Chuyên đề biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân thức

BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ - GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Biến đổi biểu thức hữu tỉ - Biểu thức hữu tỉ phân thức biểu thị dãy phép toán: cộng, trừ, nhân chia phân thức - Biến đổi hiểu thức hữu tỉ thành phân thức nhờ quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức học Giá trị phân thức - Giá trị phân thức đuợc xác định với điều kiện giá trị mẫu thức khác - Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x y giá trị biểu thức chi đuợc xác định vói cặp số (x;y) làm cho giá trị mẫu thức khác II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức Phương pháp giải: Ta xác định giá trị biến để mẫu thức khác Bài 1: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: a) 5x ; 2x  b) 2 ; x 4 c) 2x 1 ; x2  x d) x2 x  27 d) y2 y3  y  d) x 1 x  x  3x Bài 2: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: a) 4a ; 3a  b) 3b  ; b  2b c) ; x 5 Bài 3: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: x2  a) ; x  16 b) 2x  ; x  6x  c) 3x  ; x  3x Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức Phương pháp giải: Thực theo hai bước: Bước Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số học để biến đổi; Bước Biến đổi phân thức có dạng thức Bài 4: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A với A B đa thức, B khác đa B x với x  x  ; a) A  2 x 2 y2 b) B  với y  2 2y 1 y  2y  1 Bài 5: Đưa biểu thức sau thành phân thức: x 15 2 x với x  0;3; a) A  x   x y2 b) với y  1 1  y y2 3y  Bài 6: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: a) M  4 4n n  m m , m  0, n  0, n  2m  m n b) N  x  , x  3 1 x x3 Dạng 3: Thực phép tính với biểu thức hữu tỷ Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số học để biến đổi Bài 7: Thực phép tính sau:    x1  x1  1 với x   12 a) A  x         :  với x  0, x  3  x  x  6x    x   x  b) B   Bài 8: Rút gọn biểu thức sau: 4a  b  a  16b  4a  b  a) A    2 với a  0, a  4b;  a  4ab a  4ab  a  b  y   3y2   1 :   b) B   với y  1; y  2   y 2   4 y  Bài 9: Cho biểu thức P  x  x x  108  x   ' x  12 x 2x  x  6 a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức; ; d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức  ; e) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức Dạng 4: Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước c) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức P Phương pháp giải: Ta sử dụng kiến thức sau: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com • A  A B dấu; B A  A B trái dấu B • Hằng đẳng thức đáng nhớ ý a  vói giá trị a • Với a;b  Z b  ta có: Bài 10: Cho phân thức A  a  Z  b  Ư (a) b x2 với x  1; x 1 b) Tìm x   để A   a) Tìm x để A  1; Bài 11: Cho phân thức B  a) Tìm x để B  0; x2  2x  với x  3; x 3 Bài 12: b) Tìm x   để B   đạt giá trị lớn nhất; x  x  12 b) Tìm x để phân thức B   đạt giá trị lớn x  x  11 a) Tìm x để phân thức A  HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức Bài 1: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: a) 5x ; 2x  b) 2 ; x 4 c) 2x 1 ; x2  x d) x2 x  27 Hướng dẫn a) x  3 b) x  2 c) x  0; x  1 d) x  Bài 2: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: 4a a) ; 3a  3b  b) ; b  2b c) ; x 5 y2 d) y  3y  Hướng dẫn a) a  b) b  0; b  c) x   Bài 3: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: a) x2  ; x  16 b) 2x  ; x  6x  c) 3x  ; x  3x TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com d) x 1 x  x  3x d) y  1; y  Hướng dẫn a) x   b) x  3 c) x  0; x  d) x  0; x  1; x  Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức Bài 4: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: x với x  x  ; a) A  2 x 2 y2 b) B  với y  2 2y 1 y  2y  1 Hướng dẫn   a) A    1   2x  :2    x  x  2x 1   y  y2  y  y  y2  y  y2  y  4   2y b) B    :    : 1   y2  y  y   y  y  y  y   y  2 y2  Bài 5: Đưa biểu thức sau thành phân thức: y2 b) với y  1 1  y y2 x 15 2 x với x  0;3; a) A  x   x 3y  Hướng