Chuyên đề tích phân hàm lượng giác

http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  Dạng 1: Tính tích phân dạng I   f  cos x sin x dx đặt t  cos x  dt   sin dx  Bài tập giải mẫu:  2 Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx Giải: Cách 1: Ta có:   2 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  cos x  cos2 x  dx  0 Đặt t  cos x  dt   sin xdx x  t   Đổi cận    t   x  Khi    cos x  cos x  cos3 x sin xdx http://dethithu.net  t 2t t  17 I     t  2t  t  dt    t  2t  t  dt        12 2 Cách 2:  2   0 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  cos x  cos2 x  dx     cos x  cos x  cos3 x d  cos x  cos x cos3 x cos4       x 17    12 Cách 3: sin xdx   dt Đặt t   cos x   … bạn đọc tự giải (cách dễ nhất) cos x  t  Cách 4: du   sin xdx u  cos x  Đặt   2  cos x   d v  sin x  cos x dx    cos x d  co s x       v     Khi www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   12 12 3 I   cos x 1  cos x    sin x 1  cos x  dx    1  cos x  d 1  cos x  30 30  17   1  cos x   12 12  Bài 2: Tính tích phân sau I    dx sin x Giải: Cách 1: Nhân tử mẫu cho sin x ta  I dx   sin x      sin xdx sin xdx  sin x   cos x Đặt t  cos x  dt   sin xdx   x t    Đổi cận   x   t    Khi 2 http://dethithu.net 2  dt dt  1  dt dt     dt       2  t  t t  t 1  t   1 t 0 I 1    ln t   ln t    ln 2 Cách 2: x 1 x  2dt Đặt t  tan  dt   tan  1 dx  dx   dx  2  t 1 sin x 2tdt  dt 2t  t t 1 t2    x   t  Đổi cận    x  t    http://dethithu.net www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  dx  Khi I    sin x 1  t dt   ln t  3 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  ln 3   ln 3 Cách 3: x   d  tan  dx dx dx x 2 I   dx      ln tan  ln x x x x x  2  sin x    sin cos tan cos tan 3 2 2 3 Cách 4: I      dx    3 sin xdx sin xdx 1  cos x   1  cos x     d  cos x 2  1  cos x 1  cos x  x   cos x  sin x   sin        3  1 1 1   d 1  cos x    d 1  cos x    d  cos x         cos x  cos x    cos x   cos x   1   ln  cos x  ln  cos x  ln   2 3 Cách 5: u  sin x du  cos xdx  Đặt  … Bạn đọc tự giải dx   v   cot x dv  sin x  Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin x  sin x  3cos x http://dethithu.net dx Giải: Cách 1: Ta có: sin x  sin x  sin x  cos x  1 Đặt t   3cos x ta dt  3sin x  3cos x t 1 2t  cos x   cos x   3 x  t   Đổi cận    t   x  Khi dx  sin x  3cos x dx   2dt ; http://dethithu.net www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  4t 2   34  I     dt   t  t   9  27  27 1 Cách 2: Đặt t   3cos x … bạn đọc tự giải Cách 3: u  cos x  du  2 sin x   Đặt  d 1  3cos x    sin x dx   v    3cos x dv     3cos x  3cos x  Khi    42 42 I    cos x  1  3cos x   sin x  3cos xdx     3cos xd 1  3cos x  30 90   27 1  3cos x   34 2 27 http://dethithu.net Cách 4: Phân tích 1  3cos x   cos x  1 3 d 1  3cos x  dx   d 1  3cos x     3cos x  3cos x  3cos x   3cos xd 1  3cos x   d 1  3cos x  9  3cos x … Đến dễ rùi, bạn đọc tự làm Chú ý: Nếu ta đặt t  cos x tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần công nên ta lựa chọn cách phù hợp   a sin x  b sin x a.sin x  bcosx Tổng quát:  dx  dx ta đặt c  d cos x  t c  d cos x c  d s inx   sin x  sin x  sin x.cos x dx  cos x Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1:   sin x.cos x sin x.cos2 x dx   dx  cos x  cos x 0 Ta có I   dt   sin xdx Đặt t   cos x   cos x  t  http://dethithu.net www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  x  Đổi cận  2 t   x  Khi 2  t  