Một số thủ thuật tính tích phân - TOANMATH.com

Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:.. Áp dụng công thức tính nhanh ta có ..[r]

KÊNH PPT – TIVI – 2020 MỘT SỐ THỦ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ MH-BGD NĂM 2020 VÀ CÁC ĐỀ PHÁT TRIỂN Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc I CÁC PP HAY SỬ DỤNG - PP tự luận - PP Casio - PP chọn hàm đại diện… II BÀI TẬP ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020 Câu [CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm f  x số xf  x3   f 1  x2    x10  x6  2x, x   Khi đó 17 A 20 Câu 13 B [CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu Câu Câu 17  f  x  dx  2 và  f  x  dx  thì  f  x  dx C 1 f (x)dx  thì B thoả mãn D 1   trên 1 [CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu A 16 tục  f  x dx ? C B 1 A 3 liên D  f ( x)dx D C 2 [CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số f  x  có f  0  và f   x   cos x cos x, x   Khi  đó  f  x  dx A 1041 225 B 208 225 C 242 225 D 149 225 ĐỀ PHÁT TRIỂN Câu [TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HÒA-2020] Cho hàm số f   x  A Câu I 2 x  x 1 , x  1 Tính I   f  x  dx x  x  x 1 3 29 B I   10 C I  43 B 38 D I  52 Cho hàm số y  f  x  có f  ln3  và f   x   A f  x  có f    và C 76 ex e 1 x , x   Khi đó ln  e f  x  dx x ln D 136 bằng: Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  f 1  1 và thỏa mãn xf 1  x   f   x   x  x  2, x   Tính tích phân I   f  x  dx B 5 A Câu Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên D 2 C 3  và thỏa mãn 4xf ( x2 )  f (2x)  x3  Giá trị  f ( x)dx A Câu 52 25 B 52 C 48 25 D 48 Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   x f  x    x  18 x  45 x  11x  1, x   Khi đó A 96 B 64 Câu 10 Cho hàm số  f  x   f  x dx 3 C 192 f  x  có đạo hàm liên tục trên D 32 0;1 thỏa mãn   x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 Tích phân f    và  f  x  dx 23 17 13 A B  C D  15 15 15 15 Câu 11 [SỞ HÀ NỘI LẦN – CÂU 31 - 2020] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn  f  x  dx  và f 1  Tích phân  xf   x  dx có giá trị là A  B C D 1 Câu 12 [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  10 thỏa mãn  f  x  dx  7, 10  A P  f  x  dx  Tính P   f  x  dx B P  6 C P  D P  12 Câu 13 [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên tập số thực thỏa mãn f ( x)  (5 x  2) f  x  x   50 x3  60 x  23x  1, x  R Giá trị biểu thức  f ( x)dx A B C D Câu 14 [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số f  x  liên tục trên R và thỏa mãn  f  x  dx  Tính tích phân 5 A 15   f 1  3x    dx B 27 C 75 D 21 Câu 15 [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 - 2020] Biết  f  x  dx  1 và  f  x  1 dx  Tính  f  x  dx A B D 4 C Câu 16 [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020] Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f 1   , 18 1  xf   x dx  36 Giá trị  f  x dx A  12 B 36 C 12 D  36 Câu 17 Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f  x   f 1  x   x  x ,  x   0;1 Tính I   f 1  x  dx A I  15 B I  Câu 18 Cho hàm số f ( x) C I   có đạo hàm liên tục trên f  x   f   x   x  x  2; x   Tích phân A  15 10 B  D I   15 và thỏa mãn f (0)  và  xf ( x)dx C D Câu 19 [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên  0; a  , thỏa mãn và f  x  f  a  x   1; x   0; a  Tích phân a   f  x dx  ba đó b, c là hai số nguyên c b dương và là phân số tối giản Khi đó b  c có giá trị là c A B C D  Câu 20 Cho f  x  là hàm liên tục trên  thỏa f 1  và A I  B I   f  t  dt  , tính I   sin x f   sin x  dx C I  Câu 21 Cho hàm số liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa điều kiện 1   f  x D I   2 dx  21 và   x  1 f  x  dx  Tính I   e f  x  dx x A e B 2e D 4e   1  x  f  x  dx  10 Câu 22 Cho A I  5 C 3e I   cos3 xf  sin x  dx Tính B I  10 C I  10 D I   1 Câu 23 Cho hàm số liên tục trên đoạn  0;  và thỏa điều kiện  3 f 1  f    2020 Tính A   và  f  3x  dx C D f ( x)dx  16 Câu 24 Cho