Khi x → 0, √ , ∀x ∈ (0; 1] e x−1 √ lim+ x→0 Mà dx e x−1 √ dx hội tụ Do đó, I5 = x1/2 f (x) = g(x) dx hội tụ e x−1 √ Bài tốn 34 Xét hội tụ tích phân sau I6 = Lời giải: 1 √ √ ∼ ∼√ 2x ln(x + + x2 + 2x) x + x2 + 2x Ta có < f (x) = Chọn g(x) = x1/2 dx √ ln(x + + x2 + 2x) Khi lim+ x→0 Mà f (x) =√ g(x) dx hội tụ x1/2 Nên I6 = dx √ hội tụ ln(x + + x2 + 2x) 61 Sáng tạo tập Bài tốn 35 Xét hội tụ tích phân sau √ + x2 − I7 = ln(1 − x + tan x) 2 x x 1+ −1 3 Lời giải: Ta có < f (x) = ∼ ∼ = ln(1 − x + tan x) tan x − x x x Chọn g(x) = Khi x f (x) lim+ = x→0 g(x) 1 √ + x2 − dx phân kỳ Nên I7 = phân kỳ Mà x ln(1 − x + tan x) √ x2 0 Bài toán 36 Xét hội tụ tích phân sau π √ I7 = Lời giải: Ta có: ≤ f (x) = √ π I7 = √ dx dx = sin x cos x π dx dx sin x cos x π , ∀x ∈ 0; sin x cos x π √ dx dx + sin x cos x dx sin x cos x 1 ∼ √ (khi x → 0+ ) Ta có f1 (x) = √ x sin x cos x Chọn g1 (x) = 1/2 Khi x f1 (x) = lim+ x→0 g1 (x) + Xét A = √ π √ π dx dx sin x cos x 62 Mà dx dx hội tụ Nên A = x1/2 π + Xét B = √ π π √ dx sin x cos x π− ta có Tương tự trên, x → f2 (x) = √ 1 =√ ∼ π π sin x cos x −x sin x sin −x 2 Chọn g2 (x) = π Khi −x lim− x→ π2 π Mà π dx phân kỳ Nên B = π −x π Vậy, I7 = √ dx hội tụ sin x cos x f2 (x) = g2 (x) π √ π dx phân kỳ sin x cos x dx phân kỳ sin x cos x Bài toán 37 Xét hội tụ tích phân sau I8 = − + ln(cos x) dx sin x − x cos x Lời giải: Khi x → 0+ , ta có (−1/5) ln(cos x) 3x2 − + ln(cos x) ∼ ∼ = f (x) = 3 sin x − x cos x x /3 10x 10x Vì dx phân kỳ (α = 1) Do đó, I8 phân kỳ x 63 Bài toán 38 Xét hội tụ tích phân sau I9 = ex − e−x √ dx − e 1+x7 −1 Lời giải: Khi x → 0+ , ta có ex − e−x 2x 2x √ √ f (x) = ∼ = − ∼ (−1/3)x7 x6 − + x7 − e 1+x7 −1 Vì dx phân kỳ (α = > 1) x6 Do đó, I9 phân kỳ Bài tốn 39 Xét hội tụ tích phân sau √ ln(1 + x3 ) I10 = dx ex − Lời giải: Khi x → 0+ , ta có √ ln(1 + x3 ) x3/5 f (x) = ∼ = ex − x x2/5 Vì dx hội tụ ( α = < 1) x2/5 Do đó, I10 hội tụ 64 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: 1.1 Hệ thống tính chất hàm số, giới hạn hàm số 1.2 Đưa phương pháp tìm giới hạn hàm số đại lượng vô bé, vô lớn tương đương 1.3 Đưa phương pháp xét hội tụ tích phân suy rộng đại lượng vô bé, vô lớn tương đương 1.4 Đưa sai lầm sử dụng đại lượng vô bé, vô lớn tương đương việc tính giới hạn hàm số 1.5 Trên sở sáng tạo số tốn tìm giới hạn hàm số xét hội tụ tích phân suy rộng Kiến nghị 2.1 Với tìm hiểu được, tơi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân nguồn tư liệu tốt cho quan tâm đến lớp toán giới hạn hàm số 2.2 Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên chắn luận văn cịn có thiếu sót Vì thế, tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Bình (2009), Bài tập Giải tích, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Tài Chung (2013), Chuyên khảo giới hạn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Doãn Minh Cường, Nguyễn Đoan Huy Ngơ Xn Sơn (1986), Những tốn sơ cấp chọn lọc, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Quý Dy Nguyễn Văn Nho (2000), Tuyển tập 200 toán giải tích, NXB Giáo Dục [5] Jean-Marie Monier (1999), Giải tích, Tập 1, NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Xuân Liêm (2009), Giải tích, Tập tập 2, NXB Giáo Dục [7] Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Thuỷ Thanh (2002), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo Dục [8] Lê Quang Hồng Nhân (2008), Giáo trình Tốn cao cấp, NXB Thống kê [9] Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương Đặng Hùng Thắng (2015), Tài liệu chuyên Tốn Đại số Giải tích 11, NXB Giáo Dục [10] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo Dục [11] Nguyễn Đình Trí, Lê Trọng Vinh Dương Thủy Vỹ (2005), Tốn cao cấp, Tập 1, NXB Giáo Dục [12] Lê Văn Trực (2007), Giải tích Tốn học, Tập 1, NXB Quốc gia Hà Nội 66 [13] Vũ Tuấn (2011), Giải tích Tốn học, Tập 1, NXB Giáo Dục [14] Phan Đức Tuấn Nguyễn Thị Thu Thủy (2017), “Ứng dụng vơ bé tương đương tính giới hạn hàm số”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Đà Nẵng, 22(01), tr 26-30 ...ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ THU HÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13... rộng vơ bé, vơ lớn tương đương Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: ? ?Đại lượng vô lớn, vô bé áp dụng? ?? sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá tổng hợp + Áp dụng. .. trình bày đại lượng vô lớn Chương Áp dụng vào tính giới hạn hàm số Trong chương 2, luận văn trình bày gồm mục Mục 2.1, trình bày áp dụng vào tính giới hạn hàm số đại lượng vô bé, vô lớn; Mục 2.2,