Các công thức tính Đạo hàm, nguyên hàm của hàm số một biến.

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA HÀM MỘT BIẾN I/ ĐẠO HÀM: I1/ Các quy tắc tính đạo hàm: 1/ ( ) u v ' u ' v '+ = + 2/ ( ) uv ' u ' v uv '= + 3/ ( ) cu ' cu '= (c là hằng số) 4/ 2 u u ' v uv ' ' v v æö - ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç è ø I2/ Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: 1/ ( ) c ' 0= (c là hằng số) 2/ ( ) m m 1 x ' mx - = 3/ ( ) sin x ' cos x= 4/ ( ) cos x ' sin x= - 5/ ( ) 2 1 tgx ' cos x = 6/ ( ) 2 1 cot gx ' sin x = - 7/ ( ) x x a ' a ln a= 8/ ( ) x x e ' e= 9/ ( ) a 1 log x ' x ln a = 10/ ( ) 1 ln ' x = 11/ ( ) 2 1 arcsin x ' 1 x = - 12/ ( ) 2 1 arccos x ' 1 x = - - 13/ ( ) 2 1 arctgx ' 1 x = + I3/ Một vài đạo hàm cấp cao của một vài hàm số sơ cấp: 1/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k k n f x x , f x k k 1 k n 1 x (n k) - = = - - + £ 2/ ( ) ( ) ( ) n x x f x e , f x e= = 3/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 2k 2k 1 f x sin x, f x 1 sin x ; f x 1 cos x + = = - = - 4/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 2k 2k 1 f x cos x, f x 1 cos x ; f x 1 sin x + = = - = - 5/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n 1 1 n ! f x , f x 1 1 x 1 x + = = - + + 6/ ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 1 n ! f x , f x 1 x 1 x + = = - - I4/ Các định lý cơ bản về đạo hàm: 1/ Định lý Fremat: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0 x . Nếu f có đạo hàm tại điểm 0 x thì ( ) 0 f ' x 0= . 2/ Định lý Rolle: Giả sử hàm số f: a, b R é ù ® ê ú ë û liên tục trên đoạn a, b é ù ê ú ë û và có đạo hàm trên khoảng ( ) a, b . Nếu ( ) ( ) f a f b= thì tồn tại ít nhất một điểm ( ) c a, bÎ sao cho ( ) f ' c 0= . 3/ Định lý Lagrange: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a, b é ù ê ú ë û và có đạo hàm trên khoảng ( ) a, b thì tồn tại ít nhất một điểm ( ) c a, bÎ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f ' c . b a- = - 4/ Định lý Cauchy: Giả sử f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn a, b é ù ê ú ë û và có đạo hàm trên khoảng ( ) a, b . Nếu ( ) g ' x 0¹ với mọi ( ) x a, bÎ thì tồn tại ít nhất một điểm ( ) c a, bÎ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' c f b f a g ' c g b g a - = - I5/ Ứng dụng của đạo hàm: 1/ Công thức Taylor: Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn a, b é ù ê ú ë û và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng ( ) a, b . Khi đó tồn tại một điểm ( ) c a, bÎ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 2 n n 1 f ' a f '' a f a f c f b f a b a b a b a b a 1! 2! n ! n 1 ! + + = + - + - + + - + - + 2/ Công thức Maclaurin: Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp ( ) n 1+ tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 2 n n f ' 0 f " 0 f 0 f x f 0 x x x R x 1! 2! n ! = + + + + + Với ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 n f x R x x , 0 1 n 1 ! + + q = < <q + (phần dư dạng lagrange) Hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n n 1 n f x R x 1 x , 0 1 n ! + + q = - < <q q (phần dư dạng Cauchy). 3/ Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số: ( ) ( ) 2 n n 1 x x x x x x 1 e 1 e 1! 