1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ 15 HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 ⇔ lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 • Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim+ f ( x) , lim− f ( x) ) x → x0 x → x0 x → x0 B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) rút kết luận x → x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) = lim+ f ( x) f= (a ), lim− f ( x) f (b) x→a x →b • Hàm số đa thức liên tục R • Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 • Hàm số y = f ( x) liên tục x0 g(x0) ≠ g ( x) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c ∈ (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c∈ (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x) , M = max f ( x) Khi với T ∈ [ a ;b ] [ a ;b ] (m; M) tồn số c ∈ (a; b): f(c) = T Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Chủ đề 15 Hàm số liên tục Phương pháp: • Tìm giới hạn hàm số y = f ( x) x → x0 tính f ( x0 ) • Nếu tồn lim f ( x) ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) x → x0 x → x0 Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm lim− f ( x) = l ⇔ lim+ f ( x) = l lim f ( x) = x → x0 x → x0 x → x0 f ( x) x ≠ x0 x0 ⇔ lim f ( x) = k Hàm số y = liên tục x = x → x0 x = x0 k f1 ( x) x ≥ x0 Hàm số f ( x) = liên tục điểm x = x0 f x x x < ( ) f1 ( x) lim f ( x) f1 ( x0 ) lim = = − x → x0+ x → x0 Chú ý: f ( x) x ≠ x0 liên tục x = x0 • Hàm số y = k x x = lim f ( x) = k x → x0 f ( x) x > x0 liên tục x = x0 • Hàm số y = g ( x) x ≤ x0 lim f ( x) = lim− g ( x) x → x0+ x → x0 Câu Cho hàm số f ( x ) = x2 −1 f ( 2= ) m2 − với x ≠ Giá trị m để f ( x ) liên tục x +1 x = là: A B − x) Câu Cho hàm số f (= C ± D ±3 x − Chọn câu câu sau: (I) f ( x ) liên tục x = (II) f ( x ) gián đoạn x = (III) f ( x ) liên tục đoạn [ −2; 2] A Chỉ ( I ) ( III ) x2 + Câu Cho hàm số f ( x ) = x − x + b + C Chỉ ( II ) B Chỉ ( I ) x ≠ 3; x ≠ D Chỉ ( II ) ( III ) Tìm b để f ( x ) liên tục x = 3; b ∈ x= Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 A B − Câu Cho hàm số f ( x ) = ( I ) f ( x ) gián đoạn ( II ) f ( x ) liên tục f ( x) = ( III ) lim x →1 C Chủ đề 15 Hàm số liên tục D − x −1 Tìm khẳng định khẳng định sau: x −1 x = x = 1 A Chỉ ( I ) B Chỉ ( I ) C Chỉ ( I ) ( III ) D Chỉ ( II ) ( III ) 2x + − Câu Cho hàm số f ( x ) = x+2 0 x > −2 Tìm khẳng định khẳng định sau: x = −2 f ( x) = ( I ) xlim →−2 + ( II ) f ( x ) liên tục x = −2 ( III ) f ( x ) gián đoạn x = −2 A Chỉ ( I ) ( III ) B Chỉ ( I ) ( II ) − x2 Câu Cho hàm số f ( x ) = 1 ( I ) f ( x ) không xác định ( II ) f ( x ) liên tục C Chỉ ( I ) D Chỉ ( I ) −2≤ x ≤ Tìm khẳng định khẳng định sau: x>2 x = x = −2 f ( x) = ( III ) lim x→2 A Chỉ ( I ) B Chỉ ( I ) ( II ) C Chỉ ( I ) ( III ) D Cả ( I ) ; ( II ) ; ( III ) sai sin x Câu Cho hàm số f ( x ) = x a + A x≠0 Tìm a để f ( x ) liên tục x = x= B −1 C −2 D ( x + 1)2 , x > Câu 8.Cho hàm số f ( x ) = x + , x < Tìm k để f ( x ) gián đoạn x = k , x =1 A k ≠ ±2 B k ≠ Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C k ≠ −2 D k ≠ ±1 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục x −2 x ≠ Câu 9.Cho hàm số f ( x) = x − Khẳng định sau x = A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm tập xác định gián đoạn x = C Hàm số không liên tục x = D Tất sai x − 3x + + x > Câu 10 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau x −1 3 x + x − x ≤ A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục x = D Tất sai πx x ≤ cos Câu 11 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau x −1 x > A Hàm số liên tục tại x = x = −1 B Hàm số liên tục x = , không liên tục điểm x = −1 C Hàm số không liên tục tại x = x = −1 D Tất sai 2x +1 −1 liên tục điểm x = x( x + 1) Câu 12 Chọn giá trị f (0) để hàm số f ( x) = A B Câu 13 Chọn giá trị f (0) để hàm số f ( x) = A B C 3 D 2x + − liên tục điểm x = 3x + − C D x+ x+2 x > −1 Câu 14 Cho hàm số f ( x) = x + Khẳng định sau 2 x + x ≤ −1 A Hàm số liên tục tại x0 = −1 B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x0 = −1 D Tất sai x +1+ x −1 x ≠ Câu 15 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau x 2 x = Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 = C Hàm số không liên tục x0 = D Tất sai x −1 x ≠ − x Câu 16 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau 1 x = A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x = D Tất sai x2 − x − + x x > Câu 17 Cho hàm số f ( x) = x − x2 − x + x ≤ Khẳng định sau A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điẻm C Hàm số không liên tục x0 = D Tất sai x + 2a x < Câu 18 Tìm a để hàm số f ( x ) = liên tục x = x + x + x ≥ A B C D 4x +1 −1 x ≠ Câu 19 Tìm a để hàm số f ( x) = ax + (2a + 1) x liên tục x = 3 x = A B C − D 3x + − x > liên tục x = Câu 20.Tìm a để hàm số f ( x) = x − a x − ( 2) x ≤ x − A B Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C D Tổng ơn Tốn 11 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Chủ đề 15 Hàm số liên tục Phương pháp: + Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: ( I ) f ( x) = liên tục x2 −1 sin x có giới hạn x → x ( II ) f ( x ) = − x liên tục đoạn [ −3;3] ( III ) f ( x=) A Chỉ ( I ) ( II ) B Chỉ ( II ) ( III ) C Chỉ ( II ) D Chỉ ( III ) Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: x +1 liên tục với x ≠ x −1 ( I ) f ( x) = ( II ) f ( x ) = sin x ( III ) f ( x ) = x x liên tục liên tục x = A Chỉ ( I ) B Chỉ ( I ) ( II ) C Chỉ ( I ) ( III ) D Chỉ ( II ) ( III ) x2 − ,x≠ Câu Cho hàm số f ( x ) = x − Tìm khẳng định khẳng định sau: 2 ,x= ( I ) f ( x) liên tục x = ( II ) f ( x ) gián đoạn x = ( III ) f ( x ) liên tục A Chỉ ( I ) ( II ) B Chỉ ( II ) ( III ) C Chỉ ( I ) ( III ) D Cả ( I ) , ( II ) , ( III ) Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: f ( x) (I ) = x5 – x + liên tục ( II ) f ( x ) = ( III ) f ( x=) x2 −1 x − liên tục đoạn [ 2; +∞ ) A Chỉ ( I ) liên tục khoảng ( –1;1) B Chỉ ( I ) ( II ) C Chỉ ( II ) ( III ) D Chỉ ( I ) ( III ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục 3 − − x , 0< x x −1 Câu Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau 1− x + x ≤ x + A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục (1: +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = π tan x , x ≠ ∧ x ≠ + kπ , k ∈ Câu Cho hàm số f ( x ) = x Hàm số y = f ( x ) liên tục 0 ,x=0 khoảng sau đây? π A 0; 2 π B −∞; 4 π π C − ; 4 D ( −∞; +∞ ) a x , x ≤ 2, a ∈ f x = Câu 10 Cho hàm số ( ) Giá trị a để f ( x ) liên tục là: a x x − , > ) ( A B –1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C –1 D –2 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục x2 , x ≥1 2x Câu 11 Cho hàm số , ≤ x < Tìm khẳng định khẳng định sau: = f ( x) + x x sin x , x < A f ( x ) liên tục B f ( x ) liên tục \ {0} C f ( x ) liên tục \ {1} D f ( x ) liên tục \ {0;1} Câu 12 Cho hàm số f ( x) = x+2 Khẳng định sau x − x−6 A Hàm số liên tục B TXĐ= : D \ {3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2, x = C Hàm số liên tục x = −2, x = D Tất sai Câu 13 Cho hàm số f= ( x) x − Khẳng định sau A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục điểm x ∈ −∞; − ; +∞ ∪ 3 C TXĐ : D = −∞; ∪ ; +∞ 2 1 D Hàm số liên tục điểm x ∈ − ; 3 Câu 14 Cho hàm số = f ( x) 2sin x + tan x Khẳng định sau A Hàm số liên tục π π C TXĐ : D = \ + k , k ∈ 2 π B Hàm số liên tục điểm D Hàm số gián đoạn điểm π x =+ k , k ∈ x − 3x + x ≠ x −1 Câu 15 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau a x = A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục (1: +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = 2x +1 −1 x ≠ Câu 16 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau x x = A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục ( 0; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục 2 x + x ≤ Câu 17 Cho hàm số f ( x)= ( x − 1)3 < x < Khẳng định sau x − x ≥ A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục ( 2; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = 2 x + x + x ≤ Câu 18 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau x > 3 x − A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục ( 2; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = ±1 π sin x x ≤ Câu 19 Xác định a, b để hàm số f ( x ) = liên tục ax + b x > π 2 a = A π b = a = B π b = a = C π b = a = D π b = x3 − 3x + x x( x − 2) ≠ x( x − 2) Câu 20 Xác định a, b để= hàm số f ( x) = liên tục a x b x = a = 10 A b = −1 a = 11 B b = −1 a = C b = −1 a = 12 D b = −1 x − + 2x −1 x ≠ liên tục Câu 21 Tìm m để hàm số f ( x) = x −1 3m − x = A m = B m = C m = D m = x +1 −1 x > Câu 22 Tìm m để hàm số f ( x) = liên tục x 2 x + 3m + x ≤ A m = B m = − C m = D m = 2x − + x ≥ Câu 23 Tìm m để hàm số f ( x) = liên tục x +1 x < x − 2mx + 3m + A m = B m = − Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C m = D m = Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp : • Để chứng minh phương trình f ( x) = có nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f ( x) liên tục D có hai số a, b ∈ D cho f (a ) f (b) < • Để chứng minh phương trình f ( x) = có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f ( x) liên tục D tồn k khoảng rời (ai ; +1 ) (i=1,2,…,k) nằm D cho f (ai ) f (ai +1 ) < Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: I f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có nghiệm II f ( x ) khơng liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) ≥ phương trình f ( x ) = vơ nghiệm A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: D Cả I II sai ( I ) f ( x ) liên tục đoạn [ a; b] f ( a ) f ( b ) > tồn số c ∈ ( a; b ) cho f ( c ) = ( II ) f ( x ) liên tục đoạn ( a; b ] [b; c ) không liên tục ( a; c ) A Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) C Cả ( I ) ( II ) D Cả ( I ) ( II ) sai = Câu Cho hàm số f ( x ) x –1000 x + 0, 01 Phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng khoảng sau đây? I ( −1;0 ) II ( 0;1) III (1; ) A Chỉ I 10 B Chỉ I II C Chỉ II D Chỉ III Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục ( x − 1)( x − 2) lim f ( x) lim+ = = + 2 x →1+ x →1 x −1 lim− f ( x) = lim− ( x + x − 1) = ≠ lim+ f ( x) x →1 x →1 x →1 Hàm số không liên tục x = πx x ≤ cos Câu 11 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau x −1 x > A Hàm số liên tục tại x = x = −1 B Hàm số liên tục x = , không liên tục điểm x = −1 C Hàm số không liên tục tại x = x = −1 D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn B Hàm số liên tục x = , không liên tục điểm x = −1 2x +1 −1 liên tục điểm x = x( x + 1) Câu 12 Chọn giá trị f (0) để hàm số f ( x) = A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A 2x +1 −1 2x Ta = có : lim f ( x) lim = lim = x →0 x →0 x →0 x( x + 1) x( x + 1) x + + ( ) Vậy ta chọn f (0) = Câu 13 Chọn giá trị f (0) để hàm số f ( x) = A 2x + − liên tục điểm x = 3x + − B C D Hướng dẫn giải: Chọn C ( ) 3x + + 2 = Ta có : lim f ( x) lim x →0 x →0 3 (2 x + 8) + x + + ( Vậy ta chọn f (0) = ) x+ x+2 x > −1 Câu 14 Cho hàm số f ( x) = x + Khẳng định sau 2 x + x ≤ −1 A Hàm số liên tục tại x0 = −1 B Hàm số liên tục điểm Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 15 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục C Hàm số không liên tục tại x0 = −1 D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C f ( x) Ta có: f (−1) = lim− = x →−1 = lim+ f ( x) x →−1 lim x →−1+ x+ x+2 = lim + x →−1 x +1 lim ( x= + 3) x →−1− lim+ x →−1 x2 − x − ( x + 1)( x − x + 2) x−2 = x− x+2 Suy lim+ f ( x) ≠ lim− f ( x) x →−1 x →−1 Vậy hàm số không liên tục x0 = −1 x +1 + x −1 x ≠ Câu 15 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau x 2 x = A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 = C Hàm số không liên tục x0 = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: f (0) = lim = f ( x) lim x →0 x →0 1+ x −1 x +1+ x −1 = lim 1 + x →0 x x = lim 1 + 2= f (0) = x →0 − x −1 + x −1 Vậy hàm số liên tục x = x −1 x ≠ x − Câu 16 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau 1 x = A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C 16 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Ta có : lim f ( x)= lim x →1 x→4 x −1 1 = lim = = f (1) x → x −1 x + x +1 Chủ đề 15 Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm x = x2 − x − + x x > Câu 17 Cho hàm số f ( x) = x − x2 − x + x ≤ Khẳng định sau A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điẻm C Hàm số không liên tục x0 = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C ( x + 1)( x − 2) Ta có= : lim+ f ( x) lim+ = + 2x x→2 x→2 x−2 lim f ( x) = lim− ( x − x + 3) = ≠ lim+ f ( x) x → 2− x→2 x→2 Hàm số không liên tục x0 = x + 2a x < Câu 18 Tìm a để hàm số f ( x ) = liên tục x = x + x + x ≥ A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A + 1) ( x) lim+ ( x + x= Ta có : lim+ f= x →0 x →0 lim f ( x)= lim− ( x + 2a )= 2a x → 0− x →0 Suy hàm số liên tục x = ⇔ a = 4x +1 −1 x ≠ Câu 19 Tìm a để hàm số f ( x) = ax + (2a + 1) x liên tục x = 3 x = Hướng dẫn giải: A B C − D Chọn C Ta có : lim f ( x) = lim x →0 x →0 4x +1 −1 x ( ax + 2a + 1) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 17 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục lim = x →0 ( ax + 2a + 1) x + + 2a + ( Hàm số liên tục x = 0⇔ ) 3⇔ a = = − 2a + 3x + − x > Câu 20.Tìm a để hàm số f ( x) = x − liên tục x = a x − ( 2) x ≤ x − Hướng dẫn giải: A B C D Chọn C 3x + − Ta= có : lim+ f ( x) lim = x →1 x →1+ x2 −1 a ( x − 2) a lim f ( x) lim = = x →1− x →1− x −3 Suy hàm số liên tục x =1 ⇔ 18 a 3 = ⇒a= Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Chủ đề 15 Hàm số liên tục Phương pháp: + Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dạng