1  t2 1  I  2  dt    t    dt    2t  ln t t 2 1 Cách 2:   Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2 t   ln  1  1  cos2 x   1 sin x.cos x sin x.cos x  d cos x I  dx   dx       cos x  cos x  cos x 0     cos2 x     1  cos x   ln  cos x   ln   d  cos x    sin x   cos x    0 Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  ta đặt t  cos x  Tổng quát: I    a sin x.cos x dx ta đặt t  b  c.cos x t  cos x b  c.cos x  sin x dx  cos x Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I   Giải: sin x 1  cos x  sin x 1  cos x  4sin x Ta có    sin x  sin x cos x  sin x  sin x  cos x 1  cos x 1  cos x  sin x Cách 1:  4sin x Khi I  I   dx   cos x   0  4sin x  2sin x  dx   cos x  4cos x  Cách 2:  I  4sin x dx    cos x      4sin x  4sin x cos x dx   sin xdx   cos xd  cos x  4cos x  cos x  0 0 Cách 3:   1  cos2 x  sin x 4sin x I  dx   dx  cos x  cos x 0  dt  sin xdx Đặt t   cos x   cos x  t  http://dethithu.net www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   t  x  Đổi cận  2 t   x  1   t  1  2  Khi I     dt    4t   dt   2t  8t   t Chú ý: Có thể đặt t  cos x Cách 4:  dt dx   x 2t  Đặt t  tan  sin x  1 t2    t2 cos x   1 t2  Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 4sin x 4sin x (1  cos x )(1  cos x )   4sin x  2sin x … lại có cách khác, bạn đọc tự làm khám  cos x  cos x phá nhé!  cos3 x Tương tự I   dx   sin x  12 Bài 5: Tính tích phân sau I   tan xdx Giải: Cách 1:  12 Ta có:  12 sin x  tan xdx   cos x dx 0 Đặt t  cos x  dt  4sin xdx  sin xdx   dt x  t    Đổi cận     x  12 t   12  12 1 sin x dt dt 1 Khi I   tan xdx   dx       ln t  ln cos x 41 t 41 t 4 0 2 Cách 2: www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  12 I  12  tan xdx   0 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   sin x 12 d  cos x  1 dx      ln cos x 12  ln cos x cos x 4  cos3 x dx   sin x Bài 6: Tính tích phân sau I   Giải:    2 1  sin x  cos xdx  cos x cos x dx   cos xdx     sin x   sin x   sin x I  4   1  sin x  cos xdx  4 Đến ta đặt t   sin x Hoặc  1 3 2   I    cos x  cos x sin x dx   cos xdx   sin xdx   sin x  sin x   2 4     4 4    Bài tập tự giải có hướng dẫn:  3sin x  cos x  dx   ln 2 3sin x  cos x Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I   HD:   sin x cos x Tách làm hai tích phân I  3 dx  dx kết hợp với công thức 2  2 3sin x  cos x 3sin x  cos x 0 sin x  cos x  ta kết  3cos x  sin x dx 2 3sin x  cos x Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết J    Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin x.tan xdx  ln  HD: Ta có sin x tan x  1  cos x  sin x đặt t  cos x cos x  sin x dx  1  3ln  cos x Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   HD: www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  2 sin x cos x   dx đặt t   cos x sin x 3sin x  sin3 x Ta có I   dx   dx    cos x  cos x  cos x 0  sin x  dx   2  cos x Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I   HD: sin x  cos2 x Ta có  sin x đặt t  cos x  cos2 x  cos x  Bài 5: Tính tích phân sau I   sin x x sin x  cos x.cos 2 dx  ln 2 HD: Ta có sin x  cos x.cos x  sin x  cos x 1  cos x    cos x đặt t   cos x  cos x  dx   1  cos x Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I    sin x  sin 3 x 1 dx    ln  cos x Bài 7: Tính tích phân: I   HD: Phân tích sin 3x  sin 3x  sin 3x 1  sin x   sin 3x.cos 3x đặt t   cos x  Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I   ecos x sin xdx  HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin x  sin x cos x đặt t  cos x  Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I    tan x  esin x cos x dx  ln  e 1 HD: Tách thành tổng hai tích phân đơn giản  Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e   1 HD: Tách thành tổng hai tích phân đơn giản  Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   sin x dx  cos x www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  Bài 12: Tính tích phân sau: I   sin x  sin x cos x  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com dx HD: Đặt t  cos x  t  cos x     cos2 x  sin x  sin x Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I   dx   dx  cos4 x  cos x HD: Đặt t  cos x  cos x Bài 14: Tính tích phân sau: I    cos x dx   HD: Phân tích  cos x   sin x từ đặt t  sin x  sin x dx   ln  cos x Bài 15: Tính tích phân sau I   HD: Phân tích sin x sin x cos x  đặt t   cos x t  cos x  cos x  cos x 1 b Dạng 2: Tính tích phân dạng I   f sin x.cos xdx đặt u  sin x  du  cos xdx a Để tính tích phân dạng  a.sin x  b.sin x c  d cos x dx ta đổi biến cách đặt t  c  d cos x Bài tập giải mẫu:   sin x Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I   dx  sin x Giải: Cách 1:  Ta có I   2sin x  cos x   sin x dx    sin x dx 0 Đặt  sin x  t  cos xdx  dt www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   t  x  Đổi cận  4 t   x  2 1 dt Khi I    ln t  ln 2 21 t Hoặc đặt sin 2x  t Cách 2:    '  cos 2x 1  sin x  d (1  sin x ) 1 I dx   dx    ln 1  sin2 x  ln  sin x 1  sin x   sin x 2 0 Cách 3: Biến đối – sin x   cos x  sin x  cos x – sin x   sin x   cos x  sin x      d  cos x  sin x   2sin x cos x  sin x I  dx   dx    ln cos x  sin x  ln  sin x cos x  sin x cos x  sin x 0 0 Hoặc đặt t  sin x  cos x  Bài 2: Tính tích phân sau I   cos x  cos x dx Giải: Đặt t  sin x  dt  cos xdx t  x    Đổi cận     x  t    Khi I   cos x  cos x dx   dt  2t   dt t 3 cos u  dt   sin udu 2   t  u   Đổi cận   t  u     Khi Đặt t  10 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET Gmail: Loinguyen1310@gmail.com         sin x sin  x   cos x cos  x    sin x sin  x   cos     4 4 4      4 tan x tan  x     1  1    4     cos x cos  x   cos x cos  x   cos x cos  x   4 4 4    1   cos x cos  x   4  dx Khi xét: J     cos x cos  x   4  Sử dụng đồng thức:  sin  sin  x     x    sin  x    cos x  cos  x    sin x  1           4 4 4       sin    tan( x  )  tan x  cos x cos( x  )     J   tan  x   dx   tan xdx   ln cos  x    ln cos x  C 4 4    2  I  ln cos x  xC   cos  x   4  Cách 2: dx dx dx  2  2  cos x (cos x  sin x ) cos x (1  tan x)  cos x cos  x   4  d (1  tan x )   2   ln  tan x  C  I   ln  tan x  x  C  tan x Tương tự: J Bài 1: (ĐHQGHN – D 2001) Tìm nguyên hàm:    1  tan x  I   tan  x   cot  x   dx  x  ln C 3  6   tan x Dạng 4: Tìm nguyên hàm: I   dx a sin x  b cos x Phương pháp: 58 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  x    x   Sử dụng công thức: a sin x  b cos x  a  b2 sin( x   )  a  b2 sin   cos       Khi   x    d  tan   dx    I     x   a  b tan  x    cos2  x    a  b tan              x   ln tan   C   a b Cách 2: Ta có dx I  2  sin( x   ) 2 a b a  b2   2 a  b2 Cách 3: ln  sin( x   )dx  sin ( x   ) a  b2 d (cos( x   )) ( x   ) 1  cos cos( x   )  C cos( x   )  Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt: t  tan x Bài tập giải mẫu : Bài 1: Tìm nguyên hàm I   dx sin x  cos x Giải :       x  x     cos Ta có: sin x  cos x  sin( x  )  