Định lý lagrange và ứng dụng trong giải toán phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng L ThS ! năm 2011 Sinh viên Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng : năm 2011 Sinh viên p Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương CƠ CỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định lý Lagrange 1.2 Các định nghĩa định lý mở rộng Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE 2.1 Ứng dụng định lý Lagrange hệ toán chứng minh bất đẳng thức 2.2 Ứng dụng định lý Lagrange toán giải phương trình, giải bất phương trình 23 2.3.Ứng dụng định lý Lagrange toán chứng minh tồn nghiệm phương trình 39 2.4 Ứng dụng định lý Lagrange toán tìm giới hạn dãy số 48 2.5 Ứng dụng định lý Lagrange toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 54 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng Phùng Đức Thắng, : tr : Hoàng Ngọc Điệp HPT K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng - Đ : Chương 1: Trong Chương 2: thông : 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 : - - - Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng Chương 1.1 1.1.1 y (a; b) Ta gọi h f ( x) x x x0 ) x Khi h y y y0 f ( x x0 ) f ( x0 ) x0 ( xo (a; b) ) 1.1 y lim x x0 f ( x) (a; b) y ( x lim x x0 xo (a; b) f x f x0 ) x x0 x0 , x0 f '( x0 ) hay y '( x0 ) : f '( x0 ) lim x y hay f '( x0 ) x lim x x0 f x f x0 x x0 1.2 y f ( x) f ' x0 lim y f ( x) x x0 f ' x0 x0 , f ' x0 y x 1.3 Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng f ' x0 y x lim x 1.4 y f ( x) (a; b) 1.5 y f ( x) a; b n a b 1.1.2 1.1 y f ( x) (a; b) (a; b) lim x x0 y 1.2 y f ( x) x0 1.3 ( x0 ) y f ( x) a; b (a; b) (a; b) cho f (b) f (a) f '(c)(b a) 1.1.3 1.3.1 ( f ( x) f (a) f (b) Hoàng Ngọc Điệp ) a; b (a; b) (a; b) cho f '(c) K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng f ( x) f '( x) Lagrange: ( a, b) , a; b , (a; b) cho: f (b) f (a) f b f a b a f' c f (b) nên f (a) f (a) f '(c)(b a) f (b) f '(c) ( đpcm) 1.3.2 f ( x) f '( x) , (a; b) x a; b c f ( x) k x (a; b) k ) a; b Ta f ( x0 ) x0 , y0 a; b x0 y0 f ( y0 ) y0 suy xo ; y0 x0 xo ; y0 , f' c f '( x) , x (a; b) f ( y0 ) Suy f ( x) k ( k - Hoàng Ngọc Điệp f y0 y0 f ( x0 ) f ( x) a; b c x0 ; y0 f x0 x0 f '(c) Do f ( y0 ) f ( x0 ) ) (đpcm) K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng 1.3.3 f ( x) a; b f '( x) (a; b) n f ( x) (a; b) n a; b f ( x) n f ( x) a; b n a; b n (i 1, n 2) xi ; xi xi x1 x2 xn a; b (i 1, n 1) yi f ' yi 1.3.2 a; b cho ( xi ; xi ) f xi xi f xi xi f '( x) ng a; b , a; b V f ( x) a; b (đpcm) n 1.2 ( ) f :X f ( x) Định lí ( X Y f ( y) c cx y, ) ¡ tập đóng f : X d x, y 0;1 cho: X X ,t X cho f(x) = x f ( x) , c Hoàng Ngọc Điệp , y cho f ( x) f ( y) f '(c) x y K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng f '( x) f ( x) c R 1.4: Cho f: a; b cho f x a; b c x a; b xn x1 a, b xn x* xn x* xn ) xn cho: xn n f xn f xn c xn xn f' n xn c n x2 x1 xn : m Z xn m xn xn cn c ( xn ) x* f ( x n ), n 1 f ( x* ) x* n : lim xn n m n xn m x2 x1 cm x2 c ¡ xn xn m cn m m x2 xn m x1 n x1 xn x n c n x2 ( xn ) f ( xn ) lim xn lim f ( xn ) x* x1 f (lim xn ) f ( x* ) (đpcm) a; b Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp c1 c2 ThS.Phùng Đức Thắng f ( x) c3 (a; b) f(x) (a; b) c f ( x) lim h f (c h ) f (c h ) f (c ) h2 f (c ) c f ( x) f(x) , xh (c h; c), yh (c; c h) h f (c h) h f ( xh ) , f (c) f (c) h f ( yh ) f (c h) f (c h ) f (c h ) f (c ) h2 yh c f ( yh ) f ( c ) h yh c c xh h c h lim h f ( yh ) f ( c ) yh c 1; f (c ) yh 1; yh xh c xh h f (c ) f ( xh ) f (c ) f (c ) f (c) f ( xh ) c xh yh f ( yh ) h f (c ) lim h xh h f (c ) h f (c) f ( xh ) c xh f (c) f (c) g ( x) Hoàng Ngọc Điệp f ( x) f (c) f (c)( x c) K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng k1, k2 x2 cho 0, x1, x2 : x1 k1 f ( x1 ) k1 k2 (k1 hay k2 f ( x2 ) k1 k2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) k1 k1 k2 k1 k2 k2 k2 ) f ( x2 ) (k1 1, f ( x2 ) (*) (0;1) c (0;1) x1 (0; c) : f ( x1 ) f (c) f (0) c x2 f (1) f (c) c (c;1) : f ( x2 ) c f (c ) (1 f (c ) , c f (c ) c )(1 c) 1 f (c ) f (c ) c f(x) (0;1) : Cho f(x) f (a) Hoàng Ngọc Điệp (0; a) cho 0;a c (0; a) f (c ) f (c) c c K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp g ( x) ThS.Phùng Đức Thắng xf ( x)e x 0;a , g (0) g (a) , g(x) (0; a) c (0; a) : g (c) g ( x) e x ( xf ( x) f ( x) xf ( x)) nên g (c) cf (c) f (c ) f (c) cf (c) c f (c ) c nh 5x4 c 40 x3 105 x 100 x 24 Cho f ( x) an xn an 1xn a1x a0 an n an n a1 a0 f(x) = (0;1) a 3b 15 2(2 x b) x a a 3b 27 2(6 x b) x a Hoàng Ngọc Điệp a b K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng a x b x x2 a b 3(5c d ) a x b x 2(2cx d ) x(5 x) 2.4 Ứng dụng định lý Lagrange toán tìm giới hạn dãy số chương xn x1 xn R (n N ) a f ( xn ) (n N , n 1) f(x) t0 g (t ) t ; t0 ; g (t ) t ) an t0 f (an ) f (t0 ) f (cn ) an t0 ( cn an t0 ) an t0 thông qua f (cn ) 2002) u1 un un Hoàng Ngọc Điệp un a R 1 ln(1 un2 ) 2002, n K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ln(1 x ) 2002 f ( x) 1: f ( x) ThS.Phùng Đức Thắng x x2 x x2 f ( x) , x R un u1 un a f (un ) 2: f ( x) ln(1 x ) 2002 f ( x) x x2 R R x x2 , (1 x ) x f ( x) g ( x) x 2002 g ( x) x2 x 0, x2 x R f ( x) g(x) x R, 2002 ln(1 20022 ) g (0).g ( 2002) f(x)=x c R : un L suy T un Cho n Hoàng Ngọc Điệp L un f (un ) u1 L , L f ( L) f (c) un L, n n u1 L , n lim un L (đpcm) K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng x1 Ví dụ xn xn xn2 xn xn 2x ( 1;0) f ( x) xn x2 f ( x) f ( x) xn2 1, x , x xn f ( xn ) 1;0 xn g ( x) x2 x f ( x) x g ( x) D (0;1) g(x) 2x 0, x ( 1;0) ( 1;0) N g(x)=0 ( 1;0) f(x)=x xn f ( x) x x2 x x 3x x1 x2 Hoàng Ngọc Điệp 13 13 K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp Với giá trị x1 Với giá trị x2 lim xn ThS.Phùng Đức Thắng 13 không thỏa mãn điều kiện ( loại ) 13 thỏa mãn điều kiện ( nhận ) 2 13 un a lim un un un un un 2un 1; n un un un 30 - 4) un u1 1; u2 n un un 2 f ( x) un 2un un 2un un un 1 , 2 f (vn ) 1 x2 x2 f ( x) 2un un 1 ( x 2) x f ( x) Hoàng Ngọc Điệp un 2 un a x a f(a)= a K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng a2 Với giá trị a a a 2 không thỏa mãn điều kiện ( loại ) Với giá trị a lim 2a thỏa mãn điều kiện ( nhận ) un 1 un Cho f ( x) ex ( x 1) u0 un un f (un ), n k (0;1) cho un ex ( x 1)2 f ( x) ( k un 0, x f(x) = x) un 1, f ( x) ex ( x 1)2 0, x un u0 1 f (un ) n (0;1) ; f(x) (0;1) f ( x) e x ( x 1) ; f ( x) ( x 1)3 e x ( x 2 x 3) ( x 1)4 f (0) f ( x) e x ( x 1) ( x 1)3 un Hoàng Ngọc Điệp 0, f ( x) f ( x) 1, 0, f (1), x (0;1) x (0;1) x (0;1) f( )= K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng c (0;1) cho