dẫn 15   x  x  x  15 x  x  12 x5 x :  a) A      :      4x   x  4x 2x 2( x  4) 4    1  27 y  y  y  b) B   y   :      :  y 1 y   3y y  y2 y2  Bài 6: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: 4n n 4  m m , m  0, n  0, n  2m a) M   m n b) N  x  , x  3 1 x x3 Hướng dẫn a) Ta có M  (2m  n) m.n (n  m) n  m n  2m m x( x  3) x  x  b) Ta có N    3 Dạng 3: Thực phép tính với biểu thức hữu tỷ TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 7: Thực phép tính sau:    x1  x1  1 với x   12 a) A  x         :  với x  0, x  3  x  x  6x    x   x  b) B   Hướng dẫn (2 x  1)  (2 x  1)  (4 x  1)   4x2 (2 x  1)(2 x  1) ( x  3)( x  3)  x b) B   x x3  x  3 a) A   x  1 Bài 8: Rút gọn biểu thức sau: 4a  b  a  16b  4a  b  a) A    2 với a  0, a  4b;  a  4ab a  4ab  a  b  y   3y2   1 :   b) B   với y  1; y  2   y 2   4 y  Hướng dẫn a) A  8(a  b ) a  16b  a a  a  16b  a  b Bài 9: Cho biểu thức P  b) B  y   y2 2 y  y   4y  2y x  x x  108  x   ' x  12 x 2x  x  6 a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức; ; d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức  ; e) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức Hướng dẫn c) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức P a) Tìm x  6; x  b) Gợi ý: x  x  x  36  ( x  6)( x  x  6) x2  2x  Ta tìm P  2x x  3 c) Ta có P   x  x    ( x  3)( x  2)    (TM) x  d) Tương tự câu c) tìm x  6( KTM ) x  1(TM ) e) P   x  x    ( x  2)   ( vơ nghiệm) Vì ( x  2)    với x Do x  TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Dạng 4: Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Cho phân thức A  x2 với x  1; x 1 b) Tìm x   để A   Hướng dẫn a) Tìm x để A  1; a) Ta có A >1 dẫn đến   x  (TMĐK) x 1 nên A    ( x  1) nhận giá trị Ư(3) Từ tìm x  2;0; 2; 4 x 1 x2  2x  Bài 11: Cho phân thức B  với x  3; x 3 a) Tìm x để B  0; b) Tìm x   để B   b) Ta có: A   Hướng dẫn   a) Ta có x  x    x  1 7     nên B   x  2 4 nên B    ( x  3) nhận giá trị Ư(8) Từ tìm x3 x  5; 1;1; 2; 4;5;7;11 b) Ta có B  x   Bài 12: đạt giá trị lớn nhất; x  x  12 b) Tìm x để phân thức B   đạt giá trị lớn x  x  11 a) Tìm x để phân thức A  Hướng dẫn a) Ta có x  x  12  ( x  2)   hay 1  dẫn đến M  Từ tìm giá x  x  12 trị lớn M = x = b) Tương tự ta có x  x  11  ( x  1)  10  10 hay Giá trị nhỏ N   x = -1 Chú ý : Ở 12 Ta dựa vào lập luận 1  ; M a 1 - Nếu  M  a   M a B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN - Nếu M  a   TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1   N   x  x  11 10 2 Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức: x2  2x 1 a) b) 2 x  16 x  4x  c) x2  x2 1 d) 5x  2x  x Bài 2: Tìm điều kiện xác định phân thức: a) c) x y  2x b) x2  y 5x  y x  2x  x y d) x  6x  10 ( x  3)2  ( y  2)2 Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức: a) c) x2  5x  b) x2  2x  d) x  5x  ( x  1)( x  3) 2 x  y  2x  Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức Bài 4:Rút gọn phân thức sau: a) 5x 10 b) xy ( y  0) 2y 2x  y d) e) c) 21x y ( xy  0) xy 5x  y ( x  y) 3x  y f) 15 x( x  y ) ( x  y) 3( y  x ) b) x2  4x  ( x  3) 2x  Bài 5: Rút gọn phân thức sau: a) c) x  16 4x  x2 15 x( x  y )3 y( x  y )2 ( x  0, x  4) d) ( y ( x  y)  0) x  xy 3xy  y ( x  y, y  0) Bài 6: Rút gọn, tính giá trị phân thức sau: a) A  (2 x  x)( x  2)2 ( x3  x)( x  1) với x  b) B  x3  x y  xy Dạng 3: Thực phép tính với biểu thức hữu tỷ Bài 7: Thực phép tính: TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x3  y với x  5, y  10 a) c) x  1 x  5 x2  x  x  xy xy b) d) Bài 8: Thực phép tính: 2x   x  a) 10 15 c) x 1 x2   2x  2  2x2 x  y 2y  8 xy  x y xy  x y  xy xy b) 3x x   x   10 15 20 d)  2x 2x   2x 2x  2x  4x b) x  10 xy 5y  x x  y   xy y x Bài 9: Thực phép tính: a) x2 x3  x    3x x  x  y2 d) x  y  xy 3 x c)   x  y x  y x  y2 Dạng 4: Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên: a) x3  x  x 1 b) x3  x2  x 2 Bài 11:Tìm giá trị biến x để: a) P  đạt giá trị lớn x  2x  b) Q  x2  x  x2  2x  đạt giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com