A I  32 Câu 25 Cho   3x  1 f ( x)dx  2019 B Tính I   f (2 x )dx B I  C I 16 D I  f  x dx  10 Tính tích phân J   f  x  dx A J  B J  10 Câu 26 Giả sử hàm số f  x  liên tục trên đoạn C J  50 D J   0; 2 thỏa mãn  f  x dx  Tính tích phân  I   f  sin x  cos xdx B 3 A Câu 27 Cho hàm số f  x  thỏa mãn C   x  1 f   x  dx  10 D 6 và f 1  f  0  Tính B I  A I  12  f  x  dx C I  Câu 28 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  và thỏa mãn D I  8   x  1 f   x  dx  10 , f 1  f  0  12 Tính I   f  x  dx A I  B I    6x Câu 29 Biết A 8x  dx  a ln  b ln  c ln với a,b,c là các số thực Tính P  a  b  3c  7x  B C D x2  2 dx  a 24 ; a , b   Mệnh đề nào sau đây là đúng? b A a  b  B a  b  7 C a  b  15 Câu 31 [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG - CÂU 37 - 2020] Cho x D a  b  x3 dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c là các số hữu tỉ Tính S  a  b2  c  3x  A S  e Câu 32 Cho I   x ln xdx  A D I   x3  Câu 30 Biết C I  B S  C S  a.e  b với a , b , c   Tính T  a  b  c c B C D S  D Câu 33 Biết  x ln  x  1 dx  a.ln b , với a , b   * , b là số nguyên tố Tính 6a  7b A 33 B 25 C 42 D 39 1  Câu 34 Cho    dx  a ln  b ln với a , b là các số nguyên Mệnh đề nào đúng? x  3x   0 A a  2b  B a  2b  C a  b  2 D a  b  e ln x  a dx   b , với a , b là các số nguyên Giá trị biểu x  Câu 35 Cho biết 1 thức b  log a A -1 B Câu 36 Biết I   C D dx  a ln  b ln  c ln , đó a , b, c   Tính giá trị T  a  b  c x x B T  A T  C T   D T  Câu 37 Biết  x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b* , b là số nguyên tố Tính 3a  4b A 42 Câu 38 Cho B ln x   x  1 dx  B ln  1 ex e 3 x x A  C D dx  a  b ln  c ln với a , b , c là các số nguyên Tính T  a  b  c A T  1 Câu 40 Cho biết D 32 a a  ln  c  ln với a, b, c   * và phân số tối giản Giá trị a  b  c b b A Câu 39 Biết C 12 B T  x  dx  C T  D T  a 1 với a , b là các số tự nhiên Giá trị a  b b B C D Hết BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.C 21.C 31.D 2.B 12.C 22.C 32.D 3.D 13.A 23.A 33.D 4.C 14.D 24.B 34.A 5.C 15.A 25.A 35.C 6.C 16.A 26.A 36.A 7.D 17.C 27.D 37.B 8.A 18.B 28.A 38.A 9.A 19.A 29.D 39.B HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020 Câu [CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm số f  x  liên tục trên  thoả mãn xf  x   f 1  x   x  x  2x, x  Khi đó 10  f  x dx ? 1 A 17 20 B 13 17 Lời giải D 1 C Chọn B Cách 1: PP tự luận Ta có xf  x3   f 1  x    x10  x  x  x f  x3   xf 1  x    x11  x  x Lấy tích phân hai vế cận từ đến ta được: 1 11  x f  x  dx   x f 1  x  dx     x  x  x dx 0 1  1 1 f  x3  d  x    f 1  x  d 1  x      f  t  dt   f  t  dt    30 20 30 21  1 5 f  t  dt   f  t  dt     f  t  dt     f  t  dt    30 20 60 1 Suy 1  f  x  dx   Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến ta được: 0  x f  x  dx   x f 1  x  dx  1 1 0  x 11  x  x  dx 1  1 17 f  x  d  x3    f 1  x  d 1  x     1 1 24  1 17 1 17 f  t  dt   f  t  dt     f  t  dt   f  t  dt    1 20 24 1 20 24  17 f  t  dt     f  t  dt  1 24 0 0 1 1 17 17 13 13   f  x  dx    f  x  dx       f  x  dx  1 24 24 12 1 10.D 20.A 30.A 40.A Cách 2: PP chọn hàm đại diện: Từ đẳng thức xf  x3   f 1  x    x10  x  x, x   suy chọn đặt hàm số f  x  là hàm số bậc dạng f  x   ax  bx  cx  d Ta có f  x   ax  bx  cx3  d  xf  x   ax10  bx  cx  dx f 1  x    ax   3a  b  x   3a  2b  c  x  a  b  c  d  f  x3   f 1  x   ax10  bx  ax   3a  b  c  x   3a  2b  c  x  dx  a  b  c  d a  1 b   Đồng thức ta  Suy f  x    x3  x  c  d  2 Vậy  f  x dx     x 1 1  3x      Câu [CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu  13 f  x  dx  2 và A 3 f  x  dx  thì  B 1  f  x  dx C Lời giải D Chọn B Cách 1: PP tự luận b Áp dụng tính chất  a Ta có c b a c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, a  c  b 3 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2   1 Cách 1: PP chọn hàm đại diện Gợi ý: Do cho hai điều kiện nên chọn hàm có hai hệ số chưa biết dạng f  x   ax  b , cách này dài tự luận Câu [CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu  f ( x)dx  thì B A 16  f ( x)dx C Lời giải D Chọn D Cách 1: PP tự luận Ta có 1 0  f ( x)dx  2 f ( x)dx  2.4  Cách 1: PP chọn hàm đại diện Gợi ý: Do giả thiết cho điều kiện nên chọn hàm có dạng f  x   a , cách này dài tự luận Câu [CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số f  x  có f    và f   x   cos x cos2 x, x  Khi  đó  f  x  dx A 1041 225 B 208 225 C 242 225 D 149 225 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận áp dụng tính chất f  x    f   x  dx Ta có f   x   cos x cos2 x  cos x cos x cos x   4  cos x cos x cos x  Do đó f  x    f   x  dx       dx 4    f ( x)  sin x sin x sin x    C , vì f (0)  nên C  12 20   I   f ( x ) dx  242 225 Cách 2: PP chọn số C u  f  x   Để tính  f  x  dx ta đặt dv  dx  du  f   x  dx  v  x  C Khi đó      0 f  x  dx   x  C  f  x |    x  C  f   x  dx  f    C   f   C    x  C  f   x  dx Chọn C    Suy    0 f  x  dx     x    f   x  dx   (  x)cosx.cos 2 xdx  242 255 Bài toán tổng quát cho Câu Cho hàm số f  x  có biết f  a  và f   x   g  x  , x  b Khi đó  a b f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a  (1*) - công thức tính nhanh a Chứng minh PP chọn số C u  f  x   du  f   x  dx   dv  dx v  x  C Đặt  Khi đó b  a b b  a f  x  dx   x  C  f ( x)|    x  C  f   x  dx   b  C  f  b    a  C  f  a     x  C  f   x  dx a Chọn C   b b  a   f  x  dx    b  x  f   x  dx   b  a  f  a   Áp dụng công thức tính nhanh (1*) cho câu b b  a f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a      x  cos x.cos 2 xdx       a 242 255 HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ PHÁT TRIỂN Câu [TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HÒA-2020] Cho hàm số f  x  có f  3  f  x  và x3  x  , x  1 Tính I   f  x  dx x2  x  x  A I   29 B I   101 C I  43 D I  52 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận (chọn số C) u  f  x   du  f   x  dx Đặt    dv  dx v  x  C Khi đó: 3  f  x  dx  f  x   x  C | 0 3 0    x  C  f   x  dx  f  3  C   f   C    x  C  f   x  dx Chọn C  x3  x  43 dx  Suy I    x x  x  x 1 Cách 2: PP tính nhanh Cho hàm số f  x  có biết f  a  và f   x   g  x  , x   b Khi đó  a b f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a  (1*) - công thức tính nhanh a Áp dụng công thức (1*) ta có  0 0  f  x  dx    f  x  dx       x  f   x  dx    3 f  3  3     x  x3  x  43 dx   2 x  x  x 1 (Chú ý gt cho f  a   f  3  Câu ta cần đổi cận trên thành cận dưới) Cho hàm số y  f  x  có f  ln 3  và f   x   A B 38 C ex e 1 x , x   Khi đó 76 D ln8  e f  x  dx bằng: x ln 136 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận ex f  x  e 1 x , x    f  x    f   x dx   d  e x  1  ex   C e 1 x f  ln 3    C   C  ln8 x  e f  x  dx  ln ln8 e x e x  1dx  ln 76 Cách 2: PP tự luận (chọn số C) u  f  x   du  f   x  dx Đặt   x x  dv  e dx v  e  C ln8 Khi đó  e x f  x  dx  f  x   e x  C |  ln ln ln  f  ln   e ln  C   f  ln 3  e ln  C   ln8  e x  C  f   x  dx ln ln  e x  C  f   x  dx ln  f  ln 8  C   f  ln 3  C   ln8  e x  C  f   x  dx ln ln Chọn C   suy  e f  x  dx  4     x ln Câu ln8  e x  8 ln ex e 1 x  76 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f 1  1 và xf 1  x   f   x   x  x  2, x   Tính tích phân I   f  x  dx A B 5 C D 2 Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận: Từ xf 1  x   f   x   x  x  2, x    x f 1  x3   xf   x   x8  x  x, x   1   x f 1  x dx   xf   x dx    x  x  x  dx 0 Đặt t   x  dt  3 x dx   x f 1  x3 dx   Vậy ta có 1 1 f  t dt   f  t dt   f  x dx  31 30 30 1 0  x f 1  x dx   xf   x dx    x  x  x  dx  1 1   5 5 1  f x dx  xf x dx   f x dx  xf x |  f  x dx                30 30 0    2 5 2 f  x dx     f 1  f        1  f      f  x dx   9 1 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ đẳng thức xf 1  x   f   x   x  x  2, x   suy chọn đặt hàm số f  x  là hàm số bậc dạng f ( x )  ax  bx  c với a, b, c   Ta có xf 1  x   f ( x )  x  x  2  x  a 1  x3   b 1  x   c   2ax  b  x  x   a  1; b  