GIẢI TÍCH 12 1 Câu 1. Tìm nguyên hàm sau: a) 3 1 x x e e dx x b) 3 ( )(1 ) x x x dx x c) 2 2 1 sin .cos dx x x d) 2 cot . x dx ĐA: a) 2 1 2. x e C x ; b) 13 7 6 6 6 7 13 6 x x C c) tanx - cotx +C d) – cotx– x + C. Câu 2. Tìm nguyên hàm:. a) os2xdx I c ; b) 2 sin x dx ; c) sin( 4 ) x dx d) 2 ( 3) x I dx x x ĐA : a) 1 sin2x +C 2 I ;b) 1 1 sin 2 2 4 x x C c) 1 os4x+C 4 c . d) 2 5 ln ln 3 3 3 I x x C Câu 3. Tìm nguyên hàm sau: a) 2 2 1 1 dx x ; b) 2 x sin os 2 2 x c dx c) 3 2 3 4 os os c x dx c x Đáp án: a) 2 4 1 2 x x ; b) x - cosx +C; c) tanx - 4sinx +C Câu 4. Tìm nguyên hàm sau: a) 2 1 xdx x . b) 2 (1 ) 2 3 x dx x x c) 2 3 9 x x dx Đáp án : a) 2 1 ln 1 2 x C . b) 2 1 ln 2 3 2 x x C c) 3 3 2 2 ( 9) 9 x C Câu 5. Tìm nguyên hàm sau: a) sinx.cosx dx I . b) sinx dx I c) 2 1 xdx I x Đáp án : a) ln tan x C . b) ln tan 2 x C c) 2 1 I x C Câu 6. Tìm a) 4 x x dx e e ; b) 2 2 1 x x e I dx e c) sin2 4 os2x x I dx c d) 3sinx - cosx dx I ; e) 1 tan 2 1 2 1 x dx x x . Đáp án: a) 1 2 ln 4 2 x x e C e ; b) 2 ln(1 ) x I e C ; c) 1 ln(4 os2x)+C 2 I c d) 1 ln 2 2 12 x I tg C ; e) 3 3 1 (2 1) (2 1) ln osx 6 x x c C Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số sau theo phép biến đổi tương ứng: a) 2 2 1x dx x x (u=x 2 +x) b) 2 2 1 ( 2 5) x dx x x 2 ( 2 5) u x x c) 2 3 . x x e dx (u = - 3x 2 ) d) 1 x x e dx e (u=1+e x ). e) sinx 1-cosx dx (u = 1 - cosx) f) 3 ln x dx x (u=lnx). GIẢI TÍCH 12 2 Đáp án: a) 2 2 x x C . b) 2 1 2( 2 5) C x x c) 2 3 6 x e C d) ln(1+e x ) + C e) ln|1-cosx| + C. f) 2 3 (ln ) 2 x C Câu 8. Tìm nguyên hàm sau bằng phép đổi biến số: a) 2 (ln ) dx x x ; b) os x c dx x ; c) 3 sin osxdx xc Đáp án : a) 1 ln C x . b) 2sin x C c) 4 1 sin 4 x C Câu 9. Sử dụng các phép biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm sau: a) 3 x x dx b) 2 1 x x dx c) 3 2 2 ( 1) x dx x d) sinx - cosx dx Đáp án : a) 5 3 2 2 2 ( 3) 2( 3) 5 x x C b) 7 5 3 2 2 2 2 4 2 ( 1) ( 1) ( 1) 7 5 3 x x x C c) 2 2 1 1 ln(1 ) 2 1 x C x d) 1 ln tan 2 8 2 x C Câu 10. Tính nguyên hàm: a) . x x e dx . b) 2 sin3 x e xdx c) ln 1 x x e e dx d) 2 5 x x e dx Đáp án : a) . x x x e e C . b) 2 1 (2sin3 3 os3 ) 13 x e x c x C c) ( 1) ln( 1) 1 x x e e C d) 2 4 2 1 2 2 2 x e x x C Câu 11. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần: a) os3 xc xdx ; b) 3 ln x xdx c) ln y ydy d) 2 x x e dx e) 2 sin x dx x f) 2 cos sin x x dx x Đáp án : a) 1 1 sin3 os3 3 9 x x c x C b) 4 4 1 1 ln 4 16 x x x C c) 3 3 2 2 2 4 ln 3 9 y y y C d) x x xe e C e) cot ln sin x x x C f) ln tan sinx 2 x x C Câu 12. Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong mỗi trường hợp sau: a) F(x) = sin x x và f(x) = 1 sin cos x x x x b) F(x) = ln x x x và f(x) = lnx. Câu 13. Tìm: a) 4 5 3cos 7 x x dx; b) 2 3 3 2 3 5x x x dx. Đáp án : a) 5 3sin 7 x x x C. b) 4 1 3 3 3 9 5 4 3 4 x x x C. GIẢI TÍCH 12 3 Câu 14. a) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin4x.cosx biết F 2 b) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x.tanx thỏa mãn F 3 3 4 . Tính F 4 . Đáp án : a) F(x) = 1 1 26 os5x- os3x+ 10 3 15 c c b) F 1 3 3 1 sin 4 4 2 2 2 3 2 12 . Câu 15. Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 4sin 2 1 osx x x c và ( ) ax+b ox+ f x dx c C. Đáp án : f(x) = 2cos 2 1 sinx x x . Câu 16. Cho 4 0 a b . Xác định hai số a và b biết F(x) = ax+b 4 x là nguyên hàm của hàm số f(x) và ta có 2f 2 x (F(x) 1 )f’ x . Đáp số: a = 1 và b tùy ý. Câu 17. Tìm a) os3xcosxdx c b) 2 os2xtan c xdx c) 2 1 3 4 dx x x d) 3 1 dx x x Đáp án : a) 1 sin 4 sin 2 2 4 2 x x C b) sin 2 t anx+x+ 2 x x C c) 1 1 ln 5 4 x x C d) 1 ln ln 1 ln 1 2 x x x C Câu 18. Cho hàm số f(x) = 2 2 3 3 3 2 x x x x a) Tìm A, B, C sao cho: f(x) = 2 1 2 1 A B C x x x . b) Tìm họ nguyên hàm của f(x). Đáp án: a) A = 7 , B = 12 , C = 13. b) 7 ( ) 12ln 1 13ln 2 1 f x x x x C. Câu 19. Cho hàm số f(x) = asinx+bcosx csin d cos x x a) Xác định các số A, B để f(x) = A + B cos sin sin cos c x d x c x d x b) Tìm asinx+bcosx sin cos dx c x d x Đáp án : a) A = 2 2 ac bd c d ; B = 2 2 bc ad c d . b) A x Bln sin cos c x d x C. Câu 20. Tìm a) 3 4 2x e x dx b) 6 ln dx x x c) 1 n x x dx d) 7 4 5 x dx x ĐA: a) 3 4 1 3 x e C; b) 5 1 5ln x C; c) 1 1 1 1 1 1 n n x x n n C; d) 4 4 1 5 5 ln 5 4 4 x x C Câu 21. Tìm a) I = 3 4 3. x x dx b) J = 3 2 1 2 xdx x Đáp án : a) I = 4 4 1 3 3 6 x x C; b) J = 2 2 3 3 2 2 3 ln 2 1 2 2 x x C. Câu 22. Tìm a) cot xdx . b) 5 2 sin os xc dx c) 1 sin dx x d) os2x sinx+cosx+3 c dx GIẢI TÍCH 12 4 Đáp án : a) ln sinx C. b) 7 5 3 1 2 1 os os os 7 5 3 c x c x c x C. c) 1 osx-1 ln 2 os 1 c c x C. d) 2 3 1 1 2 sinx+cosx+3 3 sinx+cosx+3 C. Câu 23. Tìm a) 2 osxdx x c b) 2x xe dx c) 2 sin x dx x d) ln 1 x x dx Đáp án : a) 2 sinx+cosx x + C; b) 2 2x x xe e C; c) x.cot x + ln |sin x| + C; d) 2 2 1 ln 1 2 4 2 x x x x C. Câu 24. Tìm a) 2 osx.dx x c b) 2 . x x x e dx c) sinx.dx x e d) 2 1 ln . x x dx Đáp án : a) 2 sinx+2xcosx-2sinx+ x C.; b) 2 3 3 x e x x C; c) 1 sinx-cosx 2 x e C; d) 2 2 2 2 ln 2 ln 2 2 2 4 x x x x x x x x C. Câu 25. Tìm họ nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số sau: a) f(x) = 2 sin 2 os 2 x c x b) f(x) = 2 2 2 4 2cot sin cos x x x . Đáp án : a) F(x) = 1 sin 4 cos2 2 4 x x x C; b) F(x) 4tan 2cot 2 x x x + C Câu 26. Tìm a) I = 3 6 5 3sin3 x x dx x b) J = 3 2 1 13 2 9 x dx x x Đáp án : a) 4 5 1 sin3 4 x x x C b) 2 4 13 ln 9 3 x x x x x C Câu 27. Tìm nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số sau: a) f(x) = sin5x.cosx biết F 2 . b) f(x) = 1 os2x 1 os2x c c biết F 3 4 . Đáp án : a) F(x) = 1 cos6 cos4 53 2 6 4 24 x x b) F(x) = tan 2 4 x x Câu 28. a) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 1 3 2x x x thỏa mãn F(4) = 50. Tính F(2). b) Cho hàm số f(x) = 3 3 sin os 1 sinxcosx x c x . Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(0) =f’(0). Đáp án : a) F(x) = 3 2 2 2 x x x F(2) = 2 2 2 b) F(x) = sinx – cosx + 2 Câu 29. Tìm a) 6 6 sin os x c x dx b) 1 sin 2 sin osx x dx x c c) 2 2 9 x dx x d) 4 3 2 x dx x x Đáp số: a) 5 3 sin 4 8 8 4 x x C b) cos sin x x C c) 9 1 1 6 3 3 x dx x x d) 2 1 2ln ln 1 ln 1 2 2 x x x x C. GIẢI TÍCH 12 5 Câu 30. Cho hàm số f(x) = 2 1 4 5 x x a) Tìm A, B sao cho: f(x) = 1 5 A B x x b) Tìm họ nguyên hàm của f(x). Đáp án : a) A = 1 6 , B = 1 6 b) F(x) = 1 5 ln 6 1 x x C. Câu 31. Cho hàm số f(x) = sinx-3cosx 2sin osx x c a) Xác định các số A, B để f(x) = A + B 2cos sinx 2sin osx x x c . b) Tìm sinx-3cosx 2sin osx dx x c Đáp số: a) A = 1 5 , B = 7 5 b) 1 7 ln 2sin cos 5 5 x x x C Câu 32. Tìm a) 5 2 3 2 x x dx b) 4 1 dx x x c) 9 5 dx x x d) 5 3 2 x x dx e) 2 2 2 xdx x x f) 3 dx x x Đáp số: a) 6 3 1 2 18 x C ; b) 4 4 1 ln 4 1 x x C ; c) 4 4 4 1 1 ln 4 4 1 x x x C; d) 5 3 3 3 2 2 2 2 3 5 3 x x C; e) 2 2 1 2 1 ln 3 2 2 x x C ; f) 3 2 3 ln 1 2 x C Câu 33. Tìm a) 5 os c xdx b) 2 4sin 2sin 2 3cos2 dx x x x c) 2 osx sinx+cosx c dx d) 4 tan os2x x dx c Đáp án : a) 5 3 1 2 sin sin sin 5 3 x x x C b) 1 tan 3 ln 2 tan 1 x x C c) ln sin cos x x C d) 3 tan 1 tan 1 tan ln 3 2 tan 1 x x x x C Câu 34. Tìm a) ln x dx x b) 2 tan x xdx c) 2 2 sin x xdx d) 2 ln x dx e) 2 ln 1 x x dx f) ln 1 x x e e dx g) sin 2 x x dx h) 2 1x xe dx Đáp án : a) 2 ln 4 x x x C; b) tan ln cos x x x C; c) 3 2 sin 2 cos2 sin 2 6 4 2 4 x x x x x x C d) 2 ln ln x x x x x C; e) 2 2 2 1 ln 1 2 x x x C ; f) ln 1 ln 1 x x x x e e e e C g) cos 2 sin 2 x x x C; h) 2 1 2 1 1 1 2 4 x x xe e C. Câu 35. a) CMR nếu 2 2 ln y x x a thì 2 2 1 'y x a 0 a b) Tìm 2 2 x a dx Đáp án : b) I = 2 2 2 2 2 1 ln 2 x x a a x x a C. Câu 36. Tìm a) sinx osx.dx x c b) sinx sinx.dx x e c) 2 sinx os x dx c x d) 2 cos sin x x dx x . C. GIẢI TÍCH 12 3 Câu 14. a) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin4x.cosx biết F 2 b) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x.tanx thỏa mãn F 3 3 4 . Câu 28. a) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 1 3 2x x x thỏa mãn F(4) = 50. Tính F(2). b) Cho hàm số f(x) = 3 3 sin os 1 sinxcosx x c x . Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết. x e e C d) 2 4 2 1 2 2 2 x e x x C Câu 11. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần: a) os3 xc xdx ; b) 3 ln x xdx c) ln y ydy d) 2