c) x3  x2  x  2x  Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức: a) x2  x  16 điều kiện xác định x   c) x2  x2 1 điều kiện xác định x  1 d) 2x 1 b) x  4x  5x  2x  x Bài 2: Tìm điều kiện xác định phân thức: x  a) điều kiện xác định  x  y2 y  c) d) 5x  y x  x  10 điều kiện xác định x   1 điều kiện xác định x  0,   2 b) x2y  2x x2  2x  điều kiện xác định x  điều kiện xác định x    x  3 điều kiện xác định  ( x  3)2  ( y  2)2 y  xy Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức: a) c) x  5x  x2  điều kiện xác định x  1 b)  x  1 điều kiện xác định  ( x  1)( x  3) x  2x  x  điều kiện xác định x  x     x   x      x  x  5x  d) x2  y2  x  điều kiện xác định x  y  x     x  1  y   ( với x, y   ) Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức Bài 4:Rút gọn phân thức sau: a) d) 5x x  10 2 x  2y x  y  b) xy ( y  0)  2x 2y e) 5 Bài 5: Rút gọn phân thức sau: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 5 x  5y ( x  y)  x  3y c) 21x y3 ( xy  0)  xy xy f) 15 x ( x  y ) ( x  y) 3( y  x ) a) x  16 4x  x2 ( x  0, x  4) x2  4x  ( x  3) 2x   c)   x   x      x   x 4  x x 15 x ( x  y )3 5y( x  y )2   x  1 x  3  x   x  3 ( y,( x  y )  0) d) 3x  x  y   y x  xy xy  3y xx  y x  3y  x  y  3y Bài 6: Rút gọn, tính giá trị phân thức sau: a) A  (2 x  x )( x  2)2 với x  ( x  x )( x  1) Ta có A  Thay x  (2 x  x )( x  2)2 ( x  x )( x  1) 2 x  x   x    x  2   x  x   x   x  1 x 1 vào biểu thức A ta có: 1     3    2 A  1 2 b) B  x  x y  xy Ta có B  x  y3 với x  5, y  10 x  x y  xy x y  x  x  xy  y   x  y x  xy  y  Thay x  5, y  10 vào biểu thức B ta có: B   x x y 5  1 5  10 Dạng 3: Thực phép tính với biểu thức hữu tỷ Bài 7: Thực phép tính: x   x 4  a)  5 c) b) x2  x  x x2  x    xy xy xy 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x  y 2y x y   8 ( x  y, y  0) b) d) xy  x y xy  x y xy  y  x  xy  y  x  y  x y  x       3y xy xy 3xy 3xy 3 Bài 8: Thực phép tính: x   x x  2  x  x    x 2x   a)      10 15 15 15 15 15 b) 3x x   x   10 15 20  18 x  x  1   x  23 x     60 60 60 60 x 1 x2  x 1 x2  c)    x  2  x 2  x  1 1  x 1  x   x  1 x2  2x  x2      x  1 x  1  x  1 x  1  x  1 x  1  x  1 x  1   x  1 1 2x 2x 1  2x 2x 4x2    d)      2x x  x 1  x  x  x  1 x  x  1 x  x  1 2x 2x  2x  4x  4x  x  x  1 x  Bài 9: Thực phép tính: a) x2 x3  x    3x x   x2   x  x  4 3  x  x   x   x 4 2 x x   c)  b) x  10 xy 5y  x x  y   xy y x  x  5y 5y  x x  y x  y    y y x x x  x   x     x  2 x2   x   x    x   x   6  x   x   3 x   x  y x  y x  y2 2 x  y  x  y  3   x  y  x  y   x  y  x  y   x  y  x  y  11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com d) x  y  x  y2 xy  x  y   x y x2  y x y  3x  y   x  y  x  y  x  y  xy  x y Dạng 4: Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên: x  x  x  x  1  2 Do x   để biểu thức nhận giá trị nguyên   x2  x 1 x 1 x 1 x  1U    1, 2 Ta có bảng giá trị: a) x 1 -2 -1 x -1 Vậy x  1,0, 2,3 Thì biểu thức có giá trị ngun b) x3  x2  x  x    4   x2  x 2 x2 x2 Do x   để biểu thức nhận giá trị nguyên x   U    1, 2, 4 Ta có bảng giá trị: x2 -4 -2 -1 x -2 -1 Vậy x  2, 1,0, 2,3,6 biểu thức có giá trị nguyên c) 2 x  x  x  x  x  1  (2 x  1)  1 =  x2   2x  2x 1 2x  Do x   để biểu thức nhận giá trị nguyên x  U 1  1 x2 -1 x Vậy x  1,3 biểu thức có giá trị nguyên Bài 11:Tìm giá trị biến x để: 1 a) P   2 x  x   x  1  Để Pmax  x  1  mà  x  1   Do Max P  b) Q  x2  x  x2  2x  đạt giá trị nhỏ 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x  1 ĐS: Q  x  ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... biểu thức P  x  x x  108  x   '' x  12 x 2x  x  6 a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức; ; d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức  ; e) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức Dạng... Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên: x  x  x  x  1  2 Do x   để biểu thức nhận giá trị nguyên... Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên: a) x3  x  x 1 b) x3  x2  x 2 Bài 11:Tìm giá trị biến x