Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu: Nếu chỉ có hoặc thì f được gọi là liên tục bên phải bên trái tại x0 Định nghĩa: Hàm số fx được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không
Trang 12 Giới hạn vô hạn của hàm số:
N > 0 lớn tuỳ ý, > 0: 0 < x – x0 < f(x) > N
N < 0 nhỏ tuỳ ý, > 0: 0 < x – x0< f(x) < N
Ví dụ: chứng minh
3 Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì
• Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2
• Lim [f(x)g(x)] = L1L2
• Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0)
• Lim [f(x)]m = L1m (L1m R)
• Lim C = C
• Lim [Cf(x)] = CL1
Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0., - , 1 thì phải biến đổi để khử chúng
lim
0
x
f
x
x
lim
0
x
f
x
x
( )2
1
lim
a
x
a
x
Trang 2Ví dụ: Tìm
Định lý: Giả sử g(x) f(x) h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0 Nếu
Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]
Ví dụ: Tìm
4 Một số giới hạn đặc biệt:
Ví dụ: Chứng minh:
Ví dụ: Tìm:
1
lim
tgx
x limarcsin 1
x
x
1 lim
arctgx
x
1 3
sin
lim
) 2
x a
x
1
1 lim )
2
x
x b
8 lim )
3
x
x c
x
x x
x
x ( ) lim ( )
lim
0 0
L x f
x
lim 0
x
2
2
1 sin
lim
1
sin
lim
x
x
e x
x
1 1
x
a x
lim
/ 1
01 lim
1 ) 1 ln(
lim
x
x
x
x
3
lim
3
1
2 lim
x
x
Trang 35 So sánh vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) =
0
Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương Ký hiệu f(x)~g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x), g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì
f(x) + g(x) ~ f(x)
Ví dụ: Chứng minh
Khi x 0
3
2 3
arcsin 2
sin
lim
2 2
x arctg x
x
x
3 2
~
sin x x x x
Trang 46 So sánh vô cùng lớn:
Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x)
=
• Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL
• Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB
Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình:
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương Ký hiệu F(x)~G(x)
Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G1(x) thì
lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)
Ví dụ: Tìm
x x
x
x x
x
6 7
lim 3 2
5
3
Trang 5Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu:
Nếu chỉ có hoặc
thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x0
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0 Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:
- Hoặc f(x) không xác định tại x0
- Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x x0
- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x x0
Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0
Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó,
• f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b
) ( )
(
0
x f x
f
x
) ( ) (
0
x f x f
x
) ( ) (
0
x f x f
x
0
x khi 1
0 x khi 1
)
(
x
x
x
f
x x
f( ) 1
Trang 6Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại
x0: kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x0)≠0)
Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0)
Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì x0 (a,b): f(x0) = 0
Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]
Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 (a,b) Nếu tồn tại
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0 Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và
đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì
Ký hiệu dy/dx, df/dx
Đạo hàm bên phải:
0
0) (
)
(
lim
x f
x
f
x
x
y y
x
lim 0
'
x
y y
lim 0
'