Bài mới: GV ĐVĐ: Ta vừa tính tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 1/bậc 1 bằng cách chia tử cho mẫu: Tử = thương + dư Mẫu Mẫu Trong đó: thương và dư : hằng số rồi tách đưa về dạng có thể tính đ[r]
(1)MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Ngày soạn : Tiết: Chuyên đề I- MỤC TIÊU: Giúp học sinh: Về kiến thức: - Củng cố định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm, số phương pháp tính tích phân đã học để vận dụng tính tích phân - Nắm phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đơn giản: Dạng P(x)/Q(x) với P(x), Q(x): có bậc cao là 2 Về kỹ năng: - Nhận dạng, tính số tích phân dạng hàm hữu tỉ đơn giản - Sử dụng thông thạo tính chất, bảng nguyên hàm và số phương pháp tính tích phân để tính tích phân Về tư và thái độ: - Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt quá trình suy nghĩ II- CHUẨN BỊ : Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ Học sinh: - Ôn trước các kiến thức đã học: Nguyên hàm, tích phân III- PHƯƠNG PHÁP: - Nêu và giải vấn đề, thuyết trình, phân tích, tổng hợp, gợi mở vấn đáp… IV-TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: Ổn định lớp : Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi 1: Tính tích phân ( học sinh lên bảng) 2x I dx x 1 Câu hỏi 2: Điền vào chỗ chấm bảng sau: Máy chiếu Bài mới: GV ĐVĐ: Ta vừa tính tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 1/bậc cách chia tử cho mẫu: Tử = thương + dư Mẫu Mẫu Trong đó: thương và dư : số tách đưa dạng có thể tính tích phân Tiết này ta xét tiếp tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc / bậc Vậy gặp dạng này, để tính tích phân ta làm nào? HSTL: Chia tử cho mẫu GV: Vậy thương và dư có kết là gì? HSTL: Thương: là số , dư : là đa thức bậc số GV: Lúc này dẫn tới việc tính tích phân các hàm số hữu tỉ dạng: Dạng 1: ax bx c mx n Dạng 2: ax bx c Ta xét dạng: (2) g Hoạt động 1: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 1: I dx ax b x c e (a 0) Nội dung Hoạt động GV-HS I Dạng 1: - GV: Dùng phương pháp a) >0 : gì để tách? Cách 1: Đồng - HS: Đồng vế 1 A B - GV: Khi đồng nhất, làm ( ) nào để tìm A, B ? ax bx c a ( x x1 )( x x2 ) a x x1 x x2 Đồng để tìm a, b cách giải hệ cho x các giá - HS: Ta có thể giải hệ lấy x giá trị bất kì để trị bất kì ( thường cho x giá trị nghiệm x1, x2) tìm A, B (thường lấy các Cách 2: Thêm, bớt tách giá trị nghiệm để tìm A, 1 1 ( ) B cho nhanh) ax bx c a( x x1 )( x x2 ) a( x1 x2 ) x x1 x x2 - GV: Sau tách , tìm nguyên hàm công thức nào? - HS: Dùng công thức 2) b) = : 1 1 ax bx c a( x x0 ) a ( x x0 ) c) < 0: 1 ax bx c a (x m)2 n b ) 2a (Đặt x + m = n.tant) * Ví dụ áp dụng: dx I1 x 6x ( x0 -VD1: dx 1 1 ( ) x 6x ( x 2).( x 4) x x - GV: Để tìm nguyên hàm dùng công thức nào? - HS: Dùng công thức 4) - GV: Để tìm nguyên hàm dùng công thức nào? - HS: Dùng công thức 6) - GV: Cho ví dụ, hãy nêu cách làm ví dụ? - HS: VD1: dạng với >0 VD2: dạng với = VD3: dạng với < - GV: Yêu cầu nhóm hoạt động và cử đại diện nhóm lên trình bày - Học sinh nhận xét và GV chính xác hóa (3) 1 1 I1 ( ) dx x x - GV: yêu cầu học sinh dùng cách thêm bớt tách ( nhà) 1 (ln x ln x ) x ln x 1 (ln ln 2) ln 2 -VD2: dx I x 4x 1 dx 4( x ) 1 1 x1 20 1 1 NX: 1 dx dx 2dx I x 4x (2x 1) 2 (2x 1) 0 1 1 1 2x 3 - GV: Còn cách phân tích nào khác không? - HS: Có thể dùng đẳng thức 1 - VD3: 1 dx dx I3 x 2x (x 1) 2 1 Đặt: x+1=2tant dx=2(1+tan2t).dt t 2 2(1 tan t ) dt 1 I dt 4(tan t 1) 2 0 x t -1 (4) Hoạt động 2: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 2: g mx n I dx (m 0, a 0) ax b x c e Nội dung Hoạt động GV- HS II Dạng 2: a) >0 : - GV: Ta có thể dùng phương pháp đồng để phân tích và tách không? Cách 1: Đồng - HS: Ta có thể làm tương tự mx n mx n A B ( ) dạng trường hợp >0 ax bx c a ( x x1 )( x x2 ) a x x1 x x2 - GV: Ngoài có thể dùng Đồng để tìm a, b cách giải hệ cho x phương pháp nào để tách? các giá trị bất kì ( thường cho x giá trị nghiệm - HS: Ta có thể thêm bớt để tách x1, x2) Cách 2: Thêm bớt dựa theo nghiệm mẫu tách Cách 3: Thêm bớt dựa theo đạo hàm mẫu tách mx n mx n ax bx c a ( x x1 )( x x2 ) - VD 4: x4 I dx x 3x Cách 1: x4 A B x 3x x x A( x 2) B ( x 1) ( x 1).