1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ 13 GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN Giới hạn đặc biệt: = 0; n→+∞ n lim Giới hạn đặc biệt: lim = (k ∈ + ) n→+∞ n k n lim C = C lim= ( q < 1) ; q n→+∞ n→+∞ Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b lim n = +∞ lim q n = +∞ (q > 1) Định lí: =0 un b) Nếu lim un = a, lim = ±∞ lim • lim (un – vn) = a – b • lim (un.vn) = a.b a • lim = (nếu b ≠ 0) b b) Nếu un ≥ 0, ∀n lim un= a =0 lim un +∞ = −∞ neáu a.vn > neáu a.vn < d) Nếu lim un = +∞, lim = a un = a c) Nếu un ≤ ,∀n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 1− q un c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim = un S = u1 + u1q + u1q2 + … = lim n k = +∞ (k ∈ + ) a) Nếu lim un = +∞ lim • lim (un + vn) = a + b a ≥ lim GIỚI HẠN VÔ CỰC ( q < 1) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học +∞ lim(un.vn) = −∞ neáu a > a < * Khi tính giới hạn có dạng vô định: ∞ , , ∞ – ∞, 0.∞ phải tìm cách khử ∞ dạng vơ định Tổng ơn Tốn 11 B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Chủ đề 13 Giới hạn dãy số Phương pháp: • Để chứng minh lim un = ta chứng minh với số a > nhỏ tùy ý tồn số na cho un < a ∀n > na • Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un − l ) = • Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với số M > lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un > M ∀n > nM • Để chứng minh lim un = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ • Một dãy số có giới hạn giới hạn Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu lim un = +∞ , lim un = +∞ B Nếu lim un = +∞ , lim un = −∞ C Nếu lim un = , lim un = D Nếu lim un = −a , lim un = a Câu Giá trị lim A Câu Giá trị lim A Câu Giá trị lim A bằng: n +1 B C D (k ∈ *) bằng: nk B C D sin n bằng: n+2 B C D B −∞ C D 1− n bằng: n B −∞ C D bằng: n +1 B −∞ C D cos n + sin n bằng: n2 + B −∞ C D C D Câu Giá trị lim(2n + 1) bằng: A +∞ Câu Giá trị lim A +∞ Câu Giá trị lim A +∞ Câu Giá trị lim A +∞ Câu Giá trị lim A +∞ n +1 bằng: n+2 B −∞ Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 10 Giá trị lim A +∞ Câu 11 Giá trị lim 3n3 + n bằng: n2 B −∞ A +∞ Câu 13 Giá trị B = lim A +∞ Câu 14 Giá trị C = lim A +∞ Câu 15 Giá trị A = lim C D 2n + bằng: n−2 B −∞ C D 2n + bằng: n2 + B −∞ C D C D 1 D n2 + bằng: n +1 B −∞ n−2 n bằng: 2n B −∞ A +∞ Câu 16 Giá trị B = lim C n sin n − 3n bằng: n2 B −∞ A +∞ Câu 17 Giá trị C = lim Câu 18 Giá trị D = lim C −3 D C D C D C D C D 1 bằng: n +2 n +7 B −∞ A +∞ A +∞ D B −∞ Câu 12 Giá trị A = lim Câu 19 Giá trị lim C 2−n bằng: n +1 A +∞ A +∞ Chủ đề 13 Giới hạn dãy số 4n + n + 3n + 2 bằng: B −∞ an = bằng: n! B −∞ Câu 20 Giá trị lim n a với a > bằng: A +∞ B −∞ Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: • Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn • Khi tìm lim f ( n) ta thường chia tử mẫu cho n k , k bậc lớn tử g ( n) mẫu • Khi tìm lim k f (n) − m g (n) lim f (n) = lim g (n) = +∞ ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên + Dùng đẳng thức: ( ( a − b ) ( a2 + ab + b2 ) = a−b a − b )( a + b ) = a − b; • Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ ,∀n lim = lim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: • Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn • Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +∞ hệ số cao tử mẫu dấu kết –∞ hệ số cao tử mẫu trái dấu Câu Cho dãy số ( un ) với un = A B n u n +1 < Chọn giá trị lim un số sau: n un C D C –4 D n cos 2n Câu Kết lim − là: n +1 A B Câu Giá trị A = lim 2n + bằng: − 3n A +∞ B −∞ C − D 4n + 3n + Câu Giá trị B = lim bằng: (3n − 1) A +∞ Câu Kết lim A − B −∞ − n + 2n + 3n + 2 B − C D C − D Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu Giới hạn dãy số ( un ) với un = A −∞ A Câu Giá trị A = lim D n − 2n + : + 5n C −∞ D +∞ 2n + 3n + bằng: 3n − n + B −∞ C n + 2n n − 3n + A +∞ A +∞ Câu 11 Giá trị D = lim A +∞ Câu 12 Giá trị C = lim A +∞ Câu 13 Giá trị F = lim A +∞ Câu 14 Giá trị C = lim A +∞ Câu 15 Giá trị D = lim A +∞ Câu 16 Giá trị E = lim + 1) ( n + ) 1− C D C 16 D bằng: n + − 3n3 + 2n + n + − n bằng: B −∞ D n17 + B −∞ bằng: B −∞ ( 2n Câu 10 Giá trị C = lim A +∞ C B A +∞ Câu Giá trị B = lim 3n − n là: 4n − B +∞ Câu Chọn kết lim Chủ đề 13 Giới hạn dãy số 3n3 + − n 2n + 3n + + n B −∞ C 1− 3 −1 D bằng: C D C D (n − 2)7 (2n + 1)3 bằng: (n + 2)5 B −∞ n3 + bằng: n(2n + 1) B −∞ C D n3 − 3n + bằng: n + 4n + B −∞ C D n + 2n + bằng: n+2 B −∞ C D Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Câu 17 Giá trị F = lim n − 2n + + 2n 3n3 + n − n Câu 18 Cho dãy số un với u= n A −∞ C ( n − 1) 10 n4 + n2 + D 2n + Chọn kết lim un là: n + n2 − B 10 Câu 20 Tính giới hạn: lim C D +∞ C D −∞ C −1 D 2 C D C D n +1 − n +1 + n B A + + + + ( 2n + 1) 3n + B A Câu 22 Chọn kết lim + n2 − 1 − + n 2n B A Câu 23 Giá trị D = lim bằng: A +∞ C Đáp án khác B −∞ A − ak n k + + a1n + a0 (Trong k , p số nguyên dương; ak bp ≠ ) bp n p + + b1n + b0 Câu 24 Kết lim D n−2 2−5 là: 3n + 2.5n B − 50 D − C D D C 25 3n − 4.2n −1 − bằng: 3.2n + 4n A +∞ Câu 26 Giá trị C = lim A +∞ 3 −1 : A +∞ Câu 21 Tính giới hạn: lim B Câu 19 lim Câu 25 lim bằng: B −∞ A +∞ Chủ đề 13 Giới hạn dãy số B −∞ 3.2n − 3n bằng: 2n +1 + 3n +1 B −∞ C − Câu 27 Giá trị lim ( 3n − 5n ) là: A −∞ B +∞ C D −2 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 3.2n − 3n bằng: 2n +1 + 3n +1 Câu 28 Giá trị K = lim A − Câu 29 lim Chủ đề 13 Giới hạn dãy số B −∞ C D B C D −∞ C D +∞ C D 5n − : 3n + A +∞ 4n + 2n +1 : Câu 30 lim n + 4n + B A 3.3n + 4n bằng: 3n +1 + 4n +1 Câu 31 Giá trị C = lim A +∞ B Câu 32 Cho số thực a,b thỏa a < 1; b < Tìm giới hạn I = lim B −∞ A +∞ C Câu 33 Tính giới hạn dãy số A = lim 1− b 1− a D ak n k + ak −1n k −1 + + a1n + a0 với ak bp ≠ bp n p + bp −1n p −1 + + b1n + b0 B −∞ A +∞ + a + a + + a n + b + b + + b n : C Đáp án khác D C −2 D −∞ C D 1 D C D 1 D nπ Câu 34 lim n sin − 2n3 bằng: A +∞ B Câu 35 Giá trị của.