nhiều công thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: ( I ) f ( x) = ( II ) f ( x ) = liên tục x2 −1 sin x có giới hạn x → x − x liên tục đoạn [ −3;3] ( III ) f ( x=) B Chỉ ( II ) ( III ) A Chỉ ( I ) ( II ) C Chỉ ( II ) D Chỉ ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn B Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) lí thuyết Hàm số: f ( x= ) − x liên tục khoảng ( −3;3) Liên tục phải liên tục trái −3 − x liên tục đoạn [ −3;3] Nên f ( x= ) Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: ( I ) f ( x) = x +1 liên tục với x ≠ x −1 ( II ) f ( x ) = sin x ( III ) f ( x ) = liên tục x liên tục x = x B Chỉ ( I ) ( II ) A Chỉ ( I ) C Chỉ ( I ) ( III ) D Chỉ ( II ) ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có ( II ) hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định Ta có ( III ) f ( x= ) x , x ≥ x x = x x − , x < x Khi lim+ f = ( x ) lim− f = ( x ) f= (1) x →1 x →1 Vậy hàm số = y f= ( x) x liên tục x = x Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 19 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục x2 − ,x≠ Câu Cho hàm số f ( x ) = x − Tìm khẳng định khẳng định sau: 2 ,x= ( I ) f ( x) liên tục x = ( II ) f ( x ) gián đoạn x = ( III ) f ( x ) liên tục A Chỉ ( I ) ( II ) B Chỉ ( II ) ( III ) C Chỉ ( I ) ( III ) D Cả ( I ) , ( II ) , ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn C Với x ≠ ta có hàm số f ( x ) = Với x = ta có f ( ) ( x2 − liên tục khoảng −∞; x− ( ) x2 − 3 = lim f = = 2= f ( x ) xlim x→ → x− ) 3; +∞ , (1) ( ) nên hàm số liên tục x = , ( 2) Từ (1) ( ) ta có hàm số liên tục Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: f ( x) (I ) = x5 – x + liên tục ( II ) f ( x ) = ( III ) f ( x=) x2 −1 liên tục khoảng ( –1;1) x − liên tục đoạn [ 2; +∞ ) A Chỉ ( I ) B Chỉ ( I ) ( II ) C Chỉ ( II ) ( III ) D Chỉ ( I ) ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có ( I ) f ( x ) = x − x + hàm đa thức nên liên tục Ta có ( III ) f ( x= ) x − liên tục ( 2; +∞ ) lim+ f= ( x ) f= ( ) nên hàm số liên tục x→2 [ 2; +∞ ) 3 − − x , 0< x ⇒ f ( x) = − x ⇒ hàm số liên tục • Với x < ⇒ = f ( x) • Tại x = ta có : f (2) = x) lim+ ( − = x) ; lim f (= x → 2+ x→2 lim− f ( x) = lim− x→2 x→2 ( x − 2)( x − 3) = − ≠ lim f ( x) 2( x − 2)( x + x + 4) 24 x →2+ Hàm số không liên tục x = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 21 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục x −1 x > x −1 Câu Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau 1− x + x ≤ x + A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục (1: +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn A Hàm số xác định với x thuộc 1− x + ⇒ hàm số liên tục x+2 • Với x < ⇒ = f ( x) • Với x > ⇒ f= ( x) x −1 ⇒ hàm số liên tục x −1 • Tại x = ta có : f (1) = 3 ( x − 1)( x + 1) x −1 lim+ f ( x) lim lim+ = = = ; + x →1 x →1 x − x →1 ( x − 1)( x + x + 1) lim− f ( x)= lim− x→2 x →1 1− x + 2 = = lim+ f ( x)= f (1) x+2 x →1 Hàm số liên tục x = Vậy hàm số liên tục π tan x , x ≠ ∧ x ≠ + kπ , k ∈ Câu Cho hàm số f ( x ) = x Hàm số y = f ( x ) liên tục 0 ,x=0 khoảng sau đây? π A 0; 2 π B −∞; 4 π π C − ; 4 D ( −∞; +∞ ) Hướng dẫn giải: Chọn A π TXĐ: D = \ + kπ , k ∈ 2 Với x = ta có f ( ) = sin x tan x lim = lim = hay lim f ( x ) ≠ f ( ) x →0 x →0 x →0 x x →0 cos x x lim f ( x ) = lim x →0 Vậy hàm số gián đoạn x = a x , x ≤ 2, a ∈ Câu 10 Cho