Nguyên hàm và tích phân

Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I. Nguyên hàm 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a. 3 1 ( ) 3 = − + f x x x x b. 3 1 ( ) − = x f x x c. 3 1 1 ( ) = − f x x x d. ( ) ( ) ( ) 1 1 = + − + f x x x x e. ( ) ( ) 1 − = − x x f x e e f. ( ) 2 3 = + x x f x g. ( ) 2 = + x f x a x h. 2 ( ) 2 cos −   = +  ÷   x x e f x e x 2. Tính: a. ( ) 20 2 1 + ∫ x dx b. 2 + ∫ xdx x a c. 2 3 5 + ∫ x x dx d. ∫ dxx2 3 e. ∫ dxx 5 f. ( ) 2 3 2 3 4x dx x − ∫ g. ( ) 1 2 2 1 + ∫ x xdx h. 2 3 3 1 x dx x + ∫ i. 2 2 5x x dx x   − +  ÷   ∫ j. 3 4dx x ∫ k. ∫ + dx x 1x 2 3 l. 2 x e xdx − ∫ m. ( ) 4 ln ∫ x dx x n. 3cos sin ∫ x e xdx o. tan xdx ∫ p. ( ) cot 3sin 2 1x x dx − +    ∫ q. ( ) 2 3 2cos sin x dx x − ∫ r. ( ) cos ( 0) + ≠ ∫ ax b dx a II. Tích phân 1. Tính các tích phân sau a. 3 1 2 − ∫ xdx b. 1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫ c. 3 1 ( 4) + ∫ x dx d. 16 1 ∫ xdx e. 1 1 e e dx x ∫ f. 1 2 1 3 dx x ∫ g. 2 2 3 1 2 − ∫ x x dx x h. 8 3 2 1 1 4 3   −  ÷   ∫ x dx x i. 3 2 1 2 ∫ dx x j. 3 3 2 − − ∫ x dx k. 2 1 2 5 7+ − ∫ e x x dx x l. 1 0 x dx 2x 1+ ∫ m. 1 0 x 1 xdx− ∫ n. 2 2 2 1 − − ∫ x dx o. 1 2 0 1 dx x+ ∫ p. 2 2 1 − + ∫ x dx q. 1 2 0 1 x dx− ∫ r. 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫ s. 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫ t. 1 0 1+ ∫ dx x u. 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫ v. 1 2 0 1 dx x x+ + ∫ w. 1 2 2 0 1 dx x− ∫ x. 0 2 2 4 2 3 dx x x − + − ∫ y. ∫ ++ − 1 1 2 52xx dx 2. Tính các tích phân sau a. 1 x 0 1 dx e 1+ ∫ b. ( ) ∫ − + 1 0 xx dxee c. 2 1 0 . x e xdx − ∫ d. 1 3 1 0 + ∫ x e dx e. 4 4 0 (3 )− ∫ x x e dx 3. Tính các tích phân sau a. ( ) ∫ + 1 0 2 dx1xsin b. 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫ c. dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π d. 4 2 0 1 sin 2x dx cos x π + ∫ GV: Cao Khả Thúc thuc.caokha@gmail.com Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 2 e. 2 2 cos3 cos5 − ∫ x xdx π π f. ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x g. ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x h. 3 2 0 4sin x dx 1 cos x π + ∫ i. 2 2 sin 2 sin 7x xdx π π − ∫ j. 2 4 0 cos 2xdx π ∫ k. π π + + + ∫ 6 2 1 sin 2x cos 2x dx sin x cos x l. 4 2 0 cot xdx π ∫ m. 2 3 2 4 3 cot cos x dx x π π − ∫ n. ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x o. 4 2 0 sin 4   −  ÷   ∫ x dx π π 4. Tính các tích phân sau a. 1 2 0 2 1 1 x dx x x + + + ∫ b. ( ) 1 2 3 2 0 5 1 xdx x− ∫ c. 2 1 1 ln e dx x x− ∫ d. + ∫ e 1 2 ln x dx 2x e. 1 1 ln+ ∫ e x dx x f. 2 3 0 sin cos ∫ x xdx π g. 2 sin 0 .cos ∫ x e xdx π h. 6 0 1 4sin .cos+ ∫ x xdx π 5. Tính các tích phân sau: a. 4 4 1 lnx xdx ∫ b. 2 0 sinx xdx π ∫ c. ln2 0 x xe dx − ∫ d. ( ) 1 2 0 ln 1x x dx+ ∫ e. 1 ln e e x dx ∫ f. 1 3 0 x xe dx ∫ g. 1 2 0 x x e dx − ∫ h. ( ) 2 0 1 cosx xdx π − ∫ i. 1 ln e xdx ∫ j. 2 2 0 sinx xdx π ∫ k. 2 0 cos x e xdx π ∫ l. 2 2 0 a dx a x+ ∫ m. ( ) 5 2 2 ln 1x x dx− ∫ n. ( ) 2 1 ln e x dx ∫ o. ( ) 6 0 2 sin 3x xdx