CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
1/ Đạo hàm riêng:
0 0
x 0
f
f x ,y
V
0 0
y 0
f
f x ,y
V V
*Định lý đạo hàm của hàm số hợp: D là một tập hợp trong Rn Xét hai ánh xạ j : D®Rm,
( )
f :a D ®R Đặt F : f= j° Nếu f có các đạo hàm riêng ff,
¶ ¶
¶ ¶ liên tục trong j ( )D và nếu
u, v có các đạo hàm riêng u
x
¶
¶ ,
u y
¶
¶ ,
v, v
¶ ¶
¶ ¶ trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng
F, F
¶ ¶ và ta có:
ïî
Trong đó
æ¶ ¶ ÷ö
là ma trận Jacubi của u, v đối
với x, y.
2/ Tích phân kép, tích phân bội ba:
a/ Tích phân kép:
( ) ( )
f x,y dS= f x, y dxdy
+ Tích phân kép trong toạ độ đề các:
( ) b d ( )
f x,y dxdy= dx f x, y dy
+ Đổi biến số trong tích phân kép: Với x=x u, v , y( ) =y u,v( )
f x,y dxdy= f x u,v ,y u,v J dudvéêë ùúû
J
y' y'
D u, v
= = là định thức Jacobi, D’ là ảnh của D qua phép biến đổi trên
f x,y dxdy= f r cos ,r sin rdrdj j j
+ Thể tích của vật thể hình trụ : ( )
D
V = òòf x, y dxdy
+ Diện tích của miền D trong mặt phẳng Oxy là:
D
S=òòdxdy
( )
Trang 2( )2 ( )2
D
S= òò 1+ z' + z' dxdy
+ Nếu bản phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng r( )x,y thì:
- Khối lượng của bản D là: ( )
D
m=òòr x, y dxdy
- Momen quán tính của bản D đối với Ox, đối với Oy và đối với gốc toạ độ là:
( )
2 x
D
y D
I =òòxr x,y dxdy
O D
I = òò x +y r x, y dxdy
- Toạ độ của trong tâm G của bản D là:
( )
G
D
1
m
D
1
m
b/ Tích phân bội ba:
+ Tích phân bội ba trong toạ độ đề các:
Nếu miền V được xác định bởi a£ x£ b, y x1( ) £ y£ y x , z x2( ) 1( ) £ £z z x2( )
( )
( )
( )
( )
( )
y x z x b
f x,y,z dxdydz= dx dy f x,y,z dz
+ Đổi biến số trong tích phân bội ba: Đặt x=x u,v, w( ), y=(u, v,w , z) =z u,v,w( ) thì:
f x, y,z dV = f x u, v, w , y u, v,w ,z u, v, w J dudvdwéêë ùúû
x' x' x'
D x,y,z
D u, v, w z' z' z'
V’ là ảnh của V qua phép biến đổi trên
+ Tích phân bội ba trong toạ độ trụ:
f x, y,z dxdydz= f r cos ,r sin ,z rdrd dzj j j
+ Tích phân bội ba trong toạ độ cầu:
f x,y,z dxdyfz= f r sin cos ,r sin sin ,r cos r sin drd dq j q j q q q j
+ Thể tích V của vật thể V là:
V
V = òòòdxdydz + Nếu vật thể có khối lượng riêng tại điểm (x, y,z) là r(x,y,z) thì:
- Khối lượng của vật thể V là: ( )
V
m=òòòr x, y,z dxdydz
- Toạ độ của trọng tâm G của vật thể V là:
Trang 3( )
G
V
1
m
V
1
m
G
V
1
m