Định lý burnside và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ HỒNG THÚY ĐỊNH LÍ BURNSIDE VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Đại số HÀ NỘI – 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ HỒNG THÚY ĐỊNH LÍ BURNSIDE VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Đại số NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI 2019 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày khóa luận mình, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới ThS Đỗ Văn Kiên – Giảng viên Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng cho tơi suốt q trình làm khóa luận để tơi có kết ngày hơm Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân cịn nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thúy Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo ThS Đỗ Văn Kiên Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài "Định lý Burnside ứng dụng" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thúy Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU 1 Nhóm nhóm hữu hạn 1.1 Nhóm 1.2 Nhóm hữu hạn Tác động nhóm lên tập hợp Định lý Burnside ứng dụng 27 3.1 Định lý Burnside ứng dụng 27 3.2 Những ví dụ thơng dụng 38 KẾT LUẬN 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Lý thuyết nhóm lĩnh vực đặc biệt quan trọng nhiều lĩnh vực toán học đại số Luận văn chủ yếu nghiên cứu nhóm hữu hạn, tác động nhóm lên tập hợp Mục đích đề tài đưa cách chứng minh định lý Burnside dựa vào tác động nhóm lên tập hợp tìm hiểu ứng dụng Định lý nhiều lĩnh vực khác Lịch sử nghiên cứu vấn đề: Định lý Burnside giới thiệu chứng minh William Burnside (1904), ơng sử dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Một số trường hợp đặc biệt Định lý trước chứng minh Burnside, Jordan Frobenius Trong cơng trình John Thompson định lý N-nhóm ẩn chứng minh định lý Burnside mà không sử dụng lý thuyết biểu diễn Chứng minh Goldschmidt (1970) thực cách rõ ràng cho nhóm cấp lẻ Bender (1972) cho nhóm cấp chẵn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Đối tượng đề tài nhóm hữu hạn tác động nhóm lên tập hợp Tìm hiểu ứng dụng định lý Burnside toán sơ cấp nói chung Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu tài liệu có liên quan đến đề tài Tổng hợp, phân tích đánh giá, phát triển giải vấn đề Chương Nhóm nhóm hữu hạn Chương trình bày kiến thức nhóm nhóm hữu hạn đại số trừu tượng 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa nhóm) Một nhóm G tập hợp với phép tốn hai ngơi ”.” thỏa mãn tiên đề sau: i) (ab)c = a(bc) với a, b, c thuộc G; ii) Tồn e thuộc G cho xe = ex = x với x thuộc G; iii) Với x thuộc G, tồn x thuộc G cho xx = x x = e Mệnh đề 1.1 Giả sử G nhóm Khi i) Phần tử e điều kiện ii) Định nghĩa 1.1 gọi phần tử trung lập G ii) Với x thuộc G phần tử x điều kiện iii) Định nghĩa 1.1 gọi nghịch đảo x Chứng minh i) Giả sử e1 , e2 phần tử trung lập G Khi e1 = e1 e2 ( e2 trung lập) = e2 ( e1 trung lập) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy ii) Giả sử x1 , x2 phần tử nghịch đảo x Ta có x1 = x1 e = x1 (x.x2 ) (do x2 nghịch đảo x) = (x1 x).x2 (do tính kết hợp ) = e.x2 = x2 Phần tử nghịch đảo x x thường kí hiệu x−1 phép nhân ”.” −x phép cộng ” + ” Mệnh đề 1.2 (Luật giản ước) Giả sử G nhóm Khi a, b, c thuộc G, ac = bc kéo theo a = b ca = cb kéo theo a = b Chứng minh Giả sử ac = bc Nhân hai vế với c−1 từ bên phải, ta có a = a(c.c−1 ) = (ac)c−1 = (bc)c−1 = b(c.c−1 ) = b Định nghĩa 1.2 (Đồng cấu nhóm) Giả sử G G nhóm Một ánh xạ ϕ : G → G gọi đồng cấu nhóm ϕ(xy) = ϕ(x).ϕ(y)∀x, y ∈ G Định nghĩa 1.3 i) Một đồng cấu nhóm đồng thời đơn ánh gọi đơn cấu nhóm, hay phép nhúng nhóm ii) Một đồng cấu nhóm tồn ánh gọi tồn cấu nhóm iii) Một đồng cấu nhóm đồng thời song ánh gọi đẳng cấu nhóm Mệnh đề 1.3 Giả sử ϕ : G → G đồng cấu nhóm Khi đó: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy i) ϕ chuyển đơn vị G thành đơn vị G , tức ϕ(e) = e ii) ϕ chuyển nghịch đảo phần tử x ∈ G thành nghịch đảo ϕ(x) ∈ G , tức ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 Chứng minh i) Vì e.e = e ϕ đồng cấu nhóm, nên ϕ(e.e) = ϕ(e).ϕ(e) = ϕ(e).e Theo luật giản ước, hệ thức kéo theo ϕ(e) = e ii) Tác động đồng cấu ϕ vào vế hệ thức x.x−1 = x−1 x = e, ta ϕ(x).ϕ(x−1 ) = ϕ(x−1 ).ϕ(x) = ϕ(e) = e Từ ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 Định nghĩa 1.4 (Nhóm con) Giả sử G nhóm Một tập khơng rỗng S ⊆ G gọi nhóm G S khép kín phép tốn G (tức xy ∈ S, ∀x, y ∈ S) khép kín phép lấy nghịch đảo G (tức x−1 ∈ S, ∀x ∈ S) Định nghĩa 1.5 (Nhóm chuẩn tắc) Một nhóm A nhóm G gọi chuẩn tắc x−1 ax ∈ A với a ∈ A x ∈ G Định nghĩa 1.6 Giả sử S nhóm nhóm G Với a ∈ G, tập hợp aS = {as : s ∈ S} Sa = {sa : s ∈ S} gọi tương ứng lớp kề trái lớp kề phải S a Mệnh đề 1.4 Hai lớp kề trái S trùng khơng có phần tử chung Các lớp kề phải Như thế, nhóm G phân hoạch thành hợp rời lớp kề trái (tương ứng, lớp kề phải) Chứng minh Giả sử Sa Sb có chung phần tử c (a, b, c ∈ G), tức c = s1 a = s2 b, s1 , s2 ∈ S Với s ∈ S ta có −1 sa = ss−1 s1 a = ss1 s2 b ∈ Sb Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Vì Sa ⊆ Sb Chứng minh hồn tồn tương ta có Sb ⊆ Sa Kết Sa = Sb Đối với lớp kề trái, chứng minh tiến hành tương tự Định nghĩa 1.7 Giả sử U tập nhóm X Nhóm A bé X chứa U gọi nhóm sinh U Kí hiệu U Định nghĩa 1.8 Một nhóm X gọi xyclic X sinh phần tử a ∈ X, tức X = a Phần tử a gọi phần tử sinh X Định nghĩa 1.9 Giả sử G nhóm với đơn vị e a ∈ G Nếu am = e ∀m > ta nói a có cấp vơ hạn Nếu trái lại số nguyên dương nhỏ m cho am = e gọi cấp a kí hiệu ord(a) 1.2 Nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.10 Nhóm hữu hạn nhóm mà số phần tử hữu hạn Định nghĩa 1.11 Cấp nhóm G, kí hiệu |G|, số phần tử nhóm Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Giả sử G nhóm hữu hạn S nhóm Khi |G| bội |S| Chứng minh Theo Mệnh đề 1.4, hai lớp kề trái S G trùng khơng có phần tử chung Do G phân tích thành hợp rời lớp kề trái S Hơn nữa, ta chứng minh số phần tử lớp kề trái không đổi, cụ thể số phần tử aS |S| với a ∈ G Thật Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Tuy nhiên, τ τ sinh c1 = c3 = c5 c2 = c4 = c6 Vì có cách chọn màu cho c1 c2 Khơng tính tổng quát, giả sử c1 đen Khi c2 có cách chọn màu trắng Các phần tử lại 6-chuỗi, c3 , c4 , c5 , c6 phụ thuộc vào c1 c2 nên hạt có cách chọn màu Vì vậy, | Fix(τ )| = | Fix(τ )| = 21 Bây xét hoán vị gây phép đối xứng Ba hoán vị τ δ, τ δ τ δ tương ứng phép đối xứng qua phân giác phép phân tích 2-chu kì rời Vì vậy, τ δ, τ δ τ δ khơng cố định cách 20 cách phép biến đổi sinh số chẵn hạt màu Mặt khác, hoán vị δ, τ δ τ δ tương ứng phép đối xứng qua đường chéo tích 2-chu kì rời 1-chu kì Xét δ, ta phân tích δ thành chu kì rời δ tác động lên x, c2 = c6 c3 = c5 Có màu để chọn cho c2 c3 Nếu hai hạt màu, c6 liên kết với c2 , c5 liên kết với c3 hạt màu Khơng tính tổng qt, giả sử c2 màu trắng Khi có cách chọn màu cho c3 , c5 , c6 Đặt c2 trắng có hạt trắng hạt đen Vì c1 c2 khơng liên kết với hạt nào, có cách chọn màu cho c1 c2 , hai màu mà đen màu trắng thỏa mãn Tức để màu đen màu trắng, hạt mà liên kết với hạt khác trắng (1 hạt có lựa chọn trắng) Vì chúng liên kết, ta có hạt trắng hạt cần xếp Vì có hai hạt khơng liên kết với hạt nên hai hạt màu trắng Vì có 22 dạng cố định δ, τ δ, τ δ Vì vậy, | Fix(δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ δ)| = 22 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Vì vậy, số N cách tơ màu vịng với hạt trắng hạt đen (20 + + + + + + + + + + 0) 12 36 = 12 = N= Thật có giản đồ hình 3.7 Hình 3.7: Các hình ảnh khác chuỗi vịng với hạt trắng hạt đen Tiếp theo, ta xét trường hợp vịng có số lẻ hạt Ví dụ 3.2.5 Xác định số cách khác để tô chuỗi vòng với hạt màu trắng hạt màu đen Đặt X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} tập chứa hạt vòng, C tập chứa màu đen trắng, C tập chứa tất 9-chuỗi màu Nếu x ∈ C x = (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 , c8 , c9 ), c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 , c8 , c9 màu Đặc biệt, ta cần y ∈ Y ⊆ C phần tử chuỗi trắng, phần tử đen Một vòng với số lẻ hạt di chuyển phép quay đối xứng qua đường phân giác hình 3.8 Các hốn vị X biểu diễn nhóm nhị diện D9 Rõ ràng D9 tác động lên X nên D9 tác động lên C9 Tập Y ⊆ C đóng tác động D9 lên C (vì rõ ràng với g ∈ D9 , gy ∈ Y với y ∈ Y ) Nên từ Chú ý 2.1, D9 tác động lên Y Đặt τ phần tử D9 phép quay chiều kim đồng hồ 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Hình 3.8: Sắp xếp hạt chuỗi vịng với hạt góc quay 40o Khi đó, τ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) τ = (1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8) τ = (1, 4, 7)(2, 5, 8)(3, 6, 9) τ = (1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6) τ = (1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5) τ = (1, 7, 4)(2, 8, 5)(3, 9, 6) τ = (1, 8, 6, 4, 2, 9, 7, 5, 3) τ = (1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) Tiếp, đặt δ phép đối xứng qua đường phân giác qua đỉnh Khi δ = (2, 9)(3, 8)(4, 7)(5, 6)(1) Chú ý δ tương ứng đảo hướng vịng vị trí ban đầu Để biểu diễn tất hoán vị gây phép đối xứng vòng qua đường phân giác, ta đảo hướng vịng, sau quay chuỗi vịng giải thích Ví dụ 3.2.3 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Khi đó, δ = (2, 9)(3, 8)(4, 7)(5, 6)(1) τ δ = (1, 2)(3, 9)(4, 8)(5, 7)(6) τ δ = (1, 3)(4, 9)(5, 8)(6, 7)(2) τ δ = (1, 4)(2, 3)(5, 9)(6, 8)(7) τ δ = (1, 5)(2, 4)(6, 9)(7, 8)(3) τ δ = (1, 6)(2, 5)(3, 4)(7, 9)(8) τ δ = (1, 7)(2, 6)(3, 5)(8, 9)(4) τ δ = (1, 8)(2, 7)(3, 6)(4, 5)(9) τ δ = (1, 9)(2, 8)(3, 7)(4, 6)(5) Chú