2. Giới hạn vô hạn của hàm số: N > 0 lớn tuỳ ý, > 0: 0 < x – x0 < f(x) > N N < 0 nhỏ tuỳ ý, > 0: 0 < x – x0< f(x) < N Ví dụ: chứng minh 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = L 1 và lim g(x) = L 2 thì • Lim [f(x) ± g(x)] = L 1 ± L 2 • Lim [f(x)g(x)] = L 1 L 2 • Lim [f(x)/g(x)] = L 1 /L 2 (L 2 ≠ 0) • Lim [f(x)]m = L 1 m (L 1 m R) • Lim C = C • Lim [Cf(x)] = CL 1 Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0., - , 1 thì phải biến đổi để khử chúng. )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx 2 )( 1 lim ax ax Ví dụ: Tìm Định lý: Giả sử g(x) f(x) h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x 0 . Nếu Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)] Ví dụ: Tìm 4. Một số giới hạn đặc biệt: Ví dụ: Chứng minh: Ví dụ: Tìm: 1lim 0 x tgx x 1 arcsin lim 0 x x x 1lim 0 x arctgx x 1 3 sin lim ) 2 2 x x x a x 1 1 lim ) 2 1 x x b x 2 8 lim ) 3 2 x x c x Lxhxg xxxx )(lim)(lim 00 Lxf xx )(lim 0 xx x x 2 2 2 1 sinlim 1 sin lim 0 x x x e x x x 1 1lim a x a x x ln 1 lim 0 ex x x /1 0 1lim 1 )1ln( lim 0 x x x x x x x 3 lim 3 1 2 lim x x x x 5. So sánh vô cùng bé Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0 Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình: • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f 1 (x), g(x)~g 1 (x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f 1 (x)/g 1 (x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x) Ví dụ: Chứng minh Khi x 0 3 2 3 arcsin2sin lim 22 0 x xarctgxx x 32 ~sin xxxx 6. So sánh vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x) = • Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL • Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình: • Nếu lim[F(x)/G(x)] = , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc. • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu F(x)~G(x) Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G 1 (x) thì lim[F(x)/G(x)] = lim[F 1 (x)/G 1 (x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x) Ví dụ: Tìm xxx xxx x 612 67 lim 23 53 Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x 0 nếu: Nếu chỉ có hoặc thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x 0 Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó không liên tục tại x 0 . Vậy x 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: - Hoặc f(x) không xác định tại x 0 - Hoặc f(x) xác định tại x 0 nhưng lim f(x) ≠ f(x 0 ) khi x x 0 - Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x x 0 Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x 0 = 0 Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó, • f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b )()(lim 0 0 xfxf xx )()(lim 0 0 xfxf xx )()(lim 0 0 xfxf xx 0 x khi1 0 xkhi1 )( x x xf x xf 1 )( Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x 0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x 0 : kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x 0 )≠0). Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u 0 và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u 0 ) Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì x0 (a,b): f(x 0 ) = 0 Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b] Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x 0 (a,b). Nếu tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0 . Ký hiệu f’(x 0 ), y’(x 0 ) Đặt x = x – x 0 , ta có x = x 0 + x và đặt y = f(x 0 + x) – f(x 0 ) thì Ký hiệu dy/dx, df/dx Đạo hàm bên phải: 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx x y y x 0 lim' x y y x 0 lim' . 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = L 1 và lim g(x) = L 2 thì • Lim [f(x) ± g(x)] = L 1 ± L 2 • Lim [f(x)g(x)] = L 1 L 2 • Lim [f(x)/g(x)] = L 1 /L 2 . ) 3 2 x x c x Lxhxg xxxx )(lim)(lim 00 Lxf xx )(lim 0 xx x x 2 2 2 1 sinlim 1 sin lim 0 x x x e x x x 1 1lim a x a x x ln 1 lim 0 ex x x /1 0 1lim 1 )1ln( lim 0 x x x x x x x 3 lim 3 1 2 lim x x x x . (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì x0 (a,b): f(x 0 ) = 0 Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b] Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