hàm số f ( x ) = Giá trị a để f ( x ) liên tục là: ( − a ) x , x > 22 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 A Hướng dẫn giải: Chọn D TXĐ: D = B –1 C –1 Với x > ta có hàm số f ( x ) = a x liên tục khoảng Với x < ta có hàm số f ( x= ) Với x = ta có f ( − a ) x2 ( D –2 ) 2; +∞ ( ) liên tục khoảng −∞; ( ) = 2a lim+ f ( x ) = lim+ ( − a ) x =2 ( − a ) ; lim = f ( x) − x→ Chủ đề 15 Hàm số liên tục x→ x→ lim = a x 2a − x→ Để hàm số liên tục x = ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f x→ x→ ( ) ⇔ 2a = ( − a ) ⇔ a2 + a − = a = ⇔ a = −2 Vậy a = a = −2 hàm số liên tục x2 , x ≥1 2x = f ( x) , ≤ x < Tìm khẳng định khẳng định sau: Câu 11 Cho hàm số + x x sin x , x < A f ( x ) liên tục B f ( x ) liên tục \ {0} C f ( x ) liên tục \ {1} D f ( x ) liên tục \ {0;1} Hướng dẫn giải: Chọn A TXĐ: TXĐ: D = Với x > ta có hàm số f ( x ) = x liên tục khoảng (1; +∞ ) (1) Với < x < ta có hàm số f ( x ) = x3 liên tục khoảng ( 0;1) ( ) 1+ x Với x < ta có f ( x ) = x sin x liên tục khoảng ( −∞;0 ) ( 3) x3 = f ( x ) lim x Với x = ta có f (1) = ; lim+ = ; lim = f x lim = ( ) x →1 x →1+ x →1− x →1− + x Suy lim f ( x )= 1= f (1) x →1 Vậy hàm số liên tục x = sin x x3 = lim− ( x.sin x ) lim Với x = ta có f ( ) = ; lim = x lim− f x = lim = ; lim− f ( x )= ( ) x → 0+ − x → x → 0 x → x → x → 0+ x 1+ x suy lim f ( x )= 0= f ( ) x →0 Vậy hàm số liên tục x = ( ) Từ (1) , ( ) , ( 3) ( ) suy hàm số liên tục Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 23 Tổng ơn Tốn 11 Câu 12 Cho hàm số f ( x) = Chủ đề 15 Hàm số liên tục x+2 Khẳng định sau x − x−6 A Hàm số liên tục B TXĐ= : D \ {3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2, x = C Hàm số liên tục x = −2, x = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn B TXĐ= : D \ {3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2, x = Câu 13 Cho hàm số f= ( x) x − Khẳng định sau A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục điểm x ∈ −∞; − ; +∞ ∪ 3 C TXĐ : D = −∞; ∪ ; +∞ 2 1 D Hàm số liên tục điểm x ∈ − ; 3 Hướng dẫn giải: Chọn B TXĐ : D = −∞; − ∪ ; +∞ 3 Ta có hàm số liên tục điểm x ∈ −∞; − ; +∞ ∪ 3 lim x → − 3 − f ( x) = f − 0= ⇒ hàm số liên tục trái x = − 3 ⇒ hàm số liên tục phải x = lim + f ( x)= 0= f 3 x → 3 1 Hàm số gián đoạn điểm x ∈ − ; 3 Câu 14 Cho hàm số = f ( x) 2sin x + tan x Khẳng định sau A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục điểm π π C TXĐ : D = \ + k , k ∈ 2 D Hàm số gián đoạn điểm π π x =+ k , k ∈ Hướng dẫn giải: Chọn D 24 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục π π TXĐ : D = \ + k , k ∈ 4 Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm π π x =+ k , k ∈ x − 3x + x ≠ x −1 Câu 15 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau a x = A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục (1: +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = 2x +1 −1 x ≠ Câu 16 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau x x = A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục ( 0; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = 2 x + x ≤ Câu 17 Cho hàm số f ( x)= ( x − 1)3 < x < Khẳng định sau x − x ≥ A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục ( 2; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = 2 x + x + x ≤ Câu 18 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau x x − > A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục ( 2; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = ±1 Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số liên tục điểm x ≠ ±1 gián đoạn x = ±1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 25 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục π sin x x ≤ Câu 19 Xác định a, b để hàm số f ( x ) = liên tục ax + b x > π 2 a = B π b = 2 a = A π b = 1 a = C π b = a = D π b = Hướng dẫn giải: Chọn D π a + b = a = ⇔ Hàm số liên tục ⇔ π − π a + b =−1 b = x3 − 3x + x x( x − 2) ≠ x( x − 2) a x hàm số f ( x) = liên tục Câu 20 Xác định a, b để= b x = a = 10 A b = −1 a = 11 B b = −1 a = C b = −1 a = 12 D b = −1 Hướng dẫn giải: Chọn C a = Hàm số liên tục ⇔ b = −1 x − + 2x −1 x ≠ liên tục Câu 21 Tìm m để hàm số f ( x) = x −1 3m − x = A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải: Chọn B Với x ≠ ta có f ( x) = x − + 2x −1 nên hàm số liên tục khoảng \ {1} x −1 Do hàm số liên tục hàm số liên tục x = Ta có: f (1) = 3m − lim f ( x) = lim x →1 26 x →1 x − + 2x −1 x −1 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 x3 + x − = lim + x →1 2 3 ( x − 1) x − x x − + ( x − 2) ( x2 + x + lim 1 + = x →1 x − x x − + ( x − 2) ) = Nên hàm số liên tục x =1 ⇔ 3m − = ⇔ m = Vậy m = Chủ đề 15 Hàm số liên tục 4 giá trị cần tìm x +1 −1 x > Câu 22 Tìm m để hàm số f ( x) = liên tục x 2 x + 3m + x ≤ A m = B m = − C m = D m = Hướng dẫn giải: Chọn B • Với x > ta có f ( x) = x +1 −1 nên hàm số liên tục ( 0; +∞ ) x • Với x < ta có f ( x) = x + 3m + nên hàm số liên tục (−∞;0) Do hàm số liên tục hàm số liên tục x = Ta có: f (0) = 3m + 1 x +1 −1 lim f ( x) lim = = lim = + x → 0+ x → 0+ x → x x +1 +1 lim− f ( x) = lim− ( x + 3m + 1) = 3m + x →0 x →0 1 Do hàm số liên tục x =0 ⇔ 3m + = ⇔ m =− Vậy m = − hàm số liên tục 2x − + x ≥ liên tục Câu 23 Tìm m để hàm số f ( x) = x +1 x < x − 2mx + 3m + A m = B m = − C m = D m = Hướng dẫn giải: Chọn C Với x > ta có hàm số liên tục Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục khoảng ( −∞; ) liên tục x = • Hàm số liên tục ( −∞; ) tam thức Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 27 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 15 Hàm số liên tục g ( x) = x − 2mx + 3m + ≠ 0, ∀x ≤ ∆=' m − 3m − ≤ − 17 + 17 ⇔ ≤m≤ TH 1: 2 g (2) =−m + ≠ m − 3m − > ∆=' m − 3m − > TH 2: ⇔ m > ∆ ' < (m − 2) x1 = m − ∆ ' > + 17 + 17 m > ⇔ ⇔ , ( ) Từ (1) ( ) ta chưa thể kết luận nghiệm phương trình f ( x ) = khoảng (1; ) Tài liệu thuộc Series Tổng ơn Tốn 11 DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS 1Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Được nhận tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP bit.ly/vipkys Contact us: Hotline: 099.75.76.756 Admin: fb.com/khactridg Email: tailieukys@gmail.com Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 29 ... Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm x = x2 − x − + x x > Câu 17 Cho hàm số f ( x) = x − x2 − x + x ≤ Khẳng định sau A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điẻm C Hàm số không liên. .. x + A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục (1: +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn A Hàm số xác định với x thuộc 1− x + ⇒ hàm số liên tục x+2... Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau x x = A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục ( 0; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số liên tục