ý D9 = {1, τ, τ , τ , τ , τ , τ , τ , τ , δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ} Từ Định lí Burnside, số vịng khác với hạt trắng hạt đen (| Fix((1))| + | Fix(τ )| + | Fix(τ )| + | Fix(τ )| + | Fix(τ )| + N= |D9 | | Fix(τ )| + | Fix(τ )| + | Fix(τ )| + | Fix(τ )| + | Fix(δ)| + | Fix(τ δ)| + | Fix(τ δ)|+| Fix(τ δ)|+| Fix(τ δ)|+| Fix(τ δ)|+| Fix(τ δ)|+| Fix(τ δ)|+ | Fix(τ δ)|) Có C95 = 126 cách để xếp hạt trắng hạt đen Rõ ràng, phép đồng cố định 126 cách, nên |F ix((1))| = 126 Ta có τ, τ , τ , τ , τ , τ sinh hạt có màu giống nên | Fix(τ )| = | Fix(τ )| = | Fix(τ )| = | Fix(τ )| = | Fix(τ )| = | Fix(τ )| = τ τ tích 3-chu kì rời Các hạt số 1, 4, phải màu, tương tự với hạt số 2, 8, 3, 9, Vì vậy, khơng có cách để xếp hạt trắng hạt đen Nên | Fix(τ )| = | Fix(τ )| = Tiếp, xét hoán vị sinh phép đối xứng Mỗi hốn vị 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy phân tích thành 2-chu kì 1-chu kì Hạt liên kết với 1-chu kì phải ln ln trắng cách xếp phải tương đương với 126 cách xếp, phải chứa hạt trắng Điều có nghĩa cặp phải trắng Vì có C42 = cách tạo thành cách xếp tương đương Vì δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ, τ δ tất có cấu trúc nên | Fix(δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ δ)| = Vì vậy, số N cách tơ màu chuỗi vòng khác với hạt trắng hạt đen (126 + + + + + + + + + + + + 6+ 18 + + + + 6) 180 = = 10 18 N= Định nghĩa 3.4 Nếu phân tích hồn tồn τ ∈ Sn có er (τ ) ≥ r-chu kì số τ đơn thức e (τ ) e (τ ) ind(τ ) = x11 x22 xenn (τ ) Nếu G nhóm Sn hệ số chu kì G đa thức n biến với hệ số thuộc Q PG (x1 , , xn ) = 49 |G| ind(τ ) τ ∈G Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Ví dụ 3.2.6 Trong vấn đề chuỗi vịng hạt Ví dụ 3.2.3, G = D6 τ = (1, 2, 3, 4, 5, 6) τ = (1, 3, 5)(2, 4, 6) τ = (1, 4)(2, 5)(3, 6) τ = (1, 5, 3)(2, 6, 4) τ = (1, 6, 5, 4, 3, 2) δ = (2, 6)(3, 5)(1)(4) τ δ = (1, 2)(3, 6)(4, 5) τ δ = (1, 3)(4, 6)(3)(5) τ δ = (1, 4)(2, 3)(5, 6) τ δ = (1, 5)(2, 4)(3)(6) τ δ = (1, 6)(2, 5)(3, 4) Vì vậy, ind(1) = x61 phép động tạo nên 1-chu kì Khi đó, ind(τ ) = ind(τ ) = x6 , ind(τ ) = ind(τ ) = x23 , ind(τ = x32 ), ind(δ) = ind(δτ ) = ind(δτ ) = x21 x22 ind(δτ ) = ind(δτ ) = ind(δτ ) = x32 Hệ số chu kì D6 là: PD6 (x1 , , x6 ) = (x1 + 2x6 + 2x23 + 3x21 x22 + 4x32 ) 12 Ví dụ 3.2.7 Trong Ví dụ 3.1.4, ta thấy nhóm cyclix G =< τ > 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy với bậc tác động lên hình vng với 25 vng, τ =(1, 5, 25, 21)(2, 10, 24, 16)(3, 15, 23, 11)(4, 20, 22, 6)(7, 9, 19, 17) (8, 14, 18, 12)(13) Kéo theo τ =(1, 25)(5, 21)(2, 24)(10, 16)(3, 23)(15, 11)(4, 22)(20, 6)(7, 19) (9, 17)(8, 18)(14, 12)(13) τ =(1, 21, 25, 5)(2, 16, 24, 10)(3, 11, 23, 15)(4, 6, 22, 20)(7, 17, 19, 9) (8, 12, 18, 14)(13) τ =(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17) (18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25) Hệ số chu kì G 12 PG (x1 , , x25 ) = (x25 + x1 x2 + 2x1 x4 ) Bây ta viết lại số (q, G)-cách tơ màu với số hạng hệ số chu kì, tức Định lí Burnside viết lại Định lý 3.3 Cho X tập hữu hạn với |X| = n cho G nhóm Sn , nhóm mà tác động lên X Khi đó, số (q, G)-cách tơ màu X PG (q, , q) Chứng minh Nhắc lại (q, G)-cách tô màu X quĩ đạo (c1 , , cn ) tập C n Từ Mệnh đề 3.1, G tác động lên X nên G tác động lên C n Khi từ Định lí Burnside, G tác động lên C n , (q, G)-cách tô màu X là: N= |G| |F ix(τ )| τ ∈G 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Từ Hệ 3.1, ta có N= |G| q t(τ ) , τ ∈G t(τ ) số chu kì phân tích hồn tồn τ Như định nghĩa, PG (x1 , , xn ) = = |G| |G| ind(τ ) τ ∈G e (τ ) e (τ ) x11 x22 xenn (τ ) , τ ∈G PG (q, , q) = = |G| |G| q e1 (τ )+e2 (τ )+ +en (τ ) τ ∈G q t(τ ) τ ∈G Vì vậy, số (q, G)-cách tơ màu X PG (q, , q) Ví dụ 3.2.8 Trở lại Ví dụ 3.2.7, đếm số cách tơ màu khác hình vng × với 25 vng, tô với hai màu sử dụng hệ số chu kì Vì G =< τ >, 12 PG (x1 , , x25 ) = (x25 + x1 x2 + 2x1 x4 ) Khi đó, số hình vng khác PG (2, , 2) = (225 + 2.212 + 2.2.26 ) = (33554432 + 8192 + 256) 33562880 = = 8390720 Chú ý kết giống với kết tính Ví dụ 3.1.4 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Vì vậy, ta có phương pháp khác để tính số cách tơ màu khác Hệ số chu kì làm cho cách tính dễ dàng hơn, có vai trị chìa khóa mở rộng Định lí Burnside nhờ Định lí Pólya Định lí Pólya đặc biệt hữu ích giải vấn đề việc sử dụng màu bị hạn chế Ví dụ sử dụng để tính số cách tơ màu cho vịng hạt với hạt trắng hạt đen Định lý 3.4 (Định lí Pólya) Cho G ⊆ SX , |X| = n, đặt |C| = q, với i ≥ 1, định nghĩa σi = ci1 + + ciq Khi đó, số (q, G)-cách tơ f màu X có fr phần tử màu cr , với r, hệ số cf11 cf22 cq q PG (σ1 σn ) Ví dụ 3.2.9 Để giải vấn đề chuỗi hạt đưa trên, nhắc lại từ Ví dụ 3.2.6 hệ số chu kì cho chuỗi 6-hạt PD6 (x1 , , x6 ) = (x1 + 2x6 + 2x23 + 3x21 x22 + 4x32 ) 12 Sử dụng Định lí Pólya, số vịng với hạt màu trắng, hạt màu đen hệ số b2 w4 [(b + w)6 + 2(b6 + w6 ) + 2(b3 + w3 )2 + 12 3((b + w)2 (b2 + w2 )2 ) + 4(b2 + w2 )3 ] Pσ (σ1 , , σ6 ) = Sử dụng định lí nhị thức, ta tìm hệ số b2 w4 Định lí nhị thức phát biểu với số nguyên dương n, n n Cnk xk an−k , (x + a) = k=0 Cnk hệ số nhị thức Bắt đầu với (b + w)6 Vì n = 6, hệ số b2 w4 tìm k = Vì với phần này, hệ số b2 w4 C62 Tiếp, xét b6 + w6 Vì n = ta cần tìm số nguyên k cho 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy b6k w6(1−k) = b2 w4 Trường hợp khơng có nghiệm nên hệ số b2 w4 Với (b3 + w3 )2 , n = nên ta cần tìm số nguyên k cho b3k w3(2−k) = b2 w4 Điều khơng có nghiệm Với (b + w)2 (b2 + w2 )2 , b2 w4 = bl w2−l b2k w2(2−k) = b2k+l w6−2k−l k = l = k = l = Khi hệ số b2 w4 C21 C20 + C20 + C22 Cuối cùng, xét (b2 + w2 )3 Vì n = 3, b2k w2(3−k) = b2 w4 k = 1, hệ số b2 w4 C31 Vì hệ số b2 w4 (C6 + 2(0) + 2(0) + 3.(C21 C20 + C20 + C22 ) + 4C31 ) 12 = (15 + 2(0) + 2(0) + 3(2 + 1) + 4(3)) 12 36 = 12 = Chú ý kết giống với kết tính Ví dụ 3.2.6 Kết luận, xét vài ví dụ cách sử dụng định lí Pólya Một hình lập phương tô màu vào đỉnh, 12 cạnh mặt Ở trường hợp, hai cách tô tương đương cách khác thu từ phép quay Nhóm G phép quay hình lập phương đẳng cấu với S4 Vì vậy, G chứa 24 phép quay 24 phép quay hình lập phương có trục thấy hình 3.9 gồm: Phép đồng Ba phép quay góc 180o quanh đường nối tâm mặt đối diện 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Hình 3.9: Các trục quay hình lập phương Sáu phép quay góc 90o quanh đường nối tâm mặt đối diện Sáu