[r]
Trang 1Tóm tắt công thức tính đạo hàm
1/Định nghĩa:
y
2/Các quy tắc tính đạo hàm:
2
2
( ) ' ( ) ' ' '.
' ' '.
( ) '
( ) '
v
( với k là hằng số )
3/Bảng tóm tắt công thức:
Công thức hàm cơ bản Công thức hàm mở rộng ( u)
2
1 2
( ) ' 0
( ) ' 1
( ) ' 2
( ) '
( ) '
1 ( ) '
2
C
x
x
x
2
1 2
( ) ' 2 ' ( ) ' '
( ) '
1 ( ) ' '
2
u
u
Trang 22
2
2
(sin ) ' cos
(cos ) ' sin
1 (tan ) ' 1 tan
cos
1 (cot ) ' (1 cot )
sin
x
x
2
2
2
(sin ) ' '.cos (cos ) ' '.sin
1 (tan ) ' '.(1 tan ) '
cos 1 (cot ) ' '.(1 cot ) '
sin
u
u
( ) '
( ) ' ln
( ) ' '.
( ) ' ' ln
1
(ln ) '
1 (log ) '
ln
a
x
x x
1 (ln ) ' '
1
ln
a
u
4/Đạo hàm hàm đặc biệt:
?
ax b
“? “ được tính theo a b
c d
2
2
?
“ ? “được cho bởi a b c
0 d e
X 2
Trang 3
Ứng Dụng Đạo Hàm – Bài Toán Khảo Sát Hàm Số
Vấn đề 1: Điểm Cố Định
Định nghĩa : khi 1 hàm số y=f(x,m), ứng với mỗi m ta sẽ vẽ được 1 đồ thị khác nhau , nhưng tất cả các đồ thị này đều đi qua 1 điểm (hay 2 điểm trở lên) khi m thay đổi => điểm
cố định
Phương pháp tìm:
Cho hàm số y=f(x,m) ,ta chuyển về dạng sau:
f(x,m) – y = 0 sau đó đưa về : A.m2+B.m+C = 0
với A,B,C là các biểu thức theo x và y Tọa độ điểm cố định là nghiệm hệ phương
trình sau:
0
0 ( ) 0
A
B
C
m ( ko ghi ý này ko cho điểm)
Điểm cố định khi m thay đổi (2,0)
Trang 4VD: tìm tọa độ điểm cố định mà họ đường cong (Cm) y x 3(m 3)x22mx luôn 2
đi qua:
Giải : hàm số <=>
2
3 2
3 2
m
Vậy : ta tìm được 2 điểm cố định là (0;2) và (-2;-18)
Nhận xét : nếu (*) vô ngihệm thì ta kết luận (Cm) ko có điểm cố định
Vấn đề 2 : Tính Đơn Điệu của Hàm Số
1/ Định nghĩa: cho hàm số y=f(x) xđ trên (a,b)
a Hàm số f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên (a,b) nếu với mọi x1,x2 thuộc khỏang
(a,b) : x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 )
b Hàm số f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên (a,b) nếu với mọi x1,x2 thuộc khỏang
(a,b) : x 1 < x 2 => f(x 1 ) > f(x 2 )
c Hàm hằng số nếu với mọi x1,x2 thuộc khỏang (a,b) và x 1x 2 => f(x 1 = f(x 2 )
2/ Định lý ( quan trọng ) : Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a,b):
a Nếu f’(x) > 0 x ( , )a b thì f(x) đồng biến trên (a,b)
b Nếu f’(x) < 0 x ( , )a b thì f(x) nghịch biến trên (a,b)
c Nếu f’(x) = 0 x ( , )a b thì f(x) không đổi trên (a,b)
3/ Cách tìm khỏang đồng biến , nghịch biến ( đơn điệu ) của hàm số :
B1: tìm tập xác định D , tìm y’ (đạo hàm cấp 1)
B2: cho y’ = 0 suy ra các điểm tới hạn (đ/n : là điểm x0 nào đó làm cho đạo càm cấp 1 ( y’) bằng 0 hay không xác định)
B3: vẽ bảng biến thiên, suy ra các khỏang đơn điệu
4/ Chứng minh hàm số luôn đồng biến hay nghịch biến :
Khi ta lấy đạo hàm của hàm số : y ' ax2 bx c , lúc đó ta có
a Để chứng minh hàm số luôn đồng biến trên TXĐ ( tức là ' 0y ) ta chứng minh:
0
, ' 0
a
b Để chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên TXĐ ( tức là ' 0y ) ta chứng minh:
0
, ' 0
a
Trang 5Vấn đề 3: Cực Trị của Hàm Số ( Cực Đại & Cực Tiểu)
1/ Điều kiện cần để có cực trị:
Định lý Fermat :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f’(x0 ) = 0
ứng dụng của định lý trên : ( ^ ^ ) trong các bài tóan tìm m để hs đạt cựa trị tại một
điểm nào đó ( hay lắm )
2/ Dấu hiệu 1 ( định lý 1 ): dùng trong vẽ đồ thị và tìm cực trị
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a,b)
a.nếu khi x đi qua x0 mà đạo hàm đổi dấu từ + sang thì hàm số đạt cực đại tại x0
b nếu khi x đi qua x0 mà đạo hàm đổi dấu từ sang + thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
bảng biến thiên
3/ Dấu hiệu 2 ( định lý 2) : dùng trong biện luận tham số m
Giả sửa hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 ,liên tục tại x0 , x0 là điểm tới hạn
a Nếu
0 0
'( ) 0 ''( ) 0
f x
f x
thì hàm số đạt cực đại tại x0
b Nếu
0 0
'( ) 0 ''( ) 0
f x
f x