4sin                x  d tan     dx    ln tan  x     C I    12 12             x  x  x    2    6 tan  tg   cos                Dạng 5: Tìm nguyên hàm: I   a1 sin x  b1 cos x  a2 sin x  b2 cos x  dx Phương pháp: 59 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Sử dụng đồng thức: a1 sin x  b1 cos x  A  a2 sin x  b2 cos x   B  a2 cos x  b2 sin x  Để ý: a2 sin x  b2 cos x  a22  b22 sin( x   ) Kết hợp dạng 3-4 để giải Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm sau I   8cos x dx  sin x  cos x Giải: Biến đổi: 8cos x cos x cos x   2  sin x  cos x  sin x  (1  cos x ) 3sin x  sin x cos x  cos2 x cos x  sin x  cos x   Phân tích: cos x  A( sin x  cos x)  B ( cos x  sin x)  ( A  B ) sin x  ( A  B 3) cos x Đồng đẳng thức:  A  B   A     A  B   B  cos x 2 3( cos x  sin x)    2 sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x     2dx d ( sin x  cos x ) x    3  ln tg     C 2 sin x  cos x ( sin x  cos x) sin x  cos x  12  sin x Bài 2: (ĐHQGHN – A 2000) Tìm nguyên hàm I   dx  sin x Giải: sin x sin x Ta có:   sin x  sin x  cos x  I  Đồng thức: sin x  A  sin x  cos x   B  cos x  sin x    A  B  sin x   A  B  cos x  A  A B 1    A  B  B    60 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 1 (sin x  cos x)  (cos x  sin x) 2 sin x 1 cos x  sin x    2  sin x  cos x  2(sin x  cos x)  sin x  cos x   sin x  I sin x  sin x  cos x  dx  1 d (sin x  cos x ) dx    (sin x  cos x)  sin x  cos x    dx  1 1 4 x   I   ln tan     C    sin x  cos x 2  sin x  cos x  2  sin  x   4  Tương tự sin x  cos x Tìm nguyên hàm I    3sin x  cos x  Dạng 6: Tìm nguyên hàm I   a sin x  b cos x dx c sin x  d cos x Phương pháp: a sin x  b cos x B (c cos x  d sin x) - Đặt:  A c sin x  d cos x c.sin x  d cos x - Sau dùng đồng thức Bài tạp giải mẫu : Bài 1: Chứng minh a.sin x  b.cos x  a.sin x  b.cos xdx  Ax  ln | a.sin x  b.cos x | C ( A, B, C số) Giải: Ta phân tích: a.sin x  b.cos x  A  a '.sin x  b '.cos x   B  a '.cosx  b '.sin x  , tìm hệ số A B Khi a.sin x  b.cos x a '.cosx  b '.sin x  a '.sin x  b '.cos xdx  Ax  B  a '.sin x  b '.cos xdx  Ax  B ln | a '.sin x  b '.cos x | C Bài 2: Tìm nguyên hàm I   2.sin x  3.cos x dx sin x  cos x Giải: Ta có 61 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2.sin x  3.cos x  A(sin x  cos x )  B(cos x  2sin x)  A    2.sin x  3.cos x  (sin x  cos x)  (cos x  2sin x) 5 B     I  x  ln | cos x  2sin x | C 5 Tương tự: Chứng minh rằng: a.sin x  b.cos x B  (a '.sin x  b '.cos x)2 dx  A a '.sin x  b '.cos xdx  a '.sin x  b '.cos x , với A, B số Ta phân tích a.sin x  b.cos x  A  a '.sin x  b '.cos x   B  a '.cosx  b '.sin x  , tìm hệ số A B Khi  a.sin x  b.cos x  a '.sin x  b '.cos x  dx  A B dx  a '.sin x  b '.cos x a '.sin x  b '.cos x Hoàn toàn tương tự, ta tính tích phân dạng  Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm I   sin x  cos x  A  sin x  cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  B    a '.sin x  b '.cos x  dx dx 3cosx  sin x  2 A  2   sin x  2.cos x  B     a.sin x  b.cos x   sin x  cos x  2  3cos x  sin x  2 2 dx  C  4 sin x  cos x sin x  cos x dx dạng tích phân mà biết cách tính Tích phân  sin x  cos x sin x  cos x Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm I   dx 3 sin x  cos x I   Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tìm nguyên hàm: sin x  3cos x I dx  x  ln sin x  cos x  C sin x  cos x Bài 4: (HVNHHN – 1999) Tìm nguyên hàm: cos x 2   x  I dx   cos  x    ln tan     