( x 2) - GV: Hãy phân tích tách phương pháp đồng nhất? - HS: nhận nhiệm vụ, tính toán và đưa kết - GV: Hãy dùng cách còn lại để phân tích ( Yêu cầu nhà, có hướng dẫn) Đồng nhất, ta có: A=3; B= I ( ) dx x 1 x 1 dx dx 3 2 x 1 x2 0 3ln x 1 ln x 3ln ln ln 5ln ln (5) Cách 2: x4 x4 x 3x ( x 1).( x 2) x 1 ( x 1).( x 2) ( x 1).( x 2) 1 ( ) x x 1 x x 1 x Cách 3: x4 2( x 4) x 3x 2 x 3x - GV: Nếu không phân tích theo x+1 ta có thể phân tích theo x+2 không? - HS: Ta có thể phân tích theo x+2 sau: x2 ( x 1).( x 2) ( x 1).( x 2) 1 ( ) ( x 1) x x 1 2( ) ( x 1) x 1 x x 1 x 2 2x ( ) x 3x x 3x du dang (>0) u b) = : - VD 5: 3x I dx x 6x Cách 1: 3x 3x x 6x ( x 3) A B ( x 3) ( x 3) A( x 3) B ( x 3) A 3; B 10 Cách 2: 3x 3x x 6x ( x 3) 3( x 3) 10 ( x 3) ( x 3) 10 x ( x 3) 2 - GV: Hãy nêu cách giải ? - HS: Có thể làm theo cách giống trên: Cách 1: Đồng Cách 2: Thêm bớt theo nghiệm mẫu để tách Cách 3: Thêm bớt theo đạo hàm mẫu - GV: Tuy nhiên chọn theo cách nào cho hợp lý, lời giải ngắn gọn, ít phức tạp - GV: Gọi học sinh chỗ giải theo cách 1, cách - GV: Yêu cầu học sinh nhà làm theo đủ cách và rút kinh nghiệm cho thân (6) 3ln Đáp số: c) < : - VD 6: 2x I dx x x - GV: Ta phân tích nào để có thể đưa các dạng đã biết? - HS: Phân tích thành I1 và I2 áp dụng công thức 2) và dạng (với < 0) 2x 2x x x x x ( x 1) 2 I1 I2 - Yêu cầu học sinh thực hiện, GV chính xác hóa 3 d ( x x 5) I1 ln x x ln x 2x Đặt : x – = 2tant dx = 2(1+tan2t)dt t 2 x t -1 2(1 tan t )dt 3 3 I 3 dt 4(tan t 1) 2 0 3 I ln Hoạt động 3: Một vài ví dụ dạng khác có thể đưa dạng 1, dạng Hoạt động GV Hoạt động HS - VD 7: xdx I x 13x 36 Đặt t = x2 dt = 2xdx x t 1 - GV: I7 có dạng 1, dạng hay không? - HS: Không rơi vào dạng nào - GV: Liệu ta có thể biến đổi dùng phương pháp nào đó để đưa các dạng trên hay không? - HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa dạng với > (7) 1 dt I 2 t 13t 36 1 dt (t 4).(t 9) 1 1 ( ) dt 205 t t - GV: Sử dụng các cách đã học để phân tích tách - HS: Thực 1 (ln t ln t ) 10 t ln 10 t 1 (ln ln ) 10 32 ln 10 27 - VD 8: x dx I x x3 Đặt t = x3 dt = 3x2 dx x t 1 1 x3 x dx tdt I 2 x x 30t t - GV: I8 có dạng 1, dạng hay không? - HS: Không dạng nào - GV: Liệu ta có thể biến đổi dùng phương pháp nào đó để đưa các dạng trên hay không? - HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa dạng với > 1 1 ( ) dt 3 t t 1 1 ln t ln t 9 ln - GV: Sử dụng các cách đã học để phân tích tách - HS: Thực - VD 9: 2x +41x-91 I9 = dx ( x 1)( x x 12) 1 - GV: Ta có thể biến đổi dùng phương pháp đổi biến đưa các dạng đã (8) biết không? - HS: Ta không đổi biến giống VD 7, VD trên - GV: Vậy hãy tìm A, B, C cho x 1; 4; 3 ta co': x 41x 91 A B C = + ( x 1).( x 4).( x 3) x x x - HS: Ta hoàn toàn có thể làm phương pháp đồng Từ đó tách để có thể tính tích phân - GV: Yêu cầu học sinh nhà tự hoàn thiện - GV: Vậy với các hàm hữu tỉ bậc cao ta có thể sử dụng các phương pháp giống các hàm hữu tỉ dạng 1, dạng Như vậy, trên sở tiết này cung cấp cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng và dạng 2, các em có thể vận dụng cách linh hoạt gặp các dạng bậc cao Củng cố, dặn dò: - Kiến thức đã học bài: Cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng và dạng - Chú ý: Phải biết nhận dạng hàm số dấu tích phân để lựa chọn phương pháp và cách biến đổi cách đặt phù hợp với hàm số - Giờ sau tiếp tục luyện tập tích phân HDVN: Về nhà làm các bài tập sau: dx 1) I= x 6x dx 2) I= 25x 10x 1 dx 3) I= x 4x 1 ( x 2)dx 4) I= x 5x (2x 5)dx 5) I= x 8x 16 (2x 1) dx 6) I= x 4x 20 V Rút kinh nghiệm ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… (9) (10)