Định lý lagrange, định lý stolz, định lý toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số” là công trình nghiên cứu củ

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Khoa toán

************

phạm thị lan hương

định lý lagrange, định lý stolz định lý toeplitz

và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số

khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội, 2010

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài với sự hướng dẫn nhiệt tình của

thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng Cùng với sự nỗ lực của bản thân

em đã phần nào nghiên cứu được đề tài trên Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên chắc chắn khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong có được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin trân thành cảm ơn sự nhiệt tình tận tâm của thầy giáo: Thạc

sỹ Phùng Đức Thắng và toàn thể các thầy cô trong tổ giải tích và các thầy

cô trong khoa Toán đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này, cũng như trong suốt thời gian thực tập nghiên cứu tại trường ĐHSP Hà Nội 2

Sinh viên

Phạm Thị Lan Hương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, kết quả không

trùng với kết quả nào Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2010

Sinh viên

Phạm Thị Lan Hương

MỤC LỤC

Lời mở đầu 1

Lời cam đoan 2

Mở đầu 4

Chương 1 Các kiến thức cơ bản về dãy số 6

1.1 Dãy số 6

1.2 Dãy số bị chặn 6

1.3 Dãy số đơn điệu 6

1.4 Dãy con 7

1.5 Giới hạn các dãy số 7

1.6 Các định lí 7

1.7 Các nguyên lí về tính đầy đủ của  9

1.8 Giới hạn vô cực của dãy số 9

Chương 2 Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz 11

2.1 Định lý Lagrange và các hệ quả 11

2.2 Định lý Stolz và các hệ quả 14

2.3 Định lý Toeplitz và các hệ quả 17

Chương 3 Ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số 20

3.1 Ứng dụng định lý Lagrange trong bài toán tìm giới hạn dãy số 20

3.2 Ứng dụng định lý Stolz 27

3.3 Ứng dụng định lý Toeplitz 43

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

Giải bài toán về giới hạn dãy số có nhiều phương pháp khác nhau Định lí Lagrange, định lí Stolz và định lý Toeplitz là một phương pháp mạnh để giải các bài toán giới hạn dãy số khó và phức tạp Do đó, dưới sự

hướng dẫn của thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng em đã nhận đề tài

“Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số”

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp cho học sinh một phương pháp để có thể xử lý các bài toán giới hạn dãy số khó và đa dạng Qua đó củng cố kiến thức về giới hạn cho học sinh và giúp học sinh vận dụng thành thạo các định lý đã biết, đặc biệt

là định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên và học sinh THPT

+ Phạm vi nghiên cứu: Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhắc lại các kiến thức cơ bản về giới hạn Giúp học sinh nắm chắc định lý: Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và khả năng vận dụng sáng tạo định lí để giải bài toán về giới hạn

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ

1.1 Dãy số

Ánh xạ f N: R

n f n( )Gọi là dãy số

Dãy ( )a gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới n

Rõ ràng dãy ( )a bị chặn nếu tồn tại số tự nhiên n K0 sao cho

n

a K, n N

1.3 Dãy số đơn điệu

Dãy số ( )a gọi là giảm (tương ứng giảm nghiêm ngặt) nếu n a n a n1

thì dãy ( )a với ( k a k a nk) gọi là dãy con của dãy ( )a và kí hiệu là ( n a nk)

Chú ý: Ta dễ dàng kiểm tra được rằng:

k

n k k N

Mọi dãy đều là dãy con của chính nó

Mọi dãy con của dãy bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới) thì bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới)

Mọi dãy con của một dãy đơn điệu là một dãy đơn điệu

1.5 Giới hạn của dãy số

Số a được gọi là giới hạn của dãy ( )a nếu n

1.7 Các nguyên lý về tính đầy đủ của 

Nguyên lý Cantor: Mọi dãy thắt dần đều có điểm chung duy nhất

c) Nguyên lý Bolzano – Weierstrass

Mọi dãy bị chặn có ít nhất một dãy con hội tụ

1.8 Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy ( )a được gọi là có giới hạn + ¥ nếu n

Chương 2 ĐỊNH LÝ LAGRANGE, ĐỊNH LÝ STOLZ, ĐỊNH LÝ TOEPLITZ

2.1 Định lý Lagrange và hệ quả

2.1.1 Định lý Lagrange

Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [a b , có đạo hàm trên khoảng ; ]

(a b ; ) Khi đó tồn tại c thuộc khoảng (a b ; ) sao cho

'

f b - f a = f c b- a

2.1.2 Hệ quả (định lý Rolle)

Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [a b , có đạo hàm trên khoảng ; ]

(a b và ; ) f a( )= f b( )thì tồn tại c thuộc khoảng (a b sao cho ; ) f c ='( ) 0