π − ∫ p. 2 2 2 0 a dx a x− ∫ 6. Tính các tích phân sau: a. 3 2 0 1 2x x dx− + ∫ b. 2 3 1 1x dx x − ∫ c. 4 1 1 x dx x   +  ÷   ∫ d. 1 3 2 2 3 2 1x x dx x − + ∫ e. 2 2 0 3 4 1 x x dx x − + + ∫ f. 2 2 2 2x x dx − − − ∫ g. 6 3 1 sin dx x π π ∫ h. 3 2 2 5 4 dx x x− + ∫ i. 4 4 0 (3 ) x x e dx− ∫ j. 1 0 2 x x e e dx − + ∫ k. 3 4 0 1 sin 2xdx π + ∫ l. 3 1 2x dx− ∫ m. 1 0 ( 1)( 2) dx x x+ + ∫ n. 2 3 4 1 ( )x x x dx+ + ∫ o. 2 1 2 1 x dx x − ∫ 7. Tính các tích phân sau: a. 2 3 2 cos xdx π π ∫ b. 4 4 0 sin xdx π ∫ c. 3 4 2 0 1 cos cos x dx x π − ∫ d. 0 sin 2 cos3x xdx π ∫ GV: Cao Khả Thúc thuc.caokha@gmail.com Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 3 e. 3 2 2 4 cos2 cos sin xdx x x π π ∫ f. 3 2 2 6 sin cos dx x x π π ∫ g. 2 2 sin 7 sin 2x xdx π π − ∫ h. 2 2 3 2 4 cos 2tan sin x x dx x π π − ∫ 8. Tính các tích phân sau: a. 2 4 1 (2 1)x dx− ∫ b. 1 2 2 3 4 0 ( 1)x x dx+ ∫ c. 2 3 2 5 4 dx x x + ∫ d. 3 3 2 1 16 x dx x − ∫ e. 3 2 3 1 ( 1) xdx x − + ∫ f. 3 2 1 2 4 3 x dx x x + + + ∫ g. 2 3 3 2 0 8.x x dx− ∫ h. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ i. 3 2 0 1 1 x dx x + + ∫ j. 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ k. 1 0 2 1 x dx x + ∫ l. 1 5 3 0 1x x dx− ∫ m. 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫ n. 7 3 3 2 0 1 x dx x + ∫ o. 1 2 1 3 2 4 1 dx x x − ∫ 9. Tính các tích phân sau: a. 3 2 0 4sin 1 s x dx co x π + ∫ b. 4 6 cot xdx π π ∫ c. 2 4 3 sin dx x π π ∫ d. 3 3 0 sin cosx xdx π ∫ e. 4 0 cos2 1 2sin 2 xdx x π + ∫ f. 3 2 4 1 sin 2 cos x dx x π π + ∫ g. 4 4 3 cos dx x π π ∫ h. 2 5 4 sin xdx π π ∫ i. 2 2 sin 4 .sin 2 x e xdx π π ∫ j. 3 2 0 4cos 1 sin x dx x π + ∫ k. 4 2 2 0 sin 9cos dx x x π + ∫ l. 4 0 tanxdx π ∫ m. 4 4 4 0 sin 4 sin cos xdx x x π + ∫ n. 2 4 0 sin 2 1 sin x dx x π + ∫ o. 2 3 0 cos xdx π ∫ p. 4 2 0 (sin 2cos ) dx x x π + ∫ q. 2 2 0 sin 1 cos xdx x π + ∫ r. 2 2 0 sin 2 1 cos x dx x π + ∫ s. 6 2 6 6 0 sin cos sin xdx x x π + ∫ t. 2 0 sin 1 3cos x dx x π + ∫ 10. Tính các tích phân sau: a. 4 1 x e dx x ∫ b. ln 2 2 0 1 x x e dx e + ∫ c. 1 0 1 x x e dx e − − + ∫ d. 1 4 e x x dx e e − − ∫ e. 1 1 1 ln e x dx x + ∫ f. 3 2 1 ln 2 ln e x xdx x + ∫ g. 1 2 0 1 dx x+ ∫ h. 2 1 1 ln e x dx x + ∫ i. 2 1 ln . (ln ) 1 e x dx x x   +   ∫ j. 5 ln e e dx x x ∫ k. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ l. 2 3 2 0 4 dx x + ∫ m. 3 2 2 4 5 dx x x− + ∫ n. 1 4 2 0 4 3 dx x x+ + ∫ o. 1 4 2 0 3 xdx x x+ + ∫ p. 2 2 2 0 4x x dx− ∫ q. 1 2 0 1 x dx− ∫ r. 2 2 2 2 0 1 x dx x− ∫ s. 2 2 2 0 a x a x dx− ∫ t. 2 2 4 1 1 1 x dx x − + ∫ u. 1 5 2 2 4 1 1 1 x dx x + + + ∫ v. 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x dx x x + + − + ∫ x. 2 2 0 x x dx− ∫ y. 