Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2 ppsx

Đạo hàm bên trái: - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f - 1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x): x y y x     0 lim' 2 ' '' v uvvu v u         )]([' 1 )(' 1 )()'( 1 1 yffxf yf    Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (x)’ = x-1 (ax)’ = axlna (ex)’ = ex (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). a x x a ln 1 )'(log  x x 1 )'(ln  2 1 1 )'(arcsin x x   2 1 1 )'(arccos x x   x tgx 2 cos 1 )'(  x gx 2 sin 1 )'(cot  2 1 1 )'( x arctgx   2 1 1 )'cot( x gxarc   2 2 2 2 , dx fd dx yd n n n n dx fd dx yd , Ví dụ: Cho y = x  (  R, x > 0), y = ke x , tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) trong đó u(0) = u, v(0) = v  2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.     n k kknk n n vuCuv 0 )()( .)( 2 v udvvdu v u d          3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x 0 thì x  D, x ≠ x 0 thì tồn tại c nằm giữa x và x 0 sao cho: )(' )()( cf a b afbf    )(' )(' )()( )()( cg cf agbg afbf    1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 )( )!1( )( )( ! )( )( !2 )(" )( !1 )(' )()(       n n n n xx n cf xx n xf xx xf xx xf xfxf Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang • Đa thức Taylor: Khi x 0 =0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b) Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: 1 0 )1( )( )!1( )( )(      n n n xx n cf xR    n k k k n xx k xf xP 0 0 0 )( ! )( )( 1 )1()( 2 )!1( )( ! )0( !2 )0(" !1 )0(' )0()(     n n n n x n cf x n f x f x f fxf 0)(lim)(lim   xgxf axax L xg xf xg xf axax   )(' )(' lim )(' )(' lim 0)(lim)(lim   xgxf xx   )(lim)(lim xgxf axax • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 1. Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) 2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /. Ví dụ: 3. Dạng vô định: 00, 1, 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ:   )(lim)(lim xgxf xx 3 4 27 lim 2 3 3    x x x x x x xtgx x sin lim 0    3 0 sin lim x xx x   x arctgx x 1 2 lim    gx x x cot ln lim 0 n x x xln lim  x n x e x  lim xx x lnlim 5 0 )4/()4(lim 2 2 xtgx x    ) cos 1 (lim 2/ tgx x x    2 0 lim x x x  x x x   1 2 1 lim x x gx ln 1 1 )(cotlim  . f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp. cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u • u/v cũng có đạo hàm tại xV(x)0 và Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo. x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm