Định lý burnside và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ HỒNG THÚY ĐỊNH LÍ BURNSIDE VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Đại số HÀ NỘI – 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ HỒNG THÚY ĐỊNH LÍ BURNSIDE VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Đại số NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI 2019 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày khóa luận mình, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Đỗ Văn Kiên – Giảng viên Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng cho tơi suốt q trình làm khóa luận để tơi có kết ngày hơm Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thúy Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo ThS Đỗ Văn Kiên Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài "Định lý Burnside ứng dụng" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thúy Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU 1 Nhóm nhóm hữu hạn 1.1 Nhóm 1.2 Nhóm hữu hạn Tác động nhóm lên tập hợp Định lý Burnside ứng dụng 27 3.1 Định lý Burnside ứng dụng 27 3.2 Những ví dụ thơng dụng 38 KẾT LUẬN 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Lý thuyết nhóm lĩnh vực đặc biệt quan trọng nhiều lĩnh vực toán học đại số Luận văn chủ yếu nghiên cứu nhóm hữu hạn, tác động nhóm lên tập hợp Mục đích đề tài đưa cách chứng minh định lý Burnside dựa vào tác động nhóm lên tập hợp tìm hiểu ứng dụng Định lý nhiều lĩnh vực khác Lịch sử nghiên cứu vấn đề: Định lý Burnside giới thiệu chứng minh William Burnside (1904), ơng sử dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Một số trường hợp đặc biệt Định lý trước chứng minh Burnside, Jordan Frobenius Trong cơng trình John Thompson định lý N-nhóm ẩn chứng minh định lý Burnside mà không sử dụng lý thuyết biểu diễn Chứng minh Goldschmidt (1970) thực cách rõ ràng cho nhóm cấp lẻ Bender (1972) cho nhóm cấp chẵn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Đối tượng đề tài nhóm hữu hạn tác động nhóm lên tập hợp Tìm hiểu ứng dụng định lý Burnside toán sơ cấp nói chung Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu tài liệu có liên quan đến đề tài Tổng hợp, phân tích đánh giá, phát triển giải vấn đề Chương Nhóm nhóm hữu hạn Chương trình bày kiến thức nhóm nhóm hữu hạn đại số trừu tượng 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa nhóm) Một nhóm G tập hợp với phép tốn hai ngơi ”.” thỏa mãn tiên đề sau: i) (ab)c = a(bc) với a, b, c thuộc G; ii) Tồn e thuộc G cho xe = ex = x với x thuộc G; iii) Với x thuộc G, tồn x thuộc G cho xx = x x = e Mệnh đề 1.1 Giả sử G nhóm Khi i) Phần tử e điều kiện ii) Định nghĩa 1.1 gọi phần tử trung lập G ii) Với x thuộc G phần tử x điều kiện iii) Định nghĩa 1.1 gọi nghịch đảo x Chứng minh i) Giả sử e1 , e2 phần tử trung lập G Khi e1 = e1 e2 ( e2 trung lập) = e2 ( e1 trung lập) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy ii) Giả sử x1 , x2 phần tử nghịch đảo x Ta có x1 = x1 e = x1 (x.x2 ) (do x2 nghịch đảo x) = (x1 x).x2 (do tính kết hợp ) = e.x2 = x2 Phần tử nghịch đảo x x thường kí hiệu x−1 phép nhân ”.” −x phép cộng ” + ” Mệnh đề 1.2 (Luật giản ước) Giả sử G nhóm Khi a, b, c thuộc G, ac = bc kéo theo a = b ca = cb kéo theo a = b Chứng minh Giả sử ac = bc Nhân hai vế với c−1 từ bên phải, ta có a = a(c.c−1 ) = (ac)c−1 = (bc)c−1 = b(c.c−1 ) = b Định nghĩa 1.2 (Đồng cấu nhóm) Giả sử G G nhóm Một ánh xạ ϕ : G → G gọi đồng cấu nhóm ϕ(xy) = ϕ(x).ϕ(y)∀x, y ∈ G Định nghĩa 1.3 i) Một đồng cấu nhóm đồng thời đơn ánh gọi đơn cấu nhóm, hay phép nhúng nhóm ii) Một đồng cấu nhóm tồn ánh gọi tồn cấu nhóm iii) Một đồng cấu nhóm đồng thời song ánh gọi đẳng cấu nhóm Mệnh đề 1.3 Giả sử ϕ : G → G đồng cấu nhóm Khi đó: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy i) ϕ chuyển đơn vị G thành đơn vị G , tức ϕ(e) = e ii) ϕ chuyển nghịch đảo phần tử x ∈ G thành nghịch đảo ϕ(x) ∈ G , tức ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 Chứng minh i) Vì e.e = e ϕ đồng cấu nhóm, nên ϕ(e.e) = ϕ(e).ϕ(e) = ϕ(e).e Theo luật giản ước, hệ thức kéo theo ϕ(e) = e ii) Tác động đồng cấu ϕ vào vế hệ thức x.x−1 = x−1 x = e, ta ϕ(x).ϕ(x−1 ) = ϕ(x−1 ).ϕ(x) = ϕ(e) = e Từ ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 Định nghĩa 1.4 (Nhóm con) Giả sử G nhóm Một tập khơng rỗng S ⊆ G gọi nhóm G S khép kín phép tốn G (tức xy ∈ S, ∀x, y ∈ S) khép kín phép lấy nghịch đảo G (tức x−1 ∈ S, ∀x ∈ S) Định nghĩa 1.5 (Nhóm chuẩn tắc) Một nhóm A nhóm G gọi chuẩn tắc x−1 ax ∈ A với a ∈ A x ∈ G Định nghĩa 1.6 Giả sử S nhóm nhóm G Với a ∈ G, tập hợp aS = {as : s ∈ S} Sa = {sa : s ∈ S} gọi tương ứng lớp kề trái lớp kề phải S a Mệnh đề 1.4 Hai lớp kề trái S trùng khơng có phần tử chung Các lớp kề phải Như thế, nhóm G phân hoạch thành hợp rời lớp kề trái (tương ứng, lớp kề phải) Chứng minh Giả sử Sa Sb có chung phần tử c (a, b, c ∈ G), tức c = s1 a = s2 b, s1 , s2 ∈ S Với s ∈ S ta có −1 sa = ss−1 s1 a = ss1 s2 b ∈ Sb Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Vì Sa ⊆ Sb Chứng minh hồn tồn tương ta có Sb ⊆ Sa Kết Sa = Sb Đối với lớp kề trái, chứng minh tiến hành tương tự Định nghĩa 1.7 Giả sử U tập nhóm X Nhóm A bé X chứa U gọi nhóm sinh U Kí hiệu U Định nghĩa 1.8 Một nhóm X gọi xyclic X sinh phần tử a ∈ X, tức X = a Phần tử a gọi phần tử sinh X Định nghĩa 1.9 Giả sử G nhóm với đơn vị e a ∈ G Nếu am = e ∀m > ta nói a có cấp vơ hạn Nếu trái lại số nguyên dương nhỏ m cho am = e gọi cấp a kí hiệu ord(a) 1.2 Nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.10 Nhóm hữu hạn nhóm mà số phần tử hữu hạn Định nghĩa 1.11 Cấp nhóm G, kí hiệu |G|, số phần tử nhóm Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Giả sử G nhóm hữu hạn S nhóm Khi |G| bội |S| Chứng minh Theo Mệnh đề 1.4, hai lớp kề trái S G trùng khơng có phần tử chung Do G phân tích thành hợp rời lớp kề trái S Hơn nữa, ta chứng minh số phần tử lớp kề trái không đổi, cụ thể số phần tử aS |S| với a ∈ G Thật ... chứng minh định lý Burnside dựa vào tác động nhóm lên tập hợp tìm hiểu ứng dụng Định lý nhiều lĩnh vực khác Lịch sử nghiên cứu vấn đề: Định lý Burnside giới thiệu chứng minh William Burnside (1904),... sử dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Một số trường hợp đặc biệt Định lý trước chứng minh Burnside, Jordan Frobenius Trong cơng trình John Thompson định lý N-nhóm ẩn chứng minh định lý Burnside. .. Tác động nhóm lên tập hợp Định lý Burnside ứng dụng 27 3.1 Định lý Burnside ứng dụng 27 3.2 Những ví dụ thơng dụng 38 KẾT LUẬN 58 Khóa luận tốt