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x dx x π − + ∫ 11. Tính các tích phân sau: GV: Cao Khả Thúc thuc.caokha@gmail.com Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 4 a. 2 0 sinx xdx π ∫ b. 3 0 cosx xdx π ∫ c. 2 2 0 ( 1) sx co xdx π − ∫ d. 6 0 (2 )sin3x xdx π − ∫ e. 2 2 2 0 cosx xdx π ∫ f. 2 0 sin cos 2 2 x x x dx π ∫ g. 2 3 3 2 sx co x dx π π ∫ h. 3 2 3 0 sin xdx π    ÷   ∫ 12. Tính các tích phân sau: a. 1 ln e xdx ∫ b. 2 1 ln e x dx x ∫ c. 5 2 2 ln( 1)x x dx− ∫ d. 2 1 (ln ) e x dx ∫ e. 2 1 ln e x xdx ∫ f. 2 1 ln e x dx x    ÷   ∫ g. 3 1 ln e x dx x ∫ h. 2 2 1 ln(1 )x dx x + ∫ i. 2 2 0 ln( 1 )x x dx+ − ∫ j. 3 6 2 ln(sin ) cos x dx x π π ∫ k. 3 1 .ln e x xdx ∫ l. 1 ( 1)ln e x xdx− ∫ 13. Tính các tích phân sau: a. 2 0 cos x e xdx π ∫ b. 2 2 0 cos3 x e xdx π ∫ c. 2 2 0 sin x e xdx π ∫ d. 1 2 2 0 sin x e xdx π ∫ e. 1 sin(ln ) e x dx ∫ f. 1 s(ln ) e co x dx ∫ g. 3 4 2 sin xdx x π π ∫ h. 2 2 0 ( sin 2 )x x dx π + ∫ i. cos 0 ( )sin x e x xdx π + ∫ 14. Tính các tích phân sau: a. 1 2 0 3 2 xdx x x+ + ∫ b. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ c. ( ) 2 2 1 ln 1x x dx+ ∫ d. 2 ln e e x dx x ∫ e. 2 1 ln e x dx x ∫ f. 4 2 6 sin cot dx x x π π ∫ g. 3 3 1 3 x xe dx ∫ h. 0 2 2 3 5 x x dx + − ∫ III. Một số bài toán tích phân quan trọng 1. Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên [-a;a] (a > 0) thì a a f(x)dx 0 − = ∫ 2. Chứng minh rằng nếu f(x) là chẵn và liên tục trên [-a;a] (a > 0) thì a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx − = ∫ ∫ 3. Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số liên tục trên [0;1] thì: a. 2 2 0 0 f(sin x)dx f(cos x)dx π π = ∫ ∫ b. 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 π π π = ∫ ∫ 4. Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thì: + 0 ( ) ( ) vôùi R vaø a > 0 1 x f x dx f x dx a α α α α − = ∈ + ∫ ∫ ; a 1≠ 5. Tính các tích phân sau: GV: Cao Khả Thúc thuc.caokha@gmail.com Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 5 a. 4 3 0 cos sinx x xdx π ∫ b. 4 2 4 4 0 cos x dx cos x sin x π + ∫ c. 6 2 6 6 0 sin x dx sin x cos x π + ∫ d. 5 0 x sin xdx π ∫ e. 2 2 2 4 sin x cosx dx x π π − + − ∫ f. 2 0 cos ; cos sin n n n x dx n Z x x π + ∈ + ∫ g. 2 0 x sin x dx 4 cos x π − ∫ h. 1 4 2 1 sin 1 x x dx x − + + ∫ 6. Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện: ' f (1) 2= và 2 0 f(x)dx 4= ∫ 7. Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + = ∫ IV. Ứng dụng của tích phân IV.1. Tính diện tích hình phẳng 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [0; π] và trục Ox. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x 2 - 2x - 3 và trục Ox. 3. Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hsố y = -x 3 + 6x 2 - 9x + 4 và đường thẳng 3 1 4 2 = +y x . 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a. (P) y = x 2 - 2x, trục Ox, x = -2, x = 3. b. x = 0, x = 1, y = 0, y = 5x 4 + 3x 2 + 3 c. y = x 2 + 1, x + y = 3 d. y = x 2 + 2, y = 3x e. y = 4x - x 2 , y = 0 f. y = lnx, y = 0, x = e g. x = y 3 , y = 1, x = 8 h. y = 3 3 x , trục Ox , x= -1 , x = 2 i. ( ) ( ) 1 2 , 0.y x x x y = − − = j. , , 0, cos ; 2 x x y y x π π = − = = = k. xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0) l. y = e x , y = e -x , x = 1 m. 2 3= −( ) : ( )C y x x và trục Ox n. 4 2 = −( ) :C y x x và trục Ox. 5. Tính diện tích của các hình phẳng sau: a. 2 2 x y 4 4 x y 4 2  = −     =   b. 2 y x 4x 3 y x 3  = − +   = +   c.  − − =  −   = =  3x 1 y x 1 y 0;x 0 d. 2 2 y x x y  =   = −   e. 2 y x y 2 x  =   = −   f.  =    = = =  ln x y 2 x y 0; x e; x 1 g. 2 y x 5 0 x y 3 0  + − =  + − =  h. 2 2 y x 2x y x 4x  = −   = − +   i. 2 3 3 y x x 2 2 y x  = + −    =  j. 2 y 2y x 0 x y 0  − + =  + =  k.      −= = )( 2:)( :)( Ox xyd xyC l.      =∆ = = 1:)( 2:)( :)( x yd eyC x 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung. GV: Cao Khả Thúc thuc.caokha@gmail.com Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 6 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = -x 2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến tại các điểm M 1 (0; -3) và M 2 (3; 0). 8. Cho parabol 2 4=( ) :P y x . a. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm tung độ bằng 4. b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (P), trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a. IV.2. Tính thể tích tròn xoay 1. Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x 2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 2. Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x; y 0= = − = . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy 3. Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 y (x 2)= − và y = 4. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy 4. Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 2 4 ; 2y x y x= − = + . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 5. Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 2 1 ; 1 2 x y y x = = + . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 6. Tính thể tích vật thể sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 + x, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1 khi quay quanh trục Ox. 7. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox: a. y = x 2 và =y x b. y = 0, y = 2x - x 2 c. y = cosx, y = 0, x = 0, x = 4 π d. y = sin2x, y = 0, x = 0, x = π e. y = xe x/2 , y = 0, x = 0, x = 1 f. y = sinx, y = 0, x = 0, x = 4 π g. 1 2 2 . , 1, 2, 0 x y x e x x y = = = = h. y = lnx, x = 1, x = 2, y = 0 8. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình elíp 2 2 2 2 1 x y a b + = , khi nó quay quanh trục Ox. 9. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= 2 2 x , y = 2, y = 4, x= 0 khi nó quay quanh trục Oy 10. Cho đường cong ( ) 2 1 1 + = + : x C y x . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ); ;C Ox Oy . Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh Ox. 11. Cho đường cong 4 2 = −( ) :C y x x . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox. GV: Cao Khả Thúc thuc.caokha@gmail.com . Bài tập theo chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I. Nguyên hàm 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a. 3 1 ( ) 3 = − + f x. chủ đề - Nguyên hàm và tích phân 6 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = -x 2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến tại các điểm M 1 (0; -3) và M 2