= M lim ( Câu 36 Giá trị = H lim ) n + n + − n bằng: B −∞ A +∞ Bài 40 Giá trị= K lim n C ) ( A +∞ 2n + − n bằng: B −∞ ( A +∞ Câu 38 Giá trị lim A +∞ ) n + 6n − n bằng: B −∞ A +∞ Câu 37 Giá trị= B lim ( ) n + − n bằng: B −∞ ( C ) n − − 3n + là: B −∞ Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C D Tổng ôn Toán 11 A +∞ Câu 40 Giá trị của= B lim ) ( Câu 39 Giá trị = A lim n + 6n − n bằng: B −∞ ( A +∞ Câu 41 Giá trị của= D lim B −∞ n + 2n − n + 2n 12 ( Câu 44 Giá trị = K lim Câu 45 Giá trị = N lim ( C C − Câu 47 Giá trị = H lim n ( ) ( A +∞ 12 D C D C D +∞ ) n + − n − là: ) 8n3 + n − 4n + bằng: B −∞ ( ) D n3 + 3n + − n bằng: B A +∞ D n3 + n − − 4n + n + + 5n bằng: Câu 46 Giá trị lim n A −1 C 4n + − 8n3 + n bằng: B −∞ A +∞ D ) B −∞ A +∞ ) ( ( D − n − 8n3 + 2n bằng: B −∞ A +∞ C C B −∞ Câu 43 Giá trị = N lim D ) bằng: B −∞ Câu 42 Giá trị = M lim Câu 48 Giá trị = A lim ) C n3 + 9n − n bằng: ( A +∞ A − Chủ đề 13 Giới hạn dãy số C − ) D n + 2n + + n bằng: B −∞ C D B C +∞ D −∞ 2n3 + sin 2n − bằng: n3 + B −∞ C D C D Câu 49 lim 200 − 3n5 + 2n : A Câu 50 Giá trị A = lim A +∞ Câu 51 Giá trị B = lim A +∞ n n! n + 2n B −∞ bằng: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Câu 52 Giá trị D = lim A +∞ n +1 n ( 3n + − 3n − 1) B −∞ Chủ đề 13 Giới hạn dãy số bằng: C D Câu 53 Giá trị = E lim( n + n + − 2n) bằng: A +∞ = F lim Câu 54 Giá trị A +∞ B −∞ ( ) C D C D C Đáp án khác D n + + n bằng: B −∞ Câu 55 Giá trị = H lim( k n + − n − 1) bằng: p A +∞ B −∞ Câu 56 Tính giới hạn dãy= số un A +∞ B −∞ Câu 57 Tính giới hạn dãy số un = A +∞ 1 : + + + 1+ +2 (n + 1) n + n n + C (n + 1) 13 + 23 + + n3 : 3n3 + n + B −∞ C B −∞ Câu 59 Tính giới hạn dãy số un = A +∞ D n(n + 1) 1 : )(1 − ) (1 − ) Tn = T1 T2 Tn Câu 58 Tính giới hạn dãy số un =− (1 A +∞ D C D 23 − 33 − n3 − 23 + 33 + n3 + B −∞ D C D C 2k − 2k k =1 n Câu 60 Tính giới hạn dãy số un = ∑ A +∞ B −∞ Câu 61 Tính giới hạn dãy số un = q + 2q + + nq n với q < A +∞ B −∞ C q (1− q ) : D q (1+ q ) n n k =1 n + k Câu 62 Tính giới hạn dãy số un = ∑ A +∞ B −∞ Câu 63 Tính giới hạn dãy số B = lim A +∞ C 3 B −∞ Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học D n + n + − n + 2n − (2n + 3) C D −3 Tổng ơn Tốn 11 Câu 64 Tính giới hạn dãy số C lim = 4n + n + − 2n B −∞ A +∞ Câu 65 Tính giới hạn dãy= số D lim Câu 66 Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = ( D n + n + − n3 + n − + n C − ) D 1 , xn +1 = xn2 + xn ,∀n ≥ 1 Tính lim S n + + + x1 + x2 + xn + B −∞ A +∞ Câu 67 Cho dãy ( xk ) xác định sau: xk = Tìm lim un với un= A +∞ ) C B −∞ A +∞ Đặt S= n ( Chủ đề 13 Giới hạn dãy số n C D k + + + 2! 