C  sin x  cos x  2 6 62 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET Gmail: Loinguyen1310@gmail.com HD:    Phân tích sin x  cos x  sin  x   đặt t  x  3  Dạng 7: Tìm nguyên hàm I   dx a sin x  b cos x  c Phương pháp: 2t  sin x   x 1 t2 Đặt: t  tan   2 cos x   t  1 t2 Bài 1: Tìm nguyên hàm I   2dx x   ln tan     C sin x  cos x  2 4 Dạng 8: Tìm nguyên hàm I   a1 sin x  b1 cos x  c1 dx a2 sin x  b2 cos x  c2 Cách giải: Biến đổi: a1 sin x  b1 cos x  c1  A  a2 sin x  b2 cos x  c2   B  a2 cos x  b2 sin x   c Sau đưa dạng quen thuộc để giải a sin x  b cos x  m Hoặc: I   dx c sin x  d cos x  n a sin x  b cos x  m B (c cos x  d sin x ) C Đặt:  A  c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n Sau dùng đồng thức Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm I   5sin x dx sin x  cos x  Giải: Ta phân tích: 5sin x  A  sin x  cos x  1  B  cos x  sin x   C   A  B  sin x   B  A cos x  A  C 2 A  B   A     2b  A    B  A C  C  2   63 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 5sin x cos x  sin x 2  2sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  d (2 sin x  cos x  1) dx  I  2 dx    2  x  ln sin x  cos x   J sin x  cos x  2sin x  cos x  dx Tính: J   sin x  cos x   Đặt: t  tan  J  2 dt 2t 1 t2 x  dx  ;sin x  ; cos x  1 t2 1 t2 1 t2 dt d (t  1) t  2  ln  C  ln t  2t t  t     tan Khi I  x  ln sin x  cos x   ln  Bài 2: Tìm nguyên hàm I   x x tan  2 tan x x tan  2 C C sin x  cos x  dx sin x  3cos x  Giải: sin x  cos x  cos x  sin x C  A B  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  Dùng đồng thức ta được: A  , B  , C  Khi Đặt:  I  sin x  cos x  cos x  3sin x   dx      dx sin x  3cos x  4sin x  3cos x  sin x  3cos x   0    x  ln sin x  3cos x    I1    ln  Tương tự: Bài 1: Tìm nguyên hàm: 5sin x x  I dx  x  ln sin x  cos x   ln tan     C sin x  cos x  2 4 a sin x  b1 sin x cos x  c1 cos x Dạng 9: Tìm nguyên hàm I   dx a2 sin x  b2 cos x HD: Biến đổi: 64 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com a1 sin x  b1 cos x sin x  c1 cos2 x   A sin x  B cos x  a2 sin x  b2 cos x  c  sin x  cos2 x Đưa dạng quen thuộc để giải Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm I   4sin x  dx sin x  cos x Giải: Ta phân tích: 4sin x   5sin x  cos2 x  ( A sin x  B cos x )( sin x  cos x )  C (sin x  cos2 x )   ( A  C ) sin x  ( A  B 3) sin x cos x  ( B  C ) cos x A  C  A      A  B    B  1 B  C   C   4sin x  sin x  cos x   I   cos x  sin x  J sin x  cos x sin x  cos x dx J dx         sin x  cos x  x   x  sin   cos                 x   d  tan        x   dx   C      ln tan         2       x   x  x    tan  cos tan                     x I   cos x  sin x  ln tan    Bài 2: Tìm nguyên hàm I      C   cos2 x sin x  cos x dx Giải: 65 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Ta phân tích: cos2 x   A sin x  B cos x  (sin x  cos x)  C  sin x  cos x   A    3B  C      ( 3B  C ) cos x  ( B  A) sin x cos x   A  C  sin x   B  A    B  A C     C    cos2 x   sin x  cos x  4 sin x  cos x 4(sin x  cos x) dx cos x  sin x   4 sin x  cos x dx Tính: J   sin x  cos x dx 1 x  x  J   ln tan     C  I  cos x  sin x  ln tan     C  2 4  2 6 2  sin  x   3  Tương tự: sin x  1 x   Bài 1: Tìm nguyên hàm: I   dx  ln tan     C sin x  cos x  12  I Dạng 10: Tìm nguyên hàm: I   dx a sin x  b sin x cos x  c cos x Phương pháp: Biến đổi: dx cos x (a tan x  b tan x  c ) Đặt: t  tan x  dt  dx cos x dt I  at  bt  c Dạng quen thuộc giải