un Do f (c) 0;1 cho k k un a1 an f (c) an , n 1 an an a1 an v ta 2, an n N* f ( x) x liên f ( x) 2 x f ( x) (đpcm) k un an f (c) un 1 2 , 0; 0, x x 0; an f (an ) , an f( ) = a a a a2 a2 a a a Với giá trị a thỏa mãn điều kiện (nhận) Với giá trị a lim an không thỏa mãn điều kiện (loại) Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng x1 xn xn (n 1) 3xn xn 2 Cho c u1 un un c un (n 1) un 2.5 Ứng dụng định lý Lagrange toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x) g (t ) t (2t 3) 0; x 4t 2x 4x x 0;1 0;1 g (t ) (4t 3)(4t 5) 4(2t 3t ) (4t 5)2 g (t ) (16t 20)(4t 5)2 8(4t 5)(8t (4t 5)4 220 (4t 5)3 Hoàng Ngọc Điệp t 0; x , x 8t 20t 15 , (4t 5)2 20t 15) 0;1 K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng g (t ) g (t ) f ( x) f (0) , x t 0; x 0; x cho g ( x) g (0) c x , g (c ) x(2 x 3) 4x g (c ) x 2x 4x x , g (c)( x 0) x, x 0;1 0;1 0;1 , f ( x) x 0; n 0;1 Cho n N * f ( x) e g (t ) et x t ,t n n g (t ) et c 0, ex Khi x t 0; x , x 0; x cho g ( x) g (0) g ( x) 0; x , x Ta có g (c)( x 0) xg ( x) 0, x n 0, xg (c) x x g (0) , g ( x) e x Hoàng Ngọc Điệp x n 0, x K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng ex suy f ( x) e x x n x , n x 0, max f ( x) x ex x , n 0; x 0, a) f x 5x 0;2 , 10 x b) f x x 0;1 2x Hoàng Ngọc Điệp ) n N* K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng chương: ThS Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp ThS.Phùng Đức Thắng Tô Văn Ban, - , 2004 , ) , 2004 , , 2004 , 2000 , , 2002 Ngu , , 2000 , Ngô Xuân Sơn, , 1981 Hoàng Ngọc Điệp K33 cử nhân toán Khóa luận tốt nghiệp Hoàng Ngọc Điệp ThS.Phùng Đức Thắng K33 cử nhân toán [...]...Khúa lun tt nghip ThS.Phựng c Thng Chng2 2.1 ng dng ca nh lý Lagrange v h qu trong bi toỏn chng minh bt ng thc B f x (f x a; b (a; b) ) m f a f b a b c (a; b) sao cho f ' c M f b f a b a : m f (c) M 2.1.2 : 1 Cho 0 a b 1 b a b tg a tg b b a a (1) 0 a b 1 1 cos 2 a... B C cos cos 2 2 2 12 a) a b b) a Bi b 1 c b c 13 Hong Ngc ip c 1 ab a 1 1 bc a b c, 1 ca 1 a b, a, b R* K33 c nhõn toỏn Khúa lun tt nghip ThS.Phựng c Thng ab a b ln a ln b a b 2 2.2 ng dng nh lý Lagrange trong bi toỏn gii phng trỡnh, gii bt phng trỡnh 2.2.1 Gii phng trỡnh 2.2.1.1 : 1: 0 F (a) 2: F (t ) a; b F (b) F (a ) b a a; b sao cho F ( ) 3: 4: F (b) 0 (*) x0 2.2.1.2 1 3x 3x 1 3x Do Hong... x 2 n Hong Ngc ip x 1 2 ne 1 e K33 c nhõn toỏn Khúa lun tt nghip ThS.Phựng c Thng : 2n 1 x x 2n 2n 2nx 2nx 2n 1 2n 2nx { x.x x 2n 2n 2n 1 2n 1 2n 2n 1 2n 1 1 e 2n ln 2n 1 ln 2n 1 2n 1 f ( x) ln x c Lagrange luụn 2n 1 2n 1 ln ln 2n 2n 1 e 1 2n 1 (2) 2n;2n 1 2n;2n 1 sao cho f c 0 2n c 2n 1 ln 2n 1 2n 1 1 c ln 2n 1 1 c 1 2n 1 ln 2n 2n ln 2n ln(2n 1) ln 2n 1 2n 1 minh 8 a; b f(x) f (a) f (b) 0 max ... nh lý Lagrange 1.2 Cỏc nh ngha v nh lý m rng Chng NG DNG CA NH Lí LAGRANGE 2.1 ng dng ca nh lý Lagrange v h qu bi toỏn chng minh bt ng thc 2.2 ng dng nh lý Lagrange. .. 23 2.3.ng dng ca nh lý Lagrange bi toỏn chng minh s tn ti nghim ca phng trỡnh 39 2.4 ng dng nh lý Lagrange bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s 48 2.5 ng dng nh lý Lagrange bi toỏn tỡm giỏ... (pcm) a; b Hong Ngc ip K33 c nhõn toỏn Khúa lun tt nghip ThS.Phựng c Thng Chng2 2.1 ng dng ca nh lý Lagrange v h qu bi toỏn chng minh bt ng thc B f x (f x a; b (a; b) ) m f a f b a b c (a; b) cho