Nếu f X: ® X là một ánh xạ Co thì f có duy nhất một điểm bất

động, tức là tồn tại duy nhất x XÎ sao cho f x( )= x

Ta xét hàm số f x( ) thỏa mãn các điều kiện định lý Lagrange rõ ràng

với mọi x khác y, c$ nằm giữa x, y sao cho

lý sau đây rất tiện lợi cho việc xét sự hội tụ cho một dãy số c

;( ), 1

ïîThì đều hội tụ tới *

x và f x( )* = x* (với x* là điểm bất động của f )

x a y

® + ¥ = (a hữu hạn hoặc vô hạn)

Khi đó với " >e 0, N$ 0 sao cho " >n N0 thì

<

-1 1

y x

x a y

a n

n nk

p x

=

å là trung bình chung trọng lượng của x1, ,x Do n

đó định lý Toeplitz là cơ sở để xét sự hội tụ của các dãy trung bình cơ bản

Từ cách chứng minh định lý Toeplitz ta có thể mở rộng thành hệ quả

Chương 3 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TRONG LÝ THUYẾT GIỚI HẠN DÃY SỐ

3.1 Ứng dụng định lý Lagrange trong bài toán tìm giới hạn dãy số

3.1.1 Phương pháp chung

Trong bài toán tìm giới hạn dãy số, ta có thể vận dụng định lý 2.1.5

đã nêu ở chương 2 để tìm giới hạn của dãy { }x n Ì R (nÎ N) xác định bởi

ïî nÎ N n, ³ 1Nhưng ta cũng có thể làm trực tiếp thông qua xét hàm số f x( ) khả

vi trên đoạn [a b và phương trình , ] g t( )= t có nghiệm duy nhất t0Î [a b, ](giới hạn của dãy số trên nếu có chính là nghiệm của phương trình ( )

Nhờ biểu diễn này ta chuyển việc ước lượng đánh giá a n+1- t0

thông qua f c để chỉ ra sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của dãy '( )n

3.1.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Xét dãy { }x n thỏa mãn

1 2

12

Chứng minh rằng dãy { }x n có giới hạn và tìm giới hạn đó

ê =êë

u u

+ +

= +êë

Vậy ta có lim n 1 1 2

n

u u

ïîChứng minh rằng $ Îk (0;1) sao cho

-Mặt khác '

3

( 1)( )

2 ''

Do f c < nên '( ) 1 $ Îk (0;1) sao cho 1> ³k f c'( ) hay

Ta có u n+1- a £ k u n- a (điều phải chứng minh)

Ví dụ 4 Cho dãy { }a n thỏa mãn 1

ïîChứng minh rằng dãy { }a n có giới hạn và tìm giới hạn đó

Giải

Theo đề bài a =1 0 và a n+1= 2+ a n

Từ đó ta có a ³ n 2, " În N*

Xét hàm số f x( )= 2+ x liên tục trên nửa đoạn thẳng [0;+ ¥ )

ê = ëVậy lim an = 2

-Ví dụ 5 Cho dãy { }u n xác định bởi

0

1

01

ïïîTìm lim un

4

f x £ , " Îx (0;+ ¥ )

Theo định lý 2.1.5 thì dãy { }u n có giới hạn và giới hạn của dãy { }u n

là nghiệm của phương trình f x( )= x

é = - +ê

Þ ê

= - êë

-Vậy limu = - n 1+ 2= 2- 1

Ví dụ 6 Cho dãy số  u n xác định bởi

1 2 1

ïïîChứng minh dãy { }u n có giới hạn

1(0) ( 2002) 2002 ln(1 2002 ) 0

3.1.3 Bài tập vận dụng

Bài tập 1 Cho dãy số { }x n xác định bởi 1

1

32

-ïïî

(n ³ 1)

Chứng minh rằng dãy { }x n có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài tập 2 Cho dãy { }u n xác định bởi

1

1

212

13

n

n

u u

(n ³ 1)

Chứng minh rằng dãy { }u n có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài tập 3 Cho dãy số { }u n xác định bởi

1 2 1

131

n n

-ïïïî

(n ³ 1)

Nhận xét: Ta thấy trong hai cách giải trên thì cách 1 cho lời giải ngắn

gọn, dễ hiểu Như vậy, áp dụng định lý Stolz vào ví dụ này là cách giải hay

Ví dụ 2 Cho dãy (un), un > 0 n" và lim n

® + ¥ =Chứng minh rằng

a a n

® + ¥ =

n n

n n

y n

+

=+

*

" Î Khi đó (y tăng thực sự tới + ¥ Thật vậy n)

2 1

n n

n

+ +

1

1 1

1 1

11

n n

n n

n n

2 1

Suy ra (S n n)¥=5 là dãy giảm

Mặt khác S > n 0 " =n 5, 6, hay dãy (S n n)¥=5 bị chặn dưới bởi 0 do vậy S có giới hạn n

Nhận xét: Trong ví dụ này, sử dụng định lý Stolz là cách giải hay

hơn Bởi vì, ta có thể chọn ngay các dãy thỏa mãn điều kiện của định lý và tính được giới hạn cần tìm