2; c     f ( x )  x  x thỏa mãn f (1)  1 1 0 Từ đó ta có I   f  x  dx    x  x  dx  Câu 2 Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và thỏa mãn xf ( x )  f (2 x )   f ( x)dx A 52 25 B 52 C Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận 48 25 D 48 3 x  Giá trị xf ( x )  f (2 x)  3 3  x     xf ( x )  f (2 x )  dx    x   dx 5  0 2 4 52 52   f ( x )d( x )  3 f (2 x)d(2 x)    f (t )dt  3 f (u )du  5 0 0 2 4 4 52 52 52   f ( x )dx  3 f ( x)dx   5 f ( x)dx    f ( x)dx  5 25 0 0 Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất) Câu Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   x f  x    x5  18 x3  45 x  11x  1, x   Khi đó A 96 B 64  f  x dx 3 C 192 Lời giải D 32 Chọn A Cách 1: PP tự luận Ta có : f  x   x f  x    x  18 x  45 x  11x  1 Thay x x vào (1) ta có : f  3x   x f  x    5 x  18 x  45 x  11x    Cộng (1) và (2) vế với vế ta được: 1 1 1 f 3x   f 3x  90 x    f 3xdx   f 3x dx  64 Xét  1 f 3x dx Đặt t  x  dt  3dx Đổi cận: x    t   3; x   t  Khi đó  1 Tương tự ta có  1 Vậy 1 f 3x  dx   f t  dt   f  x  dx 3 3 f 3x dx   f  x dx 3 3 1 f  xdx   f  x dx  64   f  x dx  96  3 3 3 Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất) Câu 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f    và  f  x    x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 Tích phân  f  x  dx A 23 15 B  17 15 13 15 Lời giải C D  15 Chọn D Cách 1: PP tự luận Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên đoạn  0;1 ta có:   f   x  1 0 dx    x  1 f  x  dx    40 x  44 x  32 x   dx  376 105 Theo công thức tích phân phần có: 1 1 3 x  f x d x  f x d x  x  x  x f x                x  x  f   x  dx 0  0  1 0   x  1 f  x  dx     x  x  f   x  dx Thay lại đẳng thức trên ta có   376  f x d x     1    x  x  f   x  dx   0    105 1 44    f   x   dx    x  x  f   x  dx  0  105 0 1   f  x  2x   x  dx   f   x    x  x  , x   0;1  f  x   x  x  C Mặt khác f 1   C   f  x   x  x    f  x  dx    x  x  1 dx  13 15 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ đẳng thức  f   x     x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 suy chọn đặt hàm số f  x  là hàm số bậc trùng phương dạng f ( x )  ax  bx  c với a, b, c   Khi đó ta có  4ax  2bx    x  1 ax  bx c   40 x  44 x  32 x  4, x  0;1  40a  40 16ab  24b  4a  44 a  c    Đồng hai vế ta có  b  1  4b  24c  4b  32  4c  4 1 0 Vậy f  x   x  x    f  x  dx    x  x  1 dx  13 15 Câu 11 [SỞ HÀ NỘI LẦN – CÂU 31 - 2020] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn  f  x  dx  và f 1  Tích phân  xf   x  dx có giá trị là 0 A  B D 1 C Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận: u  x  du  dx Đặt    dv  f '  x  dx v  f  x   C 1 Khi đó I   xf   x  dx   f  x   C  x|    f  x   C  dx 0 1 0 I   f 1  C    f  x  dx  C  dx   C   C  Cách 2: PP chọn hàm đại diện Ta có hàm số f  x  có hai giả thiết  f  x  dx  và f 1  nên dự kiến chọn đặt hàm số là y  f  x   ax  b    ax  a f  x  dx     ax  b  dx     bx     b  1  0 a  f 1   a  b    Từ 1 ,   suy ra:   y  f  x  2x   f ' x   b  1 0  xf   x  dx   xdx  Câu 12 [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  10 thỏa mãn  f  x  dx  7, A P  10  f  x  dx  Tính P   f  x  dx B P  6 C P  Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận: Ta có  f  x  dx  F    F      F 10   F     F 10   F  0 10 10    f  x  dx   f  x  dx  1   D P  12 Đổi biến: x  2t , dx  2dt Đổi cận: x   t  0; x   t  1 0 Khi đó   f  x  dx   f  2t  dt   f  2t  dt  , hay  f  x  dx  Cách 2: PP chọn hàm đại diện 10 10 Giả thiết cho hai điều kiện  f  x  dx  7, Khi đó 10 và  10 10 0  f  x  dx  nên chọn đặt f  x   ax  b  f  x  dx    ax  b  dx  50a  10b  10 f  x  dx    ax  b  dx  48a  8b  23   a  40 50a  10b  23 143 Suy hệ  Do đó f  x    x 40 40  48a  8b  b  143  40 1 143   23 P   f  x  dx    x  dx  20 40  0 Câu 13 [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên tập số thực thỏa mãn f ( x)  (5 x  2) f  x  x   50 x3  60 x  23x  1, x  R Giá trị biểu thức  f ( x)dx A B