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
Vấn đề 4 : Gía Trị Lớn Nhất & Giá Trị Nhỏ Nhất
1/Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) ,TXĐ: D
a Nếu f x( )M, x D và f x ( )0 M x , 0 D thì M là GTLN của hs trên D
Kí hiệu Max y = M tại x = x0
b Nếu f x( )M, x D và f x ( )0 M x , 0 D thì M là GTNN của hs trên D
Kí hiệu Min y = M tại x = x0
2/ Tìm GTLN & GTNN:
Dạng 1: nếu D là đọan [a,b] ( dễ làm nhất )
- tính y’ ,cho y’ = 0 các điểm tới hạn x x x0, 1, 2 [ , ]a b ,không thuộc [a,b]
ta không lấy , nếu không có giá trị nào cần tìm thì thôi…
x a
x0 b
x a x0 b
y’ +
-C y’ - +
Đ
C T
D
D
Trang 6- tính các giá trị f x( ), ( ), ( ), , ( ), ( )0 f x1 f x2 f a f b
- nhìn , so sánh tìm ra giá trị lớn và nhỏ nhất và kết luận Min và Max
Dạng 2 : nếu D là khỏang (a,b) ( ta fải vẽ bảng Biến Thiên mới ra )
- tính đạo hàm
- lập BBT , suy ra GTLN , GTNN ( cũng không quá khó )
-chú ý : đôi khi ta còn xài bất đẳng thức CôSi, Bunhiacopski…
VD:tìm GTLN & GTNN của hàm số y x 3 3x2 trên đọan [1,3]2
Giải: TXĐ : D= R ,
2
x
x
, nhìn vào đọan [1,3] ta chỉ nhận x =2 không nhận x = 0
Tính các giá trị
(1) (1) 0 (3) (3) 2
Max y =2 khi x = 3 và Min y = -2 khi x = 2
[1,3] [1,3]
Vấn đề 5 : Lồi , Lõm , Điểm Uốn
1/ Định nghĩa : cho hàmsố y = f(x) có đồ thị là (C) , một điểm I ( ) C ngăn cách
giữa phần lồi và phần lõm gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số , sau đây là hình minh họa:
Trang 7Hình vẽ này cũng minh họa cho cực đại , cực tiểu
2/ Định lý 1: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên (a,b)
a Nếu f x "( ) 0, x ( , ) a b thì đồ thị lồi trên (a,b)
b Nếu f x "( ) 0, x ( , ) a b thì đồ thị lõm trên (a,b)
c Nếu f x "( ) đổi dấu khi đi qua xI
thì I là điểm uốn của (C)
3/ Cách tìm điểm uốn:
- tìm TXĐ :D , tính đạo hàm cấp 1 , sau đó tính đạo hàm cấp 2 ( y”)
- cho y” = 0 suy ra xI
sau đó vẽ bảng “ xét tính lồi ,lõm ,điểm uốn “
- suy ra các khỏang lồi , lõm , và điểm uốn
chú ý 1: một điểm M x ( M; yM) là điểm uốn của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi
()(),()
"()0
MM M
yxfx yx
(*) có nghĩa là ta đem thế tọa độ M vào hàm số là xong, chú ý này giúp giải
được nhiều bài tóan
chú ý 2: tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có “ hệ số góc “ nhỏ hoặc lớn nhất ( tùy
bài ).
Điểm uốn I ( 1,0 )
Cực tiểu (2,-2)
Cực đại (0,2)
Phần lồi
Phần lõm
Trang 8VD : tìm các khỏang lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số sau : y x 3 3 x2 1
Giải: D=R,
2
' 3 6 " 6 6,
Bảng xét tính lồi , lõm , điểm uốn:
Vấn đề 6 : Tiệm Cận
Cách xác định tiệm cận :
A.Tiệm cận đứng : Nếu 0
lim
thì x x là TCĐ 0
B Tiệm cận ngang : Nếu limx y y0
thì yy0 là TCN
C Tiệm cận xiên : Nếu lim[x y (ax b)] 0
thì y a x b . là TCX
D Cách tìm hệ số a & b của TCX :
lim
x
x
y a
x
từ đó suy ra TCX : y a x b .
E Các chú ý khi tìm tiệm cận :
a.Hàm đa thức y P x ( )không có đường tiệm cận
b.Hàm phân thức
( )
; ( ) 0 ( )
P x
Q x
có các nghiệm x x x 0, 1 không fải là nghiệm của P(x) thì các đường x x x x 0, 1 là TCĐ
c.Nếu Q(x) = 0 vô nghiệm thì hàm số không có TCĐ
d.Bậc tử bậc mẫu thì có TCN , không có TCX
e Bậc tử bậc mẫu 1 đơn vị thì có TCX
VD1:Tìm tiệm cận của hàm số
3
x y x
Giải : ta thấy x=3 là cho mẫu = 0 nên ta chứng minh như sau :
Đ
ồ
th
ị
0
"
l õ m
L
ồ
i
Điể
m uốn
Trang 93 3 3 3
x
x
Nhận xét : bậc tử = mẫu nên sẽ có TCĐ , không có TCX :
2 2
3
y
x
x
nên x=2 là TCĐ
VD2: Tìm tiệm cận của hàm số
2 4 5 2
y x
Giải: x=2 là nghiệm của mẫu nên
2
lim lim
2
y
x
Nhận xét : bậc tử > mẫu 1 đơn vị nên sẽ có TCX , không có TCĐ :
Tìm a :
2
1
2
a
x
Tìm b :
7 6
2
x
x
vậy TCX có dạng y=1.x+6
Ta có cách làm khác thông dụng để tìm TCN như sau :
6
,sau đó la làm như sau :
17 ( 6)
2
x
lấy lim 2 vế ta được:
x
,vậy TCX cũng có dạng : y=1.x+6