Từ ví dụ 4 ta có thể khái quát thành bài toán tổng quát sau:

Bài toán Tính giới hạn

2 1

1

n n

=+

f x = x trên đoạn [0;1] Với phép nhân hoạch đoạn

[0;1] bởi các điểm chia x i i

Nhận xét: Đối với các ví dụ đơn giản như ví dụ 5, khi áp dụng định

lý Stolz thì không cần chỉ rõ điều kiện của định lý Học sinh có thể dễ dàng phát hiện ra lời giải bằng cách vận dụng định lý Stolz

ïï =ïïî

4sin(2 ) lim

2sin(2 ) 4sin(2 ) 8 cos(2 ) 4 cos(2 ) 4 sin(2 )

2sin(2 ) lim

3sin(2 ) 6 cos(2 ) 2 sin(2 )

2lim

x x x x

ïî " ³n 1 (1) Tìm lim a n

a n

ln

n

n B

n

® + ¥

=

n n n

1 1 1

ln 11

Mở rộng ví dụ 8 thành bài toán sau

Bài toán Cho dãy ( )a mà n lim n

Ví dụ 9 Cho dãy số dương ( )x (hoặc cho n ( )x , n ( )x n > 0," =n 1,2, )

Chứng minh rằng: nếu lim n 1 lim n

n n n

a x x a

x

+

ïïïïì

n n

n

n a a a c

12

n n

n n

n n

n n

-+ -

-+

=+

1 1

11

n n

x

+ -

( !)

n x

2 2 2

1 !

n n

n n

n n

® + ¥ + b) lim ( 1)

n

n

a a n

® + ¥ >

c) lim loga ( 1)

n

n a n

® + ¥ > d)

2 3

lim

!

n

n n

0

n u

u

u u e

+

-í >

ïïïì

-ïî (" ³n 2,nÎ N)Tính

1

1

01

u n

ïïïïî

ïïïî " =n 2,3,

Tìm

a) lim n n

u n

® + ¥

b) lim 1

n i i n

x n

® + ¥

Bài 9 Tìm giới hạn của dãy số với số hạng tổng quát a cho bởi n

® + ¥

-3.3 Ứng dụng định lý Toeplitz trong bài toán tìm giới hạn dãy số

3.3.1 Xét sự hội tụ của các dãy trung bình cơ bản

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu ( )x hội tụ thì dãy trung bình cộng n ( )y n

1 2

,

n n

Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu dãy ( )x , n x > n 0, " În N* hội tụ thì dãy

trung bình nhân ( )y với y = n x x x " =n 1,2, cũng hội tụ

Giải

Xét

112

Do đó 2 bộ số (P nk) và ( )a đều thỏa mãn điều kiện của định lý Toeplitz n

21

2

1lim

n

a a b

k nk

n

b P

® + ¥ = ® + ¥ =

1 1 1 2

1

k nk

b P

n

b P

k nk

b P

Ví dụ 4 Chứng minh rằng, nếu lim n

p > nk 0

lim nk lim 22 0

k p

k k

2 3

, 1, 2,

k nk

Áp dụng định lý Stolz với 2 bộ số (p nk) và ( )x ta có n

2 2 3 3

1 1

KẾT LUẬN

Định lý Lagrange, định lý Stolz và Toeplitz là một phương pháp mạnh xử

lý các bài toán giới hạn phức tạp và đa dạng Hơn nữa nó còn giúp cho giáo viên sang tạo ra các bài toán về giới hạn dãy số cho học sinh rèn luyện

Hy vọng các vấn đề mà em đề cập đến trong đề tài này sẽ giúp ich đáng

kể cho các sinh viên,cũng như các em học sinh PTTH, đặc biệt là học sinh khá giỏi và những ai muốn tìm hiểu, quan tâm đến khía cạnh này trong dạy toán học

Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều, cộng với vốn kiến thức cũng như kinh nghiệm nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong được sự giúp đỡ góp ý của thầy cô giáo cùng các bạn để tìm được ý tưởng tốt hơn bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn Một lần nữa em bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán đặc biệt là thầy giáo Phùng Đức Thắng,người đã nhiệt tình hướng dẫn em làm khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội ngày 20 tháng 04 năm 2010

Sinh viên

Phạm Thị Lan Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Tô Văn Ban, Giải tích -Những bài tập nâng cao, NXB Giáo dục, 2004

2 Nguyễn Văn Mậu, Giới hạn dãy số và hàm số,NXB Giáo dục, 2000

3 Nguyễn Văn Mậu- Nguyễn Thuỷ Thanh, Chuyên đề bồi dưỡng học

sinh giỏi toán THPT Giới hạn dãy số và hàm số, NXB Giáo dục, 2004

4 Sách giáo khoa Giải tích và đại số 11_bộ giáo dục và đào tạo, tái bản

năm 2009