C Lời giải D Chọn A Cách 1: PP tự luận:  1 0 f ( x)dx   (50 x3  60 x  23x  1)dx   (5x  2) f (5x  x)dx    (5 x  2) f (5 x  x)dx (1) Xét tích phân  (5 x  2) f (5 x  x)dx : Đặt t  5x  x thì dt  (5.2 x  4)dx  2(5 x  2)dx Khi x  thì t  ; Khi x  thì t  Suy ra:  (5 x  2) f (5x  x) dx  Thay vào (1) ta được:  1 1 f (t )dt   f ( x) dx  20 20 1 1 f ( x)dx    f ( x)dx   f ( x)dx    f ( x)dx  20 20 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ công thức f ( x)  (5x  2) f  x  x   50 x3  60 x  23x  1, x   ta dự đoán hàm số là bậc dạng f ( x)  ax  b , thay vào điều kiện ta ax  b  (5 x  2)  a (5 x  x)  b   50 x  60 x  23x   ax  b  (5 x  2)(5ax  4ax  b)  50 x3  60 x  23 x   25ax  30ax  (9a  5b) x  b  50 x3  60 x  23 x  25a  50 30a  60 a     (9a  5b)  23 b  b  1  Do f ( x)  x  suy f ( x)dx   (2 x  1)dx  Câu 14 [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số f  x  liên tục trên R và thỏa mãn  f  x  dx  Tính tích phân 5   f 1  3x    dx A 15 B 27 D 21 C 75 Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận: Đặt t   3x  dt  3dx Với x   t  và x   t  5 Ta có 2 0   f 1  x    dx   f 1  x  dx   9dx 5 dt    f  t    x 3  1  f  x   dx  18   18  21  3 5 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Giả thiết cho điều kiện  f  x  dx  nên dự kiến chọn hàm dạng f  x   ax 5 Khi đó  5 Vậy 3 f  x  dx   axdx  12a   a   Do đó f  x   x 4 5 Câu 15 [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 - 2020] Biết  f  x  dx 33    9 0  f 1  x    dx  0   1  3x    dx  0  x   dx  21  f  x  dx  1 và  f  x  1 dx  Tính A B C Lời giải D 4 Chọn A Cách 1: PP tự luận: Ta đặt : t  x   dt  2dx 3 1 f  x  1 dx   f  t  dt   1 f  x  dx  3 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1   Mà Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt f  x   ax  b Khi đó và a  f  x  dx    ax  b  dx   b  1 1 0  f  x  1 dx    a  x  1  b  dx    2ax  a  b  dx  2a  b  1 2  a a    b  1  Do đó Suy hệ   f  x  x  3  2a  b  b    Vậy 3 0  f  x  dx   7 8  x   dx  3  Câu 16 [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020] Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f 1   , 18 1  xf   x dx  36 Giá trị  f  x dx A  12 B 36 12 Lời giải C Chọn A Cách 1: PP tự luận: u  x du  dx  Đặt:  dv  f   x  dx v  f  x  Ta có: 1  xf x dx  x f x  f x dx  f            f  x dx 0 0 D  36 Theo giả thiết: 1  xf   x dx  36 , f 1   18 1 1 1     f  x dx    f  x dx      18 36 18 36 12 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt f  x   ax  b 21 x a 1   a  Khi đó f 1  a  b   và  xf   x dx   axdx  a 2 36 18 18 0 1    a  b   18  a  18 1 Suy hệ  Do đó f  x   x   18 a  b     18  Vậy  1  f  x dx    x  dx   18 12  0 Câu 17 Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f  x   f 1  x   x  x ,  x   0;1 Tính I   f 1  x  dx A I  15 B I  C I   15 D I  15 Lời giải Chọn C Bài toán: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; c  thỏa mãn điều kiện mf  x   nf  c  x   g ( x ),  x   0; c  ; m   n và m, n    f ( x)  mg ( x)  ng  c  x  m2  n2 Chứng minh Đặt t  c  x  x  c  t Do x   0; c  nên t   0; c  Thay x  c  t vào mf  x   nf  c  x   g ( x ),  x   0; c  (1*) ta có mf  c  t   nf  t   g (c  t )  *  thay tiếp t  x vào (2*) ta có nf  x   mf  c  x   g ( c  x ) (3*) Từ (1*) và (2*) ta có hệ  mf  x   nf  c  x   g ( x)  m f  x   nmf  c  x   mg ( x )     nf  x   mf  c  x   g (c  x )  n f  x   nmf  c  x   ng (c  x )  *  * Trừ tương ứng vế (4*) và (5*) ta có m2 f  x   n2 f  x   mg ( x)  ng  c  x   f ( x)  mg ( x)  ng  c  x  m2  n2 (công thức tính nhanh) Cách 1: PP tính nhanh f  x   f 1  x   3x  x, x   0;1  f  x   3x 2  x   3 1  x   1  x   3x  x     x2  x  2 3 2 Khi đó f 1  x   1  x   1  x    x  x      Suy I   f  x dx   x  x  dx   0 15 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ f  x   f 1  x   x  x , x   0;1 Ta dự kiến chọn hàm đại diện là f  x   ax  bx  c thì ta có f  x   f 1  x   ax  bx  c   a 1  x   b 1  x   c   3ax   4a  b  x  2a  2b  3c   Đồng thức hệ số ta có 3a  