Ký hiệu: fnx, ynx... Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong a,b thì tồn tại c a,b sao cho Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý L
Trang 1Đạo hàm bên trái:
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x)
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1
(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):
x
y y
lim 0
'
2
'
' '
v
u v v u v
)]
( [ '
1 )
( '
1 )
(
)'
y f f x f
y
Trang 2Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(x)’ = x-1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1 Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2 Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x)
a x
x a
ln
1 )'
x
x)' 1
2
1
1 )' (arcsin
x
x
2
1
1 )'
(arccos
x
x
x
cos
1
)'
x
sin
1 )'
1
1 )' (
x
arctgx
2
1
1 )'
cot (
x gx
arc
2 2 2
2
,
dx
f d dx
y d
n n n n
dx
f d dx
y d
,
Trang 3Ví dụ: Cho y = x ( R, x > 0), y = kex, tìm y(n)
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n Khi đó ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
trong đó u(0) = u, v(0) = v
2 VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi
là vi phân cấp 1 của hàm số f
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn
(d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f
n
k
k k n k n
n
v u C
uv
0
) ( )
(
)
(
2
v
udv vdu v
u
d
Trang 4 3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b)
thì tồn tại c (a,b) sao cho f’(c) = 0
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại
c (a,b) sao cho
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong
trường hợp f(b) = f(a)
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và
g’(x) ≠ 0, x (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong
trường hợp g(x) = x
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x
D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho:
) ( ' ) ( ) (
c f a
b
a f b f
) ( '
) ( ' ) ( ) (
) ( ) (
c g
c f a g b g
a f b f
1 0
) 1 ( 0 0
) (
2 0 0
0 0
0
) ( )!
1 (
) ( )
(
!
) (
) (
! 2
) (
"
) (
! 1
) ( ' ) ( ) (
n n
n n
x x n
c f x x n
x f
x x x f x x x f x f x f
Trang 5Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
• Đa thức Taylor:
Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x (a,b)
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
1 0
) 1 (
) ( )!
1 (
) ( )
n
n
c f x R
n
k
k k
k
x f x
P
0
0 0
) (
!
) ( )
(
1 )
1 ( )
( 2
)! 1 (
) (
!
) 0 (
! 2
) 0 (
"
! 1
) 0 ( ' ) 0 ( )
n n n
x n
c f x n
f x
f x
f f
x
f
0 ) ( lim )
(
a x a
x
L x g
x f x
g
x f
a x a
x
) ( ' lim ) ( '
) ( ' lim
0 ) ( lim
)
(
Trang 6• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần
1 Dạng 0/0, /
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
2 Dạng 0., - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /
Ví dụ:
3 Dạng vô định: 00, 1, 0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ:
( ) lim ( )
x
x
3
4
27
3
x
x tgx
lim
0
sin lim
x
x x x
x
arctgx
2 lim
gx
x
x cot
ln
lim
0
x
ln lim
n
x
lim
x
x
xlim 5ln
0
2 x tg x
) cos
1 ( lim
2
x
2
lim x x
x
x x
1 2 1
x gx ln
1
1 (cot ) lim