I 2 Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm I   dx 3sin x  sin x cos x  cos x Giải: 66 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Ta có: 3sin x  2sin x cos x  cos2 x  cos x  tan x  tan x  1 dx cos x (3tan x  tan x  1) 1 Đặt: t  tan x  dt  dx  I   dt  dt cos x 3t  2t  3(t  1)(t  )     t    (t  1)  1    1 1 Ta phân tích:   (t  1)    1  1 3(t  1)  t   (t  1)  t   t    3  3   I 2 dt dt 1 1 t 1    ln t   ln t   C  ln C  t 1 t  4 t1 3 tan x  Khi I  ln C 3tan x  Tương tự : dx sin x  cos x Bài 1: Tìm nguyên hàm: I    ln C 2 3sin x  2sin x cos x  cos x 3sin x  cos x I Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I   sin x.cos x a  sin x  b cos x  2 dx Cách giải: Để ý rằng: sin x cos xdx  d (a sin x  b cos2 x ) 2(a  b ) TH 1:   1 d (a sin x  b cos x) I  ln a2 sin x  b2 cos2 x  C 2  2 2 2 2(a  b ) a sin x  b cos x 2(a  b ) TH 2:   1  d (a sin x  b cos2 x) I  a2 sin x  b2 cos x C 2   2 2(a  b ) a sin x  b cos x 2( a  b )(1   )     Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm I   sin x cos x dx sin x  cos x Giải: 67 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Ta phân tích: sin x cos xdx   d 2sin x  cos x  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   2 d sin x  cos x  ln sin x  cos2 x  C 2  2sin x  cos x sin x cos x Bài 2: Tìm nguyên hàm I   dx sin x  3cos x Giải: Ta phân tích: sin x cos xdx   d sin x  3cos x 2 d sin x  3cos x 1 I    C 2 2 sin x  3cos x sin x  3cos2 x I      Dạng 12: Tìm nguyên hàm: I    dx a sin x  b cos x Phương pháp: TH 1: c  a  b Ta biến đổi: 1   a sin x  b cos x c 1  cos  x    2c  x   cos2      x   d  dx    tan  x     C I    2c  c  x   c     x   cos  cos        TH 2: c   a  b Ta biến đổi : 1   a sin x  b cos x c 1  cos  x    2c  x   sin      x   d  dx    cotg  x     C I    2c   x    c   x    c   sin  sin        TH 3: c  a  b x Ta thực phép đặt : t  tan dt 2t 1 t2  dx  ;sin x  ; cos x  1 t2 1 t2 1 t2 Sau thực tính nguyên hàm biểu thức đại số 68 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Bài tập giải mẫu : Bài 1: Tìm nguyên hàm I   2dx sin x  cos x  Giải: Ta thấy: c  a  b (vì: 12  2  12 ) x Đặt: t  tan dt 2t 1 t2  dx  ;sin x  ; cos x  1 t2 1 t2 1 t2 x tg dt d (t  1) t C  I  2  2  ln  C  ln x t  2t t2  t  1  tg  2 dx Bài 2: Tìm nguyên hàm I   sin x  cos x  Giải: Ta thấy: c  a  b (vì :  12  12 ) Ta biến đổi : 1       sin x  cos x   2 x 1  cos  x    2 sin     2 8   x  d   dx     cot  x     C I  2 8   2 sin  x    sin  x          2  2 8 Tương tự : dx Tìm nguyên hàm: I   sin x  cos x  HD: Tương tự VD2 Bài tập tổng hợp :  dx    sin x sin  x   6  Bài 1: (ĐHMĐC – 2000) Tính tích phân sau I   Giải: 69 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  dx dx 2dx          sin x  sin x cos x  sin x sin  x    sin x   sin x  cos x  6 6    I     dx  cos2 x   tan x  tan x     d  tan x   tan x    tan x  2 3  d  tan x   tan x    tan x     1  3   d  tan x   tan x     tan x   2 d  tan x  tan x    2  d  tan x    3  ln tan x    ln tan x tan x           ln  ln    ln  ln   ln 3   Bài 2: Tính tích phân sau I    sin x  cos x  dx   12 Giải:  1 1   I  dx   dx   cot  x       4  2   sin x  cos x    sin  x    12 12 4 12  sin x Bài 3: Tính tích phân sau I   dx sin x Giải: sin x 3sin x  sin x I dx   dx     sin x dx  x   1  cos xdx  x  x  sin x  c sin x sin x    x  sin x  C Bài 4: Tính nguyên hàm I   sin x  cos x  sin x  cos x  dx 70 