a     4a  b  6  b  Suy f  x   x  x   2a  2b  3c   c  2      Dó đó I   f  x dx     x  0  2  1  x2   2 dx    15 Cách 3: Tự luận Đặt t   x ,  x   0;1  t   0;1 Ta có f  x   f 1  x   3x  x  f  x   f 1  x   1  x    f 1  t   f  t   3t   f  x   f 1  x   x  Ta có hệ phương trình  f  x   f 1  x   3x  x  f  x   f 1  x   x  x   2 2 f  x   f 1  x   3x  4 f  x   f 1  x   x  3x  x   f  x   3x2  x   f  x    x2  2x  Khi đó f 1  x   1  x   1  x    x  x      Suy I   f  x dx   x  x  dx   0 15 Câu 18 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f    và f  x   f   x   x  x  2; x   Tích phân  xf ( x)dx A  B  10 C D Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận Áp dụng công thức tích phân phần, ta có: 2 0  xf   x dx  xf  x  |0   f  x dx Từ f  x   f   x   x  x  2; x   (1*) Thay x  vào (1*) ta f    f     f     f      f    1 Xét I   f  x dx Đặt t   x  x   t  dx   dt Đổi cận: x   t  2; x   t  2 2 0 Khi đó I   f  x dx    f 1  t dt   f 1  t dt   f 1  x dx Do đó ta có 2 2 0  f  x   f   x dx   0  x  2x    20 f  x dx  0  x  x     0 f  x dx  (2*) 2 2 0 Vậy  xf   x dx  xf  x  |02  f     f  x dx   1  10  3 Bài toán dùng để tính nhanh (2*): Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; c  thỏa mãn điều kiện c c 0 mf  x   nf  c  x   g ( x ),  x   0; c  ; m  n  ; và I   f  x dx   g  x mn dx Chứng minh c c c Đặt t  c  x  x  c  t Ta có I   f  x dx    f  c  t dt   f  c  x dx mf  x   nf  c  x   g ( x ),  x   0; c  ; m  n  c c 0  ( m  n )  f  x dx   g  x dx  I  c  f  x dx  c g  x  m  n dx Áp dụng: Biết f  x   f   x   x  x  2; x   2 Áp dụng công thức tính nhanh ta có   f  x dx  1 x  x     (2*)   20 3 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ f  x   f   x   x  x  2; x   * ta dự kiến chọn hàm số f  x   ax  bx  c thay vào đk (*) ta có f  x   f   x   ax  bx  c  a   x   b   x   c  ax  ax  a  2b  c  2a  1   a  Đồng hệ số ta có  4a  2   4a  2b  2c  b  c   x  x  3; f '  x   x  Do f     c  3; b  3 Suy f  x   2 0 10  xf '  x  dx   x  x  3 dx   Vậy Cách 3: PP tính nhanh Do x  [0; 2] : f  x   f   x   x  x   m  n  Không dùng công thức tính nhanh sau đây: m, n    f ( x)  mg ( x)  ng  c  x  m2  n2 Câu 19 [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên  0; e  , thỏa mãn và f  x  f  e  x   1; x   0; e  Tích phân e   f  x dx  dương và be đó b, c là hai số nguyên c b là phân số tối giản Khi đó b  c có giá trị là c A B C Lời giải D Chọn A Cách 1: PP tính nhanh Bài toán: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên  0; a  , thỏa mãn và f  x  f  a  x   1; x   0; a  thì tích phân a a   f  x dx  Chứng minh: Đặt t  a  x ta có a a a a 1 1 f (t ) dx   dt  dt  dt  0  f  x  a  f  a  t  0  f  a  t  0 0  f  t dt 1 f (t ) a a a a f  x 1 f  x 1 dx   dx   dx   dx   dx  a 1 f  x 1 f  x 1 f x 1 f  x 0 0 a  2 a  a   f  x    * e Áp dụng công thức (*) vào bài toán ta có e  1 f  x  nguyên dương và  eb b   , b, c là hai số c c b là phân số tối giản  c  2, b   b  c  c Cách 2: PP chọn hàm đại diện Do f  x  f  e  x   1; x   0; e  chọn hàm đại diện f  x   k (là hàm hằng) Ta có f  x  f  e  x   1; x   0; e   k   k  Vậy ta chọn hàm đại diện f  x    e b eb eb e b  dx      , b, c là hai số nguyên dương và là phân số c c  f  x c c tối giản  c  2, b   b  c   Câu 20 Cho f  x  là hàm liên tục trên  thỏa f 1  và A I  B I   f  t  dt  , tính I   sin x f   sin x  dx C I  D I   Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận: Đặt sin x  t  dt  cos xdx Đổi cận: x   t  ; x    t  Từ đó ta có   2 0 I   sin x f   sin x  dx   sin x.cos x f   sin x  dx   t f   t  dt u  t du  dt Đặt:   dv  f   t  dt v  f  t    1  1 I   t f  t     f  t  dt       0  3   Cách 2: PP chọn hàm đại diện Phân tích có hai giả thiết, ta tìm hàm f  x  thỏa hai điều kiện, chọn f  x   ax  b Khi đó: f 1   a  b  1 1 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx    ax  b  dx  a  xdx+  bdx=  a  b  3 0 0  2  a a  b    Từ 1 ,  2 ta có hệ  1 a  b   b   3  Ta f  x   4 x  ; f '  x   , đó f '  sin