phép quay góc 180o quanh đường nối trung điểm cạnh đối diện Tám phép quay góc 120o quanh đường nối đỉnh đối diện Ví dụ 3.2.10 Hãy tơ đỉnh hình lập phương cho có đỉnh màu đỏ đỉnh màu đen Hình 3.10: Phép quay quanh đường nối tâm mặt đối diện Phép đồng mơ tả tích 1-chu kì Trong hình 3.10, ta thấy phép quay góc 180o quanh đường nối tâm mặt đối diện biểu diễn tích 2-chu kì rời nhau, phép quay góc 90o quanh đường nối tâm mặt đối diện viết tích 4-chu kì rời 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy Trong hình 3.11, ta thấy phép quay góc 180o quanh đường nối trung điểm cạnh đối diện viết tích 2-chu kì rời Cuối cùng, hình 3.12 phép quay góc 120o quanh đường nối đỉnh đối diện viết tích 1-chu kì 3-chu kì rời Hình 3.11: Phép quay quanh đường nối trung điểm cạnh đối diện Hình 3.12: Phép quay quanh đường nối đỉnh đối diện Vì vậy, hệ số chu kì là: PS4 = (x1 + 6x24 + 9x42 + 8x21 x23 ) 24 Nếu hình lập phương tơ hai màu khơng có giới hạn số lần màu sử dụng từ Định lí 3.3 có PS4 (2, , 2) cách tơ màu 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy khác đỉnh hình lập phương (2 + 6(22 ) + 9(24 ) + 8(22 )(22 )) 24 552 = 24 = 23 PS4 (2, , 2) = Tuy nhiên, ta tính có cách tơ màu khác mà với màu đỏ màu đen Vì vậy, ta xét hệ số b2 r6 Pσ (σ1 , , σ24 ) = [(b + r)8 + 9(b2 + r2 )4 + 6(b4 + r4 )2 + 8((b + r)2 (b3 + 24 r ) )] Sử dụng định lí nhị thức ta hệ số b2 r6 72 (C8 + 9C41 + 8C20 C22 ) = 24 24 = Ta thấy Định lí Pólya hữu ích 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hồng Thúy KẾT LUẬN Mục đích đề tài đưa cách chứng minh định lý Burnside dựa vào tác động nhóm lên tập hợp tìm hiểu ứng dụng Định lý nhiều lĩnh vực khác Tôi mong luận văn đề tài "Định lý Burnside ứng dụng" tài liệu có ích cho bạn đọc đặc biệt người yêu thích vấn đề Do kinh nghiệm thân hạn chế nên luận văn nhiều khiếm khuyết Tôi mong nhận ý kiến góp ý chân tình từ Thầy, Cơ giáo để tơi có hướng phát triển sửa chữa cho đề tài ngày hồn thiện Một lần nữa, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lòng biết ơn chân thành tới ThS Đỗ Văn Kiên, bảo, góp ý Thầy, Cơ giáo tổ Đại số giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thúy 58 Tài liệu tham khảo [1] David S Dummit and Richard M Foote (2004),Abstract Algebra, (Third Edition), John Wiley & Sons, Inc [2] J Rotman (1999),An introduction to the Theory of Groups, (Third Edition), Springer - Verlag, New York [3] Kristen R Walcott (2004), Application and Analysis of Burn- side’s Theorem, A Senior Comprehensive Project, Allegheny College Meadville, PA 59 ... Chương Định lý Burnside ứng dụng Chương trình bày định lý tiếng ứng dụng lý thuyết nhóm vào tổ hợp Định lý Burnside Sau chúng tơi trình bày số ứng dụng lý thuyết nhóm thơng qua định lý vào toán... chứng minh định lý Burnside dựa vào tác động nhóm lên tập hợp tìm hiểu ứng dụng Định lý nhiều lĩnh vực khác Lịch sử nghiên cứu vấn đề: Định lý Burnside giới thiệu chứng minh William Burnside (1904),... sử dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Một số trường hợp đặc biệt Định lý trước chứng minh Burnside, Jordan Frobenius Trong cơng trình John Thompson định lý N-nhóm ẩn chứng minh định lý Burnside