2! n ! n 1 ! + q = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 n 1 n n 1 x x x 1 2 ln 1 x x 1 2 3 n 1 1 x + + + = - + - + - + + q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 1 n 1 3 1 x 1 x R x 1! 2 ! n ! a - - - +a a a a a a + = + + + + + ( ) ( ) ( ) 3 5 2k 1 k 1 2k x x x 4 sin x x 1 R (x) 3! 5! 2k 1 ! - - = - + - + - + - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 2k k 2k 1 x x x x 5 cos x 1 1 R x 2! 4 ! 6! 2k ! - = - + - + + - + II/ NGUYÊN HÀM: 1/ Định nghĩa: Cho hai hàm số ( ) F x , ( ) f x xác định trong khoảng ( ) a, b . ( ) F x được gọi là một nguyên hàm của ( ) f x nếu ( ) ( ) ( ) F ' x f x , x a, b= " Î . 2/ Định lý: Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trong khoảng ( ) a, b thì ( ) f x sẽ có vô số nguyên hàm trong khoảng ( ) a, b . Các nguyên hàm này có dạng ( ) F x c+ (c là hằng số). Người ta thường ký hiệu ( ) f x dx ò là tập hợp các nguyên hàm của ( ) f x . ( ) ( ) f x dx F x c= + ò 3/ Các nguyên hàm cơ bản: ( ) 1 0dx c= ò ( ) 2 dx x c= + ò ( ) dx 3 x c 2 x = + ò ( ) 2 dx 1 4 c x x - = + ò ( ) ( ) ( ) 2 dx 1 5 c a ax b ax b - = + + + ò ( ) ( ) n 1 n x 6 x dx c n 1 n 1 + = + -¹ + ò ( ) dx 7 ln x c x = + ò ( ) dx 1 8 ln ax b c ax b a = + + + ò ( ) x x 9 e dx e c= + ò ( ) ax b ax b 1 9 ' e dx e c a + + = + ò ( ) a 0¹ ( ) x x a 10 a dx c ln a = + ò ( ) 11 sin xdx cos x c= - + ò ( ) ( ) ( ) 1 11' sin ax b dx cos ax b c a + = - + + ò ( ) 12 cos xdx sin x c= + ò ( ) ( ) ( ) 1 12 ' cos ax b dx sin ax b c a + = + + ò ( ) 13 tgxdx ln cos x c= - + ò ( ) 14 cot gxdx ln sin x c= + ò ( ) 2 dx 15 tgx c cos x = + ò ( ) 2 dx 16 cot gx c sin x = - + ò ( ) 2 dx 1 x 1 17 ln c 2 x 1 x 1 - = + + - ò ( ) 2 2 dx 1 x a 17 ' ln c 2a x a x a - = + + - ò ( ) 2 2 dx 18 ln x x k c x k = + + + + ò ( ) 2 2 2 x 1 19 x 1dx x 1 ln x x 1 c 2 2 + = + + + + + ò ( ) 2 2 2 x k 19 ' x kdx x k ln x x k c 2 2 + = + + + + + ò II/ TÍCH PHÂN: 1/ Định nghĩa: Cho hàm số ( ) f x lên tục trên đoạn a, b é ù ê ú ë û , ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x . Tích phân của ( ) f x trên đoạn a, b é ù ê ú ë û là một số thực. Kí hiệu: ( ) b a f x dx ò và được xác định bởi : ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= - ò Người ta thường dùng kí hiệu ( ) b a F x é ù ê ú ë û (hoặc ( ) b a F x ) để chỉ ( ) ( ) F b F a- . Khi đó: ( ) ( ) b b a a f x dx F x é ù = ê ú ë û ò 2/ Các phương pháp tính tích phân: a/ Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức ( ) ( ) b b a a f x dx F x é ù = ê ú ë û ò b/ Phương pháp đổi biến. c/ Dùng công thức tích phân từng phần: Ta kí hiệu: du u ' dx= ; dv v ' dx= b b b a a a udv uv vdu é ù = - ê ú ë û ò ò *Chú ý: Kí hiệu ( ) P x là đa thức của x thì : + Nếu gặp ( ) x sin x P x . cos x dx e é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ò thì đặt ( ) u P x= + Nếu gặp ( ) ( ) P x ln x dx ò thì đặt u ln x= . CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA HÀM MỘT BIẾN I/ ĐẠO HÀM: I1/ Các quy tắc tính đạo hàm: 1/ ( ) u v ' u ' v '+. Ứng dụng của đạo hàm: 1/ Công thức Taylor: Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn a, b é ù ê ú ë û và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng ( ) a, b . Khi đó tồn tại một điểm. ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trong khoảng ( ) a, b thì ( ) f x sẽ có vô số nguyên hàm trong khoảng ( ) a, b . Các nguyên hàm này có dạng ( ) F x c+ (c là hằng số) . Người