x   3 3   2 4 Vậy I   sin x f   sin x  dx   sin x dx  3 0 Câu 21 Cho hàm số liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa điều kiện 1 0   f  x  dx  21 và   x  1 f  x  dx  Tính I   e f  x  dx A e x B 2e C 3e Lời giải D 4e Chọn C Cách 1: PP chọn hàm đại diện Nhận xét: Giả thiết có điều kiện cho trước là   f  x  dx  21 và   x  1 f  x  dx  , tìm hàm số f  x  cách dựa vào tỷ số  f  x   21   f  x    x  1  x  1 f  x  1 0 Ta có I   e x f  x  dx  3 e x  x  1 dx  3e Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt f  x   ax  b dựa vào giả thiết tìm hệ số a; b Cách 3: PP chọn hàm đại diện Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân sau: b b  b f x g x dx  f x dx g  x  dx           a a  a Dấu xảy f  x   k g  x  ,  x   a; b  , k    Đặt g ( x)  x  ; ta có   x  1 f  x  dx  suy 1 0  g  x  f  x  dx  ;   f  x  dx  21 ;   x  1 dx  Vì  g  x  f  x  dx     f  x  dx.  g  x dx 1 2 Dấu xảy f  x   kg  x   f  x   g  x    x  1 1 0 Vậy I   e x f  x  dx  3 e x  x  1 dx  3e   1  x  f  x  dx  10 2 Câu 22 Cho A I  5 Tính I   cos3 xf  sin x  dx B I  10 C I  10 Lời giải D I  Chọn C Cách 1: Tự luận   2 0 I   cos3 xf  sin x  dx   1  sin x  f  sin x  cosxdx Đặt t  sin x  dt  cos xdx và x   t  0; x     t 1  Khi đó I    t f  t dt  10 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Giả thiết cho điều kiện  1  x  f  x  dx  10 nên nghĩ đến chọn f  x   a Ta có  1  x  f  x  dx  10   1  x  adx  10  a  10  a  2 0 Suy f  x   30 30   2 30 cos xdx  10 Ta có: I   cos3 xf  sin x  dx    1 Câu 23 Cho hàm số liên tục trên đoạn  0;  và thỏa điều kiện  3 f 1  f    2020 Tính A   3x  1 f ( x)dx  2019 và  f  3x  dx B C Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận Áp dụng tích phân phần tính   3x  1 f ( x)dx  3x 1  301 f  x  dx Ta có 0  3x  1 f ( x)dx  f x D 1 0 2019  f 1  f    3 f  x  dx   f  x  dx  3 1 1 f  t  dt     3 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Vậy f  3x  dx  Giả thiết có điều kiện cho trước là   3x  1 f ( x)dx  2019 và f 1  f    2020 ta chọn đặt f  x   ax  b  f   x   a 4038 2020  4a Mặt khác f 1  f    2020   a  b   b  2020  b  1 0 Ta có   x  1 f ( x)dx  2019  a   x  1 dx  2019  a  Vậy  Câu 24 Cho  1 f  3x  dx    3ax  b  dx  f ( x)dx  16 Tính I   f (2 x )dx A I  32 B I  C I 16 Lời giải D I  Chọn B Cách 1: PP tự luận dt Đặt t  2x  =dx Đổi cận x   t  ; x   t  2 Khi đó ta có I   f (2 x ) dx  4 f (t ) dt   f ( x )dx 8  2 Cách 2: PP casio Phương pháp casio nhanh: m Nếu có  f  x dx  M thì n   f  ax  b dx   M ; n  a.  b, m  a.  b a Áp dụng Câu 25 Cho  f  x dx  10 Tính tích phân J   f  x  dx A J  B J  10 C J  50 D J  Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio Phương pháp casio nhanh:  m Nếu có  f  x dx  M n thì  f  ax  b dx   M ; n  a.  b, m  a.  b a Áp dụng Câu 26 Giả sử hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn  f  x dx  Tính tích phân  I   f  sin x  cos xdx A B 3 D 6 C Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio Câu 27 Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 và f 1  f  0  Tính A I  12 B I  C I  Lời giải  f  x  dx D I  8 Chọn D Cách 1: PP tự luận u  x  du  dx  Khi đó I   x  1 f  x    f  x  dx dv  f   x  dx v  f  x  Đặt  1 0 Suy 10  f 1  f     f  x  dx   f  x  dx  10   8 Vậy  f  x  d x  8 Cách 2: PP casio Phương pháp casio nhanh: Nếu hàm số f  x  thỏa mãn    ax  b  f   x  dx  K và   a  b  f      a  b  f    P  thì  f  x  dx   PK a Áp dụng Câu 28 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  và thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 , f 1  f  0  12 Tính I   f  x  dx A I  B I   C I  Lời giải D I   Chọn A Phương pháp casio nhanh: Nếu hàm số f  x  thỏa mãn    ax  b  f   x  dx  K và   a  b f      a  b  f    P thì   f  x  dx   PK a Áp dụng: Câu 29 Biết  6x 8x  dx  a ln  b ln  c ln với a,b,c là các số thực Tính P  a  b  3c  7x  2 A B C Lời giải D Chọn D Cách 1: PP tự luận 2 9x  2(3 x  2)  (2 x  1)   Ta có  dx   dx   ln x   ln 3x    ln  ln  ln 6x  7x  (2 x  1)(3 x  2) 3  1 1 Do đó a  1; b  1; c   P  a  b  3c  Cách 2: PP casio B1: Tính  8x  dx và gán cho biến A 6x  7x  2 B2: Ta có A  a ln  b ln  c ln  A  ln  2a.3b.5c   e A  2a.3b.5c  enA  2na.3nb.5nc với n  * B3 Tính enA cho enA là số hữu tỉ ( thường n = 1,2,3,4…) Ta có e3 A  200  200.27 1  23.52.33 (1) 27 Mà e3 A  23a.33b.53c (2)  a  3a    Từ (1) và (2) suy 3b  3  b  1  P  a  b2  3c  3c    c   Câu 30 Biết  x3 x 2 a 24 ; a , b   Mệnh đề nào sau đây là đúng? b dx  B a  b  7 A a  b  C a  b  15 Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận Tính I   Đổi cận x3 x 2 dx Đặt t  x   t  x   tdt  xdx D a  b  Suy I   I  x3 x2  2 dx   x x x2   t3 2 t  dt      2t |2   2 2 dx   2  t2  tdt t 24 Suy ra: a = 4, b = Vậy a + b = Cách 2: PP casio B1: Tính I   B2: A  x3 x2  dx và gán cho biến A a 24 a 24 b b A Đặt x  a  b  F  x  B3: Mode (dùng Table) Nhập F  x   x 24 A Star -9 End Step Ta dò F(x) = suy x = Suy ra: a = 4, b = Vậy a + b = Câu 31 [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG - CÂU 37 - 2020] Cho x x3 dx  a ln  b ln  c ln với a , b, c là các số hữu tỉ Tính S  a  b2  c  3x  A S  B S  C S  Lời giải D S  Chọn D Cách 1: PP tự luận 3 x3 x3   dx  dx  1 x  3x  1  x  1 x  2 1  x   x  dx   ln x   ln x   Ta có  ln  ln  ln  ln  ln  ln  ln Suy a  2; b  1; c  1  S  Cách 2: PP casio Bước 1: Tính tích phân x x3 dx sau đó gán thành biến A  3x  Nhấn SHIFT STO (-) để Bước 2: Tính phép toán lũy thừa ekA với k  1, 2,3, 4,5, là các số nguyên mục tiêu là ta kết trên máy là số hữu tỷ Bước 3: Ta dễ dàng phân tích 12 22.3   22.31.51 5 12  ln(2 2.31.51 )  ln  ln  ln suy a  2, b  1, c  1 từ đây a  b2  c  Chú ý: Quá trình bấm máy có thể nhanh so với tốc độ ghi tự luận nhiều A  ln e Câu 32 Cho I   x ln xdx  a.e  b với a , b , c   Tính T  a  b  c c A B C Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận  du  d x  u  ln x  x Ta có:  nên  dv  xdx v  x  a  e e x2  e2   b  ln x   xdx  I   x ln xdx  21 c  1  e Vậy T  a  b  c  Cách 2: PP casio D + Thử C=1,2,3,4,5,6 giải hệ tìm a,b nguyên Câu 33 Biết  x ln  x  1 dx  a.ln b , với a , b   * , b là số nguyên tố Tính 6a  7b A 33 B 25 C 42 Lời giải Chọn.D Cách 1: PP tự luận Xét I   x ln  x  1 dx   u  ln  x  1 dx  du   Đặt  x 1  dv  xdx  v  x  Ta có: I   x  1 ln  x  1   0 x2 1 dx x 1 2  x2   3ln    x  1 dx  3ln    x   3ln  0 Vậy a  , b   6a  7b  39 Cách 2: PP casio Ta có a.ln b  ln ba Bước Bước A  ln ba  ba  e A Bước Bấm Shift + FACT D 39 Vậy a  , b   6a  7b  39 1  Câu 34 Cho    dx  a ln  b ln với a , b là các số nguyên Mệnh đề nào đúng? x  x   0 A a  2b  B a  2b  C a  b  2 Lời giải D a  b  Chọn A Cách 1: PP casio e Câu 35 Cho biết  thức ln x  a dx   b , với a , b là các số nguyên Giá trị biểu x  log a 2b A -1 B C Lời giải Chọn C Cách 1: PP casio  A  a Aa:3 b  b  3  Solve nghiệm nguyên: A  x:3  log x D  Thử từ đáp án Thấy A thỏa mãn vì phương trình có nghiệm nguyên Câu 36 Biết I   dx  a ln  b ln  c ln , đó a , b, c   Tính giá trị T  a  b  c x x B T  A T  C T   Lời giải D T  Chọn A Cách 1: PP casio .Ta có: e  Nhập dx  x2  x  ea ln b ln 35ln c  2a.3b.5c 16  4.31.51  a.3b.5c  a  4; b  1; c  1 15 Câu 37 Biết  x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b* , b là số nguyên tố Tính 3a  4b A 42 B C 12 Lời giải D 32 Chọn B Cách 1: PP casio  x ln 1 x dx  Ta có: e  ba Shift FACT  Vậy a  , b   3a  4b  21 Câu 38 Cho ln x   x  1 dx  a a tối giản Giá trị  ln  c  ln với a, b, c   * và phân số b b a  b  c A B C Lời giải D Chọn A Cách 1: PP casio  Chú ý: c=x, a  f  x  , bài toán có điều kiện a, b, c   * b  Do đó a  b  c  ln Câu 39 Biết  1 ex ex  dx  a  b ln  c ln với a , b , c là các số nguyên Tính T  a  b  c A T  1 B T  C T  Lời giải D T  Chọn B Cách 1: PP casio  A  a  b ln  c ln  e A  a  b.3c  Suy a  , b  4 , c  nên T  a  b  c  Câu 40 Cho biết x x  dx  A  a 1 với a , b là các số tự nhiên Giá trị a  b b B C Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio  Với b  x; a  f  x   a  , b   Vậy a  b  5 D