3! (k + 1)! n x1n + x2n + + x2011 B −∞ C − 2012! D + 2012! u0 = 2011 u3 Câu 68 Cho dãy số (un ) xác định bởi: Tìm lim n un + n un += un A +∞ B −∞ Câu 69 Cho dãy x > xác định sau: f ( x) = A +∞ B −∞ Câu 70 Tìm lim un biết un = A +∞ C x +1 −1 Tìm ( 0; +∞ ) x C 2010 D D n + + + + (2n − 1) 2n + B −∞ C D x − + 2x −1 x ≠ Câu 71 Tìm lim un biết f ( x) = x −1 3m − x = A +∞ B −∞ C D x +1 −1 x > Câu 72 Tìm lim un biết f ( x) = x 2 x + 3m + x ≤ A +∞ 10 B −∞ C D Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số nπ sin nπ 3 − 2n = lim n − = −∞ lim n sin n nπ sin − = −2 Vì lim n3 = +∞;lim n nπ nπ sin 1 ≤ ;lim = − 2 = ⇒ lim −2 n n n n sin Câu 35 Giá trị của.= M lim ( ) n + 6n − n bằng: B −∞ A +∞ C D 1 D C D 1 D Hướng dẫn giải: Chọn C M 6n lim = n + 6n + n ( Câu 36 Giá trị = H lim ) n + n + − n bằng: B −∞ A +∞ C Hướng dẫn giải: Chọn C 1+ n +1 n Ta có: H lim = = lim = 2 1 n + n +1 + n 1+ + +1 n n Câu 37 Giá trị= B lim ) ( 2n + − n bằng: B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: B = lim n + − 1 = +∞ n Bài 40 Giá trị= K lim n ( A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 38 Giá trị lim ) n + − n bằng: B −∞ ( C ) n − − 3n + là: Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 27 Tổng ôn Toán 11 B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn B lim ( ) n − − 3n + = lim n Vì lim n = +∞;lim ( ( C Chủ đề 13 Giới hạn dãy số D ) − 1/ n − + / n = −∞ ) lim ( n + 6n − n ) bằng: − 1/ n − + / n = − < Câu 39 Giá trị = A B −∞ A +∞ C D C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có A lim = ) ( n + 6n = − n lim n + 6n − n n + 6n + n 6n = lim = lim n + 6n + n 1+ +1 n Câu 40 Giá trị của= B lim ( ) n3 + 9n − n bằng: B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có:= B lim ( n + 9n − n ) 9n = lim (n + 9n ) + n n3 + 9n + n 2 lim = 9 1+ + 1+ +1 n n Câu 41 Giá trị của= D lim n + 2n − n + 2n ) bằng: B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: = D lim lim ( ( ) n + 2n − n − lim 2n n + 2n + n ( C n + 2n − n D ) 2n − lim ( n3 + 2n ) + n n3 + 2n + n 2 = lim − lim = 2 2 (1 + ) + + 1+ +1 +1 n n n 28 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 42 Giá trị = M lim 12 Hướng dẫn giải: ( Chủ đề 13 Giới hạn dãy số ) − n − 8n3 + 2n bằng: B −∞ A − C D Chọn A − n2 Ta có: M = lim (1 − n − 8n3 ) − 2n − n − 8n3 + 4n Câu 43 Giá trị = N lim = − ) ( 4n + − 8n3 + n bằng: B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn C Ta= có: N lim ( 12 ) 4n + − 2n − lim C ( 8n3 + n − 2n D ) ) ( Mà: lim = 4n + − 2n lim= 4n + + 2n lim ( 8n + n − 2n ) n lim= (8n + n) + 2n 8n + n + 4n Vậy N = Câu 44 Giá trị = K lim ( B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: = K lim Mà: lim ( ) n3 + n − − 4n + n + + 5n bằng: ( ) n3 + n − − n − 3lim ) n3 + n − − n = ; lim 3 Do đó: K = − = − 12 Câu 45 Giá trị = N lim A +∞ C − ( ( ( 4n + n + − 2n 12 D ) ) 4n + n + − 2n = ) n3 + 3n + − n bằng: B −∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn D N 3n + lim = (n3 + 3n + 1) + n n3 + 3n + + n Câu 46 Giá trị lim n ( ) n + − n − là: Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 29 Tổng ơn Tốn 11 A −1 B Chủ đề 13 Giới hạn dãy số D +∞ C Hướng dẫn giải: Chọn C n ( n + − n + 1) n n n + − n − lim= lim = = lim n + 1/ n + − 1/ n n + + n − ( ) ( Câu 47 Giá trị = H lim n ( ) 8n3 + n − 4n + bằng: B −∞ A +∞ ) C − D Hướng dẫn giải: Chọn C H =lim n ( ) 8n3 + n − 2n − lim n Câu 48 Giá trị = A lim ( ( ) 4n + − 2n =− ) n + 2n + + n bằng: B −∞ A +∞ C D C +∞ D −∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn A 2 Ta có A = lim n + + + 1 = +∞ n n 2 Do lim n = +∞;lim + + + 1 = n n Câu 49 lim 200 − 3n5 + 2n : A B Hướng dẫn giải: Chọn D + 2n lim n Ta có: lim 200 − 3n= Nhưng lim 200 −3+ = n n 200 −3+ n n −3 < lim n = +∞ Nên lim 200 − 3n5 + 2n = −∞ Câu 50 Giá trị A = lim A +∞ 2n3 + sin 2n − bằng: n3 + B −∞ Hướng dẫn giải: Chọn C sin 2n − 2+ n3 A lim = 1+ n 30 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 n Câu 51 Giá trị B = lim n! n + 2n bằng: B −∞ A +∞ Chủ đề 13 Giới hạn dãy số C D Hướng dẫn giải: Chọn C nn < = n + 2n n + 2n n Ta có: n n! Câu 52 Giá trị D = lim n → 0= ⇒B n + 2n n +1 n ( 3n + − 3n − 1) B −∞ A +∞ bằng: C D Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 53 Giá trị = E lim( n + n + − 2n) bằng: B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn B = F lim Câu 54 Giá trị ( D C D C Đáp án khác D ) n + + n bằng: B −∞ A +∞ C Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 55 Giá trị = H lim( k n + − n − 1) bằng: p B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn C Xét trường hợp TH1: k > p ⇒ H = −∞ TH 2: k < p ⇒ H = +∞ TH 3: k = p ⇒ H =0 Câu 56 Tính giới hạn dãy= số un 1 : + + + 1+ +2 (n + 1) n + n n + B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: = (k + 1) k + k k + Suy un = 1− 1 − k k +1 ⇒ lim un = n +1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 31 Tổng ôn Tốn 11 Câu 57 Tính giới hạn dãy số un = (n + 1) 13 + 23 + + n3 : 3n3 + n + B −∞ A +∞ C Chủ đề 13 Giới hạn dãy số D Hướng dẫn giải: Chọn C n(n + 1) Ta có: 13 + 23 + + n3 = Suy= un n(n + 1) ⇒ lim = un 3(3n + n + 2) Câu 58 Tính giới hạn dãy số un =− (1 n(n + 1) 1 : )(1 − ) (1 − ) Tn = T1 T2 Tn B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: − Suy un = (k − 1)(k + 2) =− = Tk k (k + 1) k (k + 1) n+2 ⇒ lim un = n Câu 59 Tính giới hạn dãy số un = 23 − 33 − n3 − : 23 + 33 + n3 + B −∞ A +∞ D C D C Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có k −1 (k − 1)(k + k + 1) = k + (k + 1)[(k − 1) + (k − 1) + 1] Suy = ⇒ un n2 + n + ⇒= lim un (n − 1)n 2k − : 2k k =1 n Câu 60 Tính giới hạn dãy số un = ∑ A +∞ B −∞ Hướng dẫn giải: Chọn C 1 1 1 2n − Ta có: un − un = + + + + n −1 − n +1 2 2 2 2n + ⇒ un =− n +1 ⇒ lim un = 2 Câu 61 Tính giới hạn dãy số un = q + 2q + + nq n với q < 32 : Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 A +∞ B −∞ C Chủ đề 13 Giới hạn dãy số q (1− q ) D q (1+ q ) Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: un − qun = q + q + q + + q n − nq n +1 )un q ⇒ (1 − q= − qn q − nq n +1 Suy lim un = 1− q (1 − q ) n n k =1 n + k Câu 62 Tính giới hạn dãy số un = ∑ B −∞ A +∞ : C D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: n n n −n −1 ≤ un ≤ n ⇒ ≤ un − ≤ n +n n +1 n +1 n +1 ⇒ un − ≤ n → ⇒ lim un = n +1 Câu 63 Tính giới hạn dãy số B = lim n + n + − n + 2n − (2n + 3) B −∞ A +∞ : C D −3 Hướng dẫn giải: Chọn D Chia tử mẫu cho n ta có được: B = lim 1+ 1 + − 1+ − n n n n = 1− = − 4 3 2+ n Câu 64 Tính giới hạn dãy số C lim = A +∞ ( B −∞ 4n + n + − 2n ) : C D Hướng dẫn giải: Chọn D 1+ n +1 n Ta có: C lim= lim = = 1 4n + n + + 2n 4+ + +2 n n Câu 65 Tính giới hạn dãy= số D lim A +∞ ( B −∞ Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học n + n + − n3 + n − + n C − ) : D 33 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: = D lim Mà: lim lim ( ( ) n + n + − n − lim ( n3 + n − − n ) 1+ n + n = lim = n2 + n + − n = lim 1 n2 + n + + n 1+ + +1 n n ) ( ) n2 − n3 + n − − n =lim (n3 + n − 1) + n n3 + n − + n 1− n lim = 1 1 1+ 1 − + + − + n n3 n n Vậy D = − = − Câu 66 Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = , xn +1 = xn2 + xn ,∀n ≥ 1 Tính lim S n + + + x1 + x2 + xn + Đặt S= n B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn C 1, 2, Từ cơng thức truy hồi ta có: xn +1 > xn , ∀n = Nên dãy ( xn ) dãy số tăng Giả sử dãy ( xn ) dãy bị chặn trên, tồn lim xn = x Với x nghiệm phương trình : x = x + x ⇔ x = < x1 vơ lí Do dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn = +∞ Mặt khác: Suy ra: 1 1 = = − xn +1 xn ( xn + 1) xn xn + 1 1 = − xn + xn xn +1 1 1 Dẫn tới: S n = − = 2− ⇒ lim S n = − lim = x1 xn +1 xn +1 xn +1 Câu 67 Cho dãy ( xk ) xác định sau: xk = Tìm lim un với un= A +∞ n k + + + 2! 3! (k + 1)! n x1n + x2n + + x2011 B −∞ C − 2012! D + 2012! Hướng dẫn giải: 34 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số Chọn C Ta có: k 1 nên xk = − = − (k + 1)! k ! (k + 1)! (k + 1)! 1 − < ⇒ xk < xk +1 (k + 2)! (k + 1)! Suy xk −= xk +1 n < n 2011x2011 Mà: x2011 < n x1n + x2n + + x2011 Mặt khác: lim x2011 = lim n 2011x2011 = x2011 = − Vậy lim un = − 2012! 2012! u0 = 2011 u3 Câu 68 Cho dãy số (un ) xác định bởi: Tìm lim n un + n un += un B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta thấy un > 0, ∀n Ta có: un3+1 = un3 + + (1) + un3 un6 Suy ra: un3 > un3−1 + ⇒ un3 > u03 + 3n (2) Từ (1) (2), suy ra: un3+1 < un3 + + 1 1 + < un3 + + + 2 3n 9n u + 3n ( u + 3n ) 0 n 1 n (3) ∑k +9∑ k 1= = k k Do đó: un3 < u03 + 3n + n n 1 1 1 ≤ n < 2n 2 < + + + + = − < ∑ ∑ ∑ 2 k 1.2 2.3 (n − 1)n = n k 1= k k k =1 k n Lại có: 2n Nên: u03 + 3n < un3 < u03 + 3n + + Hay + u03 un3 u3 2 < < 3+ + + n n n 9n n Vậy lim un3 = n Câu 69 Cho dãy x > xác định sau: f ( x) = A +∞ B −∞ x +1 −1 Tìm ( 0; +∞ ) x C 2010 D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có un +1 − u= n un2 u − un un ⇔ n +1 = 2010 un +1.un 2010un +1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 35 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số 1 un 2010 − ⇔ = un +1 un un +1 Ta có un ∑u = 2010( n +1 1 − ) = 2010(1 − ) u1 un +1 un +1 Mặt khác ta chứng minh được: lim un = +∞ Nên lim(∑ uu ) = 2010 un +1 Câu 70 Tìm lim