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! www.DETHITHU.NET Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 sin x  cos x  A    sin x  cos x  B cos x  sin x  2 A  2   sin x  2.cos x  B     I  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   sin x  cos x  2  cos x  sin x  2 2 dx  C  4 sin x  cos x sin x  cos x  Bài 5: Tính tích phân sau I  sin x.dx  sin x  cos x Giải:  I sin x.dx  (sin x  cos x)  (sin x  cos x).dx sin x  cos x  sin x  cos x      d  sin x  cos x         ln  sin x  cos x   sin x  cos x 4 Bài 6: (ĐHXD – 1997) Cho hàm số f  x   cos x  3sin x g  x   cos x  2sin x a Tìm A, B để g  x   Af  x   Bf '  x   b Tính I   g  x f  x  A  Đs: a  B    dx  b I   g  x f  x dx    ln 10  sin x  cos x 1  dx   ln   3sin x  cos x 2 4 Bài 7: (CĐSPHN – 2000) Tính tích phân I   Lời kết: Do thời gian có hạn tuổi đời trẻ nên tránh thiếu sót sai lầm nên mong bạn học sinh, quý thầy cô góp ý kiến bổ sung thêm, xin chân thành cảm ơn Mỗi toán cách khác hay không viết hết được, mong bạn đọc trao đổi Góp ý theo địa Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa 71 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày! Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.DETHITHU.NET Gmail: Loinguyen1310@gmail.com MỤC LỤC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: ………………………………………………………… Trang → trang Dạng 2: …………………………………………………………………………………Trang → trang 12 Dạng 3: …………………………………………………………………………………Trang 12 → trang 17 Dạng 4: …………………………………………………………………………………Trang 17 → trang 22 Dạng 5: …………………………………………………………………………………Trang 22 → trang 25 Dạng 6: …………………………………………………………………………………Trang 25 → trang 27 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………………………………………………Trang 28 → trang 35 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………………………… ………………… Trang 36 → trang 38 PHƯƠNG PHÁP CẬN TRUNG GIAN ĐỐI VỚI TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………………………… ………………… Trang 38 → trang 39 MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: ………………………………………………………… .Trang 39 → trang 47 Dạng 2: ………………………………………………………………………………… Trang 47 → trang 49 Dạng 3: ………………………………………………………………………………… Trang 49 Dạng 4: ………………………………………………………………………………… Trang 49 → trang 53 MỘT SÔ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC …………………………………………………………………………………………….Trang 53 → trang 71 *Truy cập http://dethithu.net ngày để tải đề thi thử THPT Quốc Gia ( Đại Học ) môn TOÁN – ANH – VĂN – LÝ – HÓA – SINH nhất,nhanh từ trường THPT trung tâm luyện thi đại học nước.Chúng cập nhật đề thi thử ngày nên bạn yên,luôn có đề thi thử để bạn tham khảo *Tham gia nhóm : ÔN THI ĐH TOÁN – ANH Facebook để hỏi đáp, học tập : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan *Like Fanpage : Đ Thi Th THPT Quc Gia – Ti Liu Ôn Thi để cập nhật nhiều qua Facebook: http://facebook.com/dethithu.net 72 www.DETHITHU.NET Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan ... cos x   sin x  cos x PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC Một số dạng thường gặp  Dạng 1: Tính tích phân: I   Pn  x   cos  ax ... hai tích phân đơn giản  Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e   1 HD: Tách thành tổng hai tích phân đơn giản  Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân. .. sin 2 x  Phân tích  Bài 2: Tính tích phân sau: I   e tan x dx cos x HD: Đặt t  tan x 3 Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I   sin  3 Cách 2: Phân tích I    Cách 3: Đặt t  tan dx