... một bài bấtđẳngthức hay ứng dụng số phức. Bấtđẳngthức này
sẽ rất khó chứng minh nếu chỉ dùng các kiến thức của hình học phẳng sơ cấp.
Bài 3.7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi R và r lần ... 1
,
hay
9xyz = 1− (x + y + z) + xy + yz + zx.
Bất đẳngthức cần chứng minh trở thành
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 18xyz ≥ 1.
Thay 18xyz = 2− 2(x + y + z) + 2(xy + yz + zx) vào, ta viết được bấtđẳngthức này
thành
x
2
+ ... minh bấtđẳngthức này bằng cách dùng bấtđẳngthức Bernoulli.
Bài 3.4. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn
a < b < c, a + b + c = 0, ab + bc + ca = −3.
Chứng minh rằng
−2 < abc < 2 và...
... zyxM
+++=
+
+
+=
2
sin
1
1
2
sin
1
1
2
sin
1
1
CBA
P
2
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ zyx
8
1
xyz
Bất đẳngthứcvàcựctrị của hàm đa biến
Bất đẳngthứcvàcựctrị của hàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ Phơng ... ++++
cba
cba
7+++++
a
c
c
a
b
c
c
b
a
b
b
a
2)(22)()(
1
1
0))((
2
+++++++
++
++
++
a
c
c
a
VT
a
c
c
a
b
c
a
b
b
a
c
b
b
c
a
b
a
c
b
a
c
b
c
a
acbbcabcbba
2)
1
(2)(21,
++==
x
xxfVTx
c
a
x
Bất đẳngthứcvàcựctrị của hàm đa biến
5) Cho x, y dơng và x + y < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
6) Cho Chứng minh
7) Cho x, y dơng và x + y = 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) ... ac
c
cb
b
ba
a
5
7
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
c
a
b
c
a
b
?!
1
1
1
2
1.
b
c
c
b
VT
c
b
c
a
a
b
cba
+
+
+
=
11
2
)(31,
2
2
+
+
+
==
t
t
t
tfVTt
c
b
t
222
4
)4(
222
22
22
+
yx
yxx
222
1
2
2
22
222
2
2
2
+
y
x
y
x
y
x
=
y
x
t
2
222
1
44
)(222
2
+
=
t
t
tf
)(2
333444
cbacba
++++
0)()()(0)2()2()2(
343434
++++
cfbfafccbbaa
Rx
xxxxxxxxxf
+=+=
0)42()2(1682)168()(
2234
Raaaa
Rxaaaaaa
+=
1682
0)42()2()168(2
34
2234
Bất đẳngthứcvàcựctrị của hàm đa biến
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy
Chú ý : Có thể chỉ sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT trên.
ã Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dơng và x + y...
... y
A
= =
Bài 16:
(Bất đẳngthức Minkovski). Cho các điểm liên
tiếp O,A,B,C,…,Q,M. Độ dài đường gấp khúc
OA+AB+BC+…+QM ≥ OM. Hãy đặt tọa độ
các điểm O và A,B,C,…,Q,M để có bấtđẳng
thức số.
Xét ...
trước. Tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nhất
BÁT ĐẲNGTHỨC CÔ SI
VÀ CỰCTRỊ HÌNH HỌC
*
(Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán
cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN)
A. BÀI TOÁN ... −
3/ 2
2
4 2 8 3
.
3 9
x x R x R
AC CD R
+ + −
≤ =
÷
2
8 3
( . )
9
R
Max AC CD
=
Khi x=4R/3.
Bài 19:
Tam giác ABC có chu vi 2p và BC=a. Định độ
dài 2 cạnh AB và AC để ABC có diện tích...
... HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: ( 094 )-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
HDG ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 08
Kiến thức về Bấtđẳngthứcvà tìm Min, Max đôi khi còn xa lạ với nhiều bạn. ... −
Bài 11: Cho x, y, z >1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
4 ... TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: ( 094 )-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
BÀI TẬP VỀ NHÀ
BẤTĐẲNGTHỨCVÀ MIN, MAX.
Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2...
... BÁTĐẲNGTHỨC CÔ SI
VÀ CỰCTRỊ HÌNH HỌC
*
(Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán
cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN)
A. BÀI TOÁN ... y
A
= =
Bài 16:
(Bất đẳngthức Minkovski). Cho các điểm liên
tiếp O,A,B,C,…,Q,M. Độ dài đường gấp khúc
OA+AB+BC+…+QM ≥ OM. Hãy đặt tọa độ
các điểm O và A,B,C,…,Q,M để có bấtđẳng
thức số.
Xét ... −
3/ 2
2
4 2 8 3
.
3 9
x x R x R
AC CD R
+ + −
≤ =
÷
2
8 3
( . )
9
R
Max AC CD
=
Khi x=4R/3.
Bài 19:
Tam giác ABC có chu vi 2p và BC=a. Định độ
dài 2 cạnh AB và AC để ABC có diện tích...
... )
v u
x a u r x u r x
= −
⇔
− = − = − +
BÁT ĐẲNGTHỨC CÔ SI
VÀ CỰCTRỊ HÌNH HỌC
*
(Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán
cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN)
A. BÀI TOÁN ... y
A
= =
Bài 16:
(Bất đẳngthức Minkovski). Cho các điểm liên
tiếp O,A,B,C,…,Q,M. Độ dài đường gấp khúc
OA+AB+BC+…+QM ≥ OM. Hãy đặt tọa độ
các điểm O và A,B,C,…,Q,M để có bấtđẳng
thức số.
Xét ... −
3/ 2
2
4 2 8 3
.
3 9
x x R x R
AC CD R
+ + −
≤ =
÷
2
8 3
( . )
9
R
Max AC CD
=
Khi x=4R/3.
Bài 19:
Tam giác ABC có chu vi 2p và BC=a. Định độ
dài 2 cạnh AB và AC để ABC có diện tích...
... một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
24
a, Nếu :b
99 8
thì
d
b
99 8
d
b
c
a
+
99 9
b, Nếu: b =99 8 thì a=1
d
b
c
a
+
=
dc
99 91
+
Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c =99 9
Vậy giá trị ... giá trị lớn nhất của
d
b
c
a
+
=99 9+
99 9
1
khi a=d=1; c=b =99 9
Ph ơng pháp 6: Phơng pháplàm trội
L u ý:
Dùng các tính bấtđẳngthứcđể đa một vế của bấtđẳngthức về dạng tính đợc tổng
hữu ... ơng pháp 3 : dùng bấtđẳngthức quen thuộc
A/ một số bấtđẳngthức hay dùng
1) Các bấtđẳngthức phụ:
9
Tơng tự
3
b
+
3
c
cb
2
1
+
c
3
+
3
a
ac
2
1
+
Cộng các bấtđẳngthức ta có :
accbbacba
222333
3222
+++++
...
... GTLN của biểu thức:
2 3 4− + − + −
=
ab c bc a ca b
F
abc
với
3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a
34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của
1 1 1
= + +
+ + +
x y z
P
x y z
(ĐHNT- 199 9)
35) Cho 3 ... dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
= + +
+ + +
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
(ĐHNN – 2000)
36) Chứng minh các bấtđẳngthức sau với giả thiết
, , 0a b c >
:
1.
5 ... Chứng minh
999 3 3 3
4
3 3 3 3 3 3
x y z x y z
x y z y x z z x y+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
(ĐH 2006)
48) Tìm GTNN của hàm số
2
11 7
4 1 ( 0)
2
y x x
x
x
= + + + >
÷
(ĐH 2006)
49) Cho
,x...