un biết un = n + + + + (2n − 1) 2n + B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: + + + + 2n − =n nên lim un = x − + 2x −1 x ≠ Câu 71 Tìm lim un biết f ( x) = x −1 3m − x = B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn D n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) Ta có: + + + n = 12 + 22 + + n = Nên lim un = x +1 −1 x > Câu 72 Tìm lim un biết f ( x) = x 2 x + 3m + x ≤ A +∞ B −∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: = (k + 1) k + k k + 1 1 Suy un = 1− ⇒ lim un = − k k +1 n +1 2x − + x ≥ Câu 73 Tìm lim un biết f ( x) = x ≠ x +1 x < x − 2mx + 3m + A +∞ B −∞ C D Hướng dẫn giải: 36 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số Chọn C Ta có: − n+2 1 (k − 1)(k + 2) Suy un = ⇒ lim un = =− = n Tk k (k + 1) k (k + 1) n Câu 74 Tìm lim un biết un = ∑ n2 + k k =1 B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: n2 + n < n2 + k < n2 + ,k= 1, 2, , n Suy n n2 + n < un < n n2 + n n Mà lim = lim = nên suy lim un = n +n n2 + Câu 75 Tìm lim un biết un = 2 n dau can B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn C 1 + + + n 22 1 1− 2 Ta có: un 2= = n 1 1− 2 n ,nên lim un lim 2 = = f ( x) lim+ Câu 76 Gọi g ( x) ≠ 0, ∀x ≤ dãy số xác định • Tìm lim= + x→2 B −∞ A +∞ C x→2 ( ) x −= + 3 D Hướng dẫn giải: Chọn C 8 Ta có < u1 < u2 ⇒ u3 =− + u3 nên dãy (un ) dãy tăng 3u1 < − + 3u2 = 9 9 4 Dễ dàng chứng minh un < , ∀n ∈ * Từ tính lim un = 3 2 1 Câu 77 Cho dãy số A= x12 + x1 x2 + x1 x2 + x22 + x12 x22 + > xác định sau 4 ⇔ x1 = x2 Đặt x ≤ Tìm ⇔ x3 + x − 3 − x − = B −∞ A +∞ C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: un +1 = (un2 + 3un )(un2 + 3un + 2) + = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học (un2 + 3un + 1) 37 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số =un2 + 3un + Suy ra: un +1 + 1= (un + 1)(un + 2) ⇒ 1 = − un +1 + un + un + 1 Suy ra: = − un + un + un +1 + n 1 1 1 − = − Do đó, suy ra: = = − ∑ ui +1 + u1 + un +1 + un +1 + i =1 ui + Mặt khác, từ un +1 =un2 + 3un + ta suy ra: un +1 > 3n Nên lim un +1 + = Vậy lim = Câu 78 Cho a, b ∈ , (a, b) =1; n ∈ {ab + 1, ab + 2, } Kí hiệu rn số cặp số (u , v) ∈ × cho rn = n →∞ n ab = n au + bv Tìm lim A +∞ B −∞ C ab D ab − Hướng dẫn giải: Chọn C n − 1 (1) Xét phương trình 0; n Gọi (u0 , v0 ) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử (u , v) nghiệm nguyên dương khác (u0 , v0 ) (1) tồn k nguyên dương cho Ta có au0 + bv0= n, au + bv= n suy a (u − u0 ) + b(v − v0 ) = u= u0 + kb, v = v0 − ka Do v số nguyên dương nên v0 − ka ≥ ⇔ k ≤ v0 − (2) a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên dương cộng với v0 − n u 1 Do r= − − + n a += ab b a n u0 n u0 − − ≤ rn ≤ − − + ab b a ab b a u0 rn u0 1 Từ suy : − − ≤ ≤ − − + ab nb na n ab nb na n Từ ta thu bất đẳng thức sau: rn = n →∞ n ab Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim u1 = Câu 79 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định : Tìm kết lim un un +1 = , n ≥1 − un A 38 B C −1 D Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: = u1 ; u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 ; = n với n ∈ * n +1 Dễ dàng chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp Dự đoán un = n Từ đó= lim un lim = lim = 1 n +1 1+ n Câu 80 Tìm giá trị của= S A + 1 1 + + + + + n + C 2 B D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: = S 1 1 + + + + + n + .= = 2 1− 1 Câu 81 Tính giới hạn: lim + + + n ( n + 1) 1.2 2.3 A B C D Khơng có giới hạn Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt : A= 1 1 1 1 n + + + = 1− = =1 − + − + + − 1.2 2.3 n ( n + 1) 2 n +1 n +1 n n +1 1 n ⇒ lim + + + = lim = lim = n ( n + 1) n +1 1.2 2.3 1+ n 1 Câu 82 Tính giới hạn: lim + + + n ( 2n + 1) 1.3 3.5 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 39 Tổng ơn Tốn 11 A= Chủ đề 13 Giới hạn dãy số 1 + + + 1.3 3.5 n ( 2n + 1) ⇒ 2A = 2 + + + 1.3 3.5 n ( 2n + 1) 1 1 1 ⇒ A =1 − + − + − + + − 3 5 n 2n + 1 2n ⇒ 2A = = 1− 2n + 2n + n ⇒ A= 2n + 1 1 n + + = Nên lim + lim = lim = 1.3 3.5 2 n n + n + ( ) 2+ n 1 Câu 83 Tính giới hạn: lim + + + n ( n + 2) 1.3 2.4 A Hướng dẫn giải: Chọn A C B D 1 1 2 Ta có : lim + + + = + + lim + 1.3 2.4 n ( n + 2) n ( n + 2) 1.3 2.4 1 1 1 1 1 1 = lim 1 − + − + − + − = lim 1 + − = 2 n+2 2 n n+2 1 Câu 84 Tính giới hạn: lim + + + n(n + 3) 1.4 2.5 11 18 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1: A B C D 1 1 1 1 1 lim + + + = lim 1 − + − + − + + − n(n + 3) n n + 3 1.4 2.5 1 1 1 = lim 1 + + − − − n + n + n + 3n + 12n + 11 11 11 = − lim = 18 ( n + 1)( n + )( n + 3) 18 Cách 2: Bấm máy tính sau: 100 ∑ x ( x + 3) so đáp án (có thể thay 100 số nhỏ lớn hơn) 40 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số 1 Câu 85 Tính giới hạn: lim 1 − 1 − 1 − n A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: 1 lim 1 − 1 − 1 − = lim 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + n n n n +1 n − n + 1 lim = = lim = n n n 2 3 Cách 2: Bấm máy tính sau: 100 so đáp án (có thể thay 100 số nhỏ lớn ∏ 1 − x hơn) Tài liệu thuộc Series Tổng ơn Tốn 11 DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Được nhận tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP bit.ly/vipkys Contact us: Hotline: 099.75.76.756 Admin: fb.com/khactridg Email: tailieukys@gmail.com Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 41 ... ơn Tốn 11 Chủ đề 13 Giới hạn dãy số DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: • Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn • Khi tìm lim f (... Tn Câu 58 Tính giới hạn dãy số un =− (1 A +∞ D C D 23 − 33 − n3 − 23 + 33 + n3 + B −∞ D C D C 2k − 2k k =1 n Câu 60 Tính giới hạn dãy số un = ∑ A +∞ B −∞ Câu 61 Tính giới hạn dãy số un = q + 2q... 56 Tính giới hạn dãy= số un A +∞ B −∞ Câu 57 Tính giới hạn dãy số un = A +∞ 1 : + + + 1+ +2 (n + 1) n + n n + C (n + 1) 13 + 23 + + n3 : 3n3 + n + B −∞ C B −